TEMA : ECUACIONES E INECUACIONES CONCEPTO DE ECUACIÓN Un uión s un igul lgri qu l umpln tn solo un sri númros qu son ls soluions. Es ir, Ls soluions un uión son los vlors qu n tomr ls ltrs pr qu l igul s irt. A l prt izquir l igul s l llm r mimro y l prt rh, º mimro. Ejriios.. Ini uáls stos númros son soluión sts uions. - ; ; ; Soluión: Soluión: Soluión: ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son uions n ls qu l inógnit tin gro. Pr rsolvr sts uions sguirmos los siguints psos: Quitr préntsis Quitr frions. Ruir. Trsponr términos Ruir. Dspjr l inógnit En l último pso pun ourrir los siguints sos:. =. =. = Ejriios.. Rsulv ls uions. (+-(- = (-+
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un uión sguno gro o uión uráti s un uión l form + + = on, y son númros rls y s un númro ifrnt ro. L soluión sts uions s: Ejriios.. Rsulv ls uions siguints: + = Euions sguno gro inomplts. Hy os sos: = Son l form + = y s rsulvn spjno l Por jmplo: = X + = = Son l form + = y s rsulvn sno ftor omún l. Por jmplo: =
Ejriios.. Rsulv ls siguints uions. ( + = ( +( + + = + = ECUACIONES FACTORIZADAS Son uions l tipo (. (.... ( =. S rsulvn igulno ftor ro y rsolvino ls uions. Por jmplo:. ( +. (. ( + = Ejriios.. Rsulv l uión (+. (. (-. (+ = ECUACIONES CON RADICALES Son uions n ls qu l stá jo un ril. Pr rsolvrls sguirmos los siguints psos: Aislr l ríz. Ruir. Elvr l uro los os mimros. ojo on ls intis notls!!! Rsolvr l uión rsultnt. Compror ls soluions.
Por jmplo: 9 Ejriios.. Rsulv ls uions: 9 ECUACIONES CON LA X EN EL DENOMINADOR Pr rsolvr sts uions hmos sguir stos psos: Clulmos l m..m. los nominors los os mimros. Thmos stos nominors. Rsolvmos l uión rsultnt. Rhzmos ls soluions qu nuln lgún nominor. Por jmplo:
Ejriios.. Rsulv ls siguints uions: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Pr rsolvr un prolm sguirmos los siguints psos: Lr y omprnr l nunio Dsignr l inógnit Plntr l uión Rsolvr l uión Disusión intrprtión los rsultos PROBLEMAS ALGEBRAICOS. L trr prt un númro s unis mnor qu su ol. Cuál s s númro? 9. En un runión hy ol númro mujrs qu homrs y tripl númro niños qu homrs y mujrs juntos. Cuántos homrs, mujrs y niños hy si l runión l omponn 9 prsons?
PROBLEMAS DE EDADES. Un pr tin ños y su hijo. Al o uántos ños srá l l pr trs vs myor qu l l hijo?. Ls trs urts prts l l pr Jun n ños l ést. H utro ños l l pr r ol l l hijo. Hllr ls s mos. PROBLEMAS DE MEZCLAS. Un omrint tin os lss fé, l primr l kg y l sgun l kg. Cuntos kilogrmos hy qu ponr ls fé pr otnr kilos mzl l kg? PROBLEMAS GEOMÉTRICOS. El lrgo un rtángulo s os vs l nho. El prímtro l rtángulo s m. Cuál s l lrgo y uál s l nho?
INTERVALOS Y SEMIRECTAS S utilizn pr signr onjuntos númros rls formos por infinitos lmntos o pr signr lgunos trmos l rt rl. Un intrvlo s un onjunto númros rls qu s orrsponn on los puntos un sgmnto o un smirrt n l rt rl. Sgún inluyn o no los puntos trmos stos intrvlos pun sr rros, irtos o smiirtos. El intrvlo irto (-, s l onjunto númros rls omprnios ntr - y sin inluir éstos y s pu rprsntr l form Ejriios.. Rprsnt form gráfi y n form sigul los siguints intrvlos:. (,. [-, ]. [,. (-, o
. Rprsnt n form gráfi y intrvlo ls siguints siguls:. - - -9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son siguls lgris y s rsulvn omo ls uions, slvo n l so qu l inógnit spjr s ngtiv, n uyo so mirmos too signo inluyno l signo sigul. Por jmplo: ; Ejriios:..
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA En stos sistms s trt nontrr un soluión qu umpl os o más oniions. Pr rsolvrls s rsulv inuión por spro, s rprsntn ls soluions n l mism rt y s tom omo soluión l zon omún. Por jmplo Ejriios:. Rsulv los siguints sistms:
EJERCICIOS. Hll por tnto ls soluions sts uions. Us l lulor si s priso. 9. Rsulv ls siguints uions: 9 Sol: =- = No tin Infinits =/.. Rsulv ls siguints uions: 9 9 Sol: = =- = = / =.. Si l ol un númro l summos l urt prt iho númro, l rsulto s 9. Clul iho númro. Sol:.. L sum un númro más su trr prt s. D qué númro s trt? Sol:.. An tin ños más qu Rqul y ntr ls os sumn ños. Qué tin un? Sol: Rqul y An.. Eloís tin ños mnos qu su mr. Entr ls os tinn mio siglo. Clul l un. Sol:, y, ños.. Rorigo tin. Invirt un prt n un ngoio y l rsto n un no. En l ngoio gn l %; y n l no, l %. Al finl h gno. Clul uánto invirtió n sitio. Sol: n l ngoio y n l no. 9. H os ños m ompré un iilt y un quipo músi por. Los o vnr por un totl, hino prio l % on l iilt y l % on l quipo músi. Cuánto m ostó os? Sol: Bii:, quipo:.. L sum trs númros nturls onsutivos s utro vs l mnor llos. Qué númros son? Sol: ; y.. Clul l Alrto sino qu ntro ños tnrá l tripl su tul. Sol: ños.. Rsulv ls siguints uions: h g f Sl: =/ =-/ = No tin = = =- f No tin g = = -/ h = =-.. Rsulv ls siguints uions: f Sol: = = = =- = =- =- = =-/ = f =.. Rsulv ls siguints uions: j i h g f Sol: = = = = =/ = =-/ =9/ =- f = g = =- h = =- i = =- j = =-.
. El prouto os númros onsutivos s. Clul stos númros. Sol: Los númros son y.. En un triángulo rtángulo, l hipotnus mi m más qu l tto myor, y ést mi m más qu l mnor. Cuánto min los trs los?. Sol: Los los min 9 m, m y m.. L suprfii un rtángulo s m, y su prímtro, m. Cuánto min sus los? Sol: Los los min m y m.. Los trs los un triángulo min m, m y m, rsptivmnt. Si los trs ls rstmos l mism longitu, l triángulo rsultnt s rtángulo. Qué longitu s s? Sol: L longitu rst s m. 9. L suprfii un rtángulo s m, y su prímtro, m. Clul sus imnsions. Sol: m lrgo y m nho.. El prouto os númros s, y su sum,,. Qué númros son? Sol: Los númros son y,.. En un triángulo rtángulo, uno los ttos mi los / l hipotnus, y l otro tto mi m mnos qu ést. Hll l prímtro l triángulo. Sol: m.. Los los un triángulo min m, m y 9 m, rsptivmnt. Si rstmos l mism nti los trs los, otnmos un triángulo rtángulo. Qué nti s s?. Sol: L nti rst s m.. Si s umnt n m l lo un uro, su ár umnt n m. Cuánto mi su lo?. Sol: El lo mi m.. Rsulv ls siguints uions: f g 9 Sol: = = =- = = = - = =-/ =/ = = =- f =-/ = =- g = = =- = = -.. Rsulv ls siguints uions: f g h 9 i j Sol: =9 = = =- = =- = f = g = h =No tin i = j =.. Rsulv ls uions siguints: 9 f g h i j k l 9 Sol: = =- = =-, = =- = =-/ =- = f = - = g = / h = = i = - = j = -/ = k =-/ = l =- =.. Un grupo stuints lquil un piso por l ms. Si furn os más, uno pgrí mnos. Cuántos son? Sol: Son.. Un grupo stuints sln nr, tnino qu pgr uno. Un prj s h jo l inro n s y no pun pgr, por lo ul uno tin qu pgr más. Clul uántos hn io nr y uánto ls h osto n totl. Sol: stuints y. 9. Un grnjro v l mro pr vnr un prti otlls lh, l otll. En l mino s l rompn otlls. Pr otnr l mismo nfiio, umnt n, l prio otll. Con uánts otlls slió l grnj?. Cuánto inro prtn gnr? Sol: Slió on otlls y prtn gnr.. Un vnor lljro llv un irto númro rlojs, por los qu pins sr. Pro ompru qu os llos stán trioros. Aumntno l prio los rstnts n, onsigu rur l mism nti. Cuántos rlojs llv? Sol: rlojs.. Un grupo migos lquiln un utor por pr un ursión. Flln llos, por lo qu los sistnts n pgr más uno. Cuántos hí l prinipio? Sol: Hí migos.. Rsulv sts uions: 9 Sol: = =9 = = = =.
. Rsulv sts inuions y rprsnt gráfimnt ls soluions: 9 k j i h g f Sol: f / g 9 / h / i j k. Rsulv los siguints sistms inuions: h g f / Sol:,, /,,,,, f, g, h,. Un oposiión onst os ámns, uno srito, qu s l % l not, y otro orl, qu s l %. Si un opositor h so un n l srito, qué not tin qu sr omo mínimo n l orl pr pror? Sol: Un, omo mínimo. AUTOEVALUACIÓN. Rsulv: Sol: = = =. Rsulv: 9 Sol: = = = =- =/ =-/.. Rsulv: Sol:,,. Hll ls imnsions un jrín rtngulr uyo prímtro s m, y su ár, m. Sol: m y m.. Un prson ompr un quipo músi y un ornor por, y los vn, spués lgún timpo, por,. Con l quipo músi prió l % su vlor, y on l ornor, l %. Cuánto l ostó uno? Sol: Equipo músi: Ornor:. Vrios migos qun pr nr n un rsturnt y n pgr un unt. Como os no tinn inro, l rsto portr más uno. Clul uántos migos son. Sol: Son migos.. Un profsor lngu lul l not finl mint os ámns, uno srito, qu s l % l not finl, y otro ltur, qu s l %. Un lumno otin un n l mn ltur. Qué not tin qu sr n l srito pr otnr omo not finl l mnos un? Sol: Al mnos un,.. L sum os númros s. Hálllos, sino qu l mnor más l ríz ur l myor s. Sol: Los númros son y.