POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A B β C REGIÓN INTERIOR W D VÉRTICE θ α F E Los ldos son los segmentos AB, BC, CD, DE, EF y FA. Los vértices son los puntos de intersección de los ldos de un polígono, nomrdos por ls letrs A, B, C, D, E y F. Los ángulos interiores son quellos ángulos formdos por dos ldos del polígono en su región interior, por ejemplo θ ó B. Los ángulos exteriores son quellos ángulos formdos prtir de un ldo del polígono y l prolongción del otro ldo dycente él por ejemplo α ó W. Digonles son segmentos que unen vértices no consecutivos, por ejemplo AC, AD y AE. Perímetro. Es l sum de l medid de los segmentos de un polígono, tmién llmdo contorno. P = AB + BC + CD + DE + EF + FA. Áre es l medid de l superficie de l región interior de un polígono.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS. Los polígonos se pueden clsificr de cuerdo ls siguientes tres ctegorís: 1) Clsificción de los polígonos de cuerdo l medid de sus ángulos. Estos polígonos pueden ser convexos y cóncvos. Polígonos convexos. Son quellos polígonos que tienen todos sus ángulos exteriores convexos, esto es que l medid de sus ángulos exteriores es myor de 180º. Tmién se pueden identificr porque un líne rect sólo puede cortrlos en dos puntos. Polígonos cóncvos. Son quellos polígonos que tienen lguno de sus ángulos exteriores cóncvos, esto es que l medid de l menos uno de sus ángulos exteriores es menor de 90º. Tmién se pueden identificr porque un líne rect puede cortrlos en más de dos puntos. ) Clsificción de los polígonos de cuerdo l medid de sus ldos. Estos pueden ser regulres e irregulres. Polígonos regulres. Son quellos polígonos que tienen todos sus ldos y ángulos congruentes, es decir, que tienen l mism medid.
Polígonos irregulres. Son quellos polígonos que tienen por lo menos un ldo con distint medid o el vlor de sus ángulos son diferentes. 3) Clsificción de los polígonos de cuerdo l número de ldos. Los polígonos recien nomres especiles. El polígono de menor número de ldos es el triángulo, los polígonos de 13, 14, 16, 17, 18, 19, etc. Ldos, no tienen nomres especiles y se designn por el número de ldos, por ejemplo el polígono de 4 ldos. Nº de ldos Nomre del polígono. Tres Triángulo Cutro Cudrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono Siete Eptágono Ocho Octágono Nueve Eneágono Diez Decágono Once Undecágono Doce Dodecágono Quince Pentdecágono. NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLÍGONO. Un digonl es un segmento de rect que une dos vértices no consecutivos. 0 Digonles Digonles 9 Digonles D = n ( n 3)
Ejemplos resueltos del número de digonles de un polígono. 1) Determinr el número totl de digonles de un triángulo. n = 3 n ( n 3 ) ( 3 3) 3( 0) 3 0 ) Determinr el número totl de digonles de un pentágono. n = 5 n ( n 3) ( 5 3) 5( ) 10 5 5 CUADRILÁTEROS. Un cudrilátero es un polígono de cutro ldos, los ldos consecutivos son los que tienen un vértice común y los ldos opuestos son los que no tienen ningún vértice común, como se muestr en l siguiente figur. B C Ldos consecutivos son los segmentos AB y BC, BC y CD, CD y DA A D Ldos opuestos AB y CD, BC y DA
..5.1 CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS. Con dos pres de ldos prlelos. Prlelogrmos. Cudrdo. Rectángulo. Romo. Tiene cutro ldos y ángulos igules, sus digonles son igules y perpendiculres. Tiene los ldos consecutivos desigules, cutro ángulos igules, sus digonles son igules, pero no son perpendiculres. Tiene cutro ldos igules, los ángulos consecutivos son desigules, sus digonles son desigules y perpendiculres. Cudriláteros. Romoide. Tiene los ldos y ángulos consecutivos desigules, sus digonles son desigules y no perpendiculres. Con un pr de ldos prlelos llmdos se menor y se myor. Trpecio. Rectángulo. Isósceles. Uno de los ldos no prlelos es perpendiculr ls ses, sus digonles son desigules y ésts pueden ser o no perpendiculres. Tiene sus ldos no prlelos igules, sus digonles son igules y ésts pueden ser o no perpendiculres. Escleno. Tiene sus ldos no prlelos desigules, sus digonles son desigules y ésts pueden ser o no perpendiculres. Con ningún ldo prlelo. Trpezoide. Simétrico. Asimétrico Son quellos que tienen dos pres de ldos consecutivos desigules, pero el primer pr es diferente l segundo pr, sus digonles son perpendiculres. No tiene ldos prlelos y sus cutro ldos son desigules.
CUADRILÁTEROS. Prlelogrmos. Cudrdo. Rectángulo. Romo. Romoide. Trpecios Trpecio rectángulo con digonles perpendiculres. Trpecio isósceles con digonles. perpendiculres. Trpecio escleno con digonles perpendiculres. Trpecio rectángulo con digonles no perpendiculres. Trpecio isósceles con digonles no perpendiculres. Trpecio escleno con digonles no perpendiculres. Trpezoides Trpezoide simétrico tiene sus digonles perpendiculres. Trpezoide simétrico con digonles perpendiculres. Trpezoide simétrico con digonles no perpendiculres.
PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS. Nomre Diujo Perímetro Áre. P= + + c ( )( h) A = c Semiperímetro Triángulo. h A = p( p )( p )( p c) + + c p= semiperímetro p = Cudrdo. P = 4() A= Rectángulo. P = (+) A= ()() Romo. d D ( D)( d) P = 4() A = D= digonl myor d= digonl menor Romoide. c P = (+c) A= ()() Trpecio. c B h d P = B +c+ +d B + A = ( h) B=se myor = se menor h = ltur Trpezoide. c d P= ++ c +d A= sum de ls áres de los dos triángulos.
Polígono regulr p L ( P)( p) P = nl A = P = perímetro Ap = potem. Polígono irregulr. e c d P= ++c+d+e A= sum de ls áres de ls figurs geométrics que se puedn formr POLIEDROS. DEFINICIÓN DE POLIEDRO. Porción de espcio limitdo por polígonos plnos. Sus elementos crcterísticos son ls crs, ls rists y los vértices: Ls crs son los polígonos que l limitn. Ls rists son los ldos de ls crs, y limitn dos crs contigus. Los vértices son los de ls crs. En cd vértice de un poliedro concurren tres o más crs. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. Los poliedros se pueden clsificr en regulres e irregulres. POLIEDROS REGULARES. Un poliedro regulr es quel cuys crs son polígonos regulres igules y en cd uno de sus vértices concurren el mismo número de crs. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulres: No de Nomre crs 4 Tetredro 6 Hexedro 8 Octedro 1 Dodecedro 0 Icosedro Tetredro regulr: 4 crs tringulres, que concurren tres en cd vértice. Tiene 4 vértices y 6 rists. Cuo: 6 crs cudrds, que concurren tres en cd vértice. Tiene 8 vértices y 1 rists.
Octedro: 8 crs tringulres, que concurren cutro en cd vértice. Tiene 6 vértices y 1 rists. Dodecedro: 1 crs pentgonles regulres, que concurren tres en cd vértice. Tiene 0 vértices y 30 rists. Icosedro: 0 crs tringulres, que concurren cinco en cd vértice. Tiene 1 vértices y 30 rists. Tetredro Hexedro Octedro Dodecedro Icosedro POLIEDROS IRREGULARES. Son quellos poliedros formdos por uno o dos polígonos como se y como crs lterles prlelogrmos o triángulos, éstos pueden ser prisms o pirámides. Prisms. Los prisms son poliedros irregulres limitdos por dos polígonos igules y prlelos llmdos ses y por prlelogrmos como crs lterles. Los prisms pueden ser rectos u olicuos. Los prisms rectos son quellos cuys crs lterles son perpendiculres los plnos de ls ses y los prisms olicuos son quellos cuys crs lterles no son perpendiculres los plnos de ls ses. Los prisms se pueden clsificr de cuerdo l polígono que limit su se, éstos pueden ser: Prism tringulr (Es quel cuy se es un triángulo). Prism cudrngulr (Es quel cuy se es un cudrilátero). Prism pentgonl (Es quel cuy se es un pentágono). Prism hexgonl (Es quel cuy se es un hexágono). Etcéter. Dentro de los prisms cudrngulres están quellos cuys ses son prlelogrmos, los cules recien el nomre de prlelepípedos, por lo que existen: Prlelepípedos de se cudrd, llmdo cuo. Prlelepípedos de se rectngulr, llmdo ortoedro. Prlelepípedos de se roml. Prlelepípedos de se romoidl. Pirámides. Es un poliedro irregulr que tiene sólo un polígono como se y ls crs lterles son triángulos que tienen un vértice común, llmdo cúspide de l pirámide, l
ltur de l pirámide es l perpendiculr trzd del vértice l se, l potem es l ltur de los triángulos que formn ls crs lterles de l pirámide. Ls pirámides pueden ser regulres e irregulres, ls pirámides regulres son quells que tienen como se un polígono regulr y el pie de su ltur coincide con el centro de este polígono, ls crs lterles son triángulos isósceles igules. Ls pirámides irregulres son quells que tienen como se un polígono irregulr. Prism pentgonl Prism hexgonl Pirámide hexgonl Pirámide tringulr Pirámide cudrngulr truncd
Tetredro. Regulr. Hexedro. Octedro. Dodecedro. Icosedro. Poliedros. Prisms. Tringulr. Cudrngulr. Pentgonl. Hexgonl. Prlelepípedo. Cuo. Ortoedro. Roml. Romoidl. Etc. Irregulr. Pirámides. Tringulr. Cudrngulr. Pentgonl. Etc. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
ÁREA, VOLUMEN DE POLIEDROS Y DE OTRAS FIGURAS. Figur Esquem Áre Volumen Cilindro A totl = π r ( h + r ) V = π r h r Esfer A totl = 4π r V = 4 ( π )( r 3 ) 3 Cono A totl = π r + π r g V ( π )( r )( h) = 3 Cuo A = 6 V = 3 A totl = ( + c + c) V = c Prism A totl= (áre de l se) + áre lterl V= (áre de l se) (ltur) Pirámide ( perim. se)( p. lt) A = + áre. se ( áre. se)( h) V = 3