CPIULO cnco Control De Stea Lneale El objetvo de ete captulo e deotrar la etodología del control de odo delzante para tea lneale. Reducendo el tea de ecuacone de una ora regular, el cual e un pao prelnar en cualquer procedento de deño, el núcleo de la dea e uar lo étodo de la teoría de control para reducr el orden de la ecuacone epleando derente étodo para pleentar lo odo delzante con la dnáca deeada 5. lugar de egenvalore Cuando coenzao con lo convenconale problea de la teoría de control lneal: el lugar de lo egenvalore en un tea lneal ultdenonal nvarante en el tepo + Bu (5..) Donde u on vectore de etado control de denón n, repectvaente, B on atrce contante, donde el Rango(B), e aue que el tea puede er controlable. Para cualquer tea controlable ete una retroalentacón lneal uf(f ete coo una atrz contante) tal que lo egenvalore del tea del tea retroalentado, ej. Matrz +BF, toa lo valore deeado da coo reultado, la propedade dnáca deeada del tea. (Kwakernaak Svan, 97) Nótee que lo egenvalore pueden er reuelto ajutándoe al control de odo delzante tratándoe coo un tea de orden reducdo. Coo deotracón en la eccón 3.3 el tea llega a er ple para tea de ora regular. Dado que el rango(b), de la atrz B en (5.) puede er eparada (luego ordenando la coponente de lo vectore de etado) B B B donde B R (n-)n, B R - con det B la tranoracón coordnada no ngular (5..) I B B n B (5..3) reducendo el tea de ecuacone (5..) (5..) a la ora regular:
+ + + u (5..4) Donde R (n-), R - j on atrce contante para, j,. La controlabldad de (, B) para el par (, ) tabén e controlable (Utkn Young, 978) anejaron coo control nteredaro de -denón del prer ubtea controlable de (n-)-denón (5.4), todo (n-)-egenvalore pueden er agnado arbtraraente para una propa eleccón de la atrz C en -C para proveer la dependenca deeada entre la coponente del vector de etado, el odo delzante puede er pleentado en la varable C + (5..5) Donde (..., ) e la derenca entre lo valore deeado lo reale de, depué del epezar el odo delzante, el ovento e gobernado por un tea de orden reducdo con lo egenvalore deeado. ( + C) (5..6) Para una parte de control dcontnuo lneal. u ( α + δ ) gn( ) (α δ contante potva) (5..7) Con, n g ( ) [n g( )...n g( )] Calcular la dervada repecto al tepo de V V (( C + ) + ( C + ) ) ( α + δ) ( C + ) + ( C + ) ) ( α + δ ) E evdente que ete un α tal que, para cualquer δ, la dervada repecto al tepo V e negatva; Eto valda la convergenca del vector de etado para la varable en (5..5) la etenca del odo delzante con la dnáca deeada, el ntervalo de tepo ante del cabo delzable puede er ncreentado o decreentado con lo paráetro a d del control (5..7). Un reultado lar puede er obtendo en el tea con la guente undad de control (eccón 3.5): u ( α + δ ) ( ) (5..8) El cuál eperenta dcontnudade en la varable en contrate al control (5..7) con punto de dcontnudad en cada uperce (,...,). La dervada repecto al tepo de v para el tea (5..4)con el control (5..8) e de la ora
V ( C (( C + + ) ) + ( C + ( C + + ) ) ) ( α + δ ) ) ( α + δ ) De nuevo, para un α tal que V e negatva para cualquer δ para alcanzar el etado de la varable depué de un ntervalo de tepo nto. S el tea no e reducdo a la ora regular, el últplo C (C ete coo una atrz (n-)que pueden er elecconado en térno del tea orgnal (5..) baado en la aproacón de un étodo de control equvalente la condcone para la etenca de un odo delzante (eccón.3.4) auendo el odo delzante en que tene la propedade dnáca deeada la atrz CB no e ngular, entonce C + CBu Y la dervada repecto al tepo de la uncón de Lapunov V e de la ora V C + CBu S la atrz ( CB + ( CB) ) e denda potva, entonce el control e dcontnuo. u M ( ) gn( ) con M ( ) ( α + δ ) con a lo ucenteente alta pero nta un valor arbtraro de d llevan al odo delzante depué de un ntervalo de tepo nto (la deotracón e lar a uno de lo tea no lneale de la eccón 3.5) para una atrz arbtrara CB, el control puede er elecconado en conordad con el étodo de la eccón 3.: u U( ) gn( ) ( CB) la dervada repecto al tepo de la uncón de Lapunov elegda con U ( ) ( α + δ), V para el tea V ( ) ( CB) C ( α + δ ) ( CB) C ( α + δ ) S e denda negatva para una a la ucenteente alta una d arbtrara, eta ben. Fnalente, e ntereante notar que con undade de control no lneal, la etenca de una condcón de un odo delzante, puede er alcanzado por edo de crtero de etabldad algebraco pleentado para tea lneale, certaente, CB e una atrz de Hurwtz entonce la ecuacón de Lapunov ( CB) P + P ( CB) I tene una
olucón denda potva P>, la dervada repecto al tepo de la uncón de Lapunov elecconada V P>, en el tea con control u M( ) puede er encontrado coo V P + M ( ) P( C) P + M ( ) P M ( ) P( CB) + ( CB) P S la uncón M ( ) ( α + δ ) entonce V e negatva el odo delzante ocurre depué de un ntervalo de tepo nto (eccón 3.5). 5. tea nvarante Uno de lo ucho objetvo de lo deño de tea de control retroalentado e reducr la enbldad con repecto a lo dturbo la varacone de paráetro de la planta coo e ve en la eccón 3.4, lo odo delzante en cualquer últplo on nvarante a eto actore a que eto actúan atacendo la condcone en un epaco de control (3.4.4) (3.4.5). para tea lneale ( + ( ) + Bu + Q ( ( R (5..) La condcone de nvaranca etán orulada en un tea de térno atrce de entrada(drazenovc, 969): lo odo delzante en cualquer últplo on nvarante repecto a la varacón de paráetro ( el vector de perturbacón ( en el cao de que rango (B) Q rango (B) o eten atrce L LQ (contante o varante en el tepo)tal que BΛ Q BΛ Q la condcone (5..) e antenen, la ora regular (5..) e lar a (5..4) + + + u + Λ + Λ Q ( uendo que la varacone de lo paráetro de la planta un obrealto del vector de perturbacón Λ ( t ) o on conocda, pueden hacere con un últplo Q delzante en el tea con control (5..7) bajo la condcone adconale δ o (5..3) una lar aproacón puede er aplcada para deacoplar tea nterconectado + l j j j j + B u (,..., l)
n Donde R, u R Y, jy B Son atrce contante Lo térno de nterconeón pueden er anejado coo perturbacone la condcone nvarable puede er reorulada para cada ubtea rango B ). Control dcontnuo en cada tea. u C ( α + δ C,,..., l con tan te, ) gn( ), R Con valore de α Lo ucenteente alto pero nto orzao el odo delzante en la varable gobernado por una ecuacón de orden (n ) la cual no depende del etado de lo otro ubtea, la dnáca de cada ubtea puede er deñada con una propa eleccón de atrce C en la ecuacón de la varable delzante. 5.3 copenadore dnáco en odo delzante El valor de δ puede eceder el valor etado del vector de perturbacón (5..3) en odo dcontnuo (5..7) deñando para rechazar perturbacone, para aortguar la accón de control, eto puede er deeable para la apltud del control del odo delzante í la agntud de la [perturbacón decrece. Noralente la perturbacone no e poble edrla, el cual e el prncpal obtáculo para deñar un tea de control con la propedade enconada. No obtante, e orulado, la tarea e reoluble preerbleente con Fuzz con nocone preva de la clae de perturbacón dponble. S teneo la perturbacón en la ecuacón de ovento (5..) con atace la condcón de nvaranca (5..) dejao a Q coo una atrz contante. Entonce el tea puede er repreentado en la ora regular. + (5.3.) + + u + Λ θ ( Y la ecuacón de odo delzante en el últplo C+ (5..6), no depende del vector de perturbacón. uendo que lo coponente del vector ( no pueden er edda un odelo de perturbacón e toado en la ora de un tea dnáco lneal varante en el tepo. k ( k) ( ) + θ ( t ) (5.3.) Lo coecente ecalare θ ( Pueden varar arbtraraente alrededor de certo ntervalo. θ ( t ϑ (5.3.3) S auo que nnguna condcón ncal n tapoco uncone θ ( Son enurable olo lo rango ϑ on conocdo. La ecuacón (5..3) encerra una apla varedad de clae de perturbacone. Para k etán ncluen uncone eponencale arónca, polnoo de cualquer potenca nta(coenzando dede un certo tepo), todo lo producto de ea uncone, etc. El controlador eta deñando coo un tea dnáco con control u coo una alda. j (
k + ( k) ( ) u d u v (5.3.4) Donde d on coecente ecalare contante cua eleccón eta dctada olo por la convenenca de la pleentacon. La entrada v puede er elecconada coo parte de la uncón lneal del controlador el tea de etado. Cada control del tea tene un eleento de k-eo orden dnáco, el orden total del tea e gual a n+k. El etado coordenado del tea dnáco adconal puede er eddo. Perténdono ecrbr la ecuacone de ovento del tea etenddo en el epaco contendo ete de,,, k+, + (,..., k + ) (5.3.5) Dado que 3 deducendo de la egunda ecuacón (5.3.) que u ΛQ (5.3.6) Derencando (5.3.6) k vece ubttuendo en el lado derecho de (5.3.), (5.3.5) (5.3.6) dervada repecto al tepo u, obteneo ( ) + u + Λ (,..., k ) (5.3.7) ( k) + 3 j k + j j Q ( ) u + Λ (5.3.8) Donde k+ j j k j j Q ( k ) k j Son atrce contante. Por ubttucón de lo valore de la ( ) dervada u de (5.3.7) (5.3.8) en (5.3.4) reeplazando la k-ea dervada del vector de perturbacón en conordad con (5.3.) por una cobnacón lneal de vectore,..., k- obteneo k+ k ( ) k+ + 3 + + ( d θ ( ) ΛQ + v (5.3.9) o donde on atrce contante enendo en ente que lo vectore () Q la ora (5.3.7), la ecuacón (5.3.9) puede repreentare coo k + k Λ (,...,k-)pueden er calculado de ( ) k + ( + ( d θ ( ) u + v (5.3.) o Donde ( on atrce dependente de θ (, ubecuenteente del tepo. anotacón de ntroduccón () k [ ], [... ],, u [ u u...( u ) ] k ( d θ ( ) u θ ( t ) u θ [( d θ ( ) ( )...( d θ k k+ ( )] k+ ecrbendo la prera ecuacón en (5.3.), en la ecuacón (5.3.5) la ecuacón (5.3.) coo
d + dt (5.3.) d ( + ( + θ ( u + v dt Donde on atrce contante; ( t ), ( θ ( on atrce varante en el tepo con eleento dendo donde lo coecente de θ ( en la ecuacón (5.3.3) etán tabén dendo. El tea (5.3.) eta en ora regular controlado por coo un control nteredaro en el prer bloque, la dnáca deeada puede er agnada con una propa eleccón de la atrz C en C. entonce guendo la etodología de la eccón 3.3, el odo delzante e orzado en el últplo + C por edo del control v α ( + + u ) + δ )n g( ) (5.3.) ( por upueto la dervada repecto al tepo de la uncón de Lapunov aprante V V (( C + ) + ( C + ) + θ u ) ( α ( + + u ) + δ ) E negatvo para un ucenteente alto, pero nto valor de α cualquer δ. depué de un ntervalo nto de tepo, el odo delzante controlado por d ( C) (5.3.3) dt Puede paar con la deeada dnáca propedade de nvaranca con repecto a la perturbacone. El objetvo del deño ue decreentar la agntud del control con el decrecento de la perturbacone n edcón de la a. Ete e el cao para nuetro tea: en la olucón para (5..3), ( ) ( ) tenden a cero, la uncón () u tende a () t t () Λ Q (5.3.7) dado que u,...,(k-) on coponente del vector u, el control v (5.3.) decrece con la perturbacone. La alda del tea dnáco adconal u e una uncón contnua tende a, el cual goberna el rechazo de la perturbacón. Λ Q En tea reale, recuenteente no e necearo ntroducr un tea dnáco adconal; eta parte puede deepeñare con lo actuadore que tenen alda coúnente edble, entonce, el control deñando e para la entrada del actuador u agntud depende de la perturbacone u dervada. Ejeplo 5. El étodo de rechazo de perturbacone puede er lutrado con un tea de egundo orden done la planta el actuador on ntegradore (Fg. 5.), una perturbacón eterna ( e aplcada a la planta no e acceble para er edda. El control u eta deñando coo una parte de la uncón lneal del valor regulado que puede er reducdo a cero pero tabén la alda del actuador. entonce el coportaento de la planta eta gobernado por de prero egundo orden, repectvaente: u v (5.3.4)
Fgura 5. copenador dnáco de odo delzante en un tea de egundo orden elecconando el control para el tea (5.3.4) en ora lar a (5.3.) v ( α ( + β u ) + δ ) gn( ), + C Con α, β c> endo coecente contante. el control puede er ecrto coo v ψ ψ u δgn() donde ψ αgn( ) ψ u u βgn( u) el tea (5.3.4) eta controlado en parte por ecuacone derencale lneale ψ ψ δgn( ) + ψ u u + í ue vto para un tea lar de egundo orden n perturbacone en l eccón. (con ( ),lo coecente de control pueden er elegdo tal que el etado ea alcanzando la conutacón de línea. Y el odo delzante e orzado a alcanzar cada punto de eta línea, depué de un ntervalo nto de tepo, el etado tende a cero en odo delzante con la ecuacón de ovento + c. Lo plano de etado de do etructura lneale netable del tea e uetran en la gura.9 el plano de etado del tea antotcaente etable con etructura varable e uetra en la gura., (, on punto ngulare( ) para cada una de la cuatro etructura lneale, correpondente a la cuatro cobnacone de ±α ±β on deplazada de la orgnal. La agntude gno de lo deplazaento dependen de lo coecente α, β la perturbacone (. La gura 5. uetra en ora eparada a la derecha a la zquerda de lo eplano del tea del plano de etado para el área ( ), donde ng(u)-ng(() por vrtud de la ecuacón de planta. Lo t actuadore de prer orden toan parte en el tea dnáco adconal (53.4), de eta anera la perturbacón ( e auda para atacer la condcone de (5.3.) para k ; θ ( ) θ ( t ) β El plano de etado uetra que lo punto ngulare on recorrda la traectora de etado en vecndad con la línea conutada van drectaente haca el odo
delzante que e preenta en el tea. Fgura 5. el plano de etado (a) eplano derecho (b) eplano zquerdo. a a concluón e llega analítcaente, dado que ng(u)-ng((), el terno en la ecuacón de ovento e gual a β gn() para lo punto -c en la línea conutada c + ψ ψ ) δgn( ) β gn( ) + ( u Lo valore de tenen gno opueto, o la condcone (.4.)para que el odo delzante pueda antenere debe etr α. > c + β un valor arbtraro δ potvo. Eto caba el gno en el terno prncpal hablta una retroalentacón local para rechazar perturbacone no enurable. Etrctaente hablando, la curva de la gura 5. no on traectora de etado porque la perturbacone hacen que el tea varíe en el tepo, cada curva puede etare por el lugar de lo punto para el cual, en cada tepo jo, la tangente de la curva concde con el vector de velocdad de etado. 5.4 Forula de ckerann La Forula de ckerann para etado lneale retroalentado no perten deternar en ora eplícta la le de control ecalar aí puede er obtendo un tea con lo egenvalore deeado ( ckerann 99) u trabajo lar ere cuando e deña el control con odo delzante en tea lneale con dcontnudade lneale de uperce donde la ecuacón de odo delzante correpondente e lneal depende de lo coecente de la ecuacón de uperce. la tradconal etodología para el deño del control con odo delzante plca tranoracone del tea lneal a la ora regular (eccón 5.) conte en do bloque anejando el vector de etado En uno de lo bloque coo un control ctco. En eta eccón el étodo de deño del control ecalar de odo delzante decana orula de ckerann que eta orentada a obtener una ecuacón del plano dcontnua en ora eplícta tan ben coo en térno del tea orgnal, n tranorar en una ora regular (ckerann Utkn, 998). Para la operacón de una planta lneal bajo condcone de ncertdubre, el control por odo delzante uerza a controlar lo ovento con una ecuacón lneal con lo deeado lugare de egenvalore e ndependenteente de la perturbacone. Conderando el tea controlable decrto por la ecuacón derencal ψ u
+ b( u + (, ) (5.4.) Donde e un vector de etado de n-denon, u e el control ecalar, b on una atrz vector conocdo, (, e una perturbacón no lneal con obrealto uperor conocdo (, < (,. De (5.4.) donde lo vectore de control de perturbacón (bu b) on colneale, aí que la condcón de nvaranca (5..) e cuplda; Conecuenteente el odo delzante en cualquer plano e nvarante repecto a la perturbacone. El deño del odo de control delzante en (5.4.) plca la eleccón de un plano c ( c e una contante de un vector la n-denonal por conguente el deño del odo de control uerza a. la ecuacón de odo delzante del orden (n-) n depende de la perturbacone. La propedade dnáca deeada pueden er condconada por una correcta eleccón de el vector c. tradconalente, la ecuacón de odo delzante e preraente deducda entonce lo étodo convenconale de la teoría lneal e aplcada. El propóto de eta eccón e coo uar la orula de ckerann, el vector c puede er hallado en ora eplícta n la ecuacón de ovento delzante. tan lejano coo la tarea concernente al lugar de egenvalore, lo deeado egenvalore λ, λ..., λn del tea lneal + bu puede er agnada uando la orula de ckerann (ckerann 99): u k k a e P( ) donde e [...][ b b...... n b ] (5.4.) P( λ ) ( λ λ)( λ λ)...( λ λn )( λ λn) Suponendo ahora que lo valore reale lo pare conjugado coplejo de λ, λ..., λ n on lo egenvalore deeado del odo delzante. teorea 5. c e P ( ) (5.4.3) n n con P ( λ ) ( λ λ)( λ λ )...( λ λn ) p + pλ +... + p n λ + λ Donde λ, λ..., λ n on lo egenvalore del odo delzante en el plano c. deotracón de acuerdo a la orula de ckerann (5.4.) bk, con n derecho de correpondente a c c dado que λ...,, λ λn on egenvalore de la atrz, λ coenzando en un valor arbtraro, el vector c e el egenvector c be P( ) λ n, eectvaente, coo en (5.4.) (5.4.3),
c b e [ P ( ) b... ][ b b P( ) P ( )( λ I), de eta anera c c c n ( P )( λ n I )... n b] [ b b... n b][ p la cuale e reduce con (5.4.3) a c λ c (5.4.5) n p... ] (5.4.4) el tea ( bk ) + b( u u + (, ) E ahora tranorado a c adecuando a el ulto etado el prer n- etado [... n ] peranecendo nvarante. Ej. I c Para que ea nvertble él ulto coponente de c debe er derente de cero, pueto que e aí, la condcón puede er atecha, reordenando la coponente del vector de etado. bajo condcone (5.4.4.) (5.4.5), el tea tranorado e + a + b ( u ua + (, ) (5.4.6) λn + u ua + (, (5.4.7) donde a ( bk ) λn b b El epectro de la atrz conte de lo deeado egenvalore. λ, λ..., λ n. Para deducr la ecuacón de odo delzante en el plano, la olucón a la ecuacón algebraca con repecto a u puede er ubttuda en (5.4.6). reultando en (5.4.8) Con la dnáca deeada, ndependenteente de la perturbacone deconocda (,. El reultado tene una nterpretacón geoétrca tranparente. El vector c e un egenvector derecho de correpondente a lo egenvalore λ n. Eto gnca que el plano c e un ubepaco nvarante de con el ovento deternado por el conjunto prevaente elecconado de (n-) egenvalore λ, λ..., λ n el odo delzante e orzado al plano c el cual deplega la deeada dnáca. Note que el deño del plano c no plca la agnacón de lo egenvalore λ n ; olo aparece en la coprobacón del teorea puede hacere con valore arbtraro El control dcontnuo u eta deñando para orzar el odo delzante en el plano. Eto plca que la condcone (.4.) deben er atecha, ej. lo valore de deben tener derente gno en la vecndad del plano: c + u + (, (5.4.9) u M (, gn( )
donde M (, e elecconado tal que M (, > C + (, S el control puede toar olo do valore etreo + M o M (lo cual e coún en la aplcacone)entonce (5.4.9) con M (, M uerza a un odo delzante en el plano controlado por (5.4.8) e lo adecuado, por upueto, el dono o condcón ncal la perturbacone pueden er dendo. Ejeplo 5. teneo λ- eten lo egenvalore deeado del ovento delzante para el tea de egundo orden + b( u + (, ) donde conore a (5.4.3) c [ ][ b b ] P ( ) P ( ) + I c [ ] la ecuacón delzante de uperce e de la ora (note que c b ) + por el étodo de control equvalente, la olucón del tea, con repecto a u u eq (,, pueden er ubttudo en el tea orgnal para obtener la ecuacón de ovento delzante El odo delzante eta deternado por lo egenvalore λ- no depende de la perturbacone de (,. El procedento de deño baado en la Forula de ckerann eta reudo coo gue:. El epectro deeado del ovento delzante λ, λ..., λ n e elecconado.. La ecuacón del plano de dcontnudad c e encuentra coo c e ( λi )( λi )...( λni ) 3. El control dcontnuo (5.4.9) e deñando. Obervacón 5. De (5.4.9) el odo delzante puede er orzado en un tea pable por u ( α + δ ) gn( ) con alguno núero de nto potvo de α cualquer potvo δ, el control e reduce en el tea con odo delzante etable antotcaente. 5.4. ulacón de reultado
El procedento de deño puede er deotrado para etablzacón por odo delzante de un péndulo nvertdo (gura 5.3) ubordnado a una crcuncrpcón con una uerza de perturbacón deconocda. la lnealzacon de la ecuacone de ovento tenen la guente ora (Kortü Lugner, 994): + b( u + (, ) donde b α a3 b3 a4 b4 α gura 5.3 péndulo nvertdo con tea de carrllo a a b 3 4 3 3( C ga ) / a(4m 3(4M 4 /(4M t t + )( C ga ) / a + ) t + ) (4M t + ) b4 3 /( 4M t + ) M Y on la aa de la carretlla el péndulo, a e la longtud del péndulo, C la t retenca de reorte, g 9.8, u ( on el control la uerza de perturbacón, ( contante e aue que e conocda. El odo de control delzante e deñando para M t 5,,, a, c, con λ, λ, λ3 3 on lo egenvalore deeado para el ovento delzante, de acuerdo a (5.4.3) la ecuacón del plano de dcontnudad c 3 c [ ][ b b b b] ( + I)( a + I)( + 3I ) I e una atrz dentdad para lo valore dado de lo paráetro de la atrce B c [ 4.77 48.4 8.75 8.7] el control aue que e toan olo do valore etreol: u M gn ) M con tan te (
de lo anterore etudo, para cualquer M >, donde ha un dono de condcone ncale tal que el odo delzante e orzado en el plano, el ejeplo de odo de control delzante de la ulacón tene M 4 ( n( 3,.5 La gura 5.4 uetra el proceo de etablzacón para la condcone ncale ( ).5, α ()., (), α () El odo delzante ocurre depué de n ntervalo nto de tepo en lo ucevo aba coordenada α no dependen de la varacone de la perturbacone tepo-varable, ella tenden a cero, el tea n retroalentacón e netable el control eta dendo, de eta anera el ovento puede llegar a er netable cuando la condcone ncale e ncreentan. El tea e aun etable para α.38 (gura 5.5) e netable para α.39(gura 5.6).
Fgura 5.4 Modo de control delzante de un péndulo nvertdo ().5, α()..
Fgura 5.5 Modo de control delzante de un péndulo nvertdo α().38.
Fgura 5.6 Modo de control delzante de un péndulo nvertdo α().39.
Fgura 5.7 Modo de control delzante de un péndulo nvertdo, tea perturbable con agntud de control de etado dependente Coo e eplco en el coentaro 5. el odo delzante puede er orzado en un tea perturbable (() para condcone arbtrara ncale coo parte del control lneal u β ( + + α + α + δ ) gn( ) Donde β δ on valore potvo valore nto de β valor arbtraro de δ. El reultado de la ulacón con β 3, δ, (), ( ), α(), α ( ) e uetran en la gura 5.7. bo el vector de etado el de control tenden a cero en odo delzante. 5.5 Salda retroalentada en odo de control delzante La pleentacon del étodo dearrollado en la eccón preva plca que todo lo coponente del vector d etado deben er edble, n ebargo, eto no e poble en tuacone practca, do aproacone pueden er etudada para eto cao. El prer étodo e el deño de lo obervadore del etado para etablecer el vector del etado uando la edcone dponble de alguno etado. Y el egundo étodo e
dervar una clae de tea tal que la tarea del control puede er reuelta deñando un controlador retroalentado de alda etátca. La egunda aproacón al deño del odo de control delzante bajo noracón ncopleta obre lo etado del tea e etuda en eta eccón. Lo étodo de deño del obervador e etudan en el capítulo 6. auo para el tea + Bu (5,5,) C (5,5,) con el vector de la alda de l-denón () El par (, B) e controlable el par (, C) e el obervable () El rango B el rango de C () l > El tea (5.5.), (5,5,) e decrto coo alda polo-agnable lo egenvalore de la atrz + BLC, o un tea retroalentado con control lneal u L (L e una contante de la atrz ) toa cualquer valor deeado. La clae de tale tea lneale puede er encontrada de acuerdo con el reultado ben conocdo de Kura (975). eorea 5. el tea (5,5,), (5,5,) e controlable obervable atace la relacón n < + - (5.5.3) Entonce ete polo-agnable por gananca en la retroalentacón de la alda. El eorea erá utlzado luego para la agnacón de polo en tea con control de odo delzante. Ete una tranoracón no ngular de coordenada que reduce el tea a la ora regular (véae tabén la eccón 3,3): o + u I (5,5,4) Donde el par, ) e controlable. La ecuacón (5,5,) e tranorada en ( l( n ) [ C C ] C + C ( C R, C R ) C e una atrz con rango copleto, entonce puede er repreentada en la ora guente ( Reordenando lo coponente del vector e necearo): C ( l ) C ( R, R ), det( ) C C C C para una atrz no ngular
P I l C( C ) ( C) C p [ PC PC ] C I, C C on atrce contante el terno perutado del odo de control delzante e dendo coo C F [ F I ] ( F C + C ) + C + l n( l ) Donde F R, F R. el control de entrada e elecconado coo una uncón dcontnua de la alda u K gn ) K dag[ k k L k ] ( La gananca de control k on elegda coo k > [ L ] (( FC + C ) + ) + (( F C + C ) lo cual gnca que la dervada repecto al tepo e la uncón de Lapunov canddata. V, V K gn( ) < eta denda negatva el odo delzante puede er orzado depué de un ntervalo de tepo nto en odo delzante ( FC + C) (5.5.5) ubttuendo (5.5.5) en (5.5.4) teneo ( C) + υ (5.5.6) donde υ F C + C) F R e tratada coo una entrada de control el tea orgnal (5.5.),(5.5.) en odo delzante on replazado para reducr el orden del tea (5.5.6) : υ ( ) + (5.5.7) C (5.5.8) Donde ( C ); el par (, ) e controlable debdo a la controlabldad del par (, )(Utkng Young, 978). hora teneo el arreglo con un polo agnado para un tea controlable de orden reducdo con denón (l-) del vector de alda, La condcón de Kura (teorea 5.) puede reorulare para el lugar de lo egenvalore del tea (5.5.7), (5.5.8). teorea 5,3 el tea orgnal (5.5.), (5.5.), e controlable, el tea (5.5.7), (5.5.8), e obervable atace la relacón ( n ) ( l ) + rango( ) (5.5.9) í el polo agnado por la gananca de alda retroalentada. Bajo la condcón (5.5.9.) + )
ete la atrz F tal que lo valore propo de la ecuacón de odo delzante ) ( F C (5.5.) oando lo valore deeado. Dede, la condcón (5,5,9) + n gnca el Stea orgnal (5.5.), (5.5.) e para agnar polo, por edo de la retroalentacón de la gananca de alda el tea del orden reducdo (5.5.7), (5.5.8) e polo-agnable. S el par ), ( C no e obervable, el o procedento e aplcable a la parte obervable de. El tea nobervable (5.5.7), (5.5.8) puede er preentado en la ora guente (Kwakernaak, 97): C + υ Con un par obervable. entonce el ubtea uperor e polo-agnable e atace la condcón (5,5,9), entra lo valore propo del ubtea á bajo Son. De puede er cabado n condcone. Obervacón 5. El étodo antedcho de la colocacón del valor propo e aplcable para lo tea con paráetro de planta varacone dturbo (5,,): C Q Bu + + ) ( S la condcone de nvaranca (5,,) e antenen entonce el ovento del odo delzante no depende de nnguno de lo do o ( e gobernado por la ecuacón (5,5,). Ejeplo 5.3 Suponendo Que el tea orgnal e polo-agnable, pero el odo de control delzante no e polo-agnable. + 4 3 u u 3), 4, ( 4 3 3 l n Ete tea e controlable obervable. la condcón (5.5.9) e atecha, el terno perutado e deñando coo 3 edante lo paráetro a er elecconado
el tea de orden reducdo e [ ] + υ ete tea e controlable obervable tabén pero la condcone (5.5.9) no e atace, debdo a + > l n rango Lo que hace poble colocar polo arbtraraente. ubttuendo ), ( F υ en (5.5.) obteneo Dado que un paráetro e lbre, olo un polo puede er colocado arbtraraente. ejeplo 5.4 Suponendo abo el tea orgnal el tea de control de odo delzante e polo-agnable. + 4 3 u u 3), 4, ( 4 3 3 l n Ete tea e controlable obervable. la condcón (5.5.9) e atecha, el terno perutado e deñando coo 3 el tea de orden reducdo e [ ] + υ E controlable obervable, atace la condcón (5,5,9) por lo tanto e polo-agnable.
De hecho cualquer valor propo del tea con control υ F, ) ( + Puede er agnado por una opcón apropada de lo coecente. 5.6 control de tea varante en el tepo Deñar la dnáca deeada de lo tea de control tepo-varante e conderableente la tarea a coplcada en el deño de lo tea de control con paráetro contante, entonce la propedade de lo tea tepo-varante no pueden er nterpretado en térno de u valore propo. El deacoplaento del tea de ovento en ovento de una denón á baja perte a uno plcar el deño del control.. Segureo el prncpo upueto de bloque de control (Drakunov et al., 99) para reducr el problea orgnal de deño a un conjunto de problea ndependente con denone á baja. En un tea tepo-varante ( + B( u R, u R, rango( B) (5,6,) con lo eleento de ( de B( dendo con dervada repecto al tepo lar a (5..) (5..), e aue que la atrz B( puede er repreentada en la ora B( B( det( B ( ) para cualquer t B( la tranoracón coordenada no ngular B + u + B I n B B, B (5,6,) reducendo el tea de ecuacone (5,6,) a la ora regular que conte en do bloque: + + + u (5,6,3) ( n ) Donde R, R j on atrce tepo-varante (,j,). El vector de etado del egundo bloque en (5,6,3) e para anpular el control del prer bloque ; e debe elecconar en uncón del vector de etado, para orar la dnáca deeada del prer bloque. ltareo nuetra opcón a uncone lneare con gananca tepo-varante ( n ) C( C( R (5,6,4) oldeando la dnáca deeada del tea. ( C) De acuerdo con un certo crtero del unconaento, eto e reduce a deñar el tea lneal tepo-varante de orden (n - ) con la atrz de retroalentacón C(. Eta tarea e á ácl que la tarea orgnal de orden n con el control u que e una uncón lneal de un
vector de etado copleto [ ] e encuentra la atrz C(, entonce control dcontnuo que hace cuplr el odo delzante en el últplo con + C (,,..., ) ( (5.6.5) Puede er deñado. La ecuacón de la proeccón de ovento en el ubepaco en el tea con control u α ( + ) + δ )n( ) ( de la ora ( C + + C ) + ( C + ) ( α ( + ) + δ )n g ( ) Donde α δ on contante potva. El coecente α puede er encontrado tal coo cualequer δ potvo 5, la condcone (.4.) e antenen para cualquer uncón. Entonce el odo delzante ete en cada plano u ntereccón. unque el deño de la dnáca deeada en odo delzante e á ácl que para el orgnal tea, no ocupao de un tea tepo-varante lo étodo epecale que e deben eplear para la etablzacón. Dcutreo uno de ello dando por reultado tea tepo-varable etable eponencalente La dea del procedento de deño procedento e toar prero el tea en (5.6.3) con control nteredo deacoplado en do ubtea, larente para aplcar la tranoracón (5.6.) del orgnal tea. n el rango de entonce el prer tea en (5.6.3) puede er tranorado en ' ' + ' + donde ' + I n R B B n B, R B B det( B ) (5.6.6) (5.6.7) El vector en el prer ubtea de (5.6.7) e anejado coo control auo que el rango de n. entonce para cualquer atrz ( t ) (5.6.8) C( (5.6.9) Donde C ( ) + ( - ) con ( ) + coenzando por la eudonvera de, ej. ( ) + I n- + C( (5.6.) ende a cero. para la ecuacón de e derva de (5.6.6), (5.6.9): S + S + Con atrce S S dependendo de lo eleento de (5.6.6), (5.6.9) u dervada repecto al tepo. para cualquer atrz ( ) t
(5.6.) S S (5.6.) dado que lo vectore,,, e correlaconan con tranoracone no ngulare (5.6.7) (5.6.9), la ecuacón (5.6.) puede er preentada coo C( (5.6.3) Con C( dependente de la atrce B del tea orgnal (5.6.), u dervada repecto al tepo la atrce. la condcón (5,6,3) e antene el control u (5.6.) e deña una uncón dcontnua por orzar el etado del odo delzante en el últplo + C( el procedento de deño de control anteror u α ( + ) + δ )n( ) ( E aplcable para eta tarea. Depué del que el odo delzante en ocurre, la condcone (5.6.) (5.6.3) puede er controlada por una ecuacón autónoa (5.6.) Coo gue de la prera ecuacón de (5,6,6) (5,6,8) hata (5,6,), ' ' + (5,6,4) la dnáca del tea en odo delzante eta deternado por la ecuacone derencale (5,6,) (5,6,4), o por la atrce que e pueden elecconar por el deñador. Por ejeplo, pueden er agnada contante con epectro tale que proveen la convergenca eponencal en la relacón deeada. La Generalzacón del étodo de deño para lo cao en que el rango de rango ( ) < el rango ( ) < n e pueden encontrar en Drakunov et el al. (99). Drakunov et el al. Muetran que la etabldad eponencal del odo delzante e puede proporconar para tea tepo-varable controlable.
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