2 Descripción de Datos Univariados.

Transcripción

1 Descrpcón de Datos Unvarados.. Meddas de Tendenca Central. El análss estadístco propaente dcho, parte de la búsqueda de paráetros sobre los cuales pueda recaer la representacón de toda la noracón. Las eddas de tendenca central, llaadas así porque perten descrbr a un grupo en su totaldad a través de un núero que sea el proedo o típco en un conjunto de datos, tenden a localzarse en el centro de la noracón, son de gran portanca en el anejo de las técncas estadístcas, sn ebargo, su nterpretacón no debe hacerse asladaente de las eddas de dspersón, ya que la representabldad de ellas está asocada con el grado de concentracón de la noracón... Moda. Dencón. La Moda (M o ) es el valor de la varable que ás veces se repte y, en consecuenca, en una dstrbucón de recuencas, es el valor de la varable que vene aectado por la áxa recuenca de la dstrbucón. S exsten dos odas, la dstrbucón se denona bodal ; con tres odas, trodal, etc.... Dstrbucones de recuenca sple: Ejeplo: Las sguentes tablas nos uestran el preco de derentes vajes a Londres y el núero de vajes venddos por dos agencas de vajes dstntas, durante los eses de verano del últo año. x n y n PRECIO º VIAJES PRECIO º VIAJES Dstrbucón unodal Dstrbucón bodal M o = ptas. Mayor n = 3 M o = ptas. Mayor n = 0 M o = ptas. Precos ás recuentes... Dstrbucones de recuenca agrupada. S la dstrbucón está agrupada en ntervalos de clase, optaos por las expresones que a contnuacón se exponen para calcular la Moda (M o ): donde: Mo = L + * + L : Líte neror real del ntervalo odal. : Frecuenca del ntervalo odal. -: Frecuenca del ntervalo anteror al ntervalo odal. +: Frecuenca del ntervalo posteror al ntervalo odal. w: Ancho del ntervalo que contene a la edana * w

2 .. Medana. Dencón. Es el valor que ocupa el lugar central de la dstrbucón, cuando los valores de la varable están ordenados en sentdo crecente o decrecente.... Dstrbucones de recuenca sple: a) S la dstrbucón tene un núero par de valores, la Medana (M e ) es el valor central. b) S la dstrbucón tene un núero par de valores, habrá dos valores centrales y la Medana (M e ) será la eda artétca entre ellos. Ejeplo: Teneos las edades de dos grupos de jóvenes que han realzado actvdades de alpnso durante una seana de vacacones. Calcular la MEDIAA de cada grupo. GRUPO : Edad edana: M e = 4 años (úero par de valores; valores ordenados) + 4 GRUPO : Edad edana: M e = = 3 años (úero par de valores; valores ordenados) Ejeplo: A) Edades de un grupo de jóvenes que han realzado B) Edades de un grupo de jóvenes que han realzado un curso de Un curso para aprender a ontar a caballo. Introduccón al buceo. x n y n / = 0/ = 5 5 / = 0/ = 5 8 Edad edana: M e = años 3 7 Edad edana: M e = ( + 3)/ = años Dstrbucones de recuenca agrupada: Se calcula /. El resultado se busca en la coluna de recuencas acuuladas para saber a qué ntervalo corresponde. Una vez elegdo el ntervalo donde se encuentra la Medana (M e ), la sguente órula nos dará el valor concreto de la sa: ( / ) ac Md = L + * w donde: L= Líte neror real del ntervalo que contene la edana. = úero de eleentos. ac= Frecuenca acuulada hasta el ntervalo anteror al que contene a la edana. = Frecuenca del ntervalo que contene a la edana w= Ancho del ntervalo que contene a la edana..3 Meda artétca sple La eda artétca es el proedo ás utlzado y se dene coo la sua de todos los valores de la dstrbucón dvdda por el núero total de datos. Se sbolza por x ~ y para:

3 Dstrbucones de recuenca sple vene dada por la órula: x * ( x ) = Dstrbucones de recuenca agrupada, la órula será: ~ x = Donde : x Valor de cada eleento de la dstrbucón de recuenca sple o punto edo en las dstrbucones de recuenca agrupada ( x ) Frecuenca de cada ntervalo en las dstrbucones de recuenca agrupada. : Total de valores en la dstrbucón. Ventajas e Inconvenentes ~ x = Coo ventajas podeos ctar las tres que se exgen a una edda de síntess: Consderacón de todos los valores de la dstrbucón. Ser calculable Ser únca. El nconvenente undaental se debe a la exstenca de dstrbucones con valores extreos uy elevados; estos valores le aectan ucho a la eda, lo cual puede llevar a una dstorsón en la nterpretacón de los resultados, hacéndola en estos casos- poco representatva. o obstante, la eda artétca, coo edda de poscón, suele ser la ás adecuada para el resuen estadístco. x 3

4 . Meddas de Poscón (Percentles) Las eddas de poscón son paráetros posconales uy útles en la nterpretacón porcentual de la noracón... Cuartles. Las cuartllas o cuartles son valores posconales que dvden la noracón en cuatro partes guales, el prer cuartl deja el 5% de la noracón por debajo de él, y el 75% por enca, el segundo cuartl, al gual que la edana, dvde la noracón en dos partes guales, y por últo el tercer cuartl deja el 75% por debajo de sí, y el 5% por enca. Grácaente: Se necesta, entonces calcular tres cuartllas ya que la cuarta queda autoátcaente deternada. kn a Q = L + 4 k * w donde: k : Orden del cuartl k =,,3 L: Líte neror real del ntervalo que contene el cuartl a: Frecuenca acuulada hasta el ntervalo anteror al que contene el cuartl : Frecuenca del ntervalo que contene el cuartl n : úero de observacones w : Apltud de los ntervalos Ejeplo: Resstenca de 00 Baldosas de la Fabrca "De Las Casas" Kg/C X F a

5 .. Quntles. Los quntles o quntllas dvden la noracón en cnco partes guales, agrupándolas en porcentajes de 0, 40, 60, y 80 por cento, en consecuenca debeos calcular cuatro paráetros: Grácaente: Q k kn a 5 = L + * w, k =,,3,4..3 Decles. Slarente, los decles o decllas dvden la noracón en dez partes guales, en cantdades porcentuales de 0 en 0. kn a 0 Q k = L + * w, k =,,3,...,9..4 Centles. Obvaente los centles dvden la noracón en 00 partes, lo cual aclta la nterpretacón porcentual de una dstrbucón de recuencas. Q k kn a 00 = L + * w, k =,,3,...,99 5

6 ..5 Resuen. En general para calcular cualquer percentl: Donde: r: úero de partes en que se dvde la noracón k: Orden del percentl k =,,...,r- L: Líte neror del ntervalo que contene el percentl Fa: Frecuenca acuulada hasta el ntervalo anteror al que contene el percentl : Frecuenca del ntervalo que contene el percentl n: úero de observacones w: Apltud de los ntervalos Ejeplo: Q k kn a = L + r * w En nuestro ejercco, s el gerente de la abrca de baldosas desea orecer un garantía de resstenca ína. Basado en la uestra que se ha obtendo, s no quere replazar nnguna peza, lógcaente debe arar que el producto resste 00 o ás Kg/C. Pero s esta dspuesto a replazar el 5% de su produccón, entonces: 6

7 .3 Meddas de Dspersón. En el análss estadístco no basta el cálculo e nterpretacón de las eddas de tendenca central o de poscón, ya que, por ejeplo, cuando pretendeos representar toda una noracón con la eda artétca, no estaos sendo absolutaente eles a la realdad, pues suelen exstr datos extreos nerores y superores a la eda artétca, los cuales, en honor a la verdad, no están sendo ben representados por este paráetro. En dos noracones con gual eda artétca, no sgnca este hecho, que las dstrbucones sean exactaente guales, por lo tanto, debeos analzar el grado de hoogenedad entre sus datos. Por ejeplo, los valores 5, 50, 95 tene gual eda artétca, y edana que los valores 49, 50,5; sn ebargo, para la prera noracón la eda artétca, se encuentra uy alejada de los valores extreos 5 y 95, cosa que no ocurre con la segunda noracón que posee gual eda artétca y edana, veos entonces que la prera noracón es as heterogénea o dspersa que la segunda..3. Rango Es la edda de dspersón ás senclla ya que solo consdera los dos valores extreos de una coleccón de datos, sn ebargo, su ayor utlzacón está en el capo de la estadístca no paraétrca. R = Xax Xn Xax, Xn son el áxo y el íno valor de la varable X, respectvaente. Ejeplos: En el sguente conjunto de datos:,, 3,,, 6, 5, 4,, 4, 3; deternar el rango. Del sguente cuadro deternar el rango. x Frecuenca (x ) Desvacón Meda Es la suatora de la desvacón absoluta, entre cada puntaje y la eda de la dstrbucón, dvdda en el núero de puntajes x ~ x * ( x ) = DM = Ejeplos: Calcular la desvacón eda de la sguente lsta de valores:,, 3, 6, 7, 0, 5. Calcular la desvacón eda de la sguente lsta de valores: 0,, 3, 6, 7,, 6, 5. Calcular la desvacón eda de la sguente lsta de valores: 0,, 3, 6, 6,, 6, 5, 6, 7 7

8 .3.3 Varanza. El problea de los sgnos en la desvacón eda, es eluddo toando los valores absolutos de las derencas de los datos con respecto a la eda artétca. Ahora ben, la varanza obva los sgnos elevando las derencas al cuadrado, lo cual resulta ser ás elegante, aparte de que es supreaente útl en el ajuste de odelos estadístcos que generalente conllevan oras cuadrátcas. La varanza es uno de los paráetros ás portantes en estadístca paraétrca, se puede decr que, tenendo conocento de la varanza de una poblacón, se ha avanzado ucho en el conocento de la poblacón sa. uércaente denos la varanza, coo desvacón cuadrátca eda de los datos con respecto a la eda artétca: S = = ( x ~ x ) * ( x ).3.4 La desvacón típca o estándar La desvacón típca o estándar se dene coo la raíz cuadrada de la varanza y se utlza para regresar a su undad de edda orgnal de la varable. S = = ( x ~ x ) * ( x ) S = S Tabén se puede utlzar la ora drecta que es: S = = x * ( x ) ~ x.3.5 Coecente de Varabldad Generalente nteresa establecer coparacones de la dspersón, entre derentes uestras que posean dstntas agntudes o undades de edda. El coecente de varabldad tene en cuenta el valor de la eda artétca, para establecer un núero relatvo, que hace coparable el grado de dspersón entre dos o ás varables, y se dene coo: S CV = *00 ~ x 8

9 .4 Meddas de Fora. Sabeos cóo calcular valores alrededor de los cuales se dstrbuyen las observacones de una varable sobre una uestra y sabeos cóo calcular la dspersón que orecen los sos con respecto al valor central. os proponeos dar un paso ás allá en el análss de la varable. En prer lugar, nos vaos a plantear el saber s los datos se dstrbuyen de ora sétrca con respecto a un valor central, o s ben la gráca que representa la dstrbucón de recuencas es de una ora derente del lado derecho que del lado zquerdo. S la setría ha sdo deternada, podeos preguntarnos s la curva es ás o enos alargada (larga y estrecha). Este apuntaento habrá que edrlo coparado a certa dstrbucón de recuencas que consderaos noral (no por casualdad es éste el nobre que recbe la dstrbucón de reerenca)..4. Asetría. Para saber s una dstrbucón de recuencas es sétrca, hay que precsar con respecto a qué. Un buen canddato es la edana, ya que para varables contnuas, dvde al hstograa de recuencas en dos partes de gual área. Podeos basarnos en ella para, de ora natural, decr que una dstrbucón de recuencas es sétrca s el lado derecho de la gráca (a partr de la edana) es la agen por un espejo del lado zquerdo Asetría postva (haca la derecha): S las recuencas ás altas se encuentran en el lado zquerdo de la eda, entras que en derecho hay recuencas ás pequeñas (cola). Asetría negatva (haca la zquerda): Cuando la cola está en el lado zquerdo. Para edr el nvel de asetría se utlza el llaado Coecente de Asetría de Fsher, que vene dendo: 3 * ( x ) ( ~ * x x ) = As = 3 * ( )*( ~ x x x ) = 9

10 Los resultados pueden ser los sguentes: As = 0 (dstrbucón sétrca; exste la sa concentracón de valores a la derecha y a la zquerda de la eda) As > 0 (dstrbucón asétrca postva; exste ayor concentracón de valores a la derecha de la eda que a su zquerda) As < 0 (dstrbucón asétrca negatva; exste ayor concentracón de valores a la zquerda de la eda que a su derecha.4. Curtoss La curtoss de s los valores de la dstrbucón están ás o enos concentrados alrededor de los valores edos de la uestra. Se denen 3 tpos de dstrbucones según su grado de curtoss: Dstrbucón esocúrtca: presenta un grado de concentracón edo alrededor de los valores centrales de la varable (el so que presenta una dstrbucón noral). Dstrbucón leptocúrtca: presenta un elevado grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. Dstrbucón platcúrtca: presenta un reducdo grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. El Coecente de Curtoss vene dendo por la sguente órula: * γ = * ( ) ( ~ 4 x * x x ) = ( )*( ~ x x x ) = 3 Los resultados pueden ser los sguentes: γ = 0 (dstrbucón esocúrtca). γ > 0 (dstrbucón leptocúrtca). γ < 0 (dstrbucón platcúrtca). 0

11 .4.3 Ejeplo Intervalos F(X) X F. A. % % Ac. ( x )*( x ) ( x )*( x ~ x ) ( x )*( x ~ x ) 3 ( x )* ( x ~ x ) , ,865.4,073, , , , , , ,7.75 4, , , , , , , ,480.4,39, Suatora 9 8, , ,53, Meda Artétca Coe. Asetría Coe. Curtoss De acuerdo a los resultados podeos deternar que la dstrbucón es asétrca postva (0.633) y platcúrtca (-.0735)