SCUACAC00MT-A6V SOLUCIONARIO Ejercitación Operatoria de Logaritmos
TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA EJERCITACIÓN DE OPERATORIA DE LOGARITMOS Ítem Alternativa B A A 4 A 5 B 6 E ASE 7 B ASE B 9 B 0 E D B C 4 C 5 A ASE 6 C 7 A D Comprensión 9 D 0 E A E C 4 A ASE 5 B ASE
. La alternativa correcta es B. Para calcular este logaritmo es necesario determinar a qué exponente se debe elevar la base para obtener como resultado. Luego: p (Aplicando la propiedad de división de potencias) p (Despejando) = p (Transformando a base ) 0 = p (propiedad de multiplicación de potencias) 0 = + p (Igualando exponentes) 0 = + p (Despejando p) = p = p Por lo tanto, p es igual a.. La alternativa correcta es A. Calculando los logaritmos correspondientes, se tiene que: log 5 5 = log = 5 log 9 = Reemplazando los valores anteriores en la expresión: log 5 5 log 5 6 = log 9 Por lo tanto, el valor numérico de la expresión es.
. La alternativa correcta es A. log (5 0 7 ) log (5 0 4 ) = (Aplicando la propiedad de resta de logaritmos) 7 50 log = 4 50 (Simplificando en el argumento) log ( 0 ) = (Propiedad de producto dentro del argumento) log + log 0 = (Aplicando la definición de logaritmo) log + Por lo tanto, log (5 0 7 ) log (5 0 4 ) = + log 4. La alternativa correcta es A. Para calcular un logaritmo es necesario determinar a qué exponente se debe elevar la base para obtener el resultado indicado, lo que puede determinarse mediante la definición de logaritmo. Entonces: I) Es positiva, ya que 9 log 9. II) Es positiva, ya que 4 4 log 4 =. III) Es negativa, ya que log. Por lo tanto, solo la expresión III es negativa. 4
5. La alternativa correcta es B. En log a, la base es y el resultado es a. Luego, se debe despejar a: 5 a a 5 a. Luego, log a = log 5 Aplicando propiedades de logaritmos resulta: log a = log 5 5 = log = (log log 5) = ( log 5) 5 Por lo tanto, log a se puede expresar como ( log 5) 6. La alternativa correcta es E. ASE Para determinar la veracidad de cada una de las afirmaciones basta con aplicar la definición de logaritmo, tomando en cuenta que x de reemplazarse por 4, y posteriormente, aplicar propiedades de potencias o raíces, según corresponda. Entonces: I) Verdadera, ya que si 9 4 la igualdad. II) Verdadera, ya que si la igualdad. III) Verdadera, ya que si igualdad. log, entonces 9 log 4, entonces 4 4 4 4 4, cumpliéndose, cumpliéndose log 4, entonces 4, cumpliéndose la Por lo tanto, en las tres igualdades el valor de x es 4. 5
7. La alternativa correcta es B. ASE Para determinar la veracidad de cada afirmación, basta con aplicar la definición de logaritmo, y posteriormente, aplicar propiedades de potencias o raíces, según corresponda. Entonces: I) Falsa, ya que si igualdad. log = 7, entonces 4 7 7 4, no cumpliéndose la II) Falsa, ya que log x 4, si x =, entonces x 4, no cumpliéndose la igualdad. III) Verdadera, ya que igualdad. log Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. x, si x = 0, entonces x = solo si x = 0, cumpliéndose la. La alternativa correcta es B. Aplicando propiedades, se tiene que log 5 p = log 5 p Luego, reemplazando p = 5 log 5 p = log 5 5 log 5 p = log 5 5 log 5 p = log 5 p = 9 Por lo tanto, el valor de la expresión log 5 p es 9. 6
9. La alternativa correcta es B. Aplicando propiedades de logaritmos, se tiene: log.000 = log.000 log.000 = log ( 0 ) log.000 = (log + log 0) log.000 = log + 6 Por lo tanto, el valor de la expresión log.000 es log + 6. 0. La alternativa correcta es E. Analizando por alternativa: A) La composición de la expresión corresponde a log 00, por lo que no es igual a log 50. B) La composición de la expresión log 5, resulta en: Lo que no es igual a log 50. log00, según la propiedad de cambio de base, log log 5 log 5 log 5 log0 log 50 C) La expresión log 5 log0 es equivalente a log 5, lo que no es igual a log 50. D) La composición de la expresión 0 log 0 lo que no es igual a log 50. E) La composición de la expresión log log 5, resulta en: log log, corresponde a log0 0 log 600 log 5 log log 5 log Luego, esta expresión es igual a log 50. 5 log 50, 7
. La alternativa correcta es D. Aplicando propiedades de logaritmos, se tiene: Por lo tanto, log 400 es igual a x +. log 400 = log (4 00) log 400 = log ( 00) log 400 = log + log 00 log 400 = log + (Reemplazando log por x) log 400 = x +. La alternativa correcta es B. log = x (Aplicando propiedades de logaritmos) log = x (Como, entonces log = ) Por lo tanto, x es igual a. = x = x
. La alternativa correcta es C. Aplicando propiedades de logaritmos, se tiene: log 7 = log (6 ) log 7 = log 6 + log Por lo tanto, log 7 es igual a log 6 + log. 4. La alternativa correcta es C. Como 6 = 64, entonces log 64 = 6 Como 4 = 64, entonces log 4 64 = Como = 64, entonces log 64 = Por lo tanto, log 64 log log 64 4 64 = 6 9 = 4,5 5. La alternativa correcta es A. ASE Al descomponer el argumento del logaritmo, se tiene que: 9.000 0² =.000 0 0 = 4 0 5 Luego log (9.000 0²) = log( 4 0 5 ) = log 4 + log 0 5 = 4 log + 5 Por lo tanto, la expresión equivalente a log (9.000 0²) es 4 log + 5. 9
6. La alternativa correcta es C. Al despejar b de la expresión a log b = c, resulta log b = a c Luego, la base es 0, el exponente es a c y el resultado es b, por lo que aplicando la definición de logaritmo, se tiene fraccionario: b = a 0 c c a 0 = b. Interpretando la potencia de exponente Por lo tanto, b es siempre equivalente a a 0 c 7. La alternativa correcta es A. x Si log 5, entonces la base es m, el exponente es y el resultado es 5 x. Luego, m aplicando la definición de logaritmo, se tiene que m² = 5 x. Para despejar m se debe aplicar raíz cuadrada, es decir, m = x 5 Por lo tanto, la expresión que representa siempre al valor de m es x 5.. La alternativa correcta es D. Comprensión Para calcular un logaritmo es necesario determinar a qué exponente se debe elevar la base para obtener el resultado indicado. O sea, en este caso, log 4 x = n 4 n = x. Luego: I) Verdadera, ya que log 4 6 = si 4² = 6. II) Falsa, ya que el logaritmo se interpreta como 4 n = x. 0
III) Verdadera, ya que si 4 n = x, entonces 4 = n x n x = 4. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 9. La alternativa correcta es D. log (m n)² log m² log n² = (Propiedad de potencia logaritmos) log (m n) log m log n = (Agrupando términos) log (m n) (log m + log n) = (Propiedad de suma de logaritmos) log (m n) log (m n) = (Factorizando por ) (log (m n) log (m n)) = (Propiedad resta de logaritmos) m n log m n m n Por lo tanto, la expresión log (m n)² log m² log n² es igual a log. m n 0. La alternativa correcta es E. Aplicando descomposición de logaritmos a la expresión, se tiene que: log (0x) + 0 log x = log 0 + log x + 0 log x = (Agrupando términos semejantes) + log x Por lo tanto, expresión log (0x) + 0 log x es igual a ( + log x).
. La alternativa correcta es A. Para todo m positivo, se cumple que: log m = log m ; log m² = log m ; log m = log m Luego log log m m log m = log m log m log m = log m log m = = = 6 Por lo tanto, la expresión es igual a 6.. La alternativa correcta es E. 4 log (.000 n ) = (Propiedad de exponente de un logaritmo) log (.000 n ) = (Propiedad potencia de una potencia) log (.000 n ) = log ((0 ) n 4 ) = (Descomposición de logaritmos) log (0 6 n 4 ) = log 0 6 + log n 4 = 6 4 log n = (Reemplazando log n = ) 6 4 = 6 + = 44 Por lo tanto, el resultado de la expresión es 44.
. La alternativa correcta es C. Aplicando propiedades de logaritmos: 00a log = log 00 + log a² log b b 00a log = log 00 + log a log b (Como log 00 = ) b 00a log = + log a log b b Por lo tanto, la expresión 00a log es igual a + log a log b. b 4. La alternativa correcta es A. ASE Para que un logaritmo en base 0 represente a un número real, es necesario que el argumento sea positivo, o sea (m p) > 0. Luego: () m > p. Con esta información, se puede determinar que la expresión log (m p) representa a un número real, ya que si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia siempre es positiva. () m > 0. Con esta información, no se puede determinar que la expresión log (m p) representa a un número real, ya que si m < p, entonces la diferencia será negativa. Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola.
5. La alternativa correcta es B. ASE Aplicando propiedades de logaritmos y simplificando términos a la expresión del enunciado: Luego: b b log log log a log a a a () a = 4. Con esta información, no se puede determinar el valor numérico de la expresión, ya que el valor de a no es relevante en el resultado final. () b =. Con esta información, se puede determinar el valor numérico de la expresión, ya que log = 5. b Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 4