IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule el máimo y míimo de la fució F(,y) = 4-3 - 6y e la regió aterior e idique e qué putos alcaza. Solució ( y ( Fució Objetivo F(,y) = 4-3 - 6y. Restriccioes: Que so las desigualdades + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y, y teemos y = -/ + 3; y = -/ + 5; y = -/4 + 3; = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De = 0 e y = -/4+3, teemos y = 3. Puto de corte es A(0,3). De y = -/4+3 e y = -/ + 5, teemos -/4+3 = -/ + 5, es decir -+ = -+0, luego = 8 e y =, y el puto de corte es B(8,). De = 0 e y = -/+5, teemos y = 5. Puto de corte es C(0,5). Vemos que los vértices del recito so: A(0,3), B(8,) y C(0,5). Calculemos los etremos de la fució F(,y) = 4-3 - 6y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,3), B(8,) y C(0,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,3) = 4 3(0) 6(3) = -4; F(8,) = 4 3(8) 6() = -6; F(0,5) = 4 3(0) 6(5) = -6; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució F e la regió es -4 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(0,3) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es -6 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(8,) y C(0,5), por tato se alcaza e todos los putos del segmeto BC.
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO _A Sea la fució f() = si 0 ( 5 putos) Dibuje la gráfica de f y estudie su mootoía. (0 75 putos) Calcule el puto de la curva e el que la pediete de la recta tagete es. c) (0 75 putos) Estudie la curvatura de la fució. Sea la fució f() = - si 0 Dibuje la gráfica de f y estudie su mootoía. Solució Tato / como -/ tiee por gráficas hipérbolas, por tato coociedo sus asítotas = 0 (vertical A.V.), y = 0 (horizotal A.H.), y dádole u valor a izquierda o derecha de la A.V. sabremos e que cuadrate está. Si < 0, f() = /. Como f() = lim (/) = /- = 0 -, la recta y = 0 es ua A.H. e -. Como lim lim f() = 0 lim (/) = /0 - = -, la recta = 0 es ua A.V. al la izquierda del 0. Para = -, f(-) = /- = -, teemos el puto (-,-) y la gráfica está e el III cuadrate. Si 0, f() = -/. Como lim f() = lim (-/) = -/ = 0 -, la recta y = 0 es ua A.H. e +. Como + lim f() = 0+ + lim (-/) = -/0 + = -, la recta = 0 es ua A.V. a la derecha del 0. 0+ Para =, f() = -/ = -, teemos el puto (,-) y la gráfica está e el IV cuadrate. Teiedo e cueta lo aterior la gráfica es: Observado la gráfica f() es estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-,0) y es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (0,+ ). Calcule el puto de la curva e el que la pediete de la recta tagete es. Sabemos que la pediete geérica de la recta tagete es f (), por tato teemos que resolver la
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua ecuació f () = -. - Teemos f() = y f () =. - si 0 si 0 Si < 0, f () = -/ = -, de dode = y las solucioes so = ±. Sólo sirve = - (está e < 0) y el puto pedido es (-,f(-)) = (-,-). Si 0, f () = / = -, de dode = - que o tiee solució real. Luego el puto de la curva e el que la pediete de la recta tagete es es el (-,-). c) Estudie la curvatura de la fució. Viedo la gráfica vemos que f() es cócava ( ) e R {0} Veámoslo tambié estudiado la seguda derivada f (). Si < 0, f () = -/, f () = / 4. De f () = 0, teemos = 0, luego = 0, que es u posible puto de ifleió. No lo es, por que = 0 es ua A.V. Como f (-) = (-)/(-) 4 = - < 0, f() es cócava ( ) e (-,0). Si > 0, f () = /, f () = -/ 4. De f () = 0, teemos - = 0, luego = 0, que es u posible puto de ifleió. No lo es, por que la recta = 0 es ua A.V. Como f () = -()/() 4 = - < 0, f() es cócava ( ) e (-,0), por tato f() es cócava ( ) e R {0}. EJERCICIO 3_A Parte I E ua agrupació musical el 60% de sus compoetes so mujeres. El 0% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupació está jubilados. ( puto) Cuál es la probabilidad de que u compoete de la agrupació, elegido al azar, esté jubilado? ( puto) Sabiedo que u compoete de la agrupació, elegido al azar, está jubilado cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solució E ua agrupació musical el 60% de sus compoetes so mujeres. El 0% de las mujeres y el 30% de los hombres de la citada agrupació está jubilados. Llamemos M, H, J y J C, a los sucesos siguietes, mujeres, hombres, "jubilado" respectivamete. y " o jubilado", Además teemos p(m) = 60% = 0 6, por cotrario p(h) = p(m) = 0 6 = 0 4, p(j/m) = 0% = 0 y p(j/h) = 30% = 0 3. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Cuál es la probabilidad de que u compoete de la agrupació, elegido al azar, esté jubilado? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de u compoete esté jubilado es: p(j) = p(m).p(j/m) + p(h).p(j/h) = (0 6) (0 ) + (0 4) (0 3) = 0 4. Sabiedo que u compoete de la agrupació, elegido al azar, está jubilado cuál es la probabilidad de que sea mujer? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( M J ) p( M).p(J/M ) (0'6) (0') p(m/j) = = = p(j) p(j) 0'4 = 0 088. EJERCICIO 3_A Parte II La duració de u viaje etre dos ciudades es ua variable aleatoria Normal co desviació típica 0 5 horas. Croometrados 30 viajes etre estas ciudades, se obtiee ua media muestral de 3 horas. ( 5 putos) Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la media de la duració de los viajes etre ambas ciudades. (0 5 putos) Cuál es el error máimo cometido co dicha estimació? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = z α/, + z α/ = (a, dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ Tambié sabemos que el error máimo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño z - α/. míimo de la muestra es = E. La duració de u viaje etre dos ciudades es ua variable aleatoria Normal co desviació típica 0 5 horas. Croometrados 30 viajes etre estas ciudades, se obtiee ua media muestral de 3 horas. Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la media de la duració de los viajes etre ambas ciudades. Datos del problema: = 0 5, = 30, = 3, ivel de cofiaza = 97% = 0 97 = - α, de dode α = 0 03, co lo cual α/ = 0 03/ = 0 05 De p(z z -α/ ) = - α/ = - 0 05 = 0 985. Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 985 viee, y correspode a z -α/ = 7, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = z α/, + z α/ = 0'5 0'5 3' '7,3'+'7 (3 0095,3 9905) 30 30 4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Cuál es el error máimo cometido co dicha estimació? Datos del problema: = 0 5, = 30 y z -α/ = 7. De E = z α / = '7 0'5, 0 099, teemos que el error máimo cometido es E < 0 099. 30 OPCIÓN B EJERCICIO _B Sea el sistema ecuacioes: + y - z = - z = 0 -y + z = 4 ( putos) Resuélvalo y clasifíquelo e cuato a sus solucioes. (0 5 putos) Tiee iversa la matriz de coeficietes del sistema? Justifíquelo. c) (0 5 putos) Obtega, si eiste, ua solució del sistema que verifique = y. Solució Resuélvalo y clasifíquelo e cuato a sus solucioes: + y - z = - + y - z = - + y - z = - z = 0 (F - F ) -y + z = 4 -y + z = 4 -y + z = 4 -y + z = 4 (F 3 - F ) 0 = 0 Como os ha quedado u sistema de dos ecuacioes co tres icógitas, es u sistema compatible e idetermiado y tiee ifiitas solucioes e R, y hemos visto al desaparecer la tercera ecuació, la tercera es combiació lieal de la primera y la seguda ecuació. Tomado y = λ R, teemos z = 4 + λ, y de + (λ) - (4 + λ) = 0 teemos = 4 + λ. La solució del sistema es (,y,z) = (4 + λ, λ, 4 + λ) co λ R. Tiee iversa la matriz de coeficietes del sistema? Justifíquelo. Para que tuviese matriz iversa la matriz de los coeficietes, su determiate tedría que ser cero, lo cual os daría lugar a u sistema compatible y determiado co ua úica solució. Como uestro sistema tiee ifiitas solucioes la matriz de los coeficietes o tiee matriz iversa. Veámoslo tambié calculado el determiate de la matriz de los coeficietes, observado que sale cero. - Adutos A = 0 - tercera = 0 (-)() + (-) = 0, luego o tiee iversa. 0 - fila c) Obtega, si eiste, ua solució del sistema que verifique = y. + y - z = - 3y - z = - (F + F 3 ) y = z = 0 sustituyedo = y 4y - z = 0 (F + F 3 ) y = 4 -y + z = 4 -y + z = 4 Co lo cual y =, = () = 4 yz = 4 +() = 8, es decir la solució es (,yz) = (4,,8). EJERCICIO _B a + si < (3 putos) Sea f la fució defiida por: f () =. + b + 3 si Determie los valores que debe teer a y b para que f sea derivable. Solució a + si < Se cosidera la fució defiida por f() = + b + 3 si Sabemos que si ua fució es derivable etoces es cotiua. E uestro caso es cotiua e = y tambié derivable e =. 5
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Como f es cotiua e =, teemos f() = lim f() = lim f(). + f() = lim f() = lim ( + b + 3) = b + 4. + + lim f() = lim (a + ) = a +. Como ambas epresioes so iguales, teemos b + 4 = a +. Teemos f() = a + si <, de dode: f () = + + 3 b si a si < + b si Sabemos que f es derivable e =, luego f (+) = f (-), es decir cotiuidad de la derivada (es más secillo). lim f () = lim (a) = a. lim f () = lim f (). Estamos viedo la + lim f() = lim ( + = b +. Como ambas epresioes so iguales, teemos a = b +. + + Teemos b + 4 = a + = b + +, sustituyedo b + = a, resulta a + = a + de dode a = -, y b = -4. EJERCICIO 3_B Parte I Sea A y B dos sucesos del mismo eperimeto aleatorio tales que p(a) = /6, p(b) = /3 y p(a B) = /. ( 5 putos) So A y B icompatibles? So idepedietes? (0 5 putos) Calcule p[a/(a B)] Solució Sea A y B dos sucesos del mismo eperimeto aleatorio tales que p(a) = /6, p(b) = /3 y p(a B) = /. So A y B icompatibles? So idepedietes? Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a/b) = p( A B ) ; A y B so icompatibles si p(a B) = 0; p(a C ) = - p(a). p(b) Del problema teemos: p(a) = /6, p(b) = /3 y p(a B) = /. De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = /6 + /3 / = 0, luego los sucesos A B so icompatibles. Se p(a B) = 0 p(a) p(b) = (/6) (/3) = /8, los suceso A y B o so idepedietes. Calcule p[a/(a B)] Teemos p(a/(a B)) = p( A (A B )) p( A ) = p(a B) p(a B) = (/6)/(/) = /6 = /3. EJERCICIO 3_B Parte II Sea X ua variable aleatoria Normal de media 50 y desviació típica 4. ( puto) Para muestras de tamaño 4, cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54? ( puto) Si X 6 idica la variable aleatoria media muestral para muestras de tamaño 6, calcule el valor de a para que p(50 a X 6 50 + = 0 9876. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ / 6
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Sea X ua variable aleatoria Normal de media 50 y desviació típica 4. Para muestras de tamaño 4, cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54? Datos del problema: X N(µ, ) = N(50, 4); µ = 5; = 4; = 4; 4 Distribució medias muestrales X N(µ, ) = N(50, ) = N(50, 4/) = N(50, ) 4 Me está pidiedo la probabilidad p( X 54) 54-50 Luego p( X 54) = {tipificamos} = p(z ) = p(z ) = - p(z < ) = {Mirado e la tabla} = = 0 977 = 0 08. La probabilidad pedida es 0 08. Si X 6 idica la variable aleatoria media muestral para muestras de tamaño 6, calcule el valor de a para que p(50 a X 6 50 + = 0 9876. 4 Como ahora = 6 la distribució muestral de medias es N(µ, ) = N(50, ) = N(50,4/4) = N(50,) 6 (50 - - 50 (50 + - 50 Teemos 0 9876 = p(50 a X 6 50 + = {tipificamos} = p( Z ) = = p( a Z = p(z - p(z - = p(z ( - p(z ) = p(z. De la igualdad p(z = 0 9876, teemos p(z = 9876/ = 0 9938. Mirado e la tabla, resulta que a la probabilidad 0 9938 le correspode a = 50. 7