GENERALIZACIONES DE LA LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS Y DEL LEMA DE BOREL-CANTELLI. Ramírez Ramírez Lilia Leticia

GENERALIZACIONES DE LA LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS Y DEL LEMA DE BOREL-CANTELLI Ramírez Ramírez Lilia Leticia Octubre de 1998

Coteido INTRODUCCIÓN iii 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1 1.1 INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA Y VARIABLES ALEATORIAS... 1 1.2 ESPERANZA MATEMÁTICA........................ 3 1.3 CONVERGENCIAS EN PROBABILIDAD, CASI SEGURA Y EN MEDIA 7 1.4 PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONALES........... 9 2 LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN 13 2.1 LEMA DE BOREL-CANTELLI........................ 13 2.2 LEYES DE GRANDES NÚMEROS...................... 18 3 MARTINGALAS 27 3.1 INTRODUCCIÓN............................... 27 3.2 TIEMPO DE PARO Y TEOREMA DE PARO OPCIONAL........ 33 4 EXTENSIONES DEL LEMA DE B-C Y LFGN 39 4.1 LEMA DE BOREL-CANTELLI DE LÉVY................. 39 4.2 LEY FUERTE DE GRANDES NÚMEROS DE LÉVY Y CHOW..... 43 4.3 REFINAMIENTO DEL LEMA DE B-C Y LA LFGN............ 48 i

ii CONTENIDO

INTRODUCCIÓN Como es bie sabido, la probabilidad tiee su orige e los problemas relacioados co juegos de azar y su objetivo primario fue el de calcular las probabilidades de gaar ua partida e juegos tales como dados, cartas o ruleta; si embargo, ates de que cualquier cálculo formal se hubiera realizado, las reglas de los juegos solía calificar co mayor úmero de putos a aquellas jugadas co meor probabilidad. Estas reglas se puede atribuir a la oció ituitiva que pudiera haberse teido de lo que que después formó la defiició de probabilidad de u eveto e juegos co úmero fiito de posibles resultados (úmero de casos favorables etre el úmero de casos totales) o a la observació del úmero de casos favorables e ua colecció de jugadas (frecuecia relativa de exitos). A pesar de que para el ser humao es atural estimar la probabilidad de u eveto como la frecuecia relativa de éste (como la probabilidad de lluvia e ua tarde de verao), o fue sio hasta fiales del siglo XVII que James Beroulli formalizó esta idea ituitiva para feómeos aleatorio cuyo espacio muestral tiee cardialidad dos. Este resultado puede euciarse de la siguiete maera: Si {X } 1 es ua sucesió de v.a. s idepedietes e idéticamete distribuidas co ley Beroulli y parámetro p, etoces X 1 + + X p e probabilidad. Después de la obteció de este Teorema, el estudio del comportamieto asitótico de suma de variables aleatorias ha coformado uo de los temas cetrales de ivestigació e la probabilidad, el cual aú hasta uestros días sigue dado uevos resultados suceptibles a aplicarse e teorías tales como la llamada de Muestras Grades, la que a su vez se relacioa directamete co la modelació matemática de feómeos aturales. El teorema obteido por Beroulli se cooce como la Ley Débil de los Grades Números y a partir de su formulació se ha desarrollado y geeralizado hacia diversas vertietes. Alguas de su geeralizacioes o versioes ha surgido a partir de la búsqueda de respuestas a pregutas como so: El teorema es válido para algú otro tipo de distribució? Qué codicioes debe cumplir las variables aleatorias para que su suma estadarizada coverja e probabilidad? Qué codicioes garatiza la covergecia casi segura? iii

iv INTRODUCCIÓN Uo de los resultados más célebres, el cual da respuesta a las pregutas ateriores, es el llamado Ley Fuerte de los Grades Números, demostrada por Kolmogórov e 1929 y el cual dice así: Si {X } es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, etoces X 1 + + X L casi seguramete si y sólo si EX 1 existe, y e este caso, L = EX 1. El Teorema de Kolmogórov, además de dar respuesta a las pregutas ates expresadas, abre uevos rumbos hacia los cuales ecamiar la ivestigació e la Teoría de la Probabilidad, a saber: Si las variables aleatorias o tiee esperaza fiita, existe costates a, b tales que X 1 + + X b L a casi seguramete?. Alguas respuestas a esta preguta tiee lugar e Loéve, M. (1955) págias 252-272. Otra preguta que podemos formular, que es más geeral, es: Dada ua sucesió (arbitraria) de variables aleatorias, qué codicioes debe cumplir para que exista, a su vez, variables aleatorias {Y } 1, {W } 1 tales que X 1 + + X Y X L (1) casi seguramete?. E las demostracioes de los teoremas que da respuesta a las pregutas ateriores, el Lema de Borel-Catelli (o sus extesioes, coocidas como Leyes 0-1) so clave, ya que el resultado de Borel-Catelli da codicioes bajo las cuales el límite superior de ua sucesió de evetos tiee probabilidad 0 o 1, y su relació co la Ley Fuerte de los Grades Números es la siguiete: X 1 + + X Y L casi seguramete si y sólo si P (lim sup E W ) ɛ = 0 para toda ɛ > 0, dode [ ] E ɛ X 1 + + X Y = L ɛ. W E este trabajo se preseta varias versioes, tato del Lema de Borel-Catelli como de la Ley Fuerte de los Grades Números. No es uestra iteció hacer u estudio exhaustivo, sio solamete presetar alguos resultados para variables aleatorias o ecesariamete idepedietes y co esperaza fiita.

INTRODUCCIÓN v E el primer Capítulo se expoe elemetos de Teoría de la Probabilidad que se requiere a lo largo del trabajo. Se presupoe que el lector tiee coocimietos de alguos coceptos y resultados de Teoría de la Medida tales como la itegral de Lebesgue, la itegral de Lebesgue-Stieltjes, los Teoremas de Cambio de Variable, de Covergecia Moótoa y Covergecia Domiada. El segudo Capítulo está dedicado a presetar los resultados clásicos del Lema de Borel-Catelli y la Ley de los Grades Números para evetos idepedietes e idepedietes por parejas. Se icluye la Ley Débil, la demostració de Kolmogórov de la Ley Fuerte, así como alguas otras versioes de este Teorema. E particular, es presetada ua versió modera más simple de la Ley Fuerte obteida por Etemadi [8] que sólo requiere de idepedecia por parejas y existecia del primer mometo. El Capítulo tercero se refiere a la Teoría de martigalas. Se muestra alguos de sus pricipales propiedades y resultados que se utilizará e el resto del trabajo. Los pricipales que se expoe so el Teorema de Muestreo Opcioal o de Paro Opcioal de Doob y u teorema de covergecia de martigalas. E el Capítulo cuarto se estudia la Ley Fuerte de los Grades Números e el caso e que las variables aleatorias o so ecesariamete idepedietes y la suma X 1 + +X se ormaliza o ecesariamete co costates, sio co variables aleatorias (como e (1) ). Se preseta u Lema de Borel-Catelli demostrado por Lévy, el cual es clave para las demostracioes de las Leyes de Grades Números de Lévy y de Chow. Por último se preseta u resultado que cojuta el Lema de Borel-Catelli y la Ley Fuerte de los Grades Números de Lévy. A lo largo de este trabajo se cosiderará u espacio de probabilidad (Ω, I, P ) y cualquier variable aleatoria se tedrá por defiida e este espacio. Tambié deotaremos a las variables aletorias, como es usual e la literatura, co las últimas letras del alfabeto, e mayúsculas.

vi INTRODUCCIÓN

Capítulo 1 CONCEPTOS BÁSICOS E este Capítulo se setará los fudametos de Teoría de Probabilidad ecesarios para poder desarrollar los resultados que a lo largo del trabajo se expoe. 1.1 INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA Y VARIA- BLES ALEATORIAS U espacio de probabilidad es ua tera (Ω, I, P ), dode Ω es u cojuto o vacío que llamaremos espacio muestral, I es ua σ-álgebra de subcojutos de Ω, llamada espacio de evetos y P es ua medida de probabilidad co domiio e I, es decir ua medida tal que P (Ω) = 1. Defiició 1.1 Lamaremos a E eveto del espacio de probabilidad (Ω, I, P ) si E I. Defiició 1.2 Sea T u cojuto de ídices (diferete del vacío) y E = {E t } t T ua familia de evetos. Decimos que E es ua familia de evetos idepedietes si para todo subcojuto fiito {t 1,..., t } de T, P ( ) j=1e tj = P (E tj ). Se dice que la clase fiita de evetos {C t } t=1 so idepedietes si P ( 1E j ) = 1 P (E j ) para todo E t C t (t = 1, 2,..., ). Si {C t } t T es ua clase de evetos, se dice que es idepediete si cada subclase fiita es idepediete. Defiició 1.3 Ua fució X : Ω R se llama variable aleatoria (v.a.) si X 1 (B) I para todo B B(R) (Boreliaos de R). Proposició 1.1.1 Si X es ua v.a. y g : R R ua fució Borel medible (g 1 (B) B(R) B R) etoces g(x) es tambié ua variable aleatoria. 1 j=1

2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Sea B B(R). Como g es Borel medible, se tiee que g 1 (B) B(R) y como X es v.a. etoces X 1 (g 1 (B)) B(R) Defiició 1.4 A la fució P (X 1 ( )) : B(R) R + se le llama distribució de la v.a. X o probabilidad iducida por la v.a. X y se le deota como P X 1 ( ) o P X ( ). Proposició 1.1.2 La distribució de la v.a. X es ua medida de probabilidad e R. Sea B, B 1, B 2,... B(R) tales que B i B j = i j. Etoces (i) P X (B) = P (X 1 (B)) 0, (ii) P X (R) = P (X 1 (R)) = P (Ω) = 1, y (iii) P X ( 1 B )=P (X 1 ( 1 B ))=P ( 1 X 1 (B ))= 1 P (X 1 (B ))= 1 P X (B ). Defiició 1.5 A la fució F X : R R + defiida por F X (x) = P X (, x], se le llama fució de distribució de la v.a. X. x R Defiició 1.6 Llamamos a X = (X 1,, X ) vector aleatorio si X i es variable aleatoria (i = 1, 2,..., ). El vector X es ua fució medible de (Ω, I, P ) a (R, B(R )) porque X 1 (B 1 B 2 B ) = X 1 1 (B 1 ) X 1 (B ), dode B i R para i = 1, 2,..., y la σ-álgebra geerada por los rectágulos medibles (B 1 B 2 B ) geera a 1B(R), el cual es igual a B(R ) porque R es u espacio separable. Deotamos a la distribució del vector X como P X 1 ( ) = P X ( ) = P (X1,...,X )( ). Defiició 1.7 Sea {X i } i=1 ua familia fiita de v.a. s. Decimos que las v.a. s X 1,..., X so variables aleatorias idepedietes (v.a.i.) o {X i } i=1 es idepediete si {Xi 1 } forma ua clase idepediete de evetos. La defiició aterior os dice que que si X 1,..., X so v.a.i. etoces dode B i B(R) para i = 1, 2,...,. P (X1,...,X )(B 1,..., B ) = P X1 (B 1 ) P X (B ), Defiició 1.8 Sea T u cojuto de ídices y {X i } i T u familia de v.a. s. Decimos que {X i } i T es idepedietes si cada subfamilia fiita de {X i } i T es idepediete.

1.2. ESPERANZA MATEMÁTICA 3 1.2 ESPERANZA MATEMÁTICA Defiició 1.9 Defiimos L p como L p = {f : Ω R P (f = g) = 1, para algua g Borel medible, defiida para todo ω Ω y tal que g p dp < }, dode p N y g p dp es la itegral de Lebesgue de g p co respecto a la medida de probabilidad P. Defiició 1.10 Si g : R R es ua fució Borel medible y X es ua v.a., defiimos la esperaza de g(x) como siempre que g(x) L 1. Eg(X) = E[g(X)] = Ω g(x(ω))dp (ω) = Ω g(x)dp, Por el Teorema de Cambio de Variable teemos que si Eg(X) L 1, etoces Eg(X) = R g(v)dp X (v). Como P X (a, b] = F X (b) F X (a) y F X es o decreciete (por mootoía de la probabilidad) y cotíua por la derecha, etoces tambié podemos expresar a la esperaza de g(x) como la itegral de Lebesgue-Stieltjes: Eg(X) = R g(v)df X (v). Defiició 1.11 Si X L p, p = 1, 2,..., deomiaremos a EX p el mometo de orde p de X. Nota 1.12 El mometo de orde 1 siempre se deomiará la esperaza de X. De la propiedades de la itegral de Lebesgue se sigue imediatamete el ssiguiete resultado Corolario 1.2.1. (i) Si X, Y L 1 y α, β R, etoces αx +βy L 1 y E(αX +βy ) = αex +βey. (ii) Si X L 1 etoces EX E X.

4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS (iii) Si Y L 1, X v.a. tal que X Y casi seguramete (c.s.), etoces X L 1 y E X E Y. (iv) X L 1, co E X = 0 si y sólo si X = 0 (c.s.). (v) Si E X λ < para algú λ > 0 etoces E X ν < para 0 ν λ Proposició 1.2.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea X y Y dos v.a. tales que X, Y L 2. Etoces XY L 1 y (E XY ) 2 EX 2 EY 2. Cuado algua de X e Y es igual a cero c.s. se cumple la desigualdad. Sea EX 2 > 0, EY 2 > 0, defiamos a = X [EX 2 ] 1/2, b = Y [EY 2 ] 1/2. Etoces aplicado la desigualdad 2 ab a 2 + b 2, a, b R, se obtiee que XY 1 [ 2 [EX2 EY 2 ] 1 X 2 2 EX + Y 2 ], 2 EY 2 de dode resulta que E XY < y [E XY ] 2 EX 2 EY 2. Proposició 1.2.3 Sea X ua v.a. y g ua fució Borel medible, o egativa tal que g(x) L 1. Supógase además que g es par y o decreciete e [0, ). Etoces ɛ > 0 se tiee P [ X ɛ] Eg(X) g(ɛ). Si F = { X ɛ}, etoces Eg(X) = F g(x)dp + F c g(x)dp g(ɛ)p (F ). Nota 1.13 Si g(x) = x λ, obteemos la desigualdad de Markov, y si además λ = 2, etoces obteemos la desigualdad de Chebyshev. Lema 1.2.4 Si Y es ua v.a. o egativa etoces P [Y ] EY 1 + P [Y ] =1 =1

1.2. ESPERANZA MATEMÁTICA 5 P [Y ] = =1 = = = k P [k Y < k + 1] = P [k Y < k + 1] =1 k= k=1 =1 kp [k Y < k + 1] = kdp k=0 k=0 [k Y <k+1] Y dp = EY k=0 [k Y <k+1] (k + 1)P [k Y < k + 1] k=0 P [Y ] + P [k Y < k + 1] =1 k=0 P [Y ] + 1 =1 Defiició 1.14 Decimos que la variable aletoria X está cetrada e el puto c (c R) si reemplazamos X por X c. La selecció de la costate c juega u papel importate e muchos problemas de probabilidad (como las Leyes de Grades Números y el Teorema Cetral del límite). Defiició 1.15 Si X L 2, al segudo mometo de la v.a. X cetrado e EX se le deomia como la variaza de X (Var(X)). Corolario 1.2.5 (Desigualdad de Kolmogórov) Sea X 1, X 2,..., X v.a.i. tales que y EX k = 0 Var(X k ) = EX 2 k = σ 2 k <, k = 1, 2,...,. Si S k = k j=1 X j, k = 1, 2,...,. Etoces para toda ɛ > 0 se tiee que Para ɛ > 0 defiamos los cojutos P { max 1 k S k ɛ} 1 ɛ 2 E 1 = { S 1 ɛ} σk. 2 k=1

6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS y E k = { S k ɛ} k 1 j=1 { S j < ɛ} para k = 2, 3,...,. Por costrucció, teemos que E i E j = para toda i j. Sea E = {max 1 k S k ɛ}. Etoces E = k=1e k. Como X k so idepedietes y EX k = 0, etoces σk 2 = Var(S ) = k=1 = Por otro lado, si 1 k, teemos que SdP 2 Ω k=1 E k S 2 dp. E S 2 dp pero E k S 2 dp = = (S k + X k+1 + + X ) 2 dp E k SkdP 2 + 2 S k (X k+1 + + X )dp + (X k+1 + + X ) 2 dp, E k E k E k 2 S k (X k+1 + + X )dp = 2 I Ek S k dp (X k+1 + + X )dp = 0 E k Ω Ω por la asociatividad de la idepedecia. Además, como E k (X k+1 + + X ) 2 dp 0, etoces Como fialmete se tiee que Var(S ) = = SdP 2 ω k=1 k=1 E E k S 2 dp ɛ 2 P (E k ). S 2 dp k=1 ɛ 2 P (E) = ɛ P (E k ), k=1 ɛ 2 P (E) Var(X k ) k=1 E k S 2 kdp

1.3. CONVERGENCIAS EN PROBABILIDAD, CASI SEGURA Y EN MEDIA 7 1.3 CONVERGENCIAS EN PROBABILIDAD, CASI SEGURA Y EN MEDIA Defiició 1.16 Se dice que la sucesió de variables aleatorias {X } 1 coverge casi seguramete (c.s.) a la v.a. X si existe E I co P (E) = 0 tal que ω E c se cumple E este caso escribimos X c.s. X. X (ω) X(ω) 0 cuado. La oció de covergecia casi dode sea, de Teoría de la Medida, es idética a la de covergecia casi segura e Probabilidad, pero cambia de ombre o sólo porque la medida de probabilidad es ua medida co la propiedad de que P (Ω) = 1, sio para hacer referecia a que ua probabilidad es ua medida de posibilidad. Defiició 1.17 Se dice que la sucesió {X } 1 es Cauchy casi seguramete si existe E I tal que P (E) = 0 y X (ω) X m (ω) 0 cuado m, para toda ω E c. Proposició 1.3.1 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a. s. Etoces X c.s. X, X v.a. {X } es Cauchy c.s.. c.s. Si X X etoces existe E I tal que P (E) = 0 y X (ω) X(ω) ω E c. Etoces para ω E c y para m, úmeros eteros positivos se tiee que X m (ω) X (ω) X m (ω) X(ω) + X (ω) X(ω) 0 cuado m y. Etoces {X } es Cauchy c.s.. Por otra parte, si {X } es Cauchy c.s. etoces existe E I tal que P (E) = 0 y X (ω) X m (ω) m, 0 ω E c. Etoces la sucesió {X (ω)} es ua sucesió Cauchy de úmeros reales, lo que os lleva a la coclusió de que existe u úico úmero real X(ω) tal que X(ω) = lim X (ω) ω E c c.s.. Por tato X X. La fució X es ua variable aleatoria porque el límite de variables aleatorias es tambié ua v.a.. La siguiete Proposició os va a ser de mucha utilidad para demostrar la covergecia de sucesioes de v.a. s. Proposició 1.3.2 La sucesió {X } 1 de v.a. s coverge c.s. a la v.a. X lim P { m=( X m X ɛ)} = 0 ɛ > 0. Como P { m=( X m X ɛ)} m= P {( X m X ɛ)}, etoces

8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Corolario 1.3.3 m=1 P {( X m X ɛ)} < ɛ > 0 X c.s. X. (1.1) El Lema de Borel-Catelli tambié os da el resultado (1.1), pero o puede deciros ada a partir de lim P { m=( X m X ɛ)} = 0, que es ua codicio más débil. de la Proposició 1.3.2 Sea ɛ > 0. Defiimos E (ɛ) = [ X X ɛ] para 1. Sea D = {ω Ω : X (ω) X(ω) cuado }, etoces Por lo tato, teemos que D = ɛ>0 lim sup E (ɛ) = ɛ>0 ( 1 m E m (ɛ)) = k 1 ( 1 m E m (1/k)). X c.s. X P (D) = 0 Como m= E m (ɛ) lim sup E (ɛ), etoces P (lim sup E (ɛ)) = 0 ɛ > 0. P (lim sup E (ɛ)) = lim P ( m E m (ɛ)), lo cual implica que X c.s. X lim P { m ( X m X ɛ)} = 0 ɛ > 0. Defiició 1.18 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a. s. Decimos que X coverge e probabilidad a la v.a. X si ɛ > 0 E este caso, escribimos X P X. P { X (ω) X(ω) > ɛ} 0 cuado. Proposició 1.3.4 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a. s tal que X c.s. X. X P X. Etoces De la Proposició 1.3.2 teemos que cuado X c.s. X se cumple lim P { m ( X m X ] ɛ)} = 0. Como { X X ɛ} m { X m X ɛ}, etoces se tiee que X P X.

1.4. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONALES 9 Defiició 1.19 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a. s, tal que X L 1 1. Decimos que X coverge e media a la v.a. X L 1 si E X X 0 cuado. L E este caso escribimos X 1 X. Nota 1.20 No es difícil demostrar que la covergecia e L p (de Teoria de la Medida) implica la covergecia e media (o e L 1 ) cuado p 1. L Proposició 1.3.5 X 1 X P X X. La demostració se sigue de la desigualdad de Markov. Para cualquier ɛ > 0, P { X X ɛ} E X X. ɛ 1.4 PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIO- NALES E los cursos básicos de probabilidad suele defiirse a la esperaza codicioal de la siguiete maera: Defiició 1.21 Si A, B I y P (B) > 0 etoces la probabilidad codicioal de A dado B es igual a P (A B) P (A B) =. P (B) Si embargo esta defiició puede extederse para el caso e el que P (B) = 0. El Teorema siguiete geeraliza la defiició aterior y el Teorema 1.4.2 costituye la defiició geeral de la Esperaza Codicioal. Teorema 1.4.1 Si I es sigma-álgebra y B I es fijo, etoces existe ua fució P [B ] : (Ω, ) (R, B(R)), llamada la probabilidad codicioal de B dado, tal que P (C B) = C P [B ]dp C. Si h es ua fució co las mismas propiedades que P [B ], etoces h = P [B ] P-c.s..Cuado esto último ocurre, se dice que P [B ] es esecialmete úica. Nota 1.22 A partir de ahora basta co decir que I para cosiderar a como sub σ-álgebra de I.

10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Sea λ(c) = P (C B), C. Etoces λ es absolutamete cotíua co respecto a P. Por el Teorema de Rado-Nikodym, existe ua fució f (esecialmete úica respecto a P) que cumple P (C B) = C fdp para todo C. Teorema 1.4.2 Sea Y ua v.a. co valores e los reales extedidos y sea I. Si Y L 1, etoces existe ua fució (esecialmete úica) E[Y ] : (Ω, ) R, B(R)), llamada la esperaza codicioal de Y dado, tal que Y dp = E[Y ]dp C. C C Nótese que debido a las defiicioes ateriores se tiee que P [B ] = E[I B ] c.s.. Si λ(c) = C Y dp, para C, se tiee que λ es absolutamete cotiua respecto a P. Por el Teorema de Rado-Nikodym, existe ua fució f : Ω R, -medible, esecialmete úica respecto a P e itegrable, tal que λ(c) = fdp C. C Defiimos a f como E[Y ]. Defiició 1.23 Si X es ua v.a., defiimos a la σ-álgebra geerada por X como σ(x) = {A Ω : X 1 (B) = A, B B(R)} Nota 1.24 Alterativamete deotaremos como la esperaza codicioal de ua v.a. Y dada la σ-álgebra geerada por ua v.a. X como E[Y X], e lugar de escribir E[Y σ(x)]. Así como hemos defiido la esperaza codicioal dada ua σ-álgebra, podemos defiir la esperaza E[Y X = x], la cual es ua fució co domiio e los reales, i.e., E[Y X = x] = h(x). La demostració del siguiete Teorema-Defiició es muy similar a la del Teorema 1.4.2. Teorema 1.4.3 Sea X y Y ua v.a. s. Si Y L 1, etoces existe ua fució medible y esecialmete úica h : (R, B(R)) (R, B(R)) tal que para cada B B(R) Y dp = h(x)dp X (x). X B A h se le deota como h(x) = E[Y X = x]. B

1.4. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONALES 11 Sea λ(c) = X C Y dp, etoces λ es absolutamete cotíua co respecto a P X. Por el Teorema de Rado-Nikodym se tiee la coclusió. Nótese que a partir de las dos deficioes ateriores de esperaza codicioal se tiee que E[Y X] = h(x) c.s. si E[Y X = x] = h(x). U ejemplo de esta observació es: si E[Y X = x] = x 2, etoces E[Y X] = X 2. Alguas de las propiedades más importates de la esperaza codicioal se eucia a cotiuació. Propiedades Si X, Y, X 1, X 2,... so variables aleatorias y I, se tiee las siguietes implicacioes. (i) X L 1 E[X ] = X c.s. e. (ii) X 0 E[X ] 0. c.s. (iii) X, Y L 1 E[aX + by ] c.s. = ae[x ] + be[y ], a, b R. (iv) Si X, Y, X Y L 1 y si X es medible, etoces E[X Y ] c.s. = XE[Y ]. (v) y Y L 1 E[Y ] = E[E[Y ] ] = E[E[Y ] ] c.s. (vi) Si X L 1, y σ(x) y so idepedietes, etoces E[X ] = EX c.s. (vii) Si X, Y L 1 y X es idepediete de Y, etoces E[X σ(y )] = EX. (i) C E[X ]dp = C XdP C E[X ] = X, P c.s. e. (ii) C XdP 0 si X 0 C. (iii) Se sigue de la liealidad de la itegral de Lebesgue.

12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS (iv) Si X = I A co A, C E[XY ]dp = C A Y dp = C A E[Y ]dp = C XE[Y ]dp. Si X = i=1 a i I Bi co a i 0 y B i i, se demuestra el resultado gracias a la liealidad de la itegral. Utilizado el Teorema de Covergecia Moótoa, se obtiee el resultado para fucioes medibles o egativas, y como X = X + X ( dode X + y X so la la parte positiva y egativa de X, respectivamete), por la liealidad de la itegral se obtiee la coclusió. (v) Nótese que A E[Y ]dp = A Y dp = A E[Y ]dp A. Se sigue E[Y ] = E[E[Y ] ] c.s.. Por otra parte, E[Y ] es ua fució -medible, y etoces medible, por lo que E[Y ] = E[E[Y ] ] c.s.. (vi) Si X = I A co A σ(x), C E[I A ]dp = C I AdP = C A dp = P (C A) = P (C)P (A) = C E(X). Por u argumeto similar al aterior, se puede cocluir que la igualdad es cierta para fucioes simples, para fucioes medibles o egativa y por ultimo para cualquier v.a.. (vii) Si A σ(x), etoces existe C B(R) tal que X 1 (C) = A, similarmete, existe D B(R) tal que Y 1 (D) = B. Por lo tato teemos que P (A B) = P [X 1 (C) Y 1 (D)] = P [X 1 (C)] P [Y 1 (D)] = P (A)P (B). La coclusió se sigue del iciso aterior.

Capítulo 2 LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS E este Capítulo se expoe los resultados clásicos del Lema de Borel-Catelli (B-C) y la Ley Fuerte de los Grades Números (LFGN). Alguos de éstos se refiere a variables aleatorias que so idepedietes o idepedietes por parejas. E la primera Secció se demuestra el Lema de Borel Catelli y alguas extesioes. Además se expoe alguas de sus aplicacioes. E la seguda Secció se estudia las Ley Fuerte de Grades Números y al igual que e la primera, se expoe alguas de sus extesioes. Alguas de éstas tiee demostracioes secillas pero o puede cosiderarse más geerales que la de Kolmogórov porque requiere de codicioes de existecia de los mometos de orde superior o igual a uo. A pesar de que la LFGN de Kolmogórov sigue siedo u resultado muy fuerte, debido a que os puede proporcioar la existecia del primer mometo y la covergecia de la serie de v.a. s a éste, requiere que las variables aleatorias sea idepedietes e idéticamete distribuidas. Las versioes que se preseta e la seguda Secció, a pesar de o ser más geerales, os da alguas vetajas e cuato a la reduccio de estas hipótesis. 2.1 LEMA DE BOREL-CANTELLI So múltiples los resultados de límites e la teoría de la probabilidad que se comprueba utilizado el Lema de Borel-Catelli, el cual costa de dos partes, ua que se refiere a la covergecia y otra a la divergecia de ua sucesió de evetos. La parte de divergecia del Lema requiere de ua hipótesis de idepedecia de evetos, la cual puede ser refiada para poder geeralizar el resultado. 13

14 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN Lema 2.1.1 (DE BOREL-CANTELLI) Sea (Ω, I, P ) u Espacio de Probabilidad y sea {E } ua sucesió de evetos del espacio. a) =1 P (E ) < = P (lim sup E ) = 0. (2.1) Si además los evetos so idepedietes b) =1 P (E ) = = P (lim sup E ) = 1. (2.2) Para demostrar la primera parte defiimos a E como E = lim sup E = =1 m= E m y podemos escribir E = =1F, dode F = m=e m. Etoces P (F ) = P ( m=e m ) P (E m ). m= Como =1 P (E ) < se cumple lim m= P (E m ) = 0 Notemos que F E cuado, lo cual implica P (E) = lim P (F ) = 0. Co lo que se demuestra (2.1). Para probar la seguda parte es suficiete co mostrar que pero para esto basta co verificar que P ( =1 m= E c m) = 0, P ( m=e c m) = 0 N. Como 1 x exp( x) x R etoces P ( m=em) c P ( N m=em) c = N m= P (Em) c = N (1 P (E m )) m= N exp[ P (E m )] m=

2.1. LEMA DE BOREL-CANTELLI 15 A partir de que m P (E m ) diverge, se tiee lim j exp[ =j m= P (E m )] = 0 etoces Asi teemos (2.2) P ( m=em) c lim exp[ N P (E m )] = 0. N m= A partir del Lema de Borel-Catelli podemos decir que si la coleccio de evetos {E } so idepedietes, etoces P (lim sup E ) = 0 P (E ) <. =1 Observemos que que es justamete la parte referete a la covergecia de evetos del Lema la que os permite euciar el Corolario 1.3.3, ya que X X c.s. si y sólo si P (lim sup X X ɛ) = 0 ɛ > 0. Alguas otras aplicacioes del Lema de Borel-Catelli, las costituye los siguietes ejemplos y el Teorema 2.1.2. Ejemplo 2.1 Si {X } es ua sucesió de variables aleatorias e L 1, existe costates positivas c tales que X c c.s. 0. La demostració se sigue del Corolario 1.3.3, ya que para cada N existe c tal que P [ X /c > ɛ] < 1/, lo cual implica que =1 P [ X /c > ɛ] < y por lo tato c.s. X /c 0. Ejemplo 2.2 Sea A el eveto de que salga cara e el -ésimo y (+1)-ésimo lazamieto de ua moeda. Si defiimos A = lim sup A, etoces A es el eveto de que salga dos caras cosecutivas ifiitas veces. Como P (A ) = 1/4 N, etoces =1 P (A 2 ) =. Por el Lema de B-C, se tiee que P (A) = 1. Teorema 2.1.2 Sea {X } ua sucesió de v.a. tal que X P X, dode X es v.a., etoces existe ua subsucesió {X k } {X } que cumple X k c.s. X cuado k Se observa que el Teorema aterior, es u tipo de complemeto a la Proposició 1.3.4.

16 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN Como para toda ɛ > 0 teemos que P [ X X > ɛ] 0, etoces podemos escoger eteros positivos k que cumpla que P [ X k X > ɛ] 2 k para cada k 1. Etoces k=1 P [ X k X > ɛ] <. Por el Lema de Borel-Catelli se obtiee que lo que a su vez os idica que X k c.s. X. P [lim sup X k X > ɛ] = 0 A cotiuació se preseta u primer refiamieto de la parte divergete de evetos del Lema de B-C. Teorema 2.1.3 Sea {E } ua sucesió arbitraria de evetos tal que =1 P (E ) = y j,k P (E j E k ) lim if ( 1. (2.3) k P (E k )) 2 etoces P (lim sup E ) = 1. A pesar de que este refiamieto elimia la codició de idepedecia de los evetos, es difícil de maejar cuado se quiere verificar sus codicioes. Co el objeto de realizar la demostració de este Teorema se realizará las siguietes defiicioes. Si teemos la sucesió de evetos {E i } cosideremos N = I 1 + I 2 + + I, dode I i = I Ei (Fució Idicadora el eveto E i ) para 1 i. Como lim sup E = {w : sup N (w) = }, etoces P (lim sup E ) puede ser estudiado por medio de las variables aleatorias N. Supogamos que p k = P (E k ) y m = p 1 + p 2 + + p. Como E[I k ] = p k etoces E[N ] = m y si m > x, por la desigualdad de Chebyshev se tiee que P [N x] P [ N m m x] Var(N ) (m x) 2. (2.4) Co estas defiicioes, procedemos etoces a la demostració. Sea θ = j,k P (E j E k ) ( k P (E k )) 2. Utilizado la otació aterior teemos que Var(N ) = EN 2 m 2 = j,k E[I j I k ] m 2 = P (E j E k ) m 2 = (θ 1)m 2 y j,k

2.1. LEMA DE BOREL-CANTELLI 17 por (2.4) resulta que P [N x] (θ 1)m 2 (m x) 2 para x < m. Como m 2 /{(m x) 2 } 1, etoces lim if P [N x] 0. A partir de que P [sup k N k < x] P [N x] obteemos que P [sup k N k < x] = 0. Si tomamos la uió sobre x = 1, 2,... etoces por lo que P [sup N < ] = 0, P [sup N = ] = 1 El siguiete Teorema os permite geeralizar la parte divergete del Lema de Borel- Catelli a evetos idepedietes por parejas. Teorema 2.1.4 Sea {E } ua sucesió de evetos idepedietes por pares tal que P (E ) =, etoces P (lim sup E ) = 1. =1 A pesar de que este Teorema os permite cosiderar solamete idepedecia por parejas e lugar de idepedecia etre los evetos, su codició de idepedecia sigue siedo ua codició muy fuerte. Co el fi de realizar la demostració utilizaremos la otació aterior. Como Var(N ) = EN 2 m 2 y EN 2 = E Ii 2 + 2 I i I j i=1 1 j i = EI 2 i + 2 EI i EI j i=1 1 j i = EI i + 2 EI i EI j + (EI i ) 2 (EI i ) 2 i=1 1 j i i=1 i=1 = (EI i ) 2 + 2 EI i EI j + (EI i (EI i ) 2 ) i=1 1 j i i=1 = m 2 + (p i p 2 i ), i=1

18 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN (p i p 2 i ) m 2 etoces Var(N ) = i=1 (p i p 2 i ). Si tomamos θ = 1 + i (2.4), que i=1 (p i p 2 i ) P [N x] = (θ 1)m 2 (m x) 2 (m x). 2 teemos, utilizado Como θ 1 (m /m 2 ) y m cuado por hipótesis, etoces lim if (θ 1) 0. Co los argumetos utilizados para el caso aterior podemos cocluir que P (lim sup E ) = 1. Es imediato recoocer que el Teorema 2.1.4 es ua geeralizació del Lema de B-C origial y a partir de la demostració de éste, teemos que si {E } es ua sucesió de evetos idepedietes por pares, etoces P (lim sup E ) = 0 P (E ) <. Si e el Lema de Borel-Catelli hacemos a u lado la hipótesis de idepedecia e la parte divergete del mismo, etoces se puede demostrar mediate cotraejemplo que =1 P (E ) = = P (lim sup E ) = 1. Ejemplo 2.3 Sea Ω = [0, 1], I la σ álgebra de Borel de Ω, P la medida de Lebesgue y E = (0, 1/) para = 1, 2,.... Claramete vemos que {E } o es ua sucesió de evetos idepedietes y que lim sup E = lim E = =1E =. Etoces P (lim sup E ) = 0, pero =1 P (E ) = =1 1/ =. 2.2 LEYES DE GRANDES NÚMEROS Las Leyes de Grades Números so resultados detro de los llamados Teoremas Límite, y su defiició (la cual se ha modificado debido a la evolució que estos ha teido) es la siguiete: las Leyes de Grades Números se refiere a la covergecia de la suma de variables aleatorias. La Ley Débil cosidera covergecia e probabilidad y la Fuerte covergecia casi segura. Alguas versioes de la Ley Débil de los grades Números tiee como cosecuecia que si observamos realizacioes de ua variable aleatoria ( grade) y dichas realizacioes so idepedietes uas de otras, etoces el promedio de los valores obteidos será muy cercao a la media de la variable aleatorias, e u alto porcetaje. La Proposició 2.2.1 es ua Ley Débil que o requiere que las observacioes efectuadas provega de variables aleatorias co misma distribució. Proposició 2.2.1 Sea X 1, X 2,..., X ua sucesió de v.a. s idepedietes tal que lim 2 VarX k = 0, k=1

2.2. LEYES DE GRANDES NÚMEROS 19 etoces g = ( X k 1 EX k )/ P 0. 1 Por la desigualdad de Chebyshev, basta demostrar que g coverge e L 2. E(g 2 ) = 2 Var(X 1 + + X ) = 2 k=1 Var(X k ) 0 cuado. Como la Ley Fuerte de Grades Números se refiere a la covergecia de la suma de v.a s e forma casi segura, etoces por la Proposicio 1.3.4, se tiee que la Ley Débil de Grades Números es u caso particular de ésta. El Teorema siguiete es ua versió de la Ley Fuerte de los Grades Números, la cual requiere que las variables aleatorias perteezca a L 4. Teorema 2.2.2 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a.i., co cuarto mometo fiito. Supogamos que EX = µ, Var(X ) = σ 2 y E[(X µ) 4 ] = ρ para = 1, 2,.... Etoces dode S = X 1 + X 2 + + X. S c.s. µ, Por la desigualdad de Markov (Proposició 1.2.3) co g(x) = x 4, se tiee que P [ ] S µ > ɛ = P [ S µ > ɛ] { } = P (X i µ) > ɛ i=1 ( 1 ) (ɛ) E 4 (X 4 i µ) i=1 1 = (ɛ) [E(X 4 1 µ) 4 + +( 1)(E(X 1 µ) 2 ) 2 ] (2.5) 1 (ɛ) 4 2 [ρ + (σ 2 ) 2 ] K 2.

20 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN La igualdad (2.5) se obtiee a partir de que las v.a. s so idepedietes, de que EX = µ (lo cual a su vez implica que térmios de la forma E[(X i µ) 3 (X j µ)] = 0, i j) y de que la sucesió de v.a. s tiee segudo mometo cetral y cuarto mometo cetrales costates. Como K es ua costate y =1 1/ 2 <, por el Lema de B-C o Corolario 1.3.3, cocluimos S c.s. µ. Proposició 2.2.3 Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes que cumple σ 2 = Var(X ) < = 1, 2,... y =1 σ 2 <, etoces =1 (X EX ) coverge c.s.. Sea S = k=1 X k, por el Corolario 1.2.5 aplicado a las variables aleatorias X +1 EX +1,..., X +m EX +m, dode m y N, se tiee que para toda ɛ > 0 P [ max 1 k m S +k S ES +k + ES ɛ] 1 ɛ 2 Defiimos T k = S k ES k, k = sup v 1 [ T k+v T k ] y = if k 1 k. Si tomamos límites e ambos lados de (2.6) cuado m, se tiee por lo que P [ ɛ] 1 ɛ 2 k=+1 P [ ɛ] 1 ɛ 2 σ 2 k 1, k=+1 σ 2 k. m σ+k 2 (2.6) k=1 Como k=1 σ 2 k <, etoces P [ ɛ] = 0; lo cual implica, a su vez, que la sucesió {S } es Cauchy c.s.. La coclusió se sigue de la Proposició 1.3.1. Ates de euciar alguas otras Leyes de Grades Números, se realizará alguas defiicioes y se verificará alguos resultados importates. Lema 2.2.4 (de Toeplitz) Sea {a } ua sucesió de úmeros reales tal que a a cuado. Etoces 1 k=1 a k a cuado.

2.2. LEYES DE GRANDES NÚMEROS 21 Lo que el Lema de Toeplitz os dice, es que si ua sucesió de úmeros reales coverge, etoces su media aritmética coverge al mismo límite que la sucesió origial. Como a a para ɛ > 0 sabemos que existe 0 (ɛ) tal que 0 (ɛ) a a < ɛ 2. Escogemos 0 tal que 1 0 0 k=1 a a < ɛ 2. Si > 0 1 a k a k=1 1 0 0 k=1 < ɛ 2 + 0 a k a + 1 k= 0 +1 a k a ɛ 2 < ɛ Lema 2.2.5 (de Kroecker) Sea {a } ua sucesió de reales tales que 1 a <. Etoces cuado. 1 k=1 ka k 0 Sea s 0 = 0 y s = 1 a k, = 1, 2,.... Se tiee etoces 1 ka k = 1 k(s k s k 1 ) k=1 k=1 1 = s 1 k=1 s k. (2.7) La serie {s } coverge a u límite fiito s y a partir del Lema de Toeplitz, 1 1 k=1 s k s cuado Teorema 2.2.6 Sea {X } ua sucesió de v.a.i. tales que Var(X ) = σ 2 <, = 1, 2,.... Supogamos que =1 σ 2 / 2 < y sea S = k=1 X k, = 1, 2,..., etoces la sucesió { 1 (S ES )} coverge c.s. a cero.

22 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN Este Teorema se deriva de la Proposició 2.2.3 y costituye ua Ley Fuerte de los Grades Números meos restrictiva que el Teorema 2.2.2, ya que solo requiere que exista el segudo mometo cetrado y o requiere que el primer y segudo mometo cetral sea iguales para cada X N. Defiimos Y = (X EX )/, = 1, 2,.... Se sigue que EY = 0 y Var(Y ) = σ/ 2 2. Por la hipótesis, teemos =1 Var(Y ) <. De la Proposició 2.2.3 se obtiee que =1 Y coverge c.s. y aplicado el Lema de Kroecker a la sucesió {Y } se obtiee el resultado. Defiició 2.4 Decimos que dos sucesioes de variables aleatorias {X } y {X } so equivaletes (tail-equivalet) si difiere c.s. e u úmero fiito de térmios. La codició aterior tambié se puede expresar como P [lim sup(x X ) 0] = P [X X i.o.] = 0. Defiició 2.5 Si las sucesioes de variables aleatorias {X } y {Y } coverge e el mismo eveto (excepto para evetos de medida de probabilidad cero), etoces decimos que {X } y {Y } so equivaletes e covergecia. Proposició 2.2.7 Si {X } y {X } so dos sucesioes de variables aleatorias tales que =1 P [X X ] <, etoces las sucesioes {X } y {X } so equivaletes y las k=1 X k}, dode b, coverge e el mismo eveto al k=1 X k } y {b 1 series {b 1 mismo límite, excluyedo al eveto ulo. Por el Lema de Borel-Catelli, se tiee que P [X X i.o.] = 0. La seguda parte se sigue imediatamete. A cotiuació se preseta la Ley Fuerte de Grades Números de Kolmogorov. A diferecia de las versioes de LGN presetadas hasta ahora, la que desarrolló Kolmogórov tiee ua doble implicació, dádoos codicioes ecesarias y suficietes (referete a la covergecia de la suma estadarizada de v.a. s) para la existecia del primer mometo. Cuado la suma estadarizada de v.a. coverge o el primer mometo existe, tambié os dice cuál es el límite de covergecias de la suma de v.a. s.

2.2. LEYES DE GRANDES NÚMEROS 23 Teorema 2.2.8 (Ley de los Grades Números de Kolmogórov) Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas (v.a.i.i.d.) Sea S = k=1 X k, = 1, 2,.... Etoces la sucesió { 1 S } coverge a u límite fiito α E X 1 <. Mas aú, e ese caso EX 1 = α. Supogamos E X 1 < y X v.a. co la misma distribució que X 1. Sea E 0 = Ω y E = [ X ], = 1, 2,.... Como E etoces E = k=(e k E k+1 ), = 1, 2,... es ua uió ajea de evetos y P (E ) = P (E E +1 ). Lo que a su vez os lleva a que Como E 0 = Ω etoces Por el Lema 1.2.4 se tiee que relació de la cual se llega a que k= P (E ) = P (E E +1 ). =1 =1 1 + P (E ) = =1 Para todo N defiimos X como Etoces = P (E ) =0 P (E 1 E ). =1 P (E ) E X 1 + P (E ), =1 =1 P (E ) <. (2.8) =1 X = X I [ X <]. Var(X) EX 2 = XdP 2 [ X <] = X 2 dp E c k 2 P (E k 1 E k ), k=1

24 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN a partir de lo cual teemos =1 Para k 1 se tiee que Var(X ) 2 =k = =1 k=1 k=1 k 2 2 P (E k 1 E k ) k 2 P (E k 1 E k ) 1 1 2 k + dx 2 k x 2 = 1 k 2 + 1 k 2 k. =k 1 2. Etoces Var(X) 2 kp (E =1 2 k 1 E k ) k=1 = 2[1 + P (E )] =1 < por (2.8). Defiimos S = k=1 Xk, = 1, 2,.... A partir del Teorema 2.2.6, aplicado a {X} podemos cocluir que S ES c.s. 0 cuado. Ahora se mostrará que 1 ES EX. Para todo N teemos que EX = X dp = XdP = E(XI E c ). [ X <] Como E c c.s. Ω, se tiee que XI E c X cuado y usado el Teorema de Covergecia Domiada de Lebesgue se cocluye que EX EX. Por el Teorema de Toeplitz se tiee que 1 ES EX. Notemos ahora que {X } y {X} so equivaletes, por lo que S S E c c.s. 0. Etoces 1 X c.s. EX cuado. Supogamos que la sucesió { 1 S } coverge c.s. a u limite fiito α. Como X = S 1 S 1 1,

2.2. LEYES DE GRANDES NÚMEROS 25 podemos cocluir que X c.s. 0 cuado. Gracias al Lema de B-C teemos que =1 P [ X ɛ] < para ɛ > 0. E particular, =1 P (E ) < y etoces E X <. La coclusió sigue de la primera parte del Teorema El siguiete Teorema es ua variació de la Ley Fuerte de los Grades Números, la cual o solo es elemetal, e el setido de que o utiliza la desigualdad de Kolmogórov, sio que es más aplicable porque solamete se requiere que las variables aleatorias sea idepedietes por pares. Si embargo, requiere que X 1 L 1. Por otro lado, a diferecia de las LFGN correspodietes a los Teoremas 2.2.2 y 2.2.6, sólo requiere que exista el primer mometo, pero ecesita que las v.a. s tega la misma distribució. Teorema 2.2.9 (Etemadi) Sea {X } ua sucesió de v.a. idepedietes por pares e idéticamete distribuidas. Si S = i=1 X i etoces teemos S E X 1 < = lim = EX 1 Como E X 1 < EX 1 + y EX1 so fiitas y X i = X i + Xi para i = 1, 2,..., si pérdida de geeralidad se puede asumir que X i 0. Sea X v.a. co la misma distribució que X 1. Sea Y i = X i I [Xi i] y sea S = i=1 Y i. Para ɛ > 0 sea k = [α ], α > 1, dode [x] represeta a la fució mayor etero meos o igual que x. Usado la desigualdad de Chebyshev teemos [ S k P ES k =1 k ] > ɛ = c = c = c 1 =1 k 2 c c 1 VarS k ɛ 2 k =1 k 2 i=1 i i=1 i=1 1 i 2 1 i 2 0 ( i 1 k=0 k+1 k=0 1 k + 1 k = cex <, c.s. = c VarY i c X 2 df (x) k+1 k=0 k k+1 k XdF (x) =1 i=1 X 2 df (x) X 2 df (x) VarS k k 2 EY 2 i i 2 dode F (x) es la fució de distribució de X 1 y c es ua costate positiva. )

26 CAPÍTULO 2. LEMA DE BOREL-CANTELLI Y LFGN Además teemos por el Lema de Toeplitz (Lema 2.2.4), ES k EX = lim XdF (x) = lim 0 EY = lim. k Por el Lema de Borel-Catelli y la Proposició 1.3.2 o el Corolario 1.3.3 obteemos etoces S k lim = EX c.s. k Además P [Y X ] = =1 = P [X > ] = df (x) =1 =1 i+1 i+1 df (x) = i df (x) =1 i= i i=1 i i+1 xdf (x) EX 1. (2.9) i=1 i Por la Proposició 2.2.7 se tiee que Y = X c.s. e u úmero fiito de térmios y además S k lim = EX 1 c.s. k Como X i 0, etoces S es moótoa y por esta razó se puede cocluir que 1 α EX S 1 lim if lim sup S αex 1 c.s. α > 1.

Capítulo 3 MARTINGALAS A pricipios del presete siglo, Berstei y Lévy itrodujero el cocepto de martigalas e forma de sumas cosecutivas de variables aleatorias y aportaro alguas geeralizacioes de resultados que era relacioados a límites de suma de variables aletorias idepedietes. El ombre de martigala apareció e la literatura de la probabilidad modera e el año de 1939 y fué el tema sobre el cual el matemático Doob dió valiosos resultados durate la década de los cuaretas y pricipios de los cicuetas. La teoría de martigalas, como la misma teoría de probabilidad, tiee sus orígees e la teoría de juegos (evidecia de ésto es que la idea de martigala expresa el cocepto de u juego justo), pero el trabajo del matemático J. L. Doob fué el que cambió totalmete la direcció de la materia co su libro (1953) [5], el cual ha sido básico para el estudio del tema por casi tres décadas. Los resultados de martigalas ahora represeta ua importate herramieta, co la cual puede geeralizarse resultados que requiere de codicioes de idepedecia. 3.1 INTRODUCCIÓN Defiició 3.1 Sea {X } 1 ua sucesió de v.a. s y {I } 1 = {I } ua familia de σ-álgebras tal que I I m I, m (e este caso se dice que {I } filtració de I), para las cuales X i es I i -medible i N. Etoces {X } N, se deomia martigala, si y sólo si X i L 1 i N y X = E[X m I ] c.s. m. La sucesió {X } se llama supermartigala o submartigala si el sigo = es reemplazado por o, respectivamete. Nota 3.2 Diremos que que ua sucesió de v.a., {X }, es martigala (sub o supermartigala), si mecioar las σ-álgebras {I }, cuato éstas sea la iducidas por las primeras variables aleatorias, es decir, cuado I = σ(x 1,..., X ). 27

28 CAPÍTULO 3. MARTINGALAS Defiició 3.3 Diremos que la sucesió de v.a. s {X } es ua sucesió adaptada a la filtració {I } si X es I -medible para = 1, 2,.... E este caso deotaremos a {X } como {X, I } 1. Proposició 3.1.1 Si X L 1 N, la sucesió de variables aleatorias {X, I } es ua martigala, si y sólo si X = E[X +1 I ]. Aálogamete, el resultado es cierto para supermatigalas y submartigalas. Si {X, I } es ua martigala etoces, es imediato que I I +1, X L 1 y X = E[X +1 I ]. Supogamos ahora que m >. Etoces E[X m I ] = E[E[X m I m 1 ] I ]=E[X m 1 I ]. Iductivamete se obtiee que E[X m I ] = X c.s. Si X es la gaacia e la jugada ésima, e ua partida de juego, etoces S = 1 X i es la gaacia total después de jugadas. La fortua esperada, dada la iformació de las gaacias ateriores, después de + 1 jugadas es de E[S +1 S 1,..., S ] (= E[S +1 σ(s 1,..., S )]). El juego es justo si E[S +1 S 1,..., S ] = S (martigala), ya que la gaacia esperada e el juego + 1, dada la gaacia hasta la jugada ésima, es igual a E[S +1 S S 1,..., S ] = S S = 0. Por la misma observació, se tiee que el juego es favorable si {S, σ(s 1,..., S )} es submartigala y es desfavorable si es supermartigala. Como la σ álgebra I = σ (S 1, S 2,..., S ) represeta la ifluecia del pasado al tiempo, ituitivamete I debe teer la misma iformació que σ (X 1, X 2,..., X ). Este resultado se demuestra e el Lema siguiete Lema 3.1.2 σ (X 1, X 2,..., X ) = σ (S 1, S 2,..., S ) Como S 1 = X 1 y S = i=1 X i, S 1, S 2, S 3,... so σ (X 1, X 1 + X 2...) -medibles, σ (S 1, S 2, S 3,...) σ (X 1, X 1 + X 2...). Similarmete, X 1, X 1 + X 2, X 1 + X 2 + X 3 so σ (S 1, S 2, S 3,...)-medibles, por lo que σ (X 1, X 1 + X 2...) σ (S 1, S 2, S 3,...)

3.1. INTRODUCCIÓN 29 Ua propiedad importate que cumple las X i (defiidas como ateriormete) es que so ortogoales, es decir, EX i X j = 0 i j si S L 2 N. Teorema 3.1.3 Si {S } es ua martigala y S L 2 1, etoces la sucesió {X } de v.a. s defiidas como X 1 = S 1, X = S S 1, para 2, es ua sucesió de v.a. ortogoales. Si j < k y I j = σ (S 1,..., S j ), pero E [S k S k 1 I j ] = S j S j = 0. EX j X k = E[(S j S j 1 )(S k S k 1 )] = E [[E((S j S j 1 )(S k S k 1 )) I j ]] = E [(S j S j 1 )E[S k S k 1 Ij]], Nótese que {X, I } es martigala si y sólo si A X = A X +1dP para toda A I, = 1, 2,.... Esto se sigue a partir de la Proposició 3.1.1 y de la defiició de esperaza codicioal. Similarmete, {X, I } es submartigala si y sólo si A X dp A X +1 dp A I y es supermartigala si y sólo si A X dp A X +1 dp A I. Nota 3.4 Si A = Ω, teemos que EX es costate e ua martigala, creciete e ua submartigala y decreciete e ua supermartigala. Como ejemplo de martigala teemos: sea Y L 1 y {I } ua filtració de I y X = E[Y I ], etoces {X, I } es ua martigala. Esta afirmació se verifica fácilmete a partir de las propiedades de esperaza codicioal E[X +1 I ] = E[E[Y I +1 ] I ] = E[Y I ] = X.

30 CAPÍTULO 3. MARTINGALAS Teorema 3.1.4 (Desigualdad de Jese) Si g : I R, dode I es u itervalo abierto de R, g es covexa y X es ua v.a. tal que X(ω) I para ω Ω, etoces se tiee que si EX < y I, E[g(X) ] g(e[x ]) c.s.. E particular E[g(X)] g(e[x]. Nótese que E[X ](ω) I c.s. E[X ] > a c.s. porque 0 {E[X ] a} y que si existe a R tal que X > a, etoces E[X a ]dp = {E[X ] a} (X a)dp 0 por defiició de esperaza codicioal, lo cual implica que X = a e {E[X ] a}. Se tiee etoces que P {E[X ] a} = 0. Como g es covexa, para toda y I, existe dos sucesioes de reales, {a } y {b }, tales que g(y) = sup (a y + b ). Etoces g(x) a X + b para toda. Aplicado lo que se acaba de mostrar, teemos que E[g(X) ] a E[X ] + b c.s.. Si tomamos el supremo sobre, teemos la demostració completa. Gracias a la desigualdad de Jese, podemos afirmar que si {X } es ua submartigala, tambié lo es {X + } y que si {X } es ua martigala, etoces { X r }, para r 1, es ua submartigala. Teorema 3.1.5 (de salto de Halmos) Sea {X, I } ua submartigala y sea v.a. s defiidas como ɛ 1, ɛ 2,... ɛ k = { 1 si (X1,... X k ) B k 0 si (X 1,... X k ) / B k, dode B k B(R ), k = 1, 2,.... Sea Y 1 = X 1 y Y =X 1 + ɛ 1 (X 2 X 1 ) + + ɛ 1 (X X 1 ), para 2. Etoces {Y, I } es tambié ua submartigala y EY EX para toda. Si {X, I } es ua martigala, etoces {Y, I } tambié lo es y EY = EX.

3.1. INTRODUCCIÓN 31 Si reemplazamos a X por S, la gaacia después de jugadas, se tiee que, Y represeta la gaacia después de jugadas siguiedo ua estrategia de juego. Después de observar S 1,..., S 1 podemos escoger el jugar o o e el siguiete turo (ɛ 1 = 1, ɛ 1 = 0, respectivamete). E caso de que ɛ 1 (S 1,..., S 1 ) = 1, la gaacia e la jugada es de S S 1. Lo que el Teorema os dice, es que o importa la estrategia que se siga, el juego seguirá siedo favorable (justo). E[Y +1 I ] = E[Y + ɛ (X +1 X ) I ] = Y + ɛ E[X +1 X I ]. Etoces E[Y +1 I ] es mayor a Y cuado {X, I } es submartigala y es igual a Y cuado {X, I } es martigala. La seguda parte se demostrará por iducció sobre k. Como Y 1 = X 1 etoces EX 1 = EY 1. Supogamos E(X k Y k ) 0 (e igual a cero, cuado {X, I } es martigala), etoces X k+1 Y k+1 = X k+1 Y k ɛ k (X k+1 X k ) = (1 ɛ k )(X k+1 X k ) + X k Y k. La esperaza de X k+1 Y k+1 dado I, está determidada así, por la siguiete expresió E[X k+1 Y k+1 I k ] = (1 ɛ k )E[X k+1 X k I k ] + E[S k + Y k ] I k E[X k Y k I k ] = X k Y k. (3.1) Obteemos etoces que E[X k+1 Y k+1 ] E(X k Y k ) 0. (3.2) Si {X, I } es martigala, etoces se tee igualdad e (3.1) y e (3.2). Teorema 3.1.6 (de cruce) Sea {X k, I k, k = 1,..., } ua submartigala. Si a y b so dos úmeros reales tales que a < b, defiimos U ab como el úmero de veces que las v.a. s sale del itervalo (a, b). Sea T 1 = T 1 (ω) el primer etero e {1, 2,..., } tal que X T1 a, T 2 el primer etero mayor que T 1 tal que X T2 b, T 3 el primer etero mayor que T 2 tal que X T3 a, y así sucesivamete defiimos T j, co j N. Defiimos a T i = si la codició o se satisface.

32 CAPÍTULO 3. MARTINGALAS Si N es la catidad de T i que so fiitas, defiimos a U ab como U ab = N/2 si N es par y U ab = (N 1)/2 si N es impar, etoces EU ab 1 b a E[(X a) + ]. Supogamos a = 0 y que X i 0 para toda i e {1,..., }. Defiimos a T i como ates y a ɛ i como 0 Si i < T 1 1 T 1 i < T 2 ɛ i = 0 T 2 i < T 3 1 T 3 i < T 4... Etoces X 1 + ɛ 1 (X 2 X 1 ) + + ɛ 1 (X X 1 ) = X 1 + X T2 X T1 + X T4 X T3 +. Si Y j = X 1 + ɛ 1 (X 2 X 1 ) + + ɛ j 1 (X j X j 1 ), j = 1,...,, etoces Y j la suma de los icremetos desde que se es igual a cero hasta que se es igual o se rebasa b, más X 1. Etoces Y b U ab. Como ɛ j puede ser expresado e térmios de X 1,..., X j, {Y k, I k, k = 1,..., } es ua submartigala (por el Teorema 3.1.5) y EY EX. Se tiee así que EU ab 1 b EY 1 b EX. E geeral, {(X k a) +, I k, k = 1,..., } es ua submartigala y el úmero de veces que {X k, I k, k = 1,..., } sale de (a, b) es el mismo de que veces que {(X k a) +, I k, k = 1,..., } sale de (0, b a). A cotiuació se preseta u Teorema de covergecia de martigalas. Teorema 3.1.7 Sea {X } es ua martigala, si lim E X = K <, etoces lim X = X existe c.s. y E X K. Nota 3.5 Siempre podemos hablar del lim E X (auque sea a ifiito) ya que {E X } es ua sucesió creciete (Por Nota 3.4 y Desigualdad de Jese).

3.2. TIEMPO DE PARO Y TEOREMA DE PARO OPCIONAL 33 El subcojuto A, de Ω dode {X } o coverge es {lim sup X (ω) lim if X (ω) 0} = r1,r 2 Q{lim sup X (ω) > r 2 > r 1 > lim if X (ω)}. Si A r1,r 2 = {lim sup X > r 2 > r 1 > lim if X } para r 1, r 2 Q y U r1 r 2, es el úmero de veces que las v.a. X 1,..., X sale del itervalo [r 1, r 2 ], etoces U r1 r 2, cuado, e A r1,r 2. Por otro lado, el Teorema 3.1.6 os dice EU r1 r 2, 1 r 2 r 1 E[(X r 1 ) + ] 1 r 2 r 1 (K + r 1 ). Estas dos afirmacioes, juto co el hecho de que K <, señala que P (A r1,r 2 ) = 0. Etoces lim sup X = lim if X c.s., es decir que el lim X existe (fiito o ifiito) co probabilidad 1. Por el Lema de Fatou, E X lim E X = K, dode lim X = X. Etoces X es itegrable y fiito c.s.. Como caso particular, podemos observar que si las v.a. so o egativas o o positivas, etoces E X = EX = costate y respectivamete y para toda. E X = EX = costate, 3.2 TIEMPO DE PARO Y TEOREMA DE PARO OPCIONAL Sea {S, I } ua martigala. Si uevamete cosideramos a S como el capital total de u jugador después de jugadas y el jugador puede decidir dejar la partida después de la τ-ésima jugada, queremos coocer lo que se puede decir de S τ, que es el capital fial. Nótese que τ debe ser ua v.a. co la propiedad de que dados S 1,..., S, se puede tomar la desició de seguir o o jugado. Defiició 3.6 Sea {I } 1 ua filtració de I. Decimos que τ es u tiempo de paro para {I } si es u mapeo τ : Ω {0, 1,..., } tal que {τ } I para cada N.

34 CAPÍTULO 3. MARTINGALAS Como {τ = } = {τ } {τ 1} y {τ } = 0{τ = k}, la defiició es equivalete al requerimieto de que {τ = } I para = 0, 1,.... Si {S } es ua sucesió de v.a. s, u tiempo de paro para {S } 1 es el tiempo de paro relativo a {σ(s 0, S 1,..., S )} 0. Uo de los ejemplos más importates de tiempo de paro es the hittig time o tiempo de llegada a u cojuto B. Sea {X } es ua sucesió de v.a. s y B B(R), defiimos τ(ω) = mi{ N X (ω) B} si X (ω) B para algú, τ(ω) = si X (ω) uca llega a B. τ defiida así, es u tiempo de paro para {X } 1, ya que {τ } = k {X k B} σ(x k, k ). Si {S } es ua sucesió de v.a. s, dode S represeta la fortua del jugador después de la -ésima jugada, τ es u tiempo de paro para {S } 1 y { Sj Sj (ω) si j τ(ω) (ω) = S τ(ω) (ω), si j > τ(ω), (3.3) etoces S j (ω) represeta la jugada co la estrategia de salida o tiempo de paro τ. La trasformació (3.3) se deomia como la trasformació bajo el Sistema de Paro Opcioal. Lo que el siguiete Teorema os dice, es que o importa la estrategia de salida que se siga, el juego permaaecerá siedo favorable o justo es que así era e u pricipio. El Teorema se euciará, fuera del cotexto de juegos, para {X, I } martigala. Teorema 3.2.1 (Paro Opcioal) Supogamos que la submartigala (martigala) {X } se trasfoma segú (3.3), es decir, sea τ u tiempo de paro para {X } 1 y { Xj (ω) si j τ(ω) Y j (ω) = X τ(ω) (ω), si j > τ(ω). (3.4) Etoces {Y } es tambié ua submartigala (martigala) y EX 1 EY EX (EX 1 = EY ) para 1. Como Y es igual, por partes, a X 1,..., X, etoces E Y E X j <. 1 Supogamos que {X } es ua submartigala (martigala). Se tiee que demostrar que F Y +1 dp (=) Y dp (3.5) F