DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas. - - - 4 5 - Una de la formas de epresar la ecuación de una recta es y = a + b, donde a es la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen, es decir, el valor donde corta la recta al eje y.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población: Meses 4 5 6 7 8 9 0 Nacimientos 60 70 8 50 0 00 98 0 95 80 70 54 Para saber cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de enero y de abril, basta con dividir la variación de nacimientos entre la variación de los meses: 50 60 90 = = 0 nacimientos/ mes 4 Este número que se obtiene mide la variación media del aumento de nacimientos mensual. Epresado de otra forma, este número indica que, por término medio, el número de nacimientos de un mes a otro ha aumentado en treinta. A este número se le llama tasa de variación media. Se llama tasa de variación media de una función f() en el intervalo [ a,b ], con a<b, y se representa por TVM f [ a,b ], al cociente: f(b) f(a) TVM f [ a,b] = b a En la siguiente figura, se representa los valores de la función necesarios para el cálculo de y la TVM: f(b) B f(b)-f(a) f(a) A b-a a b IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
Observamos que la tasa de variación media es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos A ( a,f ( a )) y ( ( )) Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de la función Sol:. B b,f b. f() = + en [ 0, ]. Observación.- Si en lugar de considerar el intervalo [ a,b ], se considera el intervalo [ a,a h] +, con h>0, la tasa de variación media en dicho intervalo es: f(a + h) f(a) TVM f [ a,a + h] = h Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de la función f () = en el intervalo [, +h]. Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) F() = 4 en [, +h] b) F() = -+ en [, +h] c) F() = - en [4, 4 + h]. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si la variación de una función se mide en un intervalo cada vez más pequeño, llegará un momento en el que la recta secante se convertirá en la recta tangente y la variación será una variación instantánea. Si en el intervalo [a, a+h] h se hace tan pequeña como se quiera ( h tiende a 0), el intervalo se reducirá al punto a. Por tanto, se define la derivada de la función f() en = a y se escribe f (a) mediante el siguiente límite: f '(a) = lím h 0 f(a + h) f(a) h Cuando eiste este límite, se dice que la función es derivable en = a. Ejemplo.- Calcula la derivada de la función f () = en =. Ejercicio.- Calcula la derivada de la función f () = en =. Ejercicio.- Calcula la derivada de la función f () = en =. 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
La derivada de una función en un punto representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a f() en (a,f(a)) vendrá dada por: y-f(a)=f (a)(-a) Ejercicio.- Halla la ecuación de la recta tangente a f()= en =. Ejercicio.- Halla la ecuación de la recta tangente a f() = + en = 4. DERIVADAS LATERALES Al estar definida la derivada de una función en un punto mediante un límite, para que eista es necesario que eistan los límites laterales y éstos sean iguales: Derivada por la derecha de f() en = a, se escribe f (a + ) y se define como: + f(a + h) f(a) f '(a ) = lím+ h 0 h Derivada por la izquierda de f() en = a, se escribe f (a - ) y se define como: f(a + h) f(a) f '(a ) = lím h 0 h Una función es derivable en un punto si eisten las derivadas laterales y son iguales. Ejemplo.- La función si 0 = si < 0 no es derivable en = 0. Ejercicio.- 4 si < - La función f() = es derivable en =? + 4 si - La función f() = es derivable en = 0? IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
5. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es derivable en un punto, automáticamente es continua en dicho punto. Sin embargo, si una función es continua en un punto no se tiene garantizada la derivabilidad en dicho punto. Por tanto: DERIVABLE CONTINUA NO CONTINUA NO DERIVABLE Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como suavidad, como ausencia de cambios bruscos, sin picos. y 5 4 - - 4 5 - Esta función es continua en = y = - y, sin embargo, no es derivable en dichos puntos (no hay suavidad). En = la función no es derivable ya que no es continua. - El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto eige la resolución de un límite, en muchos casos engorroso. Si, además, para una misma función tenemos necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el nombre de función derivada y se representa por y o f (). Se define así: f '() = lím h 0 f( + h) f() h Ejercicios.- Para las siguientes funciones calcula f (). a) f() = 4 b) f() = c) f() = d) f() = 6. DERIVADAS SUCESIVAS Si derivamos f () obtenemos otra función que se llama derivada segunda de f() y se escribe f (). De forma análoga se puede definir la derivada tercera, cuarta,..y, en general, la derivada n-ésima. 7. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. REGLAS DE DERIVACIÓN IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 4
Utilizando la definición de función derivada se puede obtener la función derivada de las funciones elementales. A continuación se epone la derivada de las funciones más usuales: IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 5
Tipo Función simple Función compuesta Constante f() = C C R f '() = 0 Identidad f() = f '() = Potencial Irracional Eponencial Logarítmica f() = f() = n a f() = e f() = a f '() f '() f '() a = a a a = n n n n f '() f() = L f '() f() = loga f '() La ' f() = a f() f '() ' f() = f() f( ) = e f ' n n n f() e ' = e f '() f( ) f() = a La = [ ] a ' = a La f '() f '() L(f()) ' = f() f '() Log a(f()) ' = f() La = [ ] Trigonométricas Seno f() = sen f '() cos = [ ] Coseno f() = cos f '() = sen [ cos(f()) ]' Tangente f() = tg f '() Suma y resta (f ± g)' = f ' ± g' cos sen(f()) ' = cos(f()) f '() = [ ] Reglas de derivación = sen(f()) f '() tg(f()) ' = f '() cos (f()) La derivada de la suma o resta de varias funciones es la suma o resta de las derivadas de dichas funciones. Producto ( f g )' = f ' g + f g' La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera Cociente Producto de un número y una función ' f f ' g f g' = g g ( a f )' Composición ( ) = ( ) función por la segunda sin derivar más el producto de la primera sin derivar por la segunda derivada. La derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por el denominador derivado y todo dividido entre el cuadrado del denominador. = a f ' La derivada del producto de un número por una función es el producto del número por la derivada de la función g f() ' g' f() f '() Regla de la cadena IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 6
Ejercicios. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = en el punto de abscisa = 5.Sol: y=7-5.. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = ( ), que es paralela a la recta de ecuación y = 6 5.Sol: y=6-5.. Deriva las siguientes funciones: a) f() = + b) ( ) 7 f() = + + c) f() = 4 d) f() = e) ( ) 90 f(t) = t + f) f(t) = ( t + ) 00 g) f() = e h) z f(z) = z e i) f(t) = t cos t + tg t j) k) 7 f() = f() = e l) f() = cos m) f() = tg ( ) n) ( )( ) 5 o) f() = 4 f() = + 5 ( ) p) f() = 7 + 8 q) + 4 f() = 6 + + si 4. Hay algún número a para el que la función f() = a si > derivable en =? Sol: No hay ningún valor de a para que f sea derivable en dicho punto. sea 5. Estudia la derivabilidad de la función derivable en =, teniéndose que f () =. f() = 9 si > si en =. Sol: Es 6. Calcula m y n para que 5 y m = 0. + f() = > m 5 si 0 +n si 0 sea derivable en R. Sol: n= 7. Deriva las siguientes funciones: a) y = ( + ) c) y = ( + ) b) + y = d) y = 4 + 4 IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 7
8. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y represéntalas: si < a) f() = en =.Sol: Es continua y derivable en =, siendo f () =. + si b) < f() = si 0 si 0 en = 0.Sol: Es continua y derivable en = 0, siendo f (0) = 0. 9. Calcula la derivada de las siguientes funciones, simplificando aquellas en las que sea posible: a) ( ) 4 b) f() = 4 + f() = e + c) f() = sen(4 ) d) e) f) g) f() = cos (5) f() = 4 cos f() = f() = 4 h) f() = log ( + 7) i) f() = e j) f() = L( 5) k) l) L + f() = f() = sen 4 m) n) o) p) q) r) s) f() = ( + ) + f() = f() = + 5 + 6 f() = + f() = L cos(5 ) 4 f() = f() = + 7e t) f() = L ( cos( )) u) ( ) v) f() = 4 + 6 5 + f() = ( + ) 0. Representa gráficamente la función 0 si f() = + si < 5 si > a) En qué puntos no es continua? b) En qué puntos no tiene derivada?. Dada la función + f() = si 0 0 + b + c si < Determina los valores de b y c para que la función sea continua y derivable en [ 0, ]. IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 8
. Se considera la función + si 0 f() = a + b si 0 < + si > a) Calcula los valores de a y b para que f sea continua en R. b) En qué puntos es derivable la función?.. Determina los valores para los que las siguientes funciones su derivada es nula: a) f() = + c) h() = b) g() = + + d) 4 i() = 4. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f() en el punto =. f() 4 + 5 si = + > si 5. Determina los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en todos los puntos. f() = a + b si > si 6. Halla los valores de a y b para que la siguiente función se continua y derivable en el conjunto de los números reales: + f() = b si < a b si 7. Sea la función si f() = a + b( - ) si < a) Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f()? b) Para qué valores de a y b es derivable? IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 9
8. Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función según los valores del parámetro a: + + < f() = L( ) si a a si 9. Dada las funciones f() = 5 + y g() = +, se pide: a) Eprésalas mediante funciones definidas a trozos. b) Represéntalas gráficamente. c) Estudia su continuidad y derivabilidad. 0. Para las siguientes funciones, realiza su representación gráfica, estudia su continuidad y derivabilidad: a) b) + si 4 < < 0 + 6 f() = si 0 < si + < < si g() = - si 0 < - si c) < < si 4 4 h() = si 0 < - si. La ecuación de movimiento de un cuerpo viene dada por espacio en metros y t el tiempo en segundos. e = 0t t, siendo e el a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre s y 4 s. b) Halla la velocidad instantánea para t = s. c) En qué instante la velocidad de este cuerpo ha sido de m/s?. Halla a y b para que la siguiente función sea derivable en R : Sol: a = y b = -7. + f() = a si b 4 si > IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 0
. Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de en el punto (,5) sea la recta y = +. si 4. Sea la función f() = + m + 5 si > a) Calcula m para que la función sea continua en =. b) Para ese valor de m, es derivable en =? c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 0. f() = a b 5. Dada la función f() = a + b, determina a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (,) y que, en ese punto, la pendiente de la recta tangente es -. 6. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() = en + el punto de abscisa =. 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f() = + L( ) en el punto de abscisa =. + < 8. Dada la función f() = para que f() sea derivable en su dominio. a si + b + si, determina los valores de a y b IES ALFONSO ESCÁMEZ Página