167 9. LA LUZ Y LA OPTICA GEOMETRICA La óptca, o estudo de la luz, consttuye un ejemplo de cenca mlenara. Ya Arquímedes en el sglo III A.C. era capaz de utlzar con fnes bélcos los conocmentos entonces dsponbles sobre la marcha de los rayos lumnosos a través de espejos y lentes. Sn planteamentos muy elaborados sobre cuál fuera su naturaleza, los antguos aprenderon, prmero, a observar la luz para conocer su comportamento y, posterormente, a utlzarla con dversos propóstos. Es a partr del sglo XVII con el surgmento de la cenca moderna, cuando el problema de la naturaleza de la luz cobra una mportanca sngular como objeto del conocmento centífco. Fueron dos las prmeras hpótess que se formularon para explcar la naturaleza de los fenómenos lumnosos: la hpótess corpuscular, o de Newton, y la ondulatora, sostenda por el holandés Crstan Huygens. Según Newton, la luz estaba consttuda por numerosos corpúsculos que emtían los cuerpos lumnosos y que, al chocar con nuestra retna, la mpresonaban, producéndonos la sensacón lumnosa. Huygens, por el contraro, opnaba que la luz no era otra cosa sno un fenómeno ondulatoro semejante al sondo y que su propagacón era de la msma naturaleza que la de un frente de onda. Ambas teorías, podían explcar de gual manera los fenómenos lumnosos entonces conocdos, esto es, la propagacón rectlínea de la luz, la reflexón y la refraccón de los rayos lumnosos. Pero, cuando más tarde se descubró que, además de dchos fenómenos sencllos, la luz manfestaba otros más complejos, como los de nterferenca y dfraccón, característcos de los movmentos ondulatoros, ya no se pudo segur sostenendo la teoría de la emsón de corpúsculos, a pesar de la tremenda nfluenca y autordad de Newton, que la había supuesto y mantendo, pensándose entonces exclusvamente que la luz estaba compuesta por ondas. Para poder entender, asmlar o comparar las ondas lumnosas con otras ondas conocdas, el físco francés Fresnel pensó que el medo que las transmtía era una sustanca hpotétca, elástca e magnara que, sn ser vsta, llenaba el Unverso, a la que se le do el nombre de éter. Las ondas lumnosas serían pues, según esta teoría, ondas elástcas transversales del éter, con todas las propedades característcas de este tpo de ondas. Claro está que este éter no tene nada que ver con la sustanca que se conoce con el msmo nombre y que se usa como anestésco y dsolvente. Pero, aparte de lo forzado y poco natural de esta suposcón, la consderacón del éter como medo de propagacón de la luz presentaba el grave nconvenente de que, para poder explcar el alto valor de la velocdad de propagacón de la luz en dcho medo, y la transversaldad de las ondas, el éter debería presentar propedades muy contradctoras, ya que tendría que ser, al msmo tempo, de pequeñísma densdad y de enorme elastcdad, cosa dfícl de magnar. Esta dfcultad fue vencda fnalmente, cuando Maxwell, no sólo demostró que la luz no era otra cosa que ondas electromagnétcas, con lo cual la hpótess del éter ya no era necesara. Maxwell no sólo demostró que la luz estaba formada por ondas electromagnétcas, sno que tambén tanto ella, como todas las demás, en el vacío se propagaban con la rapdez de [ km s] Fotometría: Intensdad lumnosa: 300000. S se observan los dferentes cuerpos lumnosos se nota nmedatamente que la cantdad de luz que emten no es la msma en todos ellos; así, es notable que el Sol emte más luz que un arco eléctrco, éste mas que un foco ncandescente, este más que una vela, y ésta más que una lucérnaga.
168 Estas característcas de los cuerpos lumnosos, recbe el nombre de ntensdad lumnosa ( I ) y para medrla la undad usada en el Sstema Internaconal de Undades es la candela, que se defne como: Un cuerpo lumnoso que tene la ntensdad de una candela (cd), emte 1 60 de la luz que produce un centímetro cuadrado de cuerpo negro, a la temperatura de fusón del platno. Como se ndcó, la ntensdad varía mucho de unos cuerpos lumnosos a otros, por ejemplo: la de un foco ncandescente de 40 [ watt ] es de 40 candelas; la de una lámpara fluorescente de 5 40 [ watt ], de 350 candelas; la de una vela, de una candela; la del Sol, de 1,6 10 candelas por cada centímetro cuadrado, mentras que la de una lucérnaga es de unos cuantos mlésmos de candela. Ilumnacón: En la práctca dara, más mportante que la ntensdad lumnosa, es la lumnacón, esto es, la luz que recben los cuerpos, ya que s se encende un foco es para lumnar el lbro que se lee, el entorno donde se trabaja, la mesa donde se escrbe, etc. S se pone atencón en el fenómeno de la lumnacón, nmedatamente se nota que depende de dos factores: la ntensdad del foco que lumna y la dstanca a que se encuentra del objeto lumnado. S se lumna un cuerpo con dferentes focos lumnosos, colocados a la msma dstanca de él, se llega a la conclusón de que la lumnacón que recben los cuerpos es drectamente proporconal a la ntensdad lumnosa del cuerpo que los lumna; es decr, s la ntensdad aumenta, la lumnacón aumenta; mentras que s la ntensdad dsmnuye, la lumnacón dsmnuye. Observando los 2 resultados expermentales, se notará que la msma cantdad de luz que emte 1[ cm ] a 10 [cm] de 2 la fuente lumnosa, se dstrbuye en una superfce de 4[ cm ], cuatro veces mayor, por lo que la lumnacón es cuatro veces menor, cuando la superfce se encuentra a una dstanca de 20 [cm]; 2 lo msmo que en una superfce de [ ] 9 cm, nueve veces mayor, por lo que la lumnacón es nueve veces menor, cuando la superfce se encuentra a una dstanca trple, 30 [cm]. De lo anteror se deduce que la lumnacón es nversamente proporconal al cuadrado de la dstanca, la cual comprueba la ley de Kepler de la lumnacón: La lumnacón que recbe un cuerpo, es drectamente proporconal a la ntensdad del cuerpo lumnoso que lumna e nversamente proporconal al cuadrado de la dstanca que se presenta entre el cuerpo lumnoso y el cuerpo lumnado. S representa la lumnacón, I la ntensdad lumnosa y r la dstanca del cuerpo lumnoso al cuerpo lumnado: I =. (9.1) 2 r La undad que se usa para medr la lumnacón, es el lux ([ lx ]), que se defne como: Un lux es la lumnacón que recbe una superfce colocada a un metro de un cuerpo lumnoso, cuya ntensdad es de una candela. Para determnar la lumnacón que recben los cuerpos y la ntensdad lumnosa de las fuentes, se usan aparatos que recben el nombre de fotómetros.
169 Reflexón de la luz: La luz, por comportarse como una onda, al llegar a un obstáculo se refleja en él, es decr, regresa al lugar de donde provno. La reflexón de la luz puede efectuarse de dos maneras, a las que se les conoce con los nombres de: reflexón rregular o dfusa, y reflexón regular o especular. Estas varían de acuerdo con las característcas de la superfce reflectora. La reflexón dfusa se da sobre los cuerpos de superfces más o menos rugosas. Este tpo de reflexón es muy mportante porque hace posble que se vean los objetos que nos rodean, ya que, para que se vea algo, es necesaro que se tengan rayos de luz entre el cuerpo de que se trate y el ojo que observa; así debdo a la reflexón rregular, de todos los puntos lumnosos e lumnados salen rayos en todas dreccones, algunos de los cuales van de dchos puntos a los ojos. La reflexón regular tene lugar cuando la superfce es perfectamente lsa. Un espejo o una lámna metálca pulmentada reflejan ordenadamente un haz de rayos conservando la forma del haz. La superfce reflectora se denomna superfce especular o espejo y se caracterza porque los rayos que llegan en una dreccón determnada se reflejan en otra dreccón, tambén determnada. Claro está que las superfces especulares o espejos, en realdad no se ven; lo que se ve son las mágenes que producen. Reflexón regular, Leyes de la reflexón de la luz: I ángulo de ncdenca N (NORMAL) ángulo de reflexón R Rayo ncdente θ θ r Rayo reflejado E O E ' La línea EE representa un espejo plano. El rayo ncdente, IO, es el rayo de luz que llega al espejo. El punto de ncdenca, O, es el punto donde el rayo ncdente llega al espejo y del que parte el rayo reflejado. El rayo reflejado, OR, es el rayo de luz que resulta del fenómeno. La normal, ON, es la línea magnara que, sendo perpendcular al espejo, pasa por el punto de ncdenca. El ángulo de ncdenca, θ, es el ángulo que forma el rayo ncdente con la normal. El ángulo de reflexón, θ, es el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal. r Se observa que, en todos los casos, los rayos y los ángulos verfcan la ley de la reflexón de las ondas en general. Esta ley de la reflexón de la luz cuyo conocmento es muy antguo, cas tanto como las más antguas leyes de la humandad se puede enuncar en la forma: El rayo ncdente, el rayo reflejado y la normal, se encuentran en un msmo plano. El ángulo de ncdenca es gual al ángulo de reflexón, es decr:
170 θ = θ r. ley de la reflexón) (9.2) Imágenes: Sempre que se observa un objeto por medo de un aparato de óptca, sencllo como un espejo plano, o complcado como un mcroscopo o un telescopo, lo que se ve no es el objeto sno su magen con respecto a dcho aparato de óptca, magen que puede ser del msmo tamaño que el objeto, más grande, pequeña, derecha, nvertda y real o vrtual. Las mágenes se forman porque, cuando los rayos de luz que provenen de un objeto lumnoso o lumnado llegan a un aparato de óptca, lo únco que les sucede es que camban de dreccón. Por convencón, una magen será real cuando los rayos reflejados tocan la magen producda por el objeto y será una magen vrtual cuando no lo toque. Por ejemplo, cuando un ndvduo se coloca frente a un espejo plano, de todos sus puntos salen rayos de luz que llegan al espejo, camban de dreccón y se reflejan en dreccones dvergentes por lo que no se cruzan, pero sus prolongacones sí lo hacen precsamente donde se forma su magen, la cual se encuentra detrás del espejo, y no se puede recbr en una pantalla, característca que dstngue, como ya ndcamos, a las mágenes vrtuales. Fg. Imagen (A ) de un objeto (A) en un espejo plano EE. A pesar de usar la palabra vrtual, se sabe, por la experenca cotdana, qué tan real puede parecer una magen vrtual y qué tan defnda es su localzacón en el espaco que se encuentra por detrás del espejo; aunque este espaco pueda, de hecho, estar ocupado por una pared de ladrllos. Las mágenes en un espejo plano deferen de los objetos en el hecho de que la zquerda se ntercamba por la derecha. Así por ejemplo, s se hace grar un trompo en el msmo sentdo de rotacón de las manecllas de un reloj, su magen vsta a través de un espejo vertcal plano, grará en contra de las manecllas del reloj. En la fgura anteror, la geometría elemental demuestra que los ángulos DAB y BA D son guales. Por lo tanto, los trángulos rectángulos DABD y DA BD son congruentes. Llamando a la dstanca AG, dstanca objeto o ; a la dstanca A G, dstanca magen encontramos: o =, (9.3)
171 en la cual el sgno menos se ntroduce arbtraramente para ndcar que A y A se encuentran en los lados opuestos del espejo. Espejos esfércos: Entre los espejos que no son planos, los más mportantes son los esfércos, es decr, aquellos cuya forma corresponde a un casquete esférco, o sea la superfce que resulta cuando una esfera se corta con un plano. Los espejos esfércos pueden ser de dos clases: cóncavos, que reflejan la luz por dentro, y los convexos, que son los que lo hacen por fuera. Para poder estudar los fenómenos óptcos que se presentan en los espejos esfércos, se necesta consderar las característcas que se ndcarán en seguda. Como estas característcas son las msmas para los espejos cóncavos y convexos, se ndcarán en una sola fgura. C F A f r Fg.: Característcas de los espejos curvos. El vértce: Es el centro A del espejo. Centro de curvatura: Es el centro de la esfera de la que es parte el espejo consderado,c. La dstanca entre el vértce A y el centro de curvatura es r. Eje prncpal o eje del espejo: Es la recta CA que pasa por el centro de curvatura y el vértce. Foco F : es el punto que se encuentra a la mtad de la dstanca entre el centro de curvatura y el vértce. Se defne como el punto magen cuando sobre un espejo ncde luz paralela a su eje (objeto muy dstante). La dstanca entre el punto focal F y el vértce A se denomna dstanca focal f. Podemos encontrar gráfcamente la magen de cualquer punto fuera del eje, utlzando los sguentes procedmentos: Un rayo que ncde en el espejo después de haber pasado (o su prolongacón) a través del centro de curvatura C, regresa a través de su msmo camno. Esto se debe a que tal rayo es perpendcular al espejo y por la ley de la reflexón s el ángulo de ncdenca es cero, el de reflexón tambén será nulo. Un rayo que ncde en el espejo paralelo a su eje, pasa (o su prolongacón) a través del punto focal F.
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 172 Un rayo que ncde en el espejo después de pasar (el rayo o su prolongacón) a través del punto focal, emerge paralelo al eje. Las fguras que a contnuacón se muestran ndcan las mágenes producdas por espejos cóncavos y convexos. Note que para uno cóncavo, s el objeto está entre delante del foco, la magen será real, pero s el objeto está entre el foco y el espejo, la magen será vrtual. Un espejo convexo sempre produce una magen vrtual y de tamaño más pequeño que el objeto. Fgs: Imágenes de un cuerpo en espejos esfércos cóncavo y convexo. Por otro lado, un cálculo más laboroso de la geometría producda por los rayos de luz que ncden y se reflejan a un espejo es posble encontrar una ecuacón que relacona las dstancas objeto e magen. La ecuacón encontrada, conocda como la ecuacón de los espejos es: 1 1 2 1 + = =, o r f donde el conveno de sgnos utlzados es el sguente: (9.4)
173 Observamos prmero el lado del espejo en la cual ncde la luz. Debdo que el espejo es opaco, la luz debe permanecer en este lado después de reflejarse y s se forma una magen esta será real. Por lo tanto, el lado del espejo del cual provene la luz se llama lado R (la R por magen real). La parte posteror del espejo recbe el nombre de lado V (lav por magen vrtual) debdo a que las mágenes formadas en ese lado del espejo deben ser vrtuales, ya que no exste luz en ese lado. 1. La dstanca magen es postva s la magen (real) se encuentra en el lado R del espejo; es negatva s la magen (vrtual) se encuentra en el lado V del espejo. 2. El rado de curvatura r y la dstanca focal f son postvas s el centro de curvaturac del espejo está en el lado R ; r y f negatvos s el centro de curvatura se encuentra en el lado V. De esta forma un espejo cóncavo posee un rado de curvatura y dstanca focal postva y para uno convexo estas cantdades son negatvas. Aumento Lateral ( m ): La fgura muestra a un rayo que se orgna en la punta de una vela que srve como objeto. Este se refleja en el punto v y pasa a través de la punta de la vela magen. La ley de la reflexón mplca que este rayo forma ángulos guales con el eje del espejo, tal como se muestra. Para los trángulos semejantes de la fgura se puede escrbr, Fg. La poscón de la magen de un objeto extenddo como el de una vela. ce vc =. bd vb La cantdad de la zquerda, sn consderar el sgno, es el aumento lateral m del espejo. Como se desea representar una magen nvertda por un aumento negatvo, en este caso se defne vb = o, se tene de nmedato, que arbtraramente a m como ( ce bd ). Como vc = y
174 m o =. (9.5) Esta ecuacón determna, en todos los casos, el aumento producdo por los espejos esfércos y planos. En un espejo plano, o = y el aumento predcho es de +1, de acuerdo con nuestra experenca, ndca que la magen será derecha y del msmo tamaño que el objeto. Refraccón de la luz: Al observar cómo se comporta la luz, frecuentemente se producen fenómenos nteresantes que se deben a la refraccón. Por ejemplo, al ntroducr una varlla recta en el agua, parece que se quebra donde se encuentra la superfce del líqudo; en las lentes, las mágenes de los objetos se ven más grandes o más pequeñas, derechas o nvertdas, según sea el caso. El fenómeno de la refraccón de la luz consste en que cuándo la luz llega a la superfce de separacón entre dos sustancas dferentes, camba de dreccón, con la excepcón del caso en que la luz llega perpendcular a dcha superfce. Para estudar este fenómeno, es necesaro tener en cuenta los factores que se ndcan gráfcamente. N I ángulo de ncdenca medo 1 A θ O Superfce de separacón B θ R T medo 2 ángulo de refraccón
175 La superfce de separacón o nterfase AB, es la que se presenta entre las dos sustancas que ntervenen. El rayo ncdente IO, es el rayo de luz que se estuda y llega a la superfce de separacón. El punto de ncdencao, es el punto en que el rayo ncdente llega a la superfce de separacón. El rayo refractado o transmtdoot, es el rayo de luz que resulta del fenómeno. La normal NO, es la recta, perpendcular a la superfce de separacón y que pasa por el punto de ncdenca, la cual como la luz pasa al otro lado de la superfce de separacón, se prolonga haca dcho lado. El ángulo de ncdencaθ, es el ángulo que forma el rayo ncdente con la normal. El ángulo de refraccón o transmtdo θ R es el ángulo que forma el rayo refractado con la normal. La razón por la que los rayos de todos los movmentos ondulatoros camban de dreccón al refractarse se debe al cambo de velocdad al pasar de un medo o sustanca a otro. Al consderar los valores de los ángulos de ncdenca y de refraccón correspondentes, se comprueban las reglas de la refraccón de la luz: Cuando la luz pasa de un medo menos denso a otro más denso, se acerca a la normal, es decr, el ángulo de ncdenca es mayor que el ángulo de refraccón. Cuando la luz pasa de una sustanca más densa a otra menos densa, se aleja de la normal, es decr, el ángulo de ncdenca es menor que el ángulo de refraccón. S se observan las condcones en que se realzan los fenómenos de la refraccón de la luz, junto con los valores de los coefcentes del seno del ángulo de ncdenca, entre el seno del ángulo de refraccón correspondente, se comprueban las leyes de la refraccón de la luz, que se pueden ndcan en la forma sguente: 1. El rayo ncdente, la normal y el rayo refractado, se encuentran sobre el msmo plano. 2. Ley de Snell). El cuocente entre el seno del ángulo de ncdenca y el seno del ángulo de refraccón, es constante para cada par de sustanca, y recbe el nombre de índce de refraccón relatvo. De esta forma, s el rayo de luz ncde en un medo 1, con índce de refraccón absoluto n 1, refractándose en un medo 2, con índce de refraccón absoluto n 2, la ley de Snell se escrbe como: sen sen ( θ ) ( θ ) R n = n 2 1 = n 21, (ley de Snell) (9.6) donde n21 es el índce de refraccón del medo 2 relatvo al medo 1. Observacón: Para toda clase de ondas, la velocdad de propagacón depende de las propedades que posea el medo. Por ejemplo, para ondas producdas en una cuerda elástca, la velocdad de propagacón depende de la tensón aplcada a la cuerda, su masa y largo. Para una onda electromagnétca, como es el caso de la luz, la velocdad de propagacón depende de 2 cantdades físcas llamadas permtvdad eléctrca ε y la permeabldad magnétca µ donde, 1 v =. (9.7) ε µ
176 12 2 2 S el medo por el cual se propaga la luz es el vacío, donde = 8,85 10 [ C N m ] [ T m A] 7 µ = 4 π 10, v = c = 8,85 10 1 12 4 π 10 7 = 3 10 8 m s, ε y v < c que corresponde a la velocdad de la luz en el vacío. Para cualquer otro medo, ya que las respectvas permtvdades eléctrcas y permeabldad magnétca aumentan de valor en otro medo con respecto al vacío. En óptca se suele comparar la velocdad de la luz en un medo transparente con la velocdad de la luz en el vacío, medante el llamado índce de refraccón absoluto n del medo: se defne como el cocente entre la velocdad c de la luz en el vacío y la velocdad v de la luz en el medo, es decr: c = n. v De esta forma s un medo 1 tene un índce de refraccón absoluto n 1, y otro medo 2 uno n 2, el índce de refraccón relatvo será: c v c v v n 2 1 2 = = = n. 21 (9.8) 1 v2 n1 La tabla que a contnuacón se da, contene los índces de refraccón absolutos, es decr, el cuocente c v para algunas sustancas o medos. Por ejemplo, como n agua = 1, 33 = c v, resulta 8 que la velocdad de propagacón de la luz en el agua es v c 1,33 = 2,26 10 [ m s] 8 damante, v = c 2,42 = 1,24 10 [ m s], etc. =, en el MEDIO Vacío Acetona Agua Alcohol Benceno Cloruro( desodo) Cuarzo( funddo) Damante Lucta Sulfuro( decarbono) Vdro( óptco) Yoduro( demetleno) n 1 1,36 1,33 1,36 1,5 1,53 1,46 2,42 1,51 1,63 1,52 1,74 Tabla: Índces de refraccón absolutos para algunas sustancas