(p +Q 222 P +Q P +Q )

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO..- PUNTOS. Sstema de referenca: Un sstema de referenca en el espaco 93 consste en un conjunto formado por un punto fjo, O, llamado orgen y una terna de vectores B = {t,],k}, que llamaremos base. Todo punto A del espaco 93 tene asocadas unas coordenadas respecto de un sstema de referenca. Estas coordenadas son equvalentes a las coordenadas del vector fjo DA en la base del sstema de referenca. - - - -- - - - ';',, -7 O J -7 }-< - -;-) ~ v a /.-'" - - - - - ", ---7 L -7 OP:= a +: bj + ek, --:7.. -----;. j,,' bj" Se llama geometría vectoral a la geometría que sólo se ocupa de vectores y qeometría afín a la que además utlza puntos del espaco. Por ejemplo, una suma de vectores correspondería a geometría vectoral, pero s queremos calcular un punto a una certa dstanca de otro punto dado ya estaríamos trabajando dentro de la geometría afín: B=A+A' Coordenadas del vector que une dos puntos: Las coordenadas de un vector que une los puntos P(PPP2,pJ y Q(qpq2,q3) venen dadas por el resultado de realzar la operacón PQ = OQ- OP y son PQ = (q - Ppq2 - P2,q3 - P3)' Coordenadas del punto medo de un seqmento: Dado el segmento PQ, donde P(PPP2,P3) y Q(Q'Q2,Q3) son sus puntos extremos, se calcula el punto medo del segmento hacendo la sem-suma de las coordenadas, es decr, M =, 2 2, 3 3. (p +Q 222 P +Q P +Q ) Coordenadas del punto smétrco de un punto respecto de otro: El smétrco de P(P'P2,pJ respecto de Q(QpQ2,Q3) es P'(a,fJ,S) s Qes el punto medo del segmento PP'. Las coordenadas de P' se calculan despejando de las sguentes gualdades: Q -_ p +a 2 Observacón: estas últmas fórmulas no es necesaro aprendérselas, basta con saber cómo hallar el punto medo de un segmento. DAVD RVER SANZ /6

TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. 2.- RECTAS EN EL ESPACO. ECUACONES Una recta en el espaco vene determnada por una dreccón (un vector) y un punto por el que pasa. Dado el punto P(PPP2,P3) y el vector =(Ul,U2,U3) cualquer punto de la recta que tene por dreccón al vector u y pasa por el punto P se puede construr a partr del punto P y sumándole una certa cantdad de veces el vector. De esta forma construmos la ecuacón vectoral de la recta: Q=P+t, te9t, que expresada en coordenadas equvale a gualando las coordenadas obtenemos las ecuacones Daramétrcas de la recta: y = P2 + tu2 {X Z=P3+tu3 = p + tul con t E R Elmnando el parámetro t en la ecuacón anteror, obtenemos la ecuacón contnua de la recta: Observacón: Esta notacón puede ser utlzada en el caso en el que alguna coordenada del vector sea nula, sempre y cuando comprendamos que su sgnfcado es sólo notaconal. De esta ecuacón contnua obtenemos dos ecuacones (ya que hay dos sgnos "="), y despejándolas llegamos hasta las ecuacones mdlíctas de la recta: {AX+BY+CZ A' x + By + C' = Z = DD' Observacón: En realdad cada una de estas ecuacones es un plano, luego la recta vsta en ecuacones mplíctas es en realdad la nterseccón de dos planos que se cortan en ella. DAVD RVER SANZ 2/6

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. 3.- PLANOS EN EL ESPACO. ECUACONES Un plano en el espaco vene determnado por dos dreccones (dos vectores) y un punto por el que pasa. Dado el punto P(P,P2,P3) y los vectores U=(Ul,U2,U3) y V=(Vl,V2,v3) (lnealmente ndependentes) cualquer punto del plano se puede obtener a partr del punto P y sumándole una combnacón lneal de los vectores u y v. De esta forma construmos la ecuacón vectoral del Dlano: Q = P + tu + SV, t, s E m, que expresada en coordenadas equvale a gualando las coordenadas obtenemos las ecuacones Daramétrcas del Dlano: y = P2 + tu2 + sv2 {X z = P 3 + tu 3 + SV 3 con t,s E m Como los vectores son lnealmente ndependentes, el rango de la matrz formada por ambos será 2. De gual modo, s añadmos la columna de térmnos ndependentes (consderando como varables a t y a s), el rango tambén será 2. Por tanto el determnante debe ser cero. y- P2 -tu2 +sv2 {X- z- P3 =tu3 +sv3 [X- P Pl :tu +sv rg y- P~ v2 =2 ~ Y-P2 z- P3 Vlj v3 x- Z - Pl P3 De esta forma se obtene la ecuacón Ceneralo mdlícta del Dlano, resultando al operar el determnante: Ax + By + Cz + D = O donde A,B,C,D E m Observacón: Dado que la ecuacón general del plano se obtene del determnante en el que dos de sus columnas son los vectores drectores, la operacón equvale a hacer el producto vectoral de ellos. Por lo tanto el vector (A,B,C) es un vector perpendcular al plano, llamado vector normal. La ecuacón de un plano a partr de un punto P y de un vector normal a vene dada por: ~, ------------------------------------, DAVD RVER SANZ 3/6

TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. 4.- POSCONES RELATVAS A) POSCONES RELATVAS DE DOS PLANOS Dados dos planos exsten varas posbldades en cuanto a la { r r':: A'x+By+C'z Ax + + Cz = = DD' poscón relatva entre ellos: pueden cortarse en una recta, pueden ser paralelos o pueden ser concdentes. Para estudar en cuál de los casos estamos, recurrmos a estudar el rango de la matrz del sstema (M) formado por los dos planos y el rango de la matrz amplada (M '). Esto es lo msmo que estudar el número de solucones que tene el sstema: ) S rang(m)=rang(m')= el sstema es compatble ndetermnado. En partcular una ecuacón es proporconal a la otra, por lo tanto los planos serán concdentes, es decr, son el msmo plano. ) S rang(m)=rang(m ')=2 el sstema es compatble ndetermnado, pero en este caso se cortarán en una recta (porque hay nfntas solucones, pero no son concdentes. Esas nfntas solucones forman una recta, que ya vmos en el apartado, en las ecuacones mplíctas de una recta). Se llaman secantes. ) S rang(m)= b= 2=rang(M') entonces el sstema es ncompatble, por lo tanto no exste nnguna solucón, es decr, nngún punto pertenece a los dos planos a la vez, por lo tanto serán paralelos. Observacón: dos planos serán paralelos s tenen el msmo vector normal, es decr s sus ecuacones, omtendo el térmno ndependente, son proporconales. B) POSCONES RELATVAS DE TRES PLANOS Dados tres planos r': A' x + By + C' z = D', exsten varas posbldades en cuanto a la { r r": : Ax A" + x By + B" + Cz y + = C"z D = D" poscón relatva entre ellos: pueden ser concdentes los tres, o dos de ellos y el otro paralelo o cortarlos, pueden ser los tres paralelos, pueden cortarse entre ellos dos a dos, pueden cortarse los tres en la msma recta o ncluso pueden cortarse los tres en un únco punto. Todo ello dependerá de los rangos de la matrz de coefcentes (M) y de la matrz amplada (M'): ) S rang(m)=rang(m ')= el sstema es compatble ndetermnado, pero además sabemos que todas las flas son proporconales, por lo que estamos hablando de planos concdentes. ) S rang(m)=bó 2=rang(M') el sstema es ncompatble, no exste nnguna solucón y por tanto exsten dos posbldades: que los tres planos sean paralelos o que dos sean paralelos y el tercero concdente con uno de ellos (esto dependerá de s una de las ecuacones de proporconal a otra o no). ) S rang(m)=2=rang(m') el sstema es compatble ndetermnado, tenemos nfntas solucones. De nuevo tenemos dos posbldades: por lo tanto que los tres planos se corten en una recta o que dos sean concdentes y el tercero los corte en una recta (este caso ocurrrá cuando dos de las ecuacones sean proporcona les). v) S rang(m)=2;t 3=rang(M') El sstema es ncompatble, es decr no exste nnguna solucón, o lo que es lo msmo, no hay nngún punto pertenecente a los tres planos a la vez por lo que podemos estar ante tres planos paralelos o dos paralelos y el tercero cortarlos (esta últma posbldad depende de que haya dos ecuacones proporconales excepto en su térmno ndependente). v) S rang(m)=3=rang(m') El sstema es compatble determnado por lo tanto tene una únca solucón, entonces los tres planos se cortan en un punto. Para calcular ese punto sólo habrá que resolver el sstema. DAVD RVER SANZ 4/6

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. C) POSCONES RELATVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO Dados una recta y un plano: r: {AX+BY+CZ A'x+By+C'z = = DD',exsten varas posbldades en cuanto 7r : A" x + B" y + C"z = D a la poscón relatva entre ellos: Pueden cortarse en un punto, pueden ser paralelos o puede que la recta pertenezca al plano. Todo ello dependerá una vez más de los rangos de las matrces asocadas. En este caso partmos de que el rango de la matrz M no puede ser, ya que los dos prmeros planos determnan una recta y por tanto no pueden ser paralelos. ) S rang(m)=2=rang(m '). El sstema es compatble ndetermnado, luego hay nfntas solucones, por lo tanto la recta estará contenda en el plano. Y las solucones concden con los puntos de la propa recta. ) S rang(m)=27o 3=rang(M '). El sstema es ncompatble, por lo tanto no exste nngún punto en común, es decr, la recta es paralela al plano. ) S rang(m)=3=rang(m'). El sstema es compatble determnado, por lo tanto exste una únca solucón, la recta corta al plano (el punto en el que se cortan la recta y el plano será la solucón del sstema). D) POSCONES RELATVAS DE DOS RECTAS r :{AX+BY+CZ A'x+By+C'z s : ax+by+cz = = DD' = d Dadas dos rectas: { a'x +by +c' z = d', exsten varas posbldades en cuanto a su poslclon relatva: pueden ser concdentes, pueden ser paralelas, pueden cruzarse (sn cortarse) y, por últmo, pueden cortarse en un punto. De nuevo hay que estudar los rangos de las matrces del sstema. En este caso el rango de M es al menos 2, ya que cada dos planos está defnda una recta. ) S rang(m)=2=rang(m '). El sstema es compatble ndetermnado, exsten nfntas solucones, por lo tanto las dos rectas deben ser la msma, son concdentes. ) S rang(m)=27o 3=rang(M '). El sstema es ncompatble, por lo tanto no exste nngún punto en común. Como el rang(m' )=3, hay un plano que contene a las dos rectas, por lo tanto son paralelas (por ser coplanaras y no cortarse). ) S rang(m)=3=rang(m'). El sstema es compatble determnado, por tanto las dos rectas se cortan en un punto. v) S rang(m)=3 * 4=rang(M '). El sstema es ncompatble por tanto no exste nngún punto en común, pero en este caso las rectas no son coplanaras, luego se cruzan. DAVD RVER SANZ 5/6

TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACO. RESUMEN CONCDENTES SECANTES PARALELOS ELATVAS DE DOS PLANOS 7[': A' x + By + C'z = sstema formado Dar los dos Danas rang(m)=rang(m v M' la matrz')= amdlada. D' { ". : Ax + By + Cz = D SE CORTAN CONCDENTES UN PUNTO DOS CONCDENTES DOS PARALELOS Y OTRO Y EL UNO LOS OTRO CONCDENTE CORTE LOS CORTA UNA RECTA tema ') formado por los tres rang(m)=rang(m planos PARALELOS SEyCORTAN M' la')= matrz EN UNA amnlada. PARALELOS RECTA POSCONES RELATVAS DE TRES PLANOS 7[': A' X + 7[": By + A" C' X z + = B" D' y + C" z = D". rax+~+q~d do Dar la recta v el Dana rang(m)=rang(m v M' la matrz ')=2 amdlada. CTA Y UN PLANO r: A' X + By + C'z = D' RECTA SE RECTA CORTAN CONTENDA PARALELA UN ENAL PUNTO ELPLANO {AX+ By+Cz~ D 7[: A"x+B"y+C"z = D DE DOS RECTAS formado Dar las rectas rang(m)=rang(m v M' la matrz ')=2 amdlada. a' A'x+By+C'z X + by + e'z = = d' D' PARALELAS SECANTES CONCDENTES SE CRUZAN (EN (COPLANARAS) PUNTO) r : { Ax + By + Cz ~ D S: {ax+by +CZ ~ d DAVD RVER SANZ 6/6

fn él {.? EC. TA S Puntos s ~T Escrbe las ecuacones de la recta que pasa por el --7 punto --7. PO, --7-3, O) Y es paralela --7 al vector U X v, slendo uo, -, 2) Y v(2, O, O). Las coordenadas de los puntos representados s~ ).~ en esta fgura son:. :../G y x)"ouu...r (O, O,'3); (O, 3, 3); (3, 3, 3); (3, O, 3); (3, 0, O); (3, 3, O); (O, 3, O); (O, 3/2, 3); (0, 3, 3/2); (3, 3/2, O); (3, O, 3/2) Asoca a cada punto sus coordenadas. 2' Comprueba s los puntos A O, -2, ), B(2, 3, O) Y C(-l, 0, -4) están alneados.,.;s Calcula a y b para que los puntos AO, 2, -), B(3, 0, -2) Y C(4, a, b) estén alneados. D'. --7 3--7 :~ Halla los puntos P y Q tales que AQ = -::-AB ) --72--7 AP ="3 AQ, sendo A(2, 0,) Y BO, 5, -4).!J: 'Halla el smétrco del punto A (-2, 3, O) respecto del punto MO, -, 2). rty Los puntos AO, 3,-), B(2, 0, 2) Y C(4, -, -3) son vértces consecutvos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértce, D, y el centro del paralelogramo. Redas, Escrbe las ecuacones de la recta que pasa por los puntos A (-3, 2, ) Y B(-;, ;, o). g Comprueba s exste alguna recta que pase por los puntos P(3,, O), Q(O, -5, ) Y R(6, -5, ). (;; Escrbe las ecuacones paramétrcas y las ecuacones mplíctas de los ejes de coordenadas. s '~ Estuda la poscón relatva de las sguentes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posble: x- y+2 z-l a) r: -3- =-2- = -4- s:-------- x+2 _y-3 _z-2-2 3 x- y- z-2 b)': --=--=-- - 2 x-4 y-4 z-5 S --=--=--. 4 2 x z+l c) r: - = y - = -- 2 3 s. {'X- 3y-z+ 2y- = O s:. y {x= z= = 3 4 6A + 4A 8A s'~;] Obtén el valor de a para el cual las rectas s se cortan: r:x = y= z- a s ---=--=-- 2x- y+3 z-2. 3-2 O~ r y Calcula el punto de corte de r y s para el valor de a que has calculado. e- En s, dvde por 2 el numerador y el denomnador de la prmera fraccón. s íl, Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas: s 'í (~ Halla las ecuacones (paramétrcas, mplíctas, r: y = 3 + A forma contnua... ) de la recta que pasa por el punto A (-4, 2, 5) Y es paralela al eje OZ. {X z= = 5 -+ 4A A x y- z+3 S:-=--=-- m 3 n

' S a) Balla el vector drector de la recta determna- da por los planos. r. {x- y+z=2y = O í b) Escrbe las ecuacones paramétrcas de la rec- ta anteror. @ Expresa la sguente recta como nterseccón de dos planos: ~ x y+ lr:-=--=z 2 -! 5t' Se. de sus puede lados construr sobre las unrectas trángulo r y que s? tenga dos! x-l r: -- = y = z + j 2 s: y = - + A {X z= = 2A A Planos : 5~ Halla la ecuacón mplcta de cada uno de los sguentes planos: a) Determnado por el punto A (, -3, 2) Y por los vectores u(2,, O) Y v(-l, O, 3). -t -t b) Pasa por e~unto P(2, -3, ) Y su vector! normal es n (5, -3, -4).. x y+ z c) Perpendcular a la recta?= -- = - y que - - 3 pasa por el punto (, O, ). ~ ~ de Halla los las planos ecuacones Oxy' OYZ, paramétrcas OXZ. e mplíctas 2@ Escrbe las ecuacones paramétrcas de los planos: j b)x =- c) y = 2 la) z = 3 2! Cuáles el vector normal del plano x = -? Escrbe las ecuacones de una recta perpendcu- lar-a ese plano que pase por A (2, 3, O). 522 Calcula m y n para que los planos sguentes sean paralelos: ja:mx+y-3z-=0 p: 2x + ny - z - 3 = O Pueden ser X y pconcdentes? 523 Escrbe l~ e:uacón del pano que pasa por los. puntos Sguentes:, 0(0, O, O), A(2, 2, O), B(,, 2) 524 Estuda la poscón relatva de la recta y el plano r:-2-=--= -, n: x - y + Z - 3 = O l sguentes:~_. x- 3 y + z 52~ Determna las ecuacones paramétrcas del pla-,no ~u~ contene al punto P(2,, 2) Y a la rec! ta Sguente: r:x-2=--=-- y-3 z-4 - -3! 526 Consdera las rectas sguentes:! r: -- = y = z - 2 s: x - ~ {x - 2z = 5 2 x- 2y = a) Comprueba que r y s son paralelas. b) Halla la ecuacón mplcta del plano que contene a r y a s. 52 Son coplanaros los puntos A 0, O,O), B (O,, O), C(2,, O) Y D(-l, 2, )?!En caso afrmatvo, escrbe la ecuacón!no que los contene. del pla 523 Estuda la poscón relatva de los hes planos en cada uno de los sguentes,.casos: a) 3y + 2z - = O {X x+ + 2y y+ - z-2=0z - 3 = O -.- b) x-y + Z - 2 = O {2x-Y+Z-3=O 3x-y+z-4=O! c) 3x + y - 2z = O {X-Y+Z-l=O 2x + 2y - 3z + 4 = O """ 529punto Calcula A la (, ecuacón O, ).Y del la recta: plano que determnan el r: { 2x-y+2z x + y - z + = =0O

halla Halla la ecuacón del plano que contene a la Calcula b para que las rectas r y s se corten. Cuál es el punto de corte? r --=--=-- x- y+5 z+l. 2-3 2 x y-b z-l s _=--=--. 4-2 s~: Determna, en cada' C'dSO, el valor de k para que las rectas r y S sean coplanaras. Halla, después, el plano que las contene: x y-k z. a) r -=--=- s: y= -e {X z= = - + le le b) r: x - 6 = y - 3 _ z - 3 3 2 --- s: y = 4 + kle {X z= = 36 +2e+ 6e Halla la ecuacón del plano que pasa por los puntos A(2, 2, ), B(6,, -) Y C(O, -2, -) de dos formas dstntas: a) Medante vectores. b) Llamando ax + by + cz + d = O al plano y oblgando a que los tres puntos cumplan la ecuacón. Se obtene, así, un sstema de ecuacones. Dadas la recta r, determnada por los puntos (,, ) Y B(3,, 2), Yla recta: s: {X y -2z-=0-2=0 estuda su poscón relatva y halla, s exste, la ecuacón del plano que las contene. Halla la ecuacón del plano que. pasa por los puntos A(, 3,2) Y B(-2, 5, O) yes paralelo alarecta y= 2+ A. {X z=-2 = 3-3A- le recta r: y = -- le yes paralelo a: z= le {X = 2 + 3A x-3 y+ z s --=--=-. 5 2-3 s:'~é"; Calcula el valor de m para que los puntos AÚn, O, ), BCO,, 2), C(, 2, 3) Y DO, 2, ) estén en un msmo plano. Cuál es la ecuacón de ese plano? Dado el plano (;: 2x - 3y + Z = O Y la recta x- y-2 z+l r: -- = -- = o la ecuacón del - 2' " r y es perpend plano que contene a la recta cular al plano (;. Halla las ecuacones de la recta determnada la nterseccón de los planos (; y (;2: t: {X y z= = 32-3e + - Jl. (;2:X +y - z = 3 por Estuda la poscón relatva de la recta y el plano sguentes: r: {X y=2 = 3 Sean la recta ": ax - y + 4z- 2 = O. t: Z = {3X-y+Z 2x -z+3=0 ";0 b) Exste algún valor de a para el cual r sea perpendcular al plano? " y- z- - yel plano a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano. Dados la recta r: {X - 2z+ 4 3 = _ O Yel plano (;: X + 2y + 3z - = O, halla la ecuacón de una recta s contenda en el plano (; que pase por el punto PC2,, -) Y sea perpendcular al'. El vector dreccón de s ha de ser f!mpendcular al vector d-eccón de r y al vector ndfuldel plano. \

Halla la ecuacón de una recta que cumpla las condcones sguentes: ) Es par<llela a la recta de ecuacones: T) r. {X y+3z=5 + a= 5 Pasa por el punto de nterseccón de la recta s con el plano n: x-l y~3 z+2 s --=--=--. 4 2 3 n: x - y + Z = 7. Escrbe la ecuacón del plano que pasa por los puntos A(, -3,2) Y ECO,, ) Yes paralelo a la recta: r: {3X - 2y + 3z-+ 3 = O 4tt, Dados los planos mx + 2y - 3z - = O Y 2x - 4y + 6z + 5 = O, halla m para que sean: a) Paralelos. b) Perpendculares. Halla la ecuacón de la recta que pasa por el punto PO, 2, 3) y es perpendcular al plano que pasa por el orgen y por los puntos E(,, ) Y C(l, 2, ). Halla las ecuacones de la recta r que pasa por el punto P(2, O,-) Y corta a las rectas: x-2 y-2 z+l s --=--=-- l 2 - - {x+ y y-3z+3=o + 4 = O s?: Estuda las poscones relatvas del plano: n:x+ ay-z= y de la recta valores de a. r: {2x+ x-y-y-az= z=a- 2 según los Dados los planos: n:ax +y + Z = a y n':x - ay+ az = - comprueba que se cortan en una recta para cualquer valor de a. Obtén el vector dreccón de esa recta en funcón de a. 55,2 a) Halla la ecuacón de un plano n que pasa por el punto A (-, -, ) Y cuyo vector normal es v(, -2, -). b) Determna las ecuacones paramétrcas de la recta r que se obtene al cortarse n con n2: z-l = o. 5 ; '@ 548 Escrbe la ecuacón del plano que contene a la recta ": y es paralelo a { 2x-y+z x+y -=0 =0 s--=-=-- -x y z+2. -2 3-4 -7-7 Dados -7 los vectores -7 u (2, 3, 5), v (6, -3, 2), W (4, -6, 3), p (8, O, a), y los planos: -7-7 n: (x, y, z) = (,2,3) + /"'u +!-lv -7-7 n': (x, y, z) = (, 2, 3) + /"'w +!-lp estuda la poscón relatva de n y n' según los valores de a. Estuda la poscón relatva de los sguentes planos según los valores de n: {x+ y = my+ z= O x + ( + m)y+ mz = m + s~~~ j Consdera las rectas sguentes: r: { ax x - 3y -3z+3=0 + 6 = O s: {X - 2ay+ 2y- 4a- z- 4 = O a) Avergua s exste algún valor de a para el cual las rectas están contendas en un plano. En caso afrmatvo, calcula la ecuacón de dcho plano. b) Determna, cuando sea posble, los valores de a para los cuales las rectas son paralelas y los valores de a para los que las rectas se cruzan. Halla la ecuacón de la recta que pasa por A (,, ), es paralela al plano n: x - y + z - 3 = O y corta la recta s:. {x= y=3