APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO 01-014 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 1. TEMA 0:NÚMEROS REALES 1.1. CONJUNTOS NUMERICOS... 1.. INTERVALOS Y SEMIRECTAS.... 1.. VALOR ABSOLUTO.... 5 1.4. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.... 6. IGUALDADES NOTABLES. 6. DEFINICIÓN DE RADICAL. 7.1. Propieddes de los rdicles... 7.. Simplificció de rdicles... 7.. Reducció ídice comú.... 7.4. Rciolizr.... 7.5. Etrcció de fctores de u rdicl.... 8.6. Itroducció de fctores e u rdicl.... 8 4. CONCEPTO DE LOGARITMO. 9 4.1. Log A e l clculdor... 9 4.. L A e l clculdor... 9 4.. Propieddes de los logritmos.... 9 4.4. Cmio de se.... 11 5. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.ECUACIONES Y SISTEMAS 1 5.1. Opercioes co poliomios.... 1 5.. Descomposició Fctoril.... 1 5.. FRACCIONES ALGEBRAICAS.... 1 6. ECUACIONES 14 6.1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO... 15 6.. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS.... 16 6.. ECUACIONES RACIONALES... 18 6.4. ECUACIONES IRRACIONALES.... 18 6.5. ECUACIONES EXPONENCIALES... 18 6.6. ECUACIONES LOGARÍTMICAS.... 0 6.7. SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS.... 0 6.8. INECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA.... 6.9. INECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA.... 6.10. INECUACIONES FRACCIONARIAS.... 4 6.11. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.... 5 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 1. TEMA 0:NÚMEROS REALES 1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.. REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA L represetció de u úmero rel sore l rect se hrá de u modo u otro segú el tipo de úmero que se: Etero o deciml ecto: ;,47 Deciml periódico: Puede epresrse e form de frcció y, de este modo, se represet dividiedo cd uidd etre ls prtes que teg el deomidor y tomdo tts de ess prtes como idique el umerdor: 5/6, -8/5 Rciol cudrático: Costruyedo triágulos rectágulos y teiedo el cuet el Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 Teorem de Pitágors: 6; 10 1.. INTERVALOS Y SEMIRECTAS. 1..1. INTERVALO ABIERTO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, si coger éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: (,) { R / < < } 1... INTERVALO CERRADO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros reles compredidos etre y icluyedo éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: [,] { R / } 1... INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO. So itervlos dode uo de sus etremos es ierto y el otro cerrdo. Se os puede presetr los siguietes csos: (,], itervlo ierto e y cerrdo e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y si coger l y tomdo l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } [,), itervlo cerrdo e y ierto e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, cogiedo l y o l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } 1..4. SEMIRECTAS. So itervlos dode uo de sus etremos es u úmero rel y el otro es Teemos los siguietes csos: ± [, ) { R / } Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 (, ) { R / < } (,] { R / } (,) { R / < } B 1.4. ENTORNOS Se llm etoro de cetro y rdio r, y se deot por Er() o E(,r), l itervlo ierto (-r, +r). Er() (-r, +r) Los etoros se epres co yud del vlor soluto. Er(0) (-r, r) se epres tmié <0, o ie, -r < < r. Er() (-r, +r) se epres tmié - <0, o ie, -r < < +r. 1.4.1. ENTORNO REDUCIDO Se emple cudo se quiere ser qué ps e ls proimiddes del puto, si que iterese lo que ocurre e dicho puto. E r*() { (-r, +r), } 1.5. VALOR ABSOLUTO. Cosideremos los úmeros 5 y 5, estos dos úmeros tiee el mismo vlor si el sigo, o lo que es lo mismo, tiee el mismo vlor soluto. El vlor soluto de u úmero se desig por y coicide co el úmero si este es positivo o co el opuesto si este es egtivo... si... 0... si... < 0 Tomemos por ejemplos - -(-) 6 6-6 -(-6) 6 Oservd que pr elimir ls rrs del vlor soluto, os teemos que fijr e el sigo de lo que vy detro de ls rrs del vlor soluto. Si es positivo, qued igul y si es egtivo, cmimos el sigo de lo que vy detro. El prolem se os preset cudo o coozcmos el sigo. Por ejemplo, resolver l siguiete ecució co vlor soluto Pr resolverl, lo primero es quitr el vlor soluto. Deemos coocer el sigo de lo de detro (). Como o coocemos el vlor de, o coocemos su sigo, o podemos quitr el vlor soluto. Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 E estos csos se supoe que lo de detro del vlor soluto puede presetr los dos sigos, luego el prolem tiee dole solució. Supoemos e primer lugr que > 0 ê Supoemos e segudo lugr que < 0 - - Ejemplo: Hllr l solució (es) de l siguiete ecució: - 1 5 4 Supoemos - 1<0 -+1 5-4 Supoemos hor -1>0-15 6 1.6. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. 1 1.- 0 1.- 1.- - 4.- ( ) m.m 5.- m m ( ) m 6.- m. m+ 7.- m : m- 8.- (..c) d d. d.c d 9.- c c Todo úmero etero que ce e ceros, se puede epresr como producto del úmero si los ceros, por u poteci de se 10 y epoete igul l úmero de ceros: 50.000.000 5. 10 7 (otció cietífic) Todo úmero deciml se puede epresr como producto del úmero si l com por u poteci de se 10 y epoete egtivo igul l úmero de cifrs decimles.. IGUALDADES NOTABLES. 0 00005 5. 10-6 14 567 14567. 10-1.- (+) + +.- (-) +.- (+) + ª + + 4.- (-) ª + 5.- (+).(-) Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 Ejemplos: ( + 5) + 5 + 5 + 10 + 5 ( 5) () 5 + 5 4 0 + 5 ( + 1) ( ( )+1) ( ) +1 +(( ))1 ( ) +(-) - (-)+( )+1 4 + + 1 ( ) ( + ) () 9 4. DEFINICIÓN DE RADICAL. Dd l ecució, llmmos ríz -ésim de, u de ls solucioes de dich ecució, y que se simoliz por, dode es el ídice de l ríz y el rdicdo..1. Propieddes de los rdicles 1.-...-.- m. m m 4.- ( ) m.. Simplificció de rdicles Ddo m, si y m tiee divisores e comú, podemos simplificr el rdicl, por ejemplo:.. Reducció ídice comú. 16 1 8 6 4 Oteer el ídice comú de vrios rdicles cosiste e hllr el m.c.m. de los ídices, dividir este mcm etre cd ídice y el resultdo multiplicrlo por el epoete del rdicdo. Por ejemplo, reducir ídice comú los siguietes rdicles:,, 6 7 El mcm(,,6) 6.4. Rciolizr. ê 6, 6, 6 7 Rciolizr u frcció cosiste e elimir ls ríces del deomidor de u frcció multiplicdo el umerdor y el deomidor por u epresió decud. Dich epresió v e fució de l epresió del deomidor. Podemos distiguir dos csos: Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 1.- m. m. m m. m. m ( + c ) +.- c ( c )(. + c ) c c Ejemplos:Rciolizr ls siguietes epresioes: 5 5 5. 5. 5 5 5. 5 5 5. 5 5 5 7 7. ( + ) ( )(. + ) 7 + 7 7 7.5. Etrcció de fctores de u rdicl. Pr etrer fctores de u rdicl p, p dee ser myor o igul que. Se divide p etre, el cociete os dice cuátos fctores sle y el resto os idic cuátos se qued: 5 4..6. Itroducció de fctores e u rdicl. 4 Pr itroducir fctores detro de u rdicl, se elev el fctor l ídice: Ej : 5..6.1. SUMA DE RADICALES. 5. Pr sumr o restr rdicles, éstos dee ser semejtes, es decir, h de teer el mismo ídice y el mismo rdicdo: 4 4 5. 1 +. 7 75 5.. +.. 5. 5. +..5 (10+6-15)..6.. PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES Pr multiplicr y dividir rdicles lo primero es reducir ídice comú y, plicdo propieddes de rdicles, reducir u solo rdicl... 1 5 4.. 1 5 4 6 4. 1 5 4. 1 8 1 9 1 5 1 17 1 5 17 1 1 1 5 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 4. CONCEPTO DE LOGARITMO. Se u úmero rel positivo, o ulo y distito de 1, y A otro úmero positivo o ulo. Se llm logritmo e se del úmero A, l epoete que dee elevrse l se pr oteer el úmero A. Se represet por log A A Ejemplos 1.- Hllr los siguietes logritmos: ) log 16 16 4 4 log 16 4 1 ) log 1/ 9 9 - - - 5.- Clculr: log 18, log 4, log 5 5 De l ifiidd de ses que podemos elegir pr u logritmo, hy dos que so, e l práctic, los más utilizdos, los de se 10 y se e. Bse 10: Los logritmos de se 10, se llm Logritmos decimles, y se suele represetr de l siguiete form 4.1. Log A e l clculdor Estos logritmos decimles se puede oteer directmete co l clculdor, usdo l tecl log. Por ejemplo, si desemos clculr el vlor de log 45, procederímos de l siguiete form 45 log e l ptll prece 89166084 log 45 89166084 Bse e: Se llm logritmos eperios y se represet por 4.. L A e l clculdor Estos logritmos tmié se otiee directmete usdo l clculdor y co l tecl l, por ejemplo, si desemos oteer el vlor de l 45, teclerímos 45 l e l ptll prece 5 5015811 l 45 5 5015811 4.. Propieddes de los logritmos. Ls siguietes propieddes de los logritmos so fudmetles pr poder operr co los mismos. Ls propieddes de los logritmos so ls propieddes de ls potecis. 1.- log 1 1.- log 1 0 0 1 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0.- log log 4.- log log 5.- Logritmo de u producto log (A.B) log A + log B A 6.- Logritmo de u cociete log log A log B B 7.- Logritmo de u poteci log A.log A 1 8.- Logritmo de u riz log A log A Domir ests propieddes, equivle poder resover u gr ctidd de prolems. Ejemplos: 1.- Hllr el vlor de los siguietes logritmos decimles si usr l clculdor: 1 1 1 ) log 10 log10.1 ) log 40 + log 5 log(40.5) log 1000 log 10 80 c) log 80 log 8 log log10 1 8.- Descompoer los siguietes logritmos e logritmos simples: ) log (.y.z) log + log y + log z. y ) log log (.y) log z log + log y log z z.log + log y log z.- Reducir u solo logritmo ls siguietes epresioes ) log A + 5log B log Z log A + log B 5 log Z log ( A.B 5 ) log Z 5 A. B log Z 1 1 ) log A + log B + log Z log A + log B + log Z log ( ). B. Z 1 A lo ( A. B. Z ) 4.- Siedo que log 0 010, hllr el vlor de los siguietes logritmos ) log 8 log.log. 0 010 0 900 ) log 5 log(10/) log 10 log 1 0 010 0 699 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 4.4. Cmio de se. 15 c) log 0 15 log log 15 log 1000 log 1000 1000 log1000 log1000 log 8 log 1000-log 8 -.log -. 0 010-0 900 Coocido el logritmo de u úmero e u se, se puede hllr e culquier otr se. Supogmos que coocemos el logritmo de cierto úmero A e dos ses distits y, es decir, coocemos log A y log A Nos pltemos coocer l relció que hy etre mos. Est relció viee dd por l fórmul log A log A log Como cosecueci de est últim propiedd, se deduce que solmete ecesitmos coocer los logritmos e u sol se, los demás se otiee plicdo el proceso terior. Pr hllr u logritmo e culquier se, hremos u cmio se 10, que semos hllr. Hllr los siguietes logritmos: log 40 1'601 ) log 40 ' 580 log 0'4771 log1'567 1' 15 ) log 1 567 ' 765 log 0'010 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 5. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.ECUACIONES Y SISTEMAS 5.1. Opercioes co poliomios. 5.1.1. SUMA: Pr oteer l sum de dos poliomios P() y Q() se sum coeficietes coeficietes de l mism poteci. Por ejemplo, cosideremos los poliomios: P() 5 4 + - +7-1 y Q() -5+10 P()+Q() 5 4 +5 - ++9 5.1.. PRODUCTO: Ddos dos poliomios P() y Q(), pr multiplicr P().Q(), se multiplic cd moomio de P() co cd uo de los moomios de Q() y después sumr los de igul grdo. Por ejmplo, cosideremos los poliomios : P() 5 4 + +7- y Q() + -1 P().Q() 10 7 +15 6-5 4 +6 5 +9 4 - +14 4 +1-7-4-6 + 5.1.. DIVISIÓN: 10 7 +15 6 +18 4 +6 5 +17-9 +7+ Ddos dos poliomios P() y Q(), pr poder dividir P() etre Q(), el grdo de P() h de ser myor o igul que el de Q(). P() R() Q() C() P() Q().C()+R() Cosideremos los poliomios: P() 4 4-1 +7-5 y Q() -6 Relicemos l divisió P():Q() 4 4 1 + 7 5-6 -4 4 + 8 4 4 8-4 4-8 - 8 + 7 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 8 16 4 8-9 5 C() 4 y el resto es R() -9-5 Divisió por u moomio de l form (-): Pr relizr est divisió plicmos l Regl de Ruffii Por ejemplo, relicemos l divisió ( - +-5):(+) 1 - -5 - - 8-1 -4 11-7 C() -4+11 y R()-7 5.. Descomposició Fctoril. Por ejemplo, fctorizr el poliomio P() -6 -+6 Aplicmos Ruffii co los divisores de +6 que so : ± 1, ±, ±, ± 6, y os quedmos co los que de de resto 0. -6-6 1 - -6 - -6 0-1 - 6-6 0 6 0 P() (-1).(+1).(-). siedo ls ríces de P() 1, -1, 5.. FRACCIONES ALGEBRAICAS. DEF: Deomimos Frcció Algeric l cociete de poliomios: P() Q() co Q() 0 Por ejemplo: 5 + 1 ; 7 5 + 5..1. SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS: Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 Pr simplificr u frcció lgeric, hy que descompoer fctorilmete los poliomios del umerdor y del deomidor, y después, elimir los fctores comues de mos. Por ejemplo, simplificr l frcció: + 5 + + 6 +.(.( + 5 + 6) + + ).( + ).( + ).( + ).( + 1) + + 1 5... OPERACIONES: Pr sumr o restr frccioes lgerics, procedemos como e l sum de frccioes uméric, reducimos comú deomidor. Por ejemplo, relizr l siguiete difereci : 1 4 1 + + 1 Oteemos l descomposició fctoril de cd deomidor: ++1 (+1).(+1) (+1) -- (+1).(-) el míimo comú múltiplo es (+1).(-) 1 4 1 ( ).( 1) ( + 1).(4 1) + + 1 ( + 1).( ) 4 9 + 4 ( + 1).( ) 6. ECUACIONES E l resolució de u ecució coviee seguir los siguietes psos: 1.- Quitr deomidores..- Quitr prétesis..- Psr ls icógits u miemro y los úmeros l otro. 4.- Despejr l icógit. Ejemplos: Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 1.- Resolver l ecució + 4 4 5 10.( 5) >.(+) 1.(4 4) 0.( 5) > 6 + 4 4 + 4 0 100 > -18-108 6 6.1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ls ecucioes de º grdo se reduce, utilizdo ls trsformcioes e ls ecucioes, l form + + c 0 co 0 que es u ecució complet de º grdo e. L ecució icomplet de º grdo e tiee l form 1) 0 ) + 0 ) + c 0 Pr resolver ests ecucioes de º grdo, plicmos l fórmul ± 4c Auque ls ecucioes icomplets se puede resolver directmete despejdo. 0 ) 0 > 0 ê 0 ) + 0 > ( +) 0 0 + 0 c) + c 0 > -c c ± c Ejemplos: Resolver ls siguietes ecucioes + ) -480 ) +0 c) +5+60 d) + + Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 El úmero de solucioes de u ecució de segudo grdo + + c 0, puede ser dos, u o igu. Pr ser cuáts solucioes tiee u ecució de segudo grdo si teer que resolverl, st oservr el vlor de l epresió - 4c, que se llm discrimite de l ecució. 1.- Si - 4c > 0 L ecució tedrá dos solucioes distits..- Si 4c 0 L ecució u solució..- Si 4c < 0 L ecució o tiee solució. 6.. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS. 6..1. ECUACIONES BICUADRADAS. Ests ecucioes tiee l form 4 + + c 0 Pr resolver ests ecucioes hcemos u cmio de vrile, llmremos z. L ecució qued de l form z + z + c 0 que es de º grdo y y semos como hllr el vlor z. U vez hlld l z, se clcul el vlor de si más que despejrl e l ecució Ejemplo. z > ± z 1.- Resolver l ecució 4 + 0 576 0 Llmmos z z + 0z 576 0 z 0 ± 400 + 04 0 ± 5 z z 16 6 Hllemos hor el vlor de 1.- z 16 > 16 > ± 4.- z -6 > -6 > ± 6 R o hy solució..- Resolver ls siguietes ecucioes: Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 ) 4 4-7 + 9 0 ) 4 1 + 6 0.- El áre de u rectágulo mide 48 cm y l digol mide 10 cm. Cuáto mide los ldos del rectágulo?. 6... APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE POLINOMIOS A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS. Supogmos que teemos el poliomio P() -4 ++6. Si igulmos dicho poliomio cero, oteemos u ecució poliómic. -4 ++60 Podemos plicr todo lo estudido co el cálculo de ríces de u poliomio, pr clculr ls solucioes de ests ecucioes. Pr resolver l ecució terior podemos plicr l fctorizció de poliomios, plicmos l regl de Ruffii. Los divisores de 6 so ± 1, ±, ±, ± 6 1-4 1 6-1 -1 5-6 1-5 6 0 4 + + 6 0 (+1).( 5 +6) 0 1 + 1 0 5 ± 5 + 6 0 5 4 1 Ejemplos: 1.- Resolver l ecució - +0 Solució: Scmos fctor comú 0 0 ( -+)0 ± + 0.- Resolver ls siguietes ecucioes: 0 9 8 1 ) -7 +0 ) - -9+180 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 6.. ECUACIONES RACIONALES. Hy veces que e u ecució puede precer l vrile e el deomidor. E estos csos se procede de form similr cudo trjmos co frccioes lgerics. Ejemplos: Se elimi los deomidores. Se resuelve l ecució. Ls solucioes oteids se comprue e l ecució origil. Ls que l verific o ls solucioes uscds. Resolver l siguiete ecució: Solució: + 1 + 1.( + 1).( 1) + ( 1).( + 1) ( 1).( + 1).( 1).( + 1) ( 1).( + 1) + + - - - 6.4. ECUACIONES IRRACIONALES. So quells ecucioes dode l icógit prece, e lguo de sus térmios, jo el sigo rdicl. Lo primero que deemos hcer es islr l ríz e u miemro y elevr l cudrdo mos miemros de l ecució. Si qued lgú rdicl, repetimos el proceso. De est form, llegremos u ecució del tipo de ls teriores, que y semos cómo resolverls. 1.- Resolver l ecució > ( 5) ( 5 ) + 5 + 5 + > + 5 5 + 10 > -0-10 > > 4.- Resolver ls siguietes ecucioes: ) + 5 + 10 8 ) 7 + 1 + + + + 6.5. ECUACIONES EXPONENCIALES. Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 epoete. U ecució epoecil es quell dode l icógit prece e el So ecucioes epoeciles 8 + + 81 0 5 6.5 + 5 0 Pr resolver ests ecucioes distiguiremos dos prtdos: 6.5.1. ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN UN SOLO EXPONENTE. Resolver ls siguietes ecucioes: ) +1 8 ) 4 +1 8 0 ) +1 8 +1 +1 ) 4-1 8-5 5/ Puede ocurrir que o podmos descompoer todos los miemros e potecis de l mism se, por ejemplo e: 17 E estos csos, pr despejr, tomremos previmete log Log log 17 log17 ' 108. Log log 17 0' 6 lo 0'010 6.5.. ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN MÁS DE UNA POTENCIA. So ecucioes de este tipo + + 4 +1 0 0, -1 + + +1 7 E este tipo de ecucioes, tods ls potecis que teg e el epoete l icógit, se descompoe e potecis de l mism se. A cotiució, y hciedo uso de ls propieddes de ls potecis, deemos coseguir que e el epoete prezc t sólo. Posteriormete, hcemos u cmio de vriles, llmmos z l poteci que tiee e el epoete, queddo u ecució lgeric simple de resolver. Ejemplo: Resolver ls siguietes ecucioes: ) + + 4 +1 0 0 ) -1 + + +1 7 Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 ) + + 4 +1 0 0 + + + 0 0.8 +. 4 0 0 8. + 4.( ) 0 0 llmmos z 8.z + 4. z 0 0 z + z 80 0 z ± 4 + 0 z z 1 8 10 U vez hlld z, hllmos 1) 8 ) -10 o tiee solució. ) -1 + + +1 7 + +. 7 llmmos z z + z + z 7 z + z + 4z 14 7z 14 z 1 6.6. ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Resolver ls siguietes ecucioes: ) log + log (+).log(+1) ).log. Log(+1) 0 ) log + log ( +). Log( +1) log ( +) log (+1) + + 1 + 1-1 -1 ).log..log(+1) 0 log log (+1) 0 log log10 + + 1 0 1 + + 1 + + 1-1 -1/ 6.7. SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS. Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 6.7.1. ESTUDIAR EL CARÁCTER DE UN SISTEMA. Todo sistem de ecucioes puede presetr o o solucioes, y e cso de teer solucioes, puede teer u o muchs. Los sistems que teg solucioes se dice que so Sistems Comptiles. Si l solució es úic, se llm Sistems Comptiles Determidos. Si hy más de u solució se llm Sistems Comptiles Idetermidos. Los sistems que o tiee solució se llm Sistems Icomptiles. Estudir el crácter de u sistem es estudir su comptiilidd o icomptiilidd. Ejemplos. El sistem y 1 es u SCD, pues tiee u úic solució (,1) 5 + y 1 El sistem y 1 4 + 6y > > 0 0 > es u SCI, tiee 4 6y...4 6y ifiits solucioes El sistem y 1 4 + 6y > 4 6y...4 6y 0 1 Cotrdicció es u S.I., sistem icomptile, o tiee solució. 6.7.. MÉTODO DE GAUSS El método de Guss es el más propido cudo teemos que resolver sistems lieles co más de dos ecucioes. E eseci, este método cosiste e trsformr el sistem iicil e otro equivlete de form que este último se más secillo de resolver. 1.- Resolver medite el método de Guss el siguiete sistem de ecucioes: Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 Solució: 5y 4z + y z + y + z 6 0 5y 4z + y z + y + z 6 0 + y z 5y 4z + y + z 6 0 E 1 E -E 1 +E -1E 1 +E + y z.. 11y z... y + z 4 4 + y z + y z + y z.. 11y z 4... y + z 4... y + z 4... y + z 4.. 11y z 4... 4z 48 E E -11E +E z y0 4 Solució (4,0,).- Resolver los siguietes sistems: 4y + z 0 y + z 0 y + z 0 4y + 7z 1 9 y + z 0 5 + y z 1 6.7.. SISTEMAS NO LINEALES. E geerl, el prolem de l resolució de sistems lieles csi uc preset demsidos prolems, pero co los sistems o lieles, l cos cmi. Resolver u sistem de ecucioes o lieles es stte complicdo y lorioso. E este curso, vmos limitros l estudio de lguos csos prticulres. Sistems o lieles de dos ecucioes e ls cules u ecució es liel y l otr es de segudo grdo. + y 5 y Pr resolver este tipo de sistem, el método de sustitució es el más propido; se despej u vrile de l ecució liel y se sustituye e l ecució o liel, resultdo u ecució de segudo grdo. U vez resuelt est ecució, volvemos l primer ecució y oteemos los vlores de l otr vrile. Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 + y 5 y5- (5-) (5 + 9 0) y -8 +0-80 4 15 ± 5 4-15+140 7 8 4 si y-1 Solució (,-1) 7 1 7 1 si y Solució, 4 4 4 4 6.8. INECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució ( + 1) ( ) < + 6 + + 6 < + 6 < 6 6 - < - > 1 > 1 1 L solució de l iecució es (1, ) 6.9. INECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució + 0 Hllmos ls ríces de l ecució + 0 ± 9 8 ± 1 1 1 1 Los tres itervlos e los que qued descompuest l rect so (, 1], [1,], [, ). Tommos u vlor de cd itervlo y lo sustituimos e l iecució: 0 0.0 + o verific l iecució 1 5 1 5 4 5 + - 1 5 0 si verific l iecució 9 9 + o verific l iecució l solució es el itervlo [1,] [1,] Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 El poer corchete o prétesis e los itervlos depede de si e l desiguldd prece el sigo igul o o. 6.9.1. INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS. Resolver - -6 < 0 Solució: Teemos que - -6.(+).(-) < 0-0 - - + + + - + + + - - - - + - + - + L solució es (,0) ( 0,) 6.10. INECUACIONES FRACCIONARIAS. Tod iecució frcciori de primer grdo co u icógit se reduce u epresió del tipo + c + d <, >,, 0 Vemos co u ejemplo cómo se resuelve ests iecucioes: Resolver l iecució > 1 + 1 + 1 > 1 > 1 > 0 > + 1 > 1 > 0 > + 1 + 4 1 > 0 Hllmos los vlores que os ule el umerdor (4) y el deomidor (-1), y costruimos l siguiete tl -1 4 + (,-1) (-1,4) (4, ) X 4 - - + X + 1 - + + Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 + - + E los itervlos, si l desiguldd o llev el igul, se podrá e todos prétesis. Pero si l desiguldd es ó, los úmeros procedete del umerdor llevrá corchetes y los del deomidor prétesis. De cd itervlo tommos u vlor y lo sustituimos e ls epresioes del umerdor y deomidor, putdo el sigo resultte. Al fil plicmos l regl de los sigos. Si l desiguldd es < 0 ó 0 tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (-). Si l desiguldd es > 0 ó 0, tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (+). E uestro cso, l solució está e los itervlos (,-1)U(4, ) 6.11. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA. Todo sistem formdo por dos o más iecucioes, recie el omre de sistem de iecucioes. Pr resolverlo, resolvemos cd iecució por seprdo, represetmos gráficmete cd solució y tommos como solució del sistem l zo comú etre ells. Ejemplo. Resolver los siguietes sistems: ) 7 8 15 5 > > + 0 0 5 5 Si motmos u diujo e 0 el otro, l zo comú es 0 (,0] solució. ) + 5 8 1 > > 5 8 4 1 Si motmos u regió sore 1 l otr, oservmos que o hy 4 zo comú > el sistem o 4 tiee solució. Aputes Bchillerto 01-014

Tem 0 EJERCICIOS CON SOLUCIÓN DE LOGARITMOS 1.- Clculr los siguietes logritmos: ) log 4 sol: ) log 64 sol:6 c) log 18 sol:7 d) log ½ sol:-1 e) log 1/4 sol:- f) log 1/16 sol:-4 g) log sol:1/ h) log sol:/ 8.- Clculr los siguietes logritmos: )log 1 sol:0 )log 10 sol:1 c)log 100 sol: d)log 1/10 sol:-1 e)log 1/1000 sol:- f)log 10 sol:1/ g)log 100 sol:1.- Siedo que log5 Nh, determi el logritmo e se 5 de N/15. sol: h- 4.- Hllr el vlor de: ) log 1000-log0.001+log 1/1000 ) log 7 + log 1/7 sol: ) ) 0 5.- Despej y e l iguldd log + log y log( + y) sol: y 1 6.- Resolver ls siguietes ecucioes logrítmics ) log + log 50 log 1000 ) log 1 + log(-) c) log - log (-16) d) log log 6 + log sol: ) 0 ) 0 c) :0 80 d) 6 7.- Clcul el vlor de "" e ls siguietes epresioes: 1 ) log ; ) log 15 ; c) log 4 16 sol: ) 4 ) 5 c) 81 8.- Siedo que log y log 5. Clcul: ) log ) log / c) log log d) log sol: ) 8 ) c) 15 d) / Aputes Bchillerto 01-014