APENDICE I EXPONENTES Y RADICALES

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1 APENDICE I EXPONENTES Y RADICALES 0 L potecició o otció epoecil es u otció pr brevir u multiplicció: Notció: L, pr u etero positivo y 0. veces Se lee como elevdo l o más brevido: l. L bse es y el epoete o poteci e idic el úmero de veces que se repite el fctor. Ejemplo.- ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Observcioes:.- Si egtivo etoces es positivo si es pr y egtivo si es impr, como podemos precir e el ejemplo b y d terior.- U epresió como o simplemete es u escritur brevid de ( ), dode se puede lizr que l coveció es que primero se hce l poteci y luego l multiplicció por. De mer similr represet ( ) y quiere decir ( ) ( ).- ( ) Coveció: L poteci es l primer operció que se ejecut frete multipliccioes, divisioes, sums o rests o cmbio de sigo. Ejemplo.- Evlur ) b) Solució: ) 7 b) ( ) 8 Los csos epoetes egtivos o cero se defie como sigue: Defiició: Si 0 se defie 0 y si u etero positivo 0 Cometrio: 0 o está defiido. Ejemplo.- ) b) 0 c) ( ) 0 d) ( + ) 8 ( + ) E l siguiete tbl se preset ls propieddes más importtes de epoetes Propiedd Ejemplo Justificció (del - sólo pr el cso turl) m m m + ( ) ( ) L L L L m m m ( ) ( ) ( b) b ( b ) b 8b 6 8 ( ) m veces L m veces m veces + + L + m veces ( b) ( b) ( b) L ( b) b L L b b b b b b b blb b 0 m m m m m m 9. m Ejercicio 9 m m

2 7 8 b b m m b b b m b Ejercicio b / / b b b Defiició. Se Pr defiir los epoetes rcioles se us rdicles. m, úmeros eteros, >. Si eiste, etoces se defie Se eceptú de l defiició los siguietes csos:.- pr y egtivo..- m egtivo y cero. m / A meos que se dig lo cotrrio, supodremos que tods ls vribles represet úmeros positivos. Ejemplo.- Eprese los siguietes rdicles como poteci de epoetes rcioles. ) b) c) 8 d) Solució: ) / b) / c) / 8 m / 8 d) ( ) L siguiete tbl muestr ls propieddes de los rdicles, se h colocdo e el ldo derecho l propiedd equivlete usdo l otció co epoete rciol. Propiedd Ejemplo Escritur e epoete frcciorio b b ) / b / / b ) 8 7 (8 7) / 8 8 b m m b m ( ) m Si es pr y es egtiv l propiedd o es válid ( ) / ( ) / ( ) / ( ) b / b / / 7 / m / m ( ) ) ( ) ( ) ( ) 8 / / ) ( ) ( ) ) ( ) m / / m ( ) Est últim propiedd se us pr evlur epresioes como. Este úmero es el mismo que ( ) 8. Ejemplo.- Simplifique ls epresioes dds. Evite rdicles e su respuest, use epoetes positivos 8 b) ( ) ) y Solució: ) y b) ( ) + y y ( y) y ( ) y y y y y y

3 Ejemplo.- Elimie los epoetes egtivos y/o los rdicles e ls siguietes epresioes: ) + y b) + y c) Solució: / ) + y / + (y) ( / + y b) + y + + y y c) ( + y) ( + y) + y / + y + y Ejemplo 6.- Evlúe () 8 / Solució: Reescribimos el úmero primero trsformdo el epoete egtivo y luego llevdo el epoete rdicles. () 8 / / 8 8 ( 8) Ejemplo 7.- Reescrib si térmios frcciorios, i rdicles l epresió ) ( + ) Solució: Primero reescribimos el sigo rdicl como u epoete frcciorio, luego psmos el deomidor l otro ldo de l frcció co epoete cmbido de sigo: / ( + ) / + ( + ) ( ) EJERCICIOS ) Escrib ls forms dds e otr que use epoetes positivos, evite rdicles:.).).) -.) ) Simplifique ls epresioes dds. Eprese sus respuests co ls vribles e el umerdor. Evite rdicles ).).) y ) Evlúe los siguietes úmeros:.) ( 8) /.) ( ) / /.) ( ) y y.).) /.) ( ) / ) Reescrib l siguietes epresioes dode l vrible o esté e térmios frcciorios, i detro de rdicles.).) +.) +.).) + Respuests: /.) / ().) ( ) / / /.) ().).) / y.).) ( ) /.).) ( + ) / /.) ( ).).) ) 0. /.) ( ) + y.).).) ( ) /.) ( ) / +

4 APENDICE II ALGEBRA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS U clve pr sumr epresioes lgebrics es el cocepto de térmios semejtes. Se dice que dos térmios so semejtes si so igules slvo e el coeficiete umérico. L epresió r r r + b tiee dos térmios semejtes, puede ser sumds, efectivmete l scr de fctor r r r comú teemos + b ( + b). Pr sumr térmios semejtes summos los coeficietes de los térmios semejtes y colocmos l prte o uméric. Por ejemplo l epresió: tiee dos térmios semejtes. El resultdo de est sum es + E + + +, sólo + y so térmios semejte, o sí y, pues difiere e lgo más que su prte uméric. Sólo podemos sumr estos dos térmios. Así Ejemplo.- Determie ( + ) ( + ). Simplifique tto como se posible Solució: Es u rest etre dos epresioes lgebrics. Est epresió l podemos iterpretr como ( + ) + ( )( + ). Relizmos etoces el producto de - por su fctor. Esto provocrá que cd térmio cmbie de sigo. Normlmete decimos que distribuimos el meos cmbido de sigo cd uo de los térmios etre prétesis. ( + ) ( + ) Se sum lgebricmete + + los coeficietes de térmios semejtes MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Pr multiplicr epresioes lgebrics podemos usr l propiedd distributiv o bie si es el cso plicr u producto otble de uso frecuete, los cules se prede de memori y se deduce rápidmete usdo l propiedd distributiv. U form muy frecuete ser usd está dd por ) ( + )( + b) + ( + b) + b Teemos tmbié los siguietes: Productos Notbles: ) ) ) ) 6) ( + b)( b) b ( + b) + b + b ( b) b + b ( + b) + b + b + b ( b) b + b b

5 E el siguiete ejemplo se preset distitos csos dode es propido usr lguos de los productos otbles ddos rrib Ejemplo.- Relizr los siguietes productos: ) ( + )( + 6) b) ( + )( ) c) ( )( + ) d) ( + ) Solució: ) Lo idetificmos co el producto: ( + )( + b) + ( + b) + b e este cso y b 6. Así: ( + )( + 6) + ( + 6) b) Este producto lo idetificmos de uevo ( + )( + b), e este cso y b. Teemos etoces: ( + )( ) + ( + ( )) + ( ) c) E este cso teemos l form. Aquí idetificmos y b. Aplicdo l formul y propieddes de epoetes obteemos: ( )( + ) ( ) 9 d) L form propid plicr es l co + y b. Etoces teemos ( + ) ( + ) E los siguietes ejemplos hremos uso de l propiedd distributiv pr efectur el producto: Ejemplo.- Relizr los siguietes productos. Simplifique ) ( + ) b) (y )( y + y ) Solució: Usmos e mbos csos l propiedd distributiv ) ( + ) + b) E este cso iterpretremos (y-) como el fctor que se distribuye e ( y + y ) (y )( y + y ) (y-) y +(y-) y-(y-).. Ahor iterpretmos y, y y como los fctores que se distribuye e (y-). (y - y )+(6y - y)-(y-) y +y - y+ Filmete, distribuimos los sigos y summos térmios semejtes Cudo emimos l primer líe de ejemplo b, vemos que e relidd cd térmio de cd fctor se multiplic co cd térmio del segudo fctor: De est mer procederemos e el siguiete ejemplo: Ejemplo.- Relizr el siguiete productos ( + )( + + ). Simplifique.

6 Solució: Aplicmos el esquem terior, cd termio del primer fctor lo multiplicmos co cd termio del segudo fctor ( + )( + + ) Se sum los térmios semejtes Observe como el ldo izquierdo como el ldo izquierdo fue reescrito como u sum de térmios OPERACIONES COMBINADAS U epresió como { [ ( + ) ]} ( )( + ) puede ser escrit de u mer más secill tto pr evlur como e su propi escritur. Pr relizr este tipo de operció se debe elimir primero los prétesis o seprdores más iteros, itetdo co este criterio de ir elimido todos los prétesis o seprdores. U vez elimidos se sum los térmios semejtes. E ocsioes es útil usr ls propieddes socitiv, comuttiv o lgu otr dd. Alicemos lgus epresioes: Ejemplo.- Simplificr ) 8( t ) b) 8( t ) c) ( 8( t ) ) d) ( ) ( )( ) Solució: ) Primero se resuelve el prétesis más itero, e este cso hy uo sólo -8(t-) -8t+8-8t+8+-8t+0 Cuiddo!!! 8( t ) 6( t ) b) Aquí iterpretmos que 8 está multiplicdo l epresió ( t ). Luego de obteer el resultdo de este producto se reliz l rest lgebric etre y 8( t ). Relizmos etoces primero el producto otble. Hy que mteer el prétesis pr idicr que -8 est multiplicdo el resultdo completo de ( t ). 8( t ) 8( t ) 8t + 6t 8 8( t t + ) Recuerde que pr relizr est difereci, distribuimos primero el -8 8t + 6t 6 c) E este cso, podrímos ejecutr primero 8(t-) y luego est epresió elevrl l cudrdo. Si embrgo, se le sugiere l estudite plicr l propiedd ( y) y. De est mer [8( t )] 8 (( t ) 6( t t + ) 6t + 8t 6 6t + 8t 6. d) Primero efectumos los productos de los dos térmios de l epresió ( ) ( )( ). Pr el segudo usmos l propiedd socitiv: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Observe como hemos reescrito ( ) sum de térmios secillos 8( t ) como u

7 ( 6 + 9) ( + 6) Ahor se us l propiedd distributiv Se sum térmios semejtes EJERCICIOS ) Relizr los siguietes productos, simplifique tto como pued:.) ( + )..) ( 9 + ).) ( ).) ( ).) ( )( + ).6) ( + )( ).7) ( + ).8) ( t / + )( t / ).9) ( + )( ).0) ( + ).) ( + + )( ).) ( + )( + ).) ( t).) ) Relice ls siguietes opercioes, simplifique tto como pued:.) ( ) + ( ).) ( z z + ) ( z ).) ( + ) ( + + ).) ( + ) + ( + ).).7) ( + ) + ( ).6) ( + ) ( + ) ( ) ( ) Respuests:.) ) ) 6 +.) +.) 9.6) ) ) t t /.9).0) ) 6 6.) / / +.) 9 t t +.) 8.) z z +.) ( + ).) +.) + +.6) ) + DIVISION LARGA DE POLINOMIO Supogmos que teemos los poliomios P() + + y D() +. Se P( ) pretede mostrr e est secció como es l divisió etre poliomios. Al igul que e los D( ) úmero eteros, eistirá u cociete y u residuo. Pero e uestro cso el cociete será u poliomio y el residuo u poliomio de grdo estrictmete meor que el divisor. Pr relizr l divisió rreglremos P() e orde decreciete de potecis de, colocdo 0 e los coeficietes que o prece, e este cso el coeficiete de grdo de P() es 0. El divisor D() tmbié es ordedo por grdo de myor meor, o hce flt completr térmios. El proceso es bstte similr l divisió de úmeros eteros. Buscmos u moomio tl que cudo se multiplique por (primer térmio del divisor) os de (primer térmio del dividedo). Este es que se obtiee l relizr. Multiplicmos cd

8 térmio de D() por y los resultdos los colocmos co sigo cmbido e l colum del grdo respectivo. 0 6 Summos y bjmos el siguiete térmio de P() Repetimos el proceso. Dividimos etre, el resultdo es el segudo térmio del cociete, el cul lo multiplicremos por el divisor ( + ) y lo colocmos co sigo cmbido debjo de l últim líe escrit del ldo izquierdo, segú su grdo, procedemos hcer l sum de ests líes y repetimos el proceso hst que el grdo de l últim líe del ldo izquierdo (el residuo) se meor que el del divisor D(). Presetmos cotiució l divisió complet Igul como ocurre e l divisió de los úmeros eteros teemos que P()D()C()+R() E este cso teemos etoces que + + ( + )( + + ) + ( 7 ) 7 Recuerde que DIVISIÓN ABREVIADA DE POLINOMIOS. Método de Ruffii. psos: Este método se us cudo el divisor es de grdo. Pr dividir + + L etre -c, usdo Ruffii, seguimos los siguietes.- Colocmos e orde los coeficietes de myor meor e u líe horizotl, icluyedo los coeficietes ceros. E l izquierd colocmos c. Observe que es el úmero que compñ l meos e - c y trzmos ls rys como e l figur

9 c L 0.- Multiplicmos por c y lo colocmos debjo de -, summos ests dos ctiddes: + c lo colocmos e el último ivel l ldo de. Volvemos repetir este proceso hst llegr l últim colum. 8 y c c b cb b L cb b 0 0 cb 0 r Multiplicr Sumr: como b cb +.- El cociete de l divisió es C() + b + L + b + b0 El residuo es R()r. Observe que e este cso el residuo es u úmero, por qué? Ejemplo.- Divid P () etre D (), determie el cociete y el residuo, dode P ( ) + + y D()+ Solució: Como el divisor es u poliomio de grdo podemos usr Ruffii. + C ( ) + + y R ( ). Por lo tto teemos P ( ) ( + + )( + ) +(-). Ejemplo.- Determir el cociete y el residuo de P ( ) D( ). Epresr P e térmios del cociete y el residuo. P ( ) y D()- Solució: De uevo usmos Ruffii De est tbl obteemos C ( ) el residuo es R ( ) y P ( ) ( + + 9)( ) +. EJERCICIOS ) Determir el cociete y el residuo de ls siguietes divisioes de P () etre D (), epresr P e térmios del cociete y el residuo..) P ( ) D( ) +.) P ( ) + + D( ) +.) ( ) P + 6 D ( ) + 9.) P ( ) D( )

10 9 ) Determir el cociete y el residuo de ls siguietes divisioes P ( ) D( ), epresr P e térmios del cociete y el residuo. Aplique Ruffii..) P ( ) + D ( ) +.) P ( ) + D ( ) +.) P ( ) + 7 D ( ).) P ( ) 8 + D ( ) Respuests:.) C ( ) R( ) P () ( + ) ( 8 + 6) + ( 9 + 9).) C ( ) 6 R( ) P () ( + )( 6) ) C ( ) + R( ).) C ( ) 8 R( ) + 9.) C ( ) + 6 R( ).) C ( ) R( ) 9.) C ( ) + R( ) FACTORIZACIÓN Empezmos est secció recorddo que dos epresioes que se multiplic se llm fctores. Por ejemplo, l epresió (+)(-) está epresdo como u producto, dode (+) y (-) so los fctores. E ocsioes v ser de sum importci escribir u epresió como u producto, ese proceso de epresrlo como u producto se llm fctorizció. Por ejemplo, - o es u producto, pero sbemos que: (+)(-) -, Aquí hemos fctorizdo l epresió -, idetificdo co u producto otble. Hy vris técics pr fctorizr epresioes, listmos lgus:.- Fctor comú..- Idetificdo co productos otbles..- Ríces de poliomio..- Divisió del poliomio. E geerl buscmos que los fctores se poliomios de grdo meor que el poliomio origil. Cudo se pretede fctorizr completmete u epresió se busc que los fctores o pued fctorizrse más y e ocsioes tedremos que mezclr técics..-fctor Comú: L técic de fctor comú cosiste e plicr l propiedd distributiv e setido iverso: y + ( y + ) Vemos ejemplos dode es propido usr l técic de fctor comú

11 Ejemplo.- Fctorice completmete: ) b) 6y 8 + y / c) ( + ) ( + )( + ) d) / Solució: ) E teemos dos térmios e est epresió. El primer térmio puede ser epresdo como. El segudo lo podemos escribir como.podemos ver que es u fctor comú e mbos térmios. Al idetificr como el fctor que está e los dos térmios plicmos l propiedd distributiv e setido iverso: ( Cometrio: tmbié es u fctor comú e mbos, pero os pide fctorizr completmete l epresió, es por ello que scmos el máimo fctor comú. b) E este cso, 6 es u fctor que está e cd térmio de 6y 8 + y igulmete. Observe que y o está e el segudo térmio, por lo tto o es comú. Así 6 es el máimo fctor comú etre los tres térmios. Etoces ) 6y 8 + y 6 ( y + y c) E este ejemplo coviee scr fctor comú ( + ). Así ( + ) ( + )( + ) ( + )(( + ) ( + )) ( + )( + ) ( + )( ) ( + ) d) Aú cudo est epresió o es u poliomio se puede fctorizr. Scmos el máimo fctor comú que es l míimo epoete de los térmios. E este cso este epoete es /. Así / / / ( ).- Fctorizció por productos otbles: Est técic cosiste e idetificr u sum co u producto otble. Ates de cotiur dmos los productos otbles escritos de derech izquierd. ) +(+b)+b(+)(+b) ) - (-)(+) ) ++ (+) ) -+ (-) Coviee prederse de memori otros dos resultdos, por su frecueci e el cálculo: ) - (-)( ++ ) 6) + (+)( -+ ) Cometrios: ) Si teemos u poliomio de grdo de tres térmios y el coeficiete pricipl es podemos itetr plicr l fórmul. Pr ello debemos pesr e dos úmeros que sumdos lgebricmete de el coeficiete e y multiplicdos de el térmio costte. Por ejemplo l fctorizr --, buscmos dos úmeros que multiplicdos de -(el sigo os dice que tiee que ser de sigos cotrrios) y sumdos -(el sigo e este cso os dice que el myor es el egtivo). Estos úmeros so - y. ) 60

12 Efectivmete (-)(+) --. (E geerl, se itet de plicr l fórmul cudo el grdo del poliomio es pr, luego otro térmio de grdo l mitd del terior y luego l costte, por ejemplo que prezc el térmio y tmbié uo co y luego l costte). 6 ) Se puede itetr usr, o 6 cudo teemos dos térmios. Usmos cudo l vrible está como u cudrdo perfecto:,,etc. Usmos y 6 cudo l vrible está como u cubo perfecto:, 6, etc. Vemos los siguietes ejemplos: Ejemplo.- Fctorice completmete: ) + b) t 9 c) 7 Solució: ) Itetmos l form ( + )( + b) pues es u poliomio de grdo co tres térmios. Buscmos dos úmeros que multiplicdos de y sumdos lgebricmete de -. Observe que so del mismo sigo (lo dice l multiplicció) y este sigo debe ser (lo idic l sum). Estos úmeros so - y -. Así + ( )( ) b) Itetmos socirlos co l form ( )( + ). E este cso 9, de quí. De est mer: t 9 t ( t )( t + ) c) Vemos que es de l form ( )( + + ), co 7. Así. Por tto: ( )( + + 9). El siguiete ejemplo muestr u mezcl de los métodos hst hor vistos: Ejemplo.- Fctorice completmete: ) b) y 6 c) d) ( + ) ( + )( + ) Solució: ) Observmos primero que es fctor comú e cd térmio, por lo tto: ( 6 + 9). Este segudo fctor o está completmete fctorizdo, idetificmos co l form ( ) +. E este cso 9. Así y es efectivmete 6. Etoces filmete: ( 6 + 9) ( ) b) Itetmos socirlos co l form ( )( + ). Aquí y se idetific co, de dode y es. Por otro ldo 6, sí. De est mer: y 6 ( y )( y + ) De ( y + ) o podemos co uestrs herrmiets cocluir que y o se puede fctorizr más e el cmpo rel, si embrgo ( y ) lo idetificmos de uevo co ( )( + ). El lector etoces puede chequer que y 6 ( y + )( y )( y + ).

13 c) Pr empezr u fctorizció, el lector h podido precir que primero itetmos etrer fctor comú. E este cso es el fctor comú: ( ) Fctorizmos ( ) usdo ). Observe que se h ( )( + + ) cmbido los ppeles de por y de por. Est últim tmbié puede ser epresdo como ( )( + + ). d) E este ejemplo, se puede e pricipio relizr ls opercioes pr luego fctorizr l epresió resultte, si embrgo es más fácil scr de fctor comú ( +) ( + ) ( + )( + ) ( + )[ ( + )] ( + )[ ] Se fctoriz l últim epresió ( + )[( + )( )] ( + ) ( ) 6 EJERCICIOS ) Fctorice completmete los siguietes poliomios:.) 9.) + +.) 6 7.) t t +.) ) y + 8.7).8) z z + 9z.9).0) 6 6.) ).) +.) ) ) ( ) ( + ).7) ( 9) +.8) 8 6.9) ( + ) ( + ) ( + ).0) ( + ) ( + ) 6 /.) y / y.).) ) 8 7 Respuests:.) ( )( + ).) ( + )( + ).) ( 7)( + ).) ( t )( t ).) ( ) ( + + ).6) ( y + )( y y + ).7) ( )( + ).8) z ( z )( z ).9) ( )( + + 9).0) ( )( + )( + + )( + ).) ( + )( + ).) ( )( + ).) ( + )( + ).) ( + )( + ).) ( + )( + ).6) ( 7)( + ).7) ( )( + ).8) ( + ) ( ).9) ( + ).0) ( + )( + ).) / y ( y ).) ( )( + ).) ( 9 ).) ( )( ).- Fctorizció por ríces del poliomio. Si teemos u poliomio de segudo grdo: P ( ) + b + c co 0 y si este poliomio tiee ríces reles: r y r, etoces podemos fctorizr P ( ) + b + c como: P ) ( r )( ). ( r

14 (Observe que l multiplicr est últim epresió obteemos el mismo coeficiete de grdo. Por otro ldo P ) ( r )( ) tmbié se hce cero e r y r ). ( r Si P es u poliomio de segudo grdo que o tiee ríces reles etoces o dmite más fctorizció e el cmpo rel. Cudo u poliomio o se puede fctorizr más como producto de poliomios de grdos meor, pero distitos cero se dice que el poliomio es irreducible e los reles. 6 Ejemplo. Fctorizr P ( ) + +. Solució: Pltemos Ls ríces so: De quí ± 9 r, r r. Etoces podemos fctorizr P () como P ( ) ( ( ))( ( )), es decir P ( ) ( + )( + ). Observe que l fctorizció por idetificció del producto otble P ( ) ( + )( + b) es más rápid e este cso. Si embrgo, o siempre result este método. E el cso o cudo, pero o coseguimos úmeros que multiplicdos de c y sumdos de b e + b + c, es recomedble l fctorizció por ls ríces del poliomio. Ejemplo.- Fctorizr completmete P ( ) + + Solució: E este ejemplo o puede coseguir dos úmeros que multiplicdos de y sumdos. E este cso es propido usr el método de ls ríces. Busquemos ls ríces: ± 9 r, De quí + r y r. Etoces podemos fctorizr P () como es decir + P ( ) ( )( ), + P ( ) ( + )( + ). Ejemplo.- Fctorizr completmete P ( ) + +. Solució: Primero se clcul ls ríces: ± 9 r, Teemos r y r Etoces P ( ) ( ( ))( ( ) ( + )( + ).

15 6 Ejemplo.- Fctorizr completmete P ( ) + +. Solució: Como ls ríces de ± 9 ± r, o so reles (el discrimite es meor que cero) etoces el poliomio o se puede fctorizr más e los reles. El poliomio es irreducible..- Fctorizció por Ruffii. Supogmos u poliomio de grdo : P( ) L y que r es ríz de P (). Esto es P ( r ) 0. Etoces es fácil ver que ( r ) divide ectmete l poliomio P ( ). Si el cociete de l divisió es C (), etoces P( ) ( r ) C( ) pues R ( ) 0. Luego hy que cosiderr fctorizr C (), pues ( r ) es y irreducible. E el siguiete ejemplo se reliz l divisió de poliomio trvés de Ruffii. U resultdo coocido e álgebr es que si r, úmero rciol, es u ríz de P, etoces r puede p ser escrito e l form, dode p es divisor de 0 y q es divisor de. q Ejemplo. Fctorizr completmete P ( ) Solució: Ls posibles ríces rcioles so: ± ± ± ± ± 6 y ±. Podemos verificr que es ríz. Esto es P ( ) 0. Aplicmos Ruffii De est mer C ( ) y R ( ) 0. Por lo tto teemos 6 0 P ( ) ( + + 6)( + ). Pr filizr l fctorizció se idetificrá co el producto otble ( + )( + b). Así rápidmete vemos C ( ) ( + )( + ). Filmete ( ) ( + )( + )( + ) ( + )( + ) P. Ejemplo.- Fctorizr completmete P ( ) 8 ± ± Solució: Ls posibles ríces rcioles so: ± ±. Podemos verificr que es ríz 8 Volvemos plicr Ruffii co como ríz 0

16 6 6 0 De est tbl obteemos l fctorizció desed: P ( ) ( + )( )( + ). Observe que difereci del ejemplo psdo e este ejemplo se decidió reiterr l divisió de poliomio pr fctorizr completmete P. Ejemplo. Fctorizr completmete P ( ) + + ± Solució: Ls posibles ríces rcioles so: ± ±. Podemos verificr que es ríz. Esto es P ( ) 0. Aplicmos Ruffii 0 De est mer C ( ) + + y R ( ) 0. Por lo tto teemos P ( ) ( + + )( + ). Pr filizr l fctorizció se usrá el método de ls ríces e C, pues o hy más ríces ± 7 rcioles. Se puede verificr que ls ríces de C() so. Ests so los úmeros irrcioles 7 Así + 7 y. ) C (. Filmete 7 + P ( ) ( + ) Ejemplo. Fctorizr completmete P ( ) + Solució: Ls posibles ríces rcioles so: ± ±. Podemos verificr que es ríz. Esto es P ( ) 0. Aplicmos Ruffii 0. Podemos verificr que o tiee más ríces rcioles. 0 Hst hor l fctorizció es + + ( + + )( ). Se itet de fctorizr ( + + ) por otro método. 8 7 Ahor bie, vemos que ls ríces de este poliomio o so reles (es u úmero complejo). Así podemos cocluir que 7

17 ( + + ) es irreducible sobre los reles, y l fctorizció complet de P es: + + ( + + )( ). 66 EJERCICIOS Fctorizr los siguietes poliomios.) P ( ) ) P ( z) 6z + z.) P ( ) +.) P( ) 6 9.) P ( ) +.6) P( ) ) P( z) z 6z + 6z.8) P ( ) ( ) ( ).9) P ( t) t + t + t ( t + t + ).0) P ( z) z + 0z + z +.) P ( ) ) P ( z) z + z + z +.) P ( t) t t 8t +.) P( ) 6 8.) P ( ) + +.6) P ( ) +.7) P ( ) ).9) P ( ) P( ) + Respuests:.) 6 ( )( + / ).) Es irreducible.) ( + )( / ).) (-)(+).) (-) (+)( ++).6) (+)(-).7) z(z-7)(z-9).8) ( ) ( + )( + + ).9) (t-)(t+)(t+).0) + ( z + ) z z.) ( )( + )( ).) P ( z) ( z z + )( z + )(z + ).) (t-)(t-)(t+).) (-)(+).) (-) (+)(-).6) ( + )( )( + )( ).7) 8( / )( + / )( / )( ).8) ( + ) ( ).9) ( + )( )( )

18 APENDICE III 67 Grficció por opercioes geométrics elemetles A cotiució dmos u serie de fucioes elemetles y sus gráfics ls cules geerrá u gr fmili de fucioes. Nuev fució Efecto geométrico y f ( ) + k, k > 0 L gráfic de y f () se desplz k uiddes hci rrib. y f ( ) k, k > 0 L gráfic de y f () se desplz k uiddes hci bjo. y f ( + k), k > 0 L gráfic de y f () se desplz k uiddes hci l izquierd. y f ( k), k > 0 L gráfic de y f () se desplz k uiddes hci l derech.. Se cotre l gráfic de y f () y f ( ), k > k verticlmete. y kf ( ), k > Se epde l gráfic de y f () verticlmete. L uev coordeds y so k veces l terior. y f (), Se reflej l gráfic de y f () e toro l eje. y f ( ), Ejemplo sobre Ejemplo sobre f ( ) f ( ) y + + y + y y y + y + y y y y y y y

19 68 Resume gráfico de ls opercioes elemetles Ejemplo.-Grficr y ( ) + EJERCICIOS ) Utilice ls gráfics de ls fucioes elemetles y l técic de trsformció pr grficr ls fucioes dds..) f ( ) +.) f ( ) +.6) f ( ).7) f ( ) ( + ) +

20 69 OTRAS GRÁFICAS DE INTERES Fucioes cudrátics f ( ) + b + c tiee como represetció u prábol. Co l teorí dd e este curso puede coseguir el puto crítico y viedo l cocvidd puede grficr rápidmete. Fucioes lieles: f ( ) + b tiee como represetció grfic u rect. Puede coseguir los cortes co los ejes

21 APENDICE IV LOGARITMOS 70 Defiició.- Se >0,. El logritmo de co bse se defie como y log () si y sólo si y, siempre y cudo >0. Observcioes:.- Coviee recordr siempre l log () como el epoete l que hy que elevr l bse pr que se produzc el úmero. Por ejemplo 9, etoces es el logritmo de 9 e bse : log 9..-Los logritmos e bse 0 so coocidos como logritmos decimles, E este cso se suprime el subídice e l otció, esto es: log 0 ()log(). E el cso que l bse se el úmero e, el logritmo se escribe como l() pr represetr el logritmo e bse e de y se lo llm logritmo turl de.- El logritmo sólo está defiido pr los úmeros estrictmete positivos. El domiio de l fució logrítmic y log () es el cojuto (0, ). Recuerde que el rgo de l fució epoecil es (0, )..- y log () es coocid como l form logrítmic y y l form epoecil. E ocsioes es útil psr de l form epoecil l logrítmic y vicevers. Ejemplo.- Covertir ls siguietes forms epoeciles e logrítmics ) b) c) e 0 Solució: Hy que teer siempre e mete que el logritmo es el epoete. ) El epoete es, por tto es el logritmo, sí: log b) E este cso es el epoete, por tto el logritmo, sí: log000 E este cso l bse se suprime por ser deciml. c) 0 es el epoete y l bse es e, por tto usmos l otció l pr represetr el logritmo e bse e : 0 l Ejemplo.- Covertir ls siguietes forms logrítmics e epoeciles ) log 6 / b) log c) log( 0.00) Solució: Ls respuests está dds e l siguiete tbl. Form Logrítmic Form epoecil log 6 / 6 log log( 0.00) Algus ecucioes epoeciles se puede resolver psádol su form logrítmic y lgus logrítmics se resuelve psádols su form epoecil. Vemos ls siguietes ecucioes: Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) log ( ) b) log (7) Solució: Ls psmos su form epoecil, recuerde que el logritmo es el epoete l que hy que elevr l bse pr que se produzc el úmero ) 9 b) 7.Está es u ecució cúbic: 7

22 EJERCICIOS Resuelv ls siguietes ecucioes:.) l( ).) log( + ) 0.) log () 7 Respuest:.) e+.)97.) /6 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS E est secció se estudirá ls propieddes de los logritmos. Como los logritmos so los epoetes, ls propieddes se estblece e bse ls propieddes de los epoetes. Por ejemplo, si log m y y log etoces m y y, de dode y + y m + y De quí teemos, volviedo est form m su form logrítmic, que log ( m) y, + sustituyedo filmete estblecemos uestr primer propiedd log ( m) log m + log. E el siguiete recudro remrcmos ést y otrs propieddes de logritmos de uso frecuete.- log ( m) log m + log m.- log ( ) log m log c.- log ( m ) c log m.- log ( ).- log () 0 Ddo que ls forms de ests propieddes o so usules, los estudites suele cometer muchos errores e ells. Uo muy frecuete es decir que el logritmo de l sum (difereci) es l sum (difereci) de los logritmos, lo cul es flso. Esto es log ( m + ) log m + log o bie log ( m ) log m log U correct lectur de ests igulddes puede yudr o cometer estos y otros errores muy comues. Por ejemplo ls propieddes ls podemos leer como:.- log ( m) log m + log : El logritmo de u producto es l sum de los logritmos..- m log ( ) log m log : El logritmo de u cociete es l difereci de los logritmos..- c log ( m ) c log m : El logritmo de u poteci es el epoete por el logritmo del úmero..- log ( ) : El logritmo de l bse es..- log () 0 : El logritmo de e culquier bse es 0. Observe que e l propiedd se refiere l logritmo de u cociete, esto es estmos evludo el logritmo e u úmero epresdo como cociete: m. El logritmo de u cociete o es el cociete m log ( m) de los logritmos: log ( ). log ( )

23 Pr los logritmos de u sum, log ( m + ),y u difereci, log ( m ), o hy propieddes geerles. De uevo ests propieddes so fáciles de demostrr l psr ls forms logrítmics e epoeciles. Por ejemplo l propiedd : log ( ). Los siguietes ejercicios será de utilidd más delte. Por medio de ls propieddes se pide reescribir u epresió co logritmos: Ejemplo.- Epresr log( ) e térmios de log( ) Solució: Tl como está epresdo log( ) lo podemos iterpretr como el logritmo de u producto / y etoces plicr l propiedd. Pero ltertivmete podemos rescribir ( ) y plicr l propiedd : / log( ) log( ) log( ). + Ejemplo.- Epresr log( ) e térmios de log( ),log( + ) y log( ) Solució: L form de resolver este tipo de ejercicio es lizdo cul es l últim operció que se reliz e l epresió que se le tom logritmo. E este cso es u cociete, por tto se plic l propiedd del cociete: + log( ) log( + ) log( ). El primer térmio del ldo derecho es u producto, por tto plicmos l propiedd del producto 7 log( ) + log( + ) log( ) log( ) + log( + ) log( ) El primer térmio hor es u poteci, por tto plicmos est regl. El segudo que es u rdicl Lo epresmos como u poteci y tmbié le plicmos est propiedd EJERCICIOS ) Epresr log( ) e térmios de log( ),log( ) y log( +) ) Epresr l( ( ) ( + ) ) e térmios de l( ),l( ) y l( + ) ( ) ) Epresr log( ) e térmios de log( ),log( ) y log( + ) ( + ) ( + ) ) Epresr l( ) e térmios de l( ),l( + ) y l( ). ( ) Respuests: ) log(-)+log(+)-log ) l + l + l( ) + / l( + ) ) [log( ) log log( + )] ) l + / ( l( + ) l( ) )

24 APENDICE V RESOLUCION DE ECUACIONES 7 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN PARA RESOLVER ECUACIONES. Este es u método de resolució de ecucioes que permite resolver u gr vriedd de ecucioes. Se bs e l propiedd de los úmeros reles e que si b 0 etoces 0 o b 0. Este método es plicble si luego de trsformr l ecució origil e otr dode el cero este e u miembro de l ecució, el otro miembro se fácil de fctorizr. Putulicemos los psos pr resolver ecucioes por este método.- Se llev l form epresió0,.- Se fctoriz l epresió epresió ( fct.) ( fct.) L( fct. k) Así l ecució qued escrit como ( fct.) ( fct.) L ( fct. k) 0.- Se us el rzomieto que si u producto es cero ( fct.) ( fct.) L ( fct. k) 0 etoces lguos de los fctores es cero. Por cosiguiete se plte tts ecucioes como fctores, tods ls ecucioes igulds cero. fct. 0 fct. 0 K fct. k 0.-Se resuelve tods ls ecucioes plteds. Ls solucioes de l ecució origil so ls solucioes de tods ls ecucioes plteds de los fctores, ecepto quells dode o tiee setido e l ecució origil. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) + 0 b) + 0 c) 8 0 Solució: ) Primero fctorizmos + 0 ( )( + ) 0 ( ) 0 ó ( + ) 0 U producto es 0 si l meos uo de los fctores es 0 ó b) Primero fctorizmos + 0 usdo primero fctor comú. ( + ) 0 ( ) 0 U producto es 0 si l meos uo de los fctores es 0 0 ó ( ) 0 ó ( ) 0 Altertivmete podemos pesr ( ) 0 0 ó ó Así que el cojuto solució de est ecució es {0,}. c) Usmos l técic de fctorizció pr resolver l ecució 8 0, pero pr ello debemos de fctorizr el ldo izquierdo, usmos Ruffii.

25 7 De est tbl obteemos P ( ) ( + )( )( + ). Así que l ecució de rrib es equivlete ( + )( )( + ) 0. Pltemos ( + ) 0 ( ) 0 ( + ) 0 Es imedito ver que ls solucioes de ests ecucioes so, y, ls cules puede ser evluds e l ecució origil. Así que el cojuto solució de l ecució origil es,, Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) b) ( ) ( ) Solució: ) Observe que e est ecució o podemos simplificr ls, pues perdemos solució, (elimir ls es lo mismo que dividir etre ). Si psmos todo l ldo izquierdo, dejdo e el ldo derecho el cero, podemos plicr l técic de fctorizció 0 Fctorizmos ( ) 0 0 ó ( )( + ) 0 U producto es 0 si l meos uo de los fctores es 0 0 ó 0 ó ó ó Así que el cojuto solució de l ecució es {,0, } b) Podemos hcer u cometrio similr l ejercicio psdo, sí que plicmos l técic de fctorizció, co el primer pso que es dejdo de u ldo el 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Fctorizmos scdo de fctor comú ( ) ( )( ) 0 Pltemos ecucioes ( ) 0 ó ( ) 0 Recuerde: U producto es 0 si l meos uo de los fctores es 0 ó Así el cojuto solució de l ecució ( ) ( ) es,.

26 7 El siguiete ejemplo pretede ilustrr que este método se plic o sólo ecucioes poliómics. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ( + ) ( + ) 0. Solució ) ( + ) / ( + ) 0. Primero fctorizmos scdo fctor comú ( + ) / ( ( + )) 0 ( + ) / ( ) 0 ( + ) / ( ) 0. Pltemos ecucioes / ( +) ( + ) / 0 ó ( ) 0 Pr resolver l primer ecució elevmos mbos miembros l cudrdo ( + ) / ) 0 ó + 0 ó ó. Siempre se debe chequer que mbs solucioes teg setido e l ecució origil, e este cso lo descrtmos como solució porque l evlur e l ecució origil obteemos epresioes que o so reles. Así que l úic solució de l ecució origil es. EJERCICIOS ) Resolver ls siguietes ecucioes por fctorizció.) ) ( )( + )( + ) 0.) 0.).) ( )( ) ( ) ( ) 0.6) ( )( ) + ( ) 0.7) ( ) ( ).8) ( + ).9) 7 0.0) Respuests.),.),-,-.)-,.) -,0,.),,.6), /.7),.8)0,-,.9), y -..0), y P RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LA FORMA 0 Q E l secció psd vimos como l propiedd de los úmeros reles coceriete u producto iguldo cero os llevb u método de resolució de ecucioes. E est secció queremos ver el método cudo u cociete es cero. Vemos primero l propiedd e los úmeros reles: Si b 0, teemos que 0 b si y sólo si 0.

27 P Si teemos u ecució de l form 0 Q P l vrible. Ls solucioes de 0 Q P 0. Q 76, etoces P 0, dode P es u epresió e so tods ls solucioes de P 0 que tiee setido e ( + ) ( + ) Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) 0 b) 0 ( + ) c) 0 Solució: ) Ls solucioes de 0 so ls solucioes de 0 siempre y cudo teg setido e l origil. Ls solucioes de 0 so y. Ests so solucioes de l ecució origil. b) ( + ) ( + ) Ls solucioes de 0 so ls solucioes de ( + ) ( + ) 0 ( + ) siempre y cudo teg setido e l ecució origil. L ecució ( + ) ( + ) 0 l resolvemos por fctorizció: ( + ) (( + ) ) 0 Se scó ( +) de F.C. ( + ) (( + ) ) 0 ( + ) 0 Pltemos dos ecucioes 0 ó ( + ) 0. Así que l ecució ( + ) ( + ) 0 tiee como solucioes 0,. E este cso teemos que 0 ( + ) ( + ) stisfce l ecució origil 0 ( + ), si embrgo o tiee setido e est ecució, pues 0 0 o está defiido. Por tto l ecució origil tiee u úic solució dd por 0. c) E l ecució 0 ecució origil tmpoco., pltemos 0, est ecució o tiee solució, por tto l Ejemplo.- Resolver ecució 0 P Solució: Est ecució o es de l form 0, si embrgo lo podemos llevr est form Q sumdo los térmios del ldo izquierdo. 0 Ls solucioes de est últim está coteids e ls solucioes de 0

28 cuy solució efectivmete stisfce l origil. Por tto es l úic solució de (Otr form de resolver est ecució es trbjdo co l ecució equivlete, Como el está dividiedo ps multiplicdo l otro ldo, equivle decir que multiplicmos por mbos ldos, qued etoces cuy solució es l mism que l terior). Ejemplo.- Resolver l ecució Solució: P ) Se sum frccioes fi de llevrl l form 0 Q ( + ) 0 + De quí ( + ) 0 ( + ) L solució es, l cuál es solució de l ecució origil. EJERCICIOS P ) Resolver ls siguietes ecucioes idetificádol co l form 0 Q 8 ( )( + ) ( ) ( + ).) 0.) 0.) ( + ).) 0.) 0 /.6) 0.7) 0 / Respuests:.) 0, 8.)No tiee solució.), 7 (el - o es solució).).) - (0 o es solució).6).7) (0 o es solució) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LA FORMA k d Este tipo de ecució es bstte frecuete. L recomedció pr resolver este tipo de ecució es: Tomr ríz co ídice k mbos ldos, cosiderdo que pr k pr está l solució egtiv tmbié. Así k d si k es impr, k ± d si k es pr, d 0

29 Si k es pr y d<0 l ecució o tiee solució 78 -Justificció pr el cso k d se escribe como d 0, se fctoriz ( d )( + ( d ) + d) 0 se plte dos ecucioes ( d ) 0 y ( + ( d ) + d) 0 L primer tiee como solució d. Se puede verificr que l segud o tiee solucioes reles. -Justificció pr el cso k Si d e egtivo es clro que l ecució d o tiee solució pues culquier úmero rel l elevrlo l cudrdo d myor o igul cero, uc podrá ser egtivo. Si d es positivo etoces usmos el método de fctorizció d se escribe como d 0, se fctoriz (lo pesmos como ( d ) 0 ) ( d )( + d) 0 se plte dos ecucioes ( d ) 0 y ( + d) 0 L primer tiee como solució d y l segud tiee como solució d. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) b) 6 8 c) Solució: ) Tommos ríz cudrd mbos ldos de l ecució:. Recuerde que como el ídice es pr se greg l positiv y l egtiv. Así ls solucioes so: ± ±. b) Al tomr ríz cúbic e mbos ldos de 8 qued 8. 6 c) Como 6 es u ídice pr, l ecució o tiee solució rel, efectivmete 6 R. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) b) ( y + ) 7 Solució: L ecució 6 6 0, l llevmos l form k 6 d, despejdo Ahor tommos ríz mbos ldos y cosiderdo que l ser el ídice de l ríz pr se tiee l ríz positiv y l egtiv. ± ± b) L ecució ( y + ) 7 o es ectmete de est form, pero igul se puede resolver usdo l recomedció. ( y + ) ( y + ) 7 7 y 7 Así que l solució de est ecució es 7. Cometrio.- Y sbemos que est ecució tiee como u úic solució u úmero irrciol. Est ecució o hubiese podido ser resuelt desrrolldo el cubo y luego plicdo Ruffii

30 EJERCICIOS ) Resolver ls siguietes ecucioes idetificádol co l form k d.) ) ) ) ( + ) 6.) 9 0.6) 8( + ) 0.7) ( + ) 0 79 ) Resolver ls siguietes ecucioes.) + 0.) + 0.) 0.) ( + ) 0.) ( )( ) 0.6) ( + ) 0 Respuests:.) 8.) No tiee solució.).) No tiee solucioes reles.).6) No tiee solucioes reles ±.), ± ECUACIONES CON RADICALES.) 0 ±.6) -,.7).) 0 +.) +.) Ls ecucioes co rdicles so quells dode l icógit está detro del rdicl. Por ejemplo l ecució + + l llmremos de est mer porque l vrible está detro del sigo rdicl. L ecució + o l cosidermos u ecució co rdicl porque l vrible o está detro de l ríz. Pr resolver este tipo de ecució se recomied los siguietes psos: ) Dejr el térmio co el rdicl solo de u ldo de l ecució, ) Elevr mbos miembros l poteci del ídice. Estr pediete si hy pltedo u producto otble. ) Simplifique e idetifique l ecució resultte pr resolverl de cuerdo l recomedció. Recuerde que l elevr u poteci pr puede estr gregdo solucioes etrñs, e este cso hy que verificr ls solucioes e l origil. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes ) 0 b) Solució: Tods ests ecucioes so co rdicles. Recuerde: que este tipo de ecució el primer pso de l recomedció es dejr solo el rdicl ) 0 Se dej solo el rdicl Se elev l cubo mbos miembros ( ) 8 Quedó u ecució liel que resolvemos b) Se dej solo el rdicl Se elev l cudrdo mbos miembros ( + 6 ) ( + )

31 ( ) E el ldo izquierdo se desrrolló u producto otble ( + ) Se plic l propiedd distributiv Quedó u ecució cudrátic que se resuelve por l resolvete 0 (Se pudo resolver tmbié por fctorizció) ± ± 8 6 y. Como elevmos l cudrdo pudimos gregr solució. Se comprueb ls solucioes e l ecució origil, cocluyedo que - y 6 so solucioes de l ecució origil. 80 m Cometrio U ecució de l form ( p ) ) k (, co k u costte, l podemos resolver rápidmete elevdo mbos miembros l iverso del epoete : m. Así m m m ( p ( ) ) ) k m p ( ) k Est últim ecució l idetificmos y l resolvemos de cuerdo ls recomedcioes. Debemos teer e cuet que si es pr etoces k o puede ser egtivo y l solució debe tomr e m cuet ls dos ríces: p ( ) ± ( k ) Si m es pr etoces podemos estr gregdo solució. m (Observe que l ecució ( p ) ) k ( ) m p ) k p ( puede ser escrit como m ( p( )) k o bie como (, mbs ecucioes le relizmos dos opercioes cosecutivs pr llegr l form m ( ) k.) Ejemplo.- Resolver l siguiete ecució ( ) Solució: l escribimos co epoete frcciorio: / ( ) ( ) / ) / ± ( / ) ± ( / ) +8 + ó ó 6 EJERCICIOS ) Resolver ls siguietes ecucioes co rdicles:.) 0.) ) ) ) ( ) / / 0.6) ( ).7) + 0.8) + 0.9) Respuests:.).), (/ o es solució).) -( - o es solució).) 9.).6),.7) /.8 ) +.9) +

32 8 ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Ls propieddes de los logritmos permite solucior lgus ecucioes logrítmics. Básicmete tedremos dos tipos de forms y deberemos llevr l ecució plted u de ests dos forms trvés de ls propieddes de los logritmos: Form : log ( g( )) c. L recomedció pr resolverl es llevrl l form epoecil. Form : log ( g( )) log ( f ( )). Pr resolverl usmos el hecho que l fució logrítmic es biuívoc etoces est epresió ocurre si y sólo si g ( ) f ( ), l cul es l que resolveremos. Cometrios: ) Al llevr u ecució l form o podrímos estr gregdo solució, sí que debemos siempre verificr que ls solucioes stisfce l ecució origil. ) L form o tmbié se resuelve elevdo mbos miembros e bse. Vemos los siguietes ejemplos dode debemos llevr l ecució que se os presete u de ests dos forms usdo ls propieddes de los logritmos. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes logrítmics: ) log( + ) log( ) 0 b) log( ) log( + ) + log( + ) Solució: ) Est ecució l llevmos l form : log( + ) log( ) + log( ) Ahor l llevmos su form epoecil + 0 Est es u ecució rciol, multiplicmos mbos ldos por y sí obteemos u ecució liel: 0 + Cuy l solució es:. 7 Est solució debe ser verificd e l ecució rciol pues puede ser u solució ñdid. E l ecució logrítmic origil, se debe sustituir l solució e cd epresió logrítmic pr verificr que cd epresió l que se le tom logritmo se myor que cero. El lector puede verificr que cumple co l ecució rciol y que +>0 co. 7 b) Est ecució l llevmos l form : log ( g( )) log ( f ( )). Pr ello e el ldo izquierdo usmos l regl de l poteci y e el ldo derecho l propiedd de l sum: log( ) log( + ) + log( + ) Etoces Ahor resolvemos est ecució: (( + )( ) ) log( ) log + ( + )( + ),

33 8 : Est solució l sustituimos e l ecució origil pr verificr que estemos plicdo logritmos úmeros positivos: log( ) log( + ) + log( + ). Como log ( ) o est defiido, etoces o es solució. E coclusió est ecució o tiee solució. g ( ) f ( ) Si u ecució epoecil puede ser epresd de form c k, etoces pr resolverl plicmos logritmos mbos ldos co l ide que los epoetes pse multiplicdo g ( ) log b ( ) g( )log b ( ) f ( ) f ( ) logb ( c k ) logb ( c) + logb ( k ) logb ( c) + f ( )logb ( k) Si estmos iteresdos e l solució uméric, podemos empler o bie el logritmo deciml r o el eperio. Si k, se puede plicr logritmos e bse pr teer u solució ect. Ejemplo.- Resolver ls siguietes ecucioes: ) b) + Solució: ) Tommos logritmo deciml e mbos ldos: log( ) log( ) y plicmos propieddes del logritmo ( ) log() log() + log( ) ( )log() log() + ( log() )log() log() log() log() + log() (log() log()) log() log() log() log() log() log() Se distribuye el logritmo Se grup los térmios e e el ldo izquierdo y e el derecho ls costtes Se sc fctor comú y se despej log( ) log() log() ±.. Puede cofirm que ± 9 log() log() log( ) b) Pr resolver + + ( ) ( ) + + log ( ( ) log (, primero epresmos como potecis de. Aplicmos logritmo e bse mbos ldos de l ecució ( + ) ). ( ) + ) log () log () + log ( + ( + ) + ( + )log ( + ( + ) ) )

34 0 Ls solucioes so y. 8 ( ) + + ( ) Altertiv : Podemos reescribir l ecució como Como l fució epoecil es biuívoc l teer u iguldd co bses igules los epoetes debe ser igules, sí l ecució terior es equivlete : + ( + ) + Psmos resolver est ecució cudrátic 0 Ls solucioes so y. Ejemplo.- Resolver l siguiete ecució epoecil e 0 Solució: Se despej l epoecil e y se plic logritmo eperio mbos ldos co el fi que el epoete pse multiplicdo l e l l e l l l EJERCICIOS ) Resuelv ls siguietes ecucioes:.) l( ).) log( + ) 0.) log () +.) e +.).6) 8.7) 8 ) Resolver ls siguietes ecucioes.) log( + ) + log( ) 0.) log( ) + log( + ) log( + ).) log( ) log( + ) log( + ).) log( ) log( ).) log(0 + 0) log( + ).6) +.7) 7.8) log( ) Respuests:.) e+.)97.) /6.) l.) -/.6) 9.7) ±.), (- o es solució).) - o es solució.) (- o es solució).).) -9/8 o es solució l 6) -.7).7.) (0 o es solució) 7 l

35 TIPIFICACIÓN DE ERRORES 8 EXPONENTES Y RADICALES Error Cometrios / / / ( + b) + b L propiedd o es co l sum sio co l multiplicció / / / ( b) b + b + b ( + b) + b b m m Los epoetes de igul bse se sum, o se multiplic b b + b + b b + b + b L poteci es l primer operció cosiderr, fect sólo b Pr poder simplificr debe ir todo el rdicdo elevdo l. ( + b) ( b) b + b EXPRESIONES ALGEBRAICAS Error Cometrio ( )( ) m m m ( )( ) ( ) ( + ) + Por ejemplo, si m teemos ( + ) + + ( + y) + y El ldo izquierdo es igul, el ldo derecho es igul ( + y) + y ( b) m ( b) m No vle l propiedd distributiv cudo el segudo fctor es u poteci ( ) ( + ) + y Pr simplificr y tiee que ser u fctor e el umerdor y y y ( y) ( ) ( y) No se plic l propiedd distributiv de u producto co u producto ( ) ( ) ( ) El ldo izquierdo vle 0 y el derecho 80 + ( b + ) ( + )( b + ) c + d c + b Flt los prétesis: + b + d ( + b)( + d) c ( + d ) c( + b) + d c cb + b + d ( + b)( + d) ( + b)( + d) LOGARITMOS Error Cometrio log ( m + ) log m + log No hy propiedd pr el logritmo de u sum log ( m ) log log m ( ) log ( m) log ( ) m log El primero es el logritmo de u cociete y es igul l difereci de los logritmos FUNCIONES Error Cometrio f ( + h) f ( ) + h Pr evlur fucioes e + h br y cierre prétesis dode v l, luego detro de cd prétesis coloque + h

36 8