Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. TMA : RSOLUCIÓN D CUACIONS NO LINALS.1.- Itroducció La resolució de ecuacioes e ua variable es uo de los problemas clásicos de la aproximació umérica. Se trata de hallar ua raíz de ua ecuació de la forma f(x) = 0 para ua fució dada f. Al valor de x que verifica la ecuació se lo suele llamar tambié cero. Todos los métodos ecesita comezar por ua aproximació iicial a partir de la cual geera ua sucesió que coverge a la raíz de la ecuació. Si [a,b] es u itervalo e el que la fució cambia de sigo, y f es cotiua e dicho itervalo, etoces existe u valor c perteeciete al itervalo (a,b) e el que la fució se aula. Los métodos de bisecció y de falsa posició parte de dicho itervalo para costruir ua sucesió que siempre coverge a la raíz...- l método de la bisecció l método comieza co u itervalo de partida [a,b] e el que f(a) y f(b) tiee distito sigo. l método de bisecció cosiste e ir acercado sistemáticamete los extremos del itervalo hasta obteer u itervalo de achura suficietemete pequeña e el que se localiza u cero. l proceso de decisió para subdividir el itervalo cosiste e tomar el puto medio del itervalo c = (a+b)/ y luego aalizar las tres posibilidades que puede darse: Si f(a) y f(c) tiee sigos opuestos, etoces hay u cero e [a,c]. Si f(c) y f(b) tiee sigos opuestos, etoces hay u cero e [c,b]. Si f(c) = 0, etoces c es u cero. Para cotiuar el proceso, reombramos el uevo itervalo más pequeño tambié como [a,b] y repetimos el proceso hasta que el itervalo sea ta pequeño como deseemos...1.- Covergecia del método de bisecció Supogamos que fc[a,b] y que f(a) y f(b) tiee sigos distitos. Sea { c } la 0 sucesió de putos medios de los itervalos geerados por el método de bisecció dado. toces existe u úmero r[a,b] tal que f(r) = 0 y, además, b a r c para = 0, 1,... 1 particular, la sucesió { } c 0 coverge al cero x = r, esto es, limc r. Ua de las virtudes del método de bisecció es que la fórmula proporcioa ua estimació predetermiada de la precisió de la solució calculada. s fácil demostrar que el úmero N de biseccioes sucesivas que os garatizaría que el puto medio c N es ua aproximació a u cero co u error meor que u valor prefijado es: 10
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. N t F HG l( b a) l( ) l( ) dode t represeta la parte etera del argumeto..3.- l método de la falsa posició (regula falsi) Otro algoritmo popular es el método de la regula falsi o método de la falsa posició. Ua de las razoes de su itroducció es que la velocidad de covergecia del método de bisecció es bastate baja. Como ates, supogamos que f(a) y f(b) tiee distito sigo. Suele coseguirse u aproximació mejor que e el método de la bisecció usado el puto (c,0) e el que la recta secate L que pasa por los putos (a,f(a)) y (b,f(b)) cruza el eje OX: I KJ y Método de la falsa posició (b,f(b)) ata m c L y = f(x) x (a,f(a)) Para hallar el puto c, igualamos dos fórmulas para la pediete m de la recta L: m f ( b ) f ( a ) f ( b) 0 b a b c que resulta respectivamete de uir los putos (a,f(a)) co (b,f(b)), y (c,0) co (b,f(b)). ( b a) Despejado c: c b f ( b) f ( b) f ( a) y las tres posibilidades so las mismas que ates: Si f(a) y f(c) tiee distito sigo, etoces hay u cero e [a,c]. Si f(c) y f(b) tiee distito sigo, etoces hay u cero e [c,b]. Si f(c) = 0, etoces c es u cero de f..3.1.- Covergecia del método de la falsa posició l método costruye ua sucesió de itervalos [a,b ] cada uo de los cuales siempre cotiee u cero. cada paso la aproximació al cero viee dada por: ( b a ) c b f ( b ) f ( b ) f ( a ) y puede demostrarse que la sucesió {c } tiede a u cero de la fució. Auque la amplitud del itervalo se hace cada vez más pequeña, e este método puede ocurrir que o tieda a cero. Si la curva es covexa cerca de la raíz r etoces uo de los extremos se hace estacioario y el otro tiede a la solució. Por este motivo el criterio de parada b-a <, que podía ser adecuado para el método de bisecció, o lo es 11
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. para éste. Los criterios de parada que se utiliza so el valor de f(c ) y la proximidad etre las dos últimas aproximacioes..4.- Iteració de puto fijo Ua técica fudametal de computació cietífica es la de iteració. Como su propio ombre sugiere, se trata de repetir u proceso hasta que se obtiee u resultado. Se usa métodos iterativos p.ej. para hallar raíces de ecuacioes, solucioes de los sistemas lieales y o lieales y solucioes de ecuacioes difereciales. l proceso de iteració para resolver la ecuació x = g(x) cosiste e sustituir repetidamete e la fució g(x) el valor previamete obteido. Para empezar se ecesita u valor de partida p 0. Lo que se produce es ua sucesió de valores {p k } obteida mediate el proceso iterativo p k+1 = g(p k ). La sucesió tiee la siguiete forma: p (valor de partida).4.1.- Putos fijos p p p p 0 k g( p ) 1 0 g( p ) 1 k 1 g( p ) k 1 g( p ) Defiició. U puto fijo de ua fució g(x) es u úmero real P tal que P = g(p). k Geométricamete hablado, los putos fijos de ua fució g(x) so los putos de itersecció de la curva y = g(x) co la recta y = x. Defiició. La iteració p +1 = g(p ) para = 0, 1,... se llama iteració de puto fijo. Teorema del Puto Fijo. Supoiedo que gc[a,b], se puede demostrar que: 1º Si g(x)[a,b] x[a,b], etoces g tiee al meos u puto fijo P e [a,b]. º Si además g'(x) está defiida e (a,b) y K<1 tal que g'(x) K x(a,b), etoces dicho puto P es el úico puto fijo de g e [a,b], y la sucesió {p } costruida a partir de cualquier p 0 perteeciete al itervalo [a,b] coverge a P. Demostració: gráficamete es más ituitivo. cuato a la existecia, si g(a) = a o g(b) = b, ya existe el puto fijo (respectivamete a o b); de lo cotrario, g(a) > a y g(b) < b (ver figura izquierda) co lo que, siedo g(x) cotiua, para pasar del puto (a,g(a)) al (b,g(b)) es ecesario cruzar la recta y = x: el puto P de corte cumplirá g(p) = P y será por tato puto fijo. 1
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. y b (a,g(a)) g(x) y = x P (b,g(b)) b y P y = x Q a a g(x) P1 a b x cuato a la uicidad, si existiera dos putos fijos distitos P 1 y P (ver figura derecha), y existiedo g'(x) e todo (a,b), debe existir algú puto itermedio Q e el que la tagete a g(x) sea paralela a la recta y = x que ue ambos putos fijos. Su pediete es 1, luego tedría que ser g'(q) = 1, cotrariamete a la hipótesis de que 1 < K g'(x) K < 1. (La demostració formal se basa e el Teorema del Valor Medio de Lagrage.) Corolario. Si g verifica todas las hipótesis del Teorema del puto fijo (apartados 1º y º), etoces las siguietes desigualdades proporcioa cotas del error que se comete cuado usamos p como aproximació a P (para todo 1): P p K P p K P p K p p 1 0 1 0 Nótese que al comezar el proceso iterativo P es descoocido, y por tato tambié lo es el térmio derecho de la primera desigualdad, mietras que el de la seguda se puede evaluar desde el pricipio. Demostració: y 1 y = x g(x) y a b y = x x g(x) p 1 p x P p 1 p p +1 P Para demostrar la primera desigualdad (ver figura a la izquierda): P p g( P) g( p ) g( ) P p g( ) P p 1 1 1 1 1 3 K P p K P p K P p K P p 1 3 0 Para demostrar la seguda desigualdad (ver figura a la derecha): b g x 13
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. p p g( p ) g( p ) g( ) p p g( ) p p 1 1 1 1 3 K p p K p p K p p K p p b 1 1 3 1 0 Siedo m > : p p m ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) m m1 m1 m 1 1 p p p p p p p p m m1 m1 m 1 1 m K 1 m 1 p p K p p K p p K p p 1 0 1 0 1 0 1 0 m m ck 1 K K K h 1 p1 p0 c h m K K 1 m K K K 1 p p Tomado el límite cuado m : lim p p lim p p P p m m m g m 1 0 m K p p lim 1 K K K K 1 0 m c m1 y como la suma de la serie geométrica de razó K < 1 es igual a 1/(1 K): lo que cocluye la demostració. P p K p p 1 K K K p 1 1 p 1 0 1 0.5.- Covergecia de la iteració de puto fijo Defiició. (Orde de covergecia). Supogamos que { p } 0 coverge a p y sea p p para cada 0. Si existe dos costates positivas A > 0 y R > 0 tales que lim p p p p lim 1 1 R R etoces se dice que la sucesió coverge a p co orde de covergecia R, y el úmero A se llama costate asitótica del error. Los casos R = 1, merece especial cosideració: Si R = 1 la covergecia de { } p 0 Si R =, la covergecia de { } se llama lieal p 0 A se llama cuadrática. Si R es grade, etoces la sucesió {p } coverge rápidamete a p; esto es, para valores grades de teemos la aproximació +1 A R. Por ejemplo, si R = y 10 -, etoces cabe esperar que +1 A 10-4. Alguas sucesioes coverge co u orde que o es u úmero atural. Por ejemplo, el orde de covergecia del método de la secate es R ( 1 5) 1.618033989. Orde de covergecia de la iteració de puto fijo. Cuado g'(p) 0: 1 p 1 P g( p ) g( P) g( ) ( p P) g( ) p P g( ) h 14
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. co compredido etre p y P. Cuado, g'() g'(p) 0; y siedo g' cotiua, g'() se matedrá, a partir de cierto, suficietemete cerca de g'(p), de modo que co lo que la covergecia es lieal. 1 g( P) Cuado g'(p) 0, escribiedo el poliomio de Taylor co resto de orde : g ( ) g ( ) g( p ) g( P) g( P) p P p P g( P) 0 p P!! p P g( p ) g( P) b g b g b g b g g( ) g( ) p P!! 1 1 g P y si g''(p) 0, cuado : ( ) 1! co lo que la covergecia es cuadrática..6.- l método de Newto-Raphso Si f(x), f '(x) y f ''(x) so cotiuas cerca de ua raíz p de f, esta iformació adicioal sobre la aturaleza de f(x) puede usarse para desarrollar algoritmos que produzca sucesioes {p k } que coverja a p más rápidamete que e el método de bisecció o e el de la regula falsi. l método de Newto-Raphso, que descasa e la cotiuidad de f '(x) y f ''(x), es uo de los algoritmos más útiles y mejor coocidos. Lo itroduciremos gráficamete y luego daremos u tratamieto más riguroso basado e el teorema de Taylor. Defiimos p 1 como el puto de itersecció del eje de abcisas co la recta tagete a la curva e el puto (p 0,f(p 0 )). La figura muestra que p 1 estará, e este caso, más cerca de p que de p 0. [1] y Método de Newto-Raphso (p 0,f(p 0 )) ata m y = f(x) (p 1,f(p 1 )) p f ( p0 ) 0 f ( p0 ) Obviamete: m f ( p0 ) p1 p0 p p f ( p ) 0 1 p ste proceso puede repetirse para obteer ua sucesió {p k } que coverge a p. Hagamos más precisas estas ideas. Nuestro aálisis comieza co el poliomio de Taylor de grado = 1 de f alrededor de p 0 y su correspodiete resto: f c f ( x) f ( p ) f ( ) ( p ) x p x p! 0 0 b 0g b 0g dode c es u puto itermedio etre p 0 y x. Poiedo x = p e la relació y usado que f(p) = 0 obteemos: p 1 p 0 x 0 15
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. b g b g f 0 ( c) f ( p ) f ( p ) p p p p! 0 0 0 0 Si p 0 está suficietemete cerca de p, etoces el último sumado del miembro derecho de esta última ecuació será pequeño comparado co la suma de los dos primeros, así que podemos despreciarlo y usar la aproximació: 0 f p0 f p0 p p0 ( ) ( )b g Despejado p e la relació obteemos que p p f ( p ) f ( p ), expresió que usamos para defiir p 1, la siguiete aproximació a la raíz: f ( p0) p1 p0 f ( p ) y lo mismo para p a partir de p 1, p 3 a partir de p, etc. 0 0 0 0 Teorema de Newto-Raphso. Supogamos que la fució f C [a,b] y que existe u úmero p [a,b] tal que f(p) = 0. Si f '(p) 0, etoces existe > 0 tal que la sucesió { } defiida por el proceso iterativo p k k 0 f ( pk 1) pk g( pk 1) pk 1 ( k 1,,...) f ( p ) coverge a p cualquiera que sea la aproximació iicial p [ 0 p, p ]. La fució g(x) defiida por la relació f x g( x) x ( ) f ( x ) k 1 se llama fució de iteració de Newto-Raphso. Demostració. La costrucció geométrica de p 1 que se muestra e la figura o os ayuda a eteder por qué p 0 debe estar cerca de p i por qué la cotiuidad de f ''(x) es esecial. Puesto que f(p) = 0, es fácil ver que g(p) = p, co lo que p es u puto fijo de g. Además, dado que p k = g(p k-1 ), la iteració de Newto-Raphso para hallar ua raíz de f(x) = 0 cosiste e hallar u puto fijo de g(x) mediate la iteració de puto fijo, co lo que podremos aplicar el Teorema del Puto Fijo. De modo que cosiderado la iteració de Newto-Raphso como ua iteració de puto fijo y aplicado el teorema del puto fijo, e uestra situació: f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) 1 f ( x) f ( x) b Por hipótesis, sabemos que f(p) = 0, luego g'(p) = 0. Como g(x) es cotiua y g'(p) = 0, podemos ecotrar > 0 tal que la hipótesis g'(x) < 1 se cumpla e el itervalo ( p, p ). toces, de acuerdo co el Teorema del Puto Fijo, sólo falta comprobar que g([p,p+]) [p,p+], y e efecto: g(x) p = g(x) g(p) = g'() (p x) K p x < K < g 16
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. Por cosiguiete, que p 0 ( p, p ) es ua codició suficiete para que p 0 sea el puto de partida de ua sucesió { p k } que coverge a la úica raíz de f(x) k 0 = 0 e dicho itervalo, siempre que sea elegido tal que: f ( x) f ( x) 1 x ( p, p ) f ( x) U icoveiete obvio del método de Newto-Raphso es la posibilidad que se divida etre cero e la fórmula de la iteració, lo que ocurriría si f '(p k-1 ) = 0. Defiició. (Orde de ua raíz). Supogamos que f(x) y sus derivadas f '(x), f ''(x),..., f (M) (x) está defiidas y so cotiuas e u itervalo cetrado e el puto p. Diremos que p es u cero de orde M de f(x) si se cumple que f(p) = 0, f '(p) = 0, f ''(p) = 0,..., f (M-1) (p) = 0 y f (M) (p) 0. Las raíces de orde M = 1 se suele llamar raíces simples, mietras que si M > 1 se llama raíces múltiples. particular, las raíces de orde M = se cooce como raíces dobles, y así sucesivamete. Lema. Si ua ecuació f(x) = 0 tiee ua raíz de orde M e x = p, etoces existe ua fució cotiua h(x) tal que f(x) puede expresarse como el producto:.6.1.- Velocidad de covergecia M f ( x) ( x p) h( x) co h( p) 0 Si p es ua raíz simple de f(x) = 0, etoces el método de Newto-Raphso coverge rápidamete, de forma que e cada iteració doblamos (aproximadamete) el úmero de cifras decimales exactas. Si, por el cotrario, p es ua raíz múltiple, etoces el error e cada paso es ua fracció del error e el paso aterior. l método de Newto-Raphso coverge a la raíz doble, pero co ua velocidad más baja: e este caso la covergecia es lieal e lugar de cuadrática. Gráficamete es fácil ituir que la covergecia será más rápida cuado g'(p) = 0. Teorema. (Orde de covergecia del método de Newto-Raphso). Supogamos que el método de Newto-Raphso geera ua sucesió { } que coverge a u cero p de la fució f(x). Si p es ua raíz simple, etoces la covergecia es cuadrática: 1 f ( p) f ( p) p 0 para suficietemete grade [] y si p es ua raíz múltiple de orde M > 1, etoces la covergecia es lieal: M 1 M 1 para suficietemete grade raíz. Obsérvese que, siedo lieal, es tato más leta cuato mayor es el orde de la Demostració. La haremos úicamete para el caso de raíz simple. Recordado que: 17
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. dado que R S T f ( x) f x f x g( x) x g x f ( x) ; ( ) ( ) ( ) f ( x) f ( p) 0 g( p) p (raíz simple) f ( p) 0 g( p) 0 y rige [1], siedo la covergecia cuadrática. Derivado g'(x): g( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 4 R S T f ( p) f g p ( p) f ( p) ( ) 0 0 4 f ( p) f ( p) f ( p) y, dado que la raíz p de f es el puto fijo P de g, sustituyedo e [1] queda [], c.q.d..6..- Icoveietes y dificultades s fácil predecir el error que puede aparecer al dividir etre cero, pero hay otras dificultades que o so ta fáciles de advertir. Alguas veces la aproximació iicial p 0 está demasiado lejos de la raíz deseada y la sucesió {p k } coverge a otra raíz; esto suele ocurrir cuado la pediete f '(p 0 ) es pequeña y la recta tagete a la curva y = f(x) es casi horizotal. Puede ocurrir que la sucesió que se va costruyedo sea divergete, y por lo tato, después de N iteracioes o se tega la solució. Coviee tambié por este motivo establecer u úmero máximo de iteracioes a realizar..6.3.- Aceleració de la covergecia l método de Newto-Raphso se puede modificar de forma que su covergecia sea cuadrática e el caso de raíces múltiples. Teorema. (Iteració de Newto-Raphso acelerada). Supogamos que el algoritmo de Newto-Raphso produce ua sucesió que coverge liealmete a u raíz x = p de orde M > 1. toces la fórmula de iteració de Newto-Raphso acelerada M f ( pk 1) pk pk 1 f ( p ) geera ua sucesió { } p 0.7.- l método de la secate k 1 que coverge cuadráticamete a p. el algoritmo de Newto-Raphso hay que evaluar dos fucioes e cada iteració f(p k-1 ) y f '(p k-1 ). Tradicioalmete, el cálculo de la derivada de ua fució elemetal puede llegar a supoer u esfuerzo cosiderable. Si embargo, co los moderos paquetes de cálculo simbólico, esto o es u problema serio. Au así, hay muchas fucioes dadas de forma o elemetal (como itegrales, o sumas de series, etc.) para las que sería deseable dispoer de u método que coverja casi ta rápidamete como el de Newto-Raphso y que ecesite úicamete evaluacioes de f(x) y o de 18
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. f '(x). l método de la secate ecesita sólo ua evaluació de f(x) por paso y e ua raíz simple tiee u orde de covergecia R 1.618033989. La fórmula de iteració del método de la secate es la misma que la que aparece e el método de la regula falsi; la diferecia etre ambos estriba e la forma de elegir el siguiete térmio. Partimos de dos putos iiciales (p 0,f(p 0 )) y (p 1,f(p 1 )) cercaos al puto (p,0). Se defie p como la abscisa del puto de itersecció de la recta que pasa por estos dos putos co el eje OX. Calculado dicha recta y su puto de corte co el eje OX se obtiee: p1 p0 p g( p1, p0) p1 f ( p1) f ( p ) f ( p ) 1 0 l térmio geeral de la sucesió geerada por este método viee dado por la fórmula de iteració de dos putos: ( pk pk 1) pk 1 g( pk, pk 1) pk f ( pk ) f ( p ) f ( p ) Auque la fórmula es la misma que la del método de la falsa posició, la diferecia fudametal es que o se ecesita u cambio de sigo de la fució e el itervalo [p 0,p 1 ]. por: ste método tambié se puede obteer a partir del de Newto sustituyedo f '(p k ) f ( pk ) f ( pk 1) p p k k 1 Los térmios de la sucesió de errores verifica: k 1. 618 f ( p) 1 k f ( p) k 0. 618.8.- Aproximació iicial y criterios de covergecia los métodos que parte de u itervalo [a,b] e el que la fució cambia de sigo, o importa lo grade que éste sea, se tiee la seguridad de que habrá covergecia a ua raíz. Por esta razó se deomia globalmete covergetes. Si embargo si e [a,b] hay varias raíces será ecesario determiar itervalos más pequeños para cada ua de ellas, y esto o suele ser fácil. Los métodos del puto fijo, de Newto-Raphso y de la secate parte de ua aproximació iicial suficietemete próxima a la raíz, por lo que se deomia localmete covergetes. Coviee, si es posible, hacer ua represetació gráfica de la fució que permitirá obteer aproximacioes iiciales a las raíces. Normalmete se emplea u proceso iterativo que geera ua sucesió que coverge a la raíz. s imprescidible establecer de atemao el criterio de parada que se va a utilizar. tre los más adecuados se puede citar: k 1 19
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. a) f(p ) <. ste criterio es útil para resolver ecuacioes de la forma h(x) = L aplicado el algoritmo a f(x) = h(x) L. b) Proximidad etre las dos últimas aproximacioes: b1) térmios absolutos: p p b) térmios relativos: p p p 1 1 Los tamaños de las toleracias y se debe elegir co cuidado, ya que si se toma muy pequeños puede ocurrir que sea ecesario u úmero muy alto de iteracioes. Ua buea elecció suele ser tomar y uas cie veces mayores que 10 -M, siedo M el úmero de cifras decimales que utiliza el ordeador e coma flotate. Coviee tambié fijar u úmero máximo de iteracioes a realizar como e cualquier procedimieto iterativo. Tambié hay que teer e cueta que la solució obteida está afectada por errores debidos a la iestabilidad del problema y al redodeo. Si la curva y = f(x) tiee ua pediete alta cerca de la raíz, etoces el problema está bie codicioado. Si embargo si esta pediete es muy pequeña, o sea, si la curva es casi horizotal, etoces el problema está mal codicioado. 0
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales..9.- Tema. jercicios. 1. Determiar gráficamete el º de raíces reales de la ecuació o lieal f(x) = x + e -x = 0. Sol.: ua. Determiar gráficamete el º de raíces reales de la ecuació o lieal x log 10 (x) = 1. Sol.: ua 3. Utilizado el método de la bisecció resolver la ecuació o lieal e -x x = 0 partiedo del itervalo iicial [0,1] y co u error relativo iferior al 5%. Sol.: x 0.65; e r = 0% 4. Determiar, utilizado el método de la bisecció, partiedo del itervalo iicial [0,1] y co u error absoluto meor que 0.1, la raíz real de la fució f(x) = x e x 1. Sol.: x 0.565 5. Aplicado el método de la bisecció a la ecuació x 3 3 = 0, localizar la raíz cúbica de 3 sobre u itervalo de logitud meor o igual a 0.1, partiedo del itervalo [1,]. Sol.: x 1.4375 6. mpezado co el itervalo [,3], realizar tres iteracioes del método de falsa posició a la fució f(x) = 4x 4 9x 3 + 1. Sol.: x.19173 7. Resolver la ecuació o lieal f(x) = e -x x = 0 co el método de falsa posició, sabiedo que la raíz exacta es r = 0.5671439, partiedo del itervalo iicial [0,1]. Obteer, trabajado co redodeo a cuatro cifras decimales, la aproximació de la raíz co u error relativo iferior al 1%. Sol.: x 0.57 8. Resolver, co error relativo iferior al 0.05%, la ecuació o lieal f(x) = e -x x = 0 mediate el método de la secate, tomado como valores iiciales x -1 = 0, x 0 = 1, y sabiedo que r = 0.5671439. Trabajar co redodeo a cuatro cifras decimales. Sol.: x 0.567 9. La fució f(x) = x e x/5 tiee dos raíces. Hallarlas por el método del puto fijo (aproximacioes sucesivas) trabajado co redodeo a cuatro cifras decimales. Sol.: x 1.959 (co g(x) = e x/5 ); x 1.713 (co g(x) = 5 lx) 10. Hallar, co u error o superior a 0.1, la úica raíz real de la ecuació algebraica f(x) = x 3 + x + 10x 0 = 0 utilizado el método de aproximacioes sucesivas (puto fijo). Seleccioar los valores iiciales de x e el itervalo [1,] y trabajar co cico cifras decimales y redodeo por trucamieto. Sol.: co x 0 =1.5 y g(x) = 0/(x +x+10) x 1.36657; co x 0 =1.5 y g(x) = x (x 3 +x +10x0) 0.05 x 1.36877 1
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. 11. fectuar ua iteració del método de Newto-Raphso para resolver la ecuació o lieal f(x) = x 0. si(x) partiedo del valor iicial x 0 = 0.5. Trabajar co redodeo a cuatro cifras decimales. Sol.: x 0.0099 1. Realizar tres iteracioes del método de Newto-Raphso para hallar la raíz de la fució f(x) = e -x x utilizado como aproximació iicial de la raíz buscada x 0 = 0 y trabajado co redodeo a seis cifras decimales. Sol.: x 0.567143 13. cotrar ua raíz aproximada de la ecuació x 3 x 1 = 0 e el itervalo [1,] co precisió de 10-5, primero por el método de Newto y luego por el de la secate. Sol.: x 1.347 (covergecia más leta co el método de la secate) 14. Resolver la ecuació 4 cos(x) = e x co u error absoluto meor que 10-4, usado: l método de Newto-Raphso co x 0 = 1. l método de la secate co x 0 = /4 y x 1 = /. Sol.: x 0.904788 (covergecia más leta co el método de la secate) 15. Determiar la raíz positiva de la ecuació si(x) x/ = 0 co ua precisió de 10-4 ( f(x) < 10-4 ), trabajado co redodeo a cico cifras decimales, utilizado los métodos de falsa posició y de la secate, partiedo e ambos casos del itervalo [/, ] Sol.: x 7 1.89539 (falsa posició); x 6 1.89549 (secate) 16. el itervalo [0.5,1] la fució f(x) = x 0. si(x) 0.5 tiee ua raíz, (siedo f(0.5) = 0.0959 y f(1) = 0.3317). Aplicar los métodos de bisecció, falsa posició, secate y Newto para determiar dicha raíz co ua precisió de 10 - ( f(x) < 10 - ). Sol.: x 4 0.6094 (bisecc.); x 1 0.611 (falsa pos.); x 1 0.611 (sec.); x 1 0.6153 (New.) 17. Calcular la raíz de la ecuació log 10 (x +) + x = 5 co tres cifras decimales exactas mediate la aplicació de la técica de Newto-Raphso. Sol.: x 3.78676 18. Deducir ua ley de recurrecia que permita obteer c. Aplicarla al cálculo de 10 co ua precisió de 10-5. 19. Deducir ua ley de recurrecia para calcular c 7 el cálculo de 59. Comezado co x 0 = 1.5. Sol.: x +1 = (x + c/x ) / ; x 4 = 3.1677. Realizar cuatro iteracioes para Sol.: x +1 = [(1) x + c / x 1 ] / ; x 4 = 1.7906 0. Resolver la ecuació o lieal x 4 si(x) = 0 sabiedo que u valor aproximado de la raíz es x 0 =.5. Realizar 3 iteracioes del método de Newto-Raphso. Sol.: x 3.47658 1. Siedo f(x) = 8x cos(x) x, y sabiedo que f(0) < 0 y f( /6) > 0, justificar que la expresió
Tema : Resolució de ecuacioes o lieales. cos( x ) x g( x ) 8 4 permitirá obteer ua sucesió cuyo límite sea ua raíz de la ecuació f(x) = 0. Hallar la raíz co ua precisió = 10-3. Sol.: x 3 = 0.18101. Determiar la raíz cuadrada egativa de 0.5 co cuatro decimales y ua precisió de 10-3 cosiderado la fució F(x) = x 0.5 y resolviedo la ecuació x = x + x 0.5 mediate el método de aproximacioes sucesivas tomado x 0 = 0.6. Puede determiarse la raíz cuadrada positiva por este método? Sol.: x 7 = 0.7073; o se puede 3. Muéstrese e forma gráfica que la ecuació 4 si(x) = 1 + x tiee tres raíces reales r 1 < r < r 3. A cotiuació determíese co ua precisió de 10-3 y trabajado co redodeo a seis cifras decimales:r 1 utilizado el método de la secate Comparar estos métodos. r utilizado el método de bisecció r 3 utilizado el método de Newto Sol.: [-,-/], r 1 x 6 =.70061; [0, /], r x 10 = 0.34845; r 3 x 3 =.10084 (co x 0 =3 /4) 4. Hacer ua represetació gráfica aproximada de las fucioes f(x) = cos(x) y g(x) = e x para obteer estimacioes iiciales de las raíces de la ecuació cos(x) e x = 0. Cuátas raíces tiee? Cuátas so positivas? Determiar las raíces positivas co ua precisió f(r) < 10-3 utilizado el método de la secate y el método de Newto-Raphso. Nota: utilizar 3 cifras decimales y trabajar e radiaes. Sol.: egativas, 1 positiva: 0.540 3