Derivación Definición y propieaes básicas Definición. Una función f efinia en un entorno e un punto c R es erivable en c si y sólo si el ite f c = f fc + h fc f fc c := = h h c c eiste y toma un valor finito, que es la erivaa e f en c. Una función f efinia en un intervalo e la forma [c, b es erivable en c por la erecha si y sólo si el ite lateral f c + fc + h fc f fc := = h + h c + c eiste y toma un valor finito. La efinición e erivable en c por la izquiera es similar. Una función f : a, b R es erivable en el intervalo abierto a, b si y sólo si f es erivable en cuaquier punto e a, b. Una función f : [a, b] R es erivable en el intervalo cerrao [a, b] si y sólo si f es erivable en el intervalo abierto a, b, erivable en a por la erecha y erivable en b por la izquiera. Observación. Si una función f es erivable en un punto c, entonces y = fc + f c c es la recta tangente a la gráfica y = f en el punto = c. En particular, la recta tangente tiene peniente m = tan α = f c, one α es el ángulo entre la recta tangente y el eje horizontal. Aemás, la recta tangente es el ite e la recta secante y = fc+ fc+h fc h c que pasa por el punto fijo c, fc y el punto móvil c + h, fc + h cuano h tiene a. Figura. La recta tangente izquiera es el ite e las rectas secantes centro cuano h erecha. Definición. Si el ite que efine f c es infinito, iremos que f tiene peniente infinita en c. Ejercicio. Probar que la función f = n, con n N, es erivable en too R y f c = nc n. Inicación: Desarrollar la epresión c + h n usano el binomio e Newton. Teorema. f erivable en c f continua en c. Demostración. Supongamos que la función f es erivable en un punto c. Entonces [ ] f fc f fc f fc = c = c = f c =. c c c c c c Por tanto, c f = fc, lo cual implica que f es continua en c. Definición. Si f es una función erivable en un intervalo I R, entonces la función f : I R es la primera erivaa e f. Si f vuelve a ser erivable en I, entonces la función f : I R efinia como la erivaa e la erivaa; o sea, f = f := f es la seguna erivaa e f. Y, en general, f n = n f n enota a la erivaa n-ésima e f.
Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf Teorema Darbou. Si f es una función erivable en un intervalo I R, entonces su erivaa f no tiene ninguna iscontinuia e salto en el intervalo I. Ejercicio. Probar que la función f = no es erivable en c =. Probar que la función f = es erivable en too R, pero no es os veces erivable en c =. Las funciones elementales simples, las operaciones básicas entre funciones erivables, la composición e funciones erivables y la inversión e funciones erivables biyectivas son erivables:. Derivaas e las funciones elementales simples: k =, n = n n n N, R, e = e, sin = cos, arcsin =, sinh = cosh, argsinh =, + a = a ln a a >, cos = sin, arc cos = cosh = sinh, α = α α α R, >, ln = >,, argcosh =, tan = cos = + tan, arctan = +, tanh = cosh = tanh, argtanh =.. Reglas e erivación: Si f y g son erivables en c y k R, entonces las funciones k f, f ± g, f g y f/g si gc son erivables en c. Aemás, f k f = k f, f ± g = f ± g, f g = f g + f g, = f g f g g g. 3. Regla e la caena: Si f es erivable en y g lo es en f, entonces g f es erivable en y g f = g f f. 4. Derivaa e la inversa: Si f es erivable en e invertible en un entorno e, entonces la función inversa f es erivable en y = f y f f = f o, equivalentemente, f y = f f y. Ejercicio. Deucir la erivaa e la inversa a partir e la regla e la caena. Obtener las fórmulas e las erivaas el logaritmo y el arco seno erivano las relaciones e ln = y sinarcsin =. Finalmente, introucimos el concepto e erivación implícita meiante un ejemplo. Consieramos la función f : [, ] R efinia eplícitamente por la fórmula y = f = o implícitamente por la ecuación + y =. En too este parráfo usaremos que y es una función que epene e la variable ; pues y = f. Para calcular la primera erivaa y = y = f tenemos os opciones: Derivar la fórmula eplícita: y = f = = = f = y. Derivar la ecuación implícita: + y = = + yy = y = y. También poemos calcular las erivaas e oren superior por erivación implícita: +y = = +yy = = +y +yy = = 3y y +yy = = 3y +4y y +yy 4 =, luego espejano las erivaas y, y, y, y 4 obtenemos que y = y, y = + y, y = 3y y, y 4 = 3y + 4y y, y y y Por ejemplo, si = /, entonces y = /, y =, y =, y =, y 4 = 6, etcétera.
Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf 3 Gráficas e funciones Definición. Sea f : I R una función efinia en un intervalo I R. La función f es: Creciente en I si y sólo si f f para toos, I tales que < ; Decreciente en I si y sólo si f f para too, I tales que < ; Convea en I si y sólo si f t + t tf + tf, t,, < I; Concava en I si y sólo si f t + t tf + tf, t,, < I. Y iremos que f es estrictamente creciente, ecreciente, convea o concava cuano las esigualaes anteriores sean estrictas. Teorema. Sea f : [a, b] R continua en [a, b] y erivable en a, b. Entonces: f para too a, b f es creciente en [a, b]; f para too a, b f es ecreciente en [a, b]; f > para too a, b f estrict. creciente en [a, b] y f : [fa, fb] [a, b]; f < para too a, b f estrict. ecreciente en [a, b] y f : [fb, fa] [a, b]; f = para too a, b f es constante en [a, b]. Y si f es os veces erivable en a, b, entonces: f para too a, b f es convea en [a, b]; f para too a, b f es concava en [a, b]. f > para too a, b f es estrictamente convea en [a, b]; f < para too a, b f es estrictamente concava en [a, b]; f = para too a, b f es lineal; o sea, f = m + b para algunas m, b R. Ejercicio. Buscar el mayor intervalo I R que contiene al punto = one f = e es biyectiva. Definición. Sea f : I R R una función efinia en un intervalo I y sea c I. El punto c es un: Mínimo global o absoluto e f en I si y sólo si fc f para toa I; Máimo global o absoluto e f en I si y sólo si fc f para toa I; Mínimo local o relativo e f en I si y sólo si fc f si I está cerca e c; Máimo local o relativo e f en I si y sólo si fc f si I está cerca e c; Máimo estricto o mínimo estricto cuano esas esigualaes sean etrictas para c; Etremo global/local e f en I si y sólo si es un máimo o mínimo global/local e f en I; Punto crítico e f si y sólo si f c = o bien f no es erivable en c; Punto e infleión e f si y sólo si f cambia el carácter concavo/conveo en c. Figura. Definición e función convea izquiera y e ejemplos e máimos y mínimos locales y globales erecha.
4 Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf Observación. Una función puee pasar e creciente a ecreciente en puntos one no está efinia y que, por tanto, no son etremos. Por ejemplo, f = / en =. Análogamente, una función puee pasar e concava a convea en puntos one no está efinia y que, por tanto, no son puntos e infleión. Por ejemplo, f = / en =. Definición. Los intervalos cerraos y acotaos e la forma I = [a, b] se enominan compactos. Teorema. Si f es una función continua en un intervalo compacto I, entonces m, M I tales que fm f fm para too I. Es ecir, f tiene un mínimo global m y un máimo global M en el intervalo I. El mínimo global m y el máimo global M el teorema anterior pueen no ser únicos o no ser estrictos. Y pueen ser un etremo el intervalo compacto I. El teorema no se cumple si el intervalo no es compacto. Por ejemplo, ninguna e las siguientes funciones tiene mínimos o máimos globales en los respectivos intervalos: f = ln en I =, + ; f = arctan en I = R; f = sin en I =, + ; y f = en I =,. Teorema. Sea f una función efinia en un intervalo abierto I R y sea c I. Si c es un etremo local e f, entonces c es un punto crítico e f; Si f es erivable en I, entonces: c es un etremo local f c = ; Si f es os veces erivable en I, f c = y f c, entonces c es un mínimo/máimo local cuano f c es positiva/negativa. Si f es n veces erivable en I, f c = f c = = f n c = y f n c, entonces: n impar c es un punto e infleión. n par c es un mínimo/máimo local cuano f n c es positiva/negativa. Ejercicio. Encontrar los etremos relativos e las funciones f = /3 y g = /3. Si f es erivable en un intervalo compacto I = [a, b], entonces puee suceer que = a o = b sean etremos aunque f a + y f b. Por ejemplo, f = en I = [, ]. Sólo es recomenable calcular la seguna erivaa f y erivaas e oren superior para caracterizar etremos y puntos e infleión si su cálculo es simple. De lo contrario, es mejor estuiar el signo e la primera erivaa f en un entorno e c. Si f es negativa/positiva cuano se acerca a c por la izquiera/erecha, entonces c es un mínimo local. Si f es positiva/negativa cuano se acerca a c por la izquiera/erecha, entonces c es un máimo local. En cambio, si f c = pero f no cambia e signo en = c, entonces c es un punto e infleión. Ejercicio. Encontrar los etremos absolutos e las siguientes funciones en los intervalos compactos aos: f = 3 3 en I = [, 3]; f = 3 4 4 3 en I = [, ]; f = 3 /3 en I = [, 3]; y f = sin cos en I = [, π]. Ejercicio. Daas las funciones f ± = ± m con m N, eterminar el carácter el punto =. Definición. La recta r { = c} es una asíntota vertical e f cuano los os ites laterales c ± f toman un valor infinito, sin importar ni el signo el infinito ni que coincian los os ites. Y es una asíntota vertical por la erecha respectivamente, por la izquiera e f cuano el ite lateral por la erecha respectivamente, por la izquiera toma un valor infinito. Definición. La recta r {y = b} es una asíntota horizontal e f cuano ± f = b. Y es una asíntota horizontal hacia más infinito respectivamente, hacia menos infinito e f cuano el ite + respectivamente, sea igual a b. Definición. Sea r {y = m + b} una recta tal que m y b R. La recta r es una asíntota oblícua e f cuano ± f m b = o, equivalentemente, cuano f m = ±, b = f m. ± Y es una asíntota oblícua hacia más infinito respectivamente, hacia menos infinito e f cuano estos ites sean válios si + respectivamente,.
Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf 5 Figura 3. Función con una asintóta horizontal hacia menos infinito en {y = }, una asintóta vertical en { = } y una asintóta oblicua hacia más infinito en {y = }. Observación. Una asíntota horizontal es una asíntota oblicua con m =. En particular, los os ites m = ± f/ y b = ± f m sirven para calcular ambos tipos e asíntotas, aunque basta calcular el ite ± f cuano la asíntota sólo puee ser horizontal. Ejemplo. Daa una peniente m R, la función f = m + sin cumple ± f/ = m, pero no tiene asíntotas ni horizontales, ni oblicuas, pues ± f m = ± sin. Ejercicio. Dibujar la gráfica e las siguientes funciones: f = 6 + 3, f = + 3, f = 4 +, f = 4. Calcular ominios, rangos, intervalos e crecimiento/ecrecimiento y concavia/conveia, etremos relativos, puntos e infleión y asíntotas. Teoremas funamentales: Rolle, valor meio y Taylor Teorema Rolle. Si f : [a, b] R es una función continua en [a, b] y erivable en a, b tal que fa = fb, entonces eiste algún punto c a, b tal que f c =. Teorema Del valor meio. Si f : [a, b] R es una función continua en [a, b] y erivable en a, b, entonces eiste algún punto c a, b tal que fb fa = f cb a. Demostración. Sea g : [a, b] R la recta que pasa por los puntos a, fa y b, fb; es ecir, g = fa + fb fa a. b a La iferencia h = f g cumple las hipótesis el teorema e Rolle, pues es continua en [a, b], erivable en a, b y ha = = hb. Por tanto, eiste c a, b tal que = h c = f c g c. Es ecir, f c = g c = fb fa /b a o, equivalentemente, fb fa = f cb a. Estos os teoremas tienen interpretaciones geométricas bastante claras. El teorema e Rolle significa que si una función erivable tiene el mismo valor en os puntos iferentes a y b, entonces eiste algún punto intermeio c a, b one su recta tangente es horizontal. El teorema el valor meio significa que si una función es continua en [a, b] y erivable en a, b, entonces eiste algún punto intermeio c a, b one su recta tangente es paralela a la recta que pasa por los punto a, fa y b, fb. A continuación, veremos como aproimar funciones relativamente complicaas por las funciones más simples posibles: los polinomios. La manera e hacerlo es buscar un polinomio que tenga las mismas erivaas hasta un cierto oren N que la función original f en un punto ao c.
6 Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf Figura 4. El teorema e Rolle izquiera y el teorema el valor meio erecha. Definición. Si f es una función N veces erivable en un punto c, entonces f n c P N = c n = fc+f c c+ f c c + f c c 3 + + f N c c N n! 6 N! es el polinomio e Taylor e grao N e la función f en el punto c polinomio e Maclaurin si c =. La iferencia R N = f P N es el resiuo e Taylor e grao N e la función f en el punto c. Ejercicio. Comprobar que P n N c = f n c para too n =,,..., N. Definición. Los coeficientes binomiales son los números α α αα α α n + =, =, α R, n N. n nn n Observación. Los coeficientes binomiales aparecen en la famosa fórmula el binomio e Newton m m a + b m = a m n b n = a m + ma m b + + mab m + b m, n valia para too a, b R y para too eponente m N. Observación. Si f es una función par/impar, entonces sus polinomios e Maclaurin sólo tienen potencias e grao par/impar. Mirar, por ejemplo, las funciones seno y coseno en el cuaro. Teorema Fórmula e Lagrange. Sea f : a, b R una función N + veces erivable, sea c a, b y sea R N = f P N el resiuo e Taylor e grao N e la función f en el punto c. Entonces, para too a, b eiste un punto ξ = ξ c, tal que R N = f N+ ξ N +! cn+. Notación. Este teorema ice que el resiuo R N es e oren N +, lo cual se suele enotar con los símbolos R N = O c N+ [Taylor] o R N = O N+ [Maclaurin]. En particular, escribiremos f = P N + O c N+ [Taylor] o f = P N + O N+ [Maclaurin]. Ejemplo. Vamos a probar que tan = + 3 /3 + 5 /5 + O 7. El esarrollo el coseno es: cos = / + 4 /4 + O 6 = u, one u = / 4 /4 + O 6. Usano que u 3 = O 6 y el esarrollo e / u, resulta que cos = u = + u + u + Ou 3 = + 4 4 + O6 + 4 4 + O6 + O 6 = + / + /4 /4 4 + O 6 = + / + 5 4 /4 + O 6.
Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf 7 Finalmente, multiplicano los esarrollos e sin y / cos vemos que tan = sin cos = sin cos = 3 6 + 5 + O7 + + 54 4 + O6 = + / /6 3 + / / + 5/4 5 + O 7 = + 3 /3 + 5 /5 + O 7. Función Polinomios e Maclaurin e n P N = n! = + + + 3 6 + + N N! cos P N = n n n! = + 4 N + + N 4 N! sin P N+ = n n+ n +! = 3 6 + 5 n ln P N = = n 3 3 N N n= arctan P N+ = n n+ n + = 3 3 + 5 5 P N = n = + + + 3 + + N + α con α R P N = α n = + α + n αα + Cuaro. Algunos polinomios e Maclaurin. + N N+ N +! + N N+ N + αα α 3 + 6 Pregunta. Qué pasa cuano el grao e los polinomios e Taylor tiene a infinito? Respuesta: Veremos en el tema sobre Series que algunas veces el ite N + a lugar a la iguala f n c f = c n = fc + f c c + f c c + + f N c c N +, n! N! vália en intervalos aecuaos. Estas epresiones con sumas infinitas son los esarrollos e Taylor. Estos esarrollos pueen integrarse y erivarse término a término. Poemos eucir algunos esarrollos importantes a partir e la iguala = n n, vália cuano < <. Por ejemplo: ln = arctan = t t = t +t = n tn t = n tn t = n n+ n+ = n n n. n t n t = n n t n t = n+ n n n+. Cálculo e ites: Regla e L Hôpital y esarrollos e Taylor Teorema Regla e L Hôpital. Sean f y g os funciones erivables en I \{c}, one I es un intervalo abierto que contiene a c. Entonces: { f c g, } f f & c g = c g = f c g. Esta regla también vale para los ites laterales c ± y para los ites hacia infinito ±. Notación. El símbolo f g cuano + significa que + f/g = ; es ecir, significa que la función f crece mucho más lentamente que la función g cuano +.
8 Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf Observaciones. Conviene tener en cuenta las siguientes puntualizaciones sobre la regla e L Hôpital. El símbolo / enota e forma compacta las cuatro posibles ineterminaciones ± / ±. Es usual tener que aplicar varias veces seguias la regla e L Hôpital para poer eshacer la ineterminación. Por ejemplo, para calcular + n e hay que aplicar la regla n veces: n + e = = + n n nn n e = = + e = = = + y quea probao que la función eponencial crece mucho más rápio que cualquier potencia n! e = + = cuano +. Es ecir, n e cuano + para too eponente n N. f La no eistencia e g no implica la no eistencia e f g. Por ejemplo, f = + sin, g = f + g = + sin = + = + sin + =, pero, en cambio, si intentamos aplicar la regla e L Hôpital obtenemos que f + g = + cos = + cos =. + + La regla sólo es vália para las ineterminaciones y. Por ejemplo, si f = e y g =, f + g = e + = e = + = + + = f + g. Esta regla nos permite comparar la velocia e crecimiento e funciones que tienen a más infinito cuano +. Poemos ver que el logaritmo crece más lentamente que cualquier potencia e eponente positivo, las cuales, a su vez, crecen más lentamente que cualquier eponencial e base mayor que uno. Concretamente, si k R, < α < β y < a < b, entonces Ejemplo 3. sin Ejemplo 4. cos Ejemplo 5. ln+ k lnln ln α β a b cuano +. = = cos =. = = sin Ejemplo 6. + ln = + + = = /+ =. = = cos = /. ln / = + = + / / = + =. ln Ejemplo 7. + = = + / = / =, luego ln cuano +. Ejemplo 8. + ln ln = + ln = = / + ln + / = = / + /+/ = /. Ejemplo 9. cos a = = + e ln cos a = e + ln cos a = e a /, pues ln + cos a ln cosa/ = = + / = a sina/ / 3/ cosa/ + / = a / sina/ + cosa/ = [ Cambio: t = a/ ] = a t sin t t cos t = a. Muchos ites se pueen calcular usano los esarrollos e Taylor o e Maclaurin si c = e las funciones implicaas. La mayor ificulta e este métoo consiste en escoger hasta que oren se ebe esarrollar caa función para eterminar el valor el ite. A veces conviene realizar el cambio e variables t = c para trabajar con los esarrollos e Maclaurin, que suelen ser más simples. A continuación calculamos algunos ites e los ejemplos anteriores aplicano este métoo: sin = = +O3 = + O = ; cos = = /+O 4 = / + O = /;
ln+ + t + Depositao en http://www.ma.upc.eu/ rafael/erivacioncon.pf 9 = = +O = + O = ; [ Cambio e variables: ] ln = ln + ln = t = + = t ln+t t + t ln+t = t t t /+Ot 3 = t + t /+Ot 3 t +Ot 3 = /+Ot t + +Ot = /. t t+ot Ejemplo. Las funciones f = tan e /3 y g = ln + 3 se anulan en =, luego el ite f/g arroja una ineterminación. Si aplicamos la regla e L Hôpital, resulta que muchas erivaas e f y g también se anulan en =, lo cual complica el cálculo el ite. Por tanto, cambiamos e estrategia y calculamos los esarrollos e Maclaurin e ambas funciones. El esarrollo e la tangente está calculao en el ejemplo, mientras que los esarrollos e la eponencial y el logaritmo están en el cuaro. Juntánolo too, quea: tan e /3 + 3 /3 + 5 /5 + O 7 + /3 + /3 / + O 6 ln = + 3 3 + O 6 = + /3 /3 4 + /5 /8 6 + O 8 6 + O 9 7 6 /9 + O 8 = 6 + O 9 = 7 9 + O + O 3 = 7 9.