Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel de Mtemátic Instituto Tecnológico de Cost Ric 1.1 Introducción Se present quí l fctorizción de polinomios, concentrándose especilmente en fctorizción de polinomios utilizndo ls fórmuls notles y llegndo por medio de ells l fórmul generl pr fctorizr polinomios de grdo dos. Los polinomios son expresiones lgerics donde se cominn monomios trvés de l dición y sustrcción. Pero, qué cos son los monomios? Pues ien, son expresiones donde se cominn vriles, representds por letrs de nuestro ecedrio y números reles. Sin emrgo, est cominción no es l zr. Pr que se monomio los exponentes de ls vriles deen ser positivos y es el producto quien une vriles y números reles. Según lo que se define nteriormente como monomio, responde: de ls expresiones siguientes cuáles corresponden monomios? 1. 3xy 2. 5x 2 + 3x 3. 4x 2 y 4. 4 1 3 5. 6. 3 2 4 L cominción de dos monomios por dición o sustrcción se le suele llmr inomio. Si se cominn tres monomios por dición o sustrcción se les llm trinomios. Bueno, el sunto de los nomres se puede simplificr si les llmmos simplemente polinomios. Ahor, otr vez responde según l informción nterior: de ls expresiones siguientes cuáles corresponden polinomios? 1. 3z 3 8z + y 2. 5x 2 + 3x 4 3. 2 x 3y 4. 4 3 x 1 2 + x 2 5. 2x 3 z 6. 5 2 3y 2 8y Podemos tener polinomios en vris vriles o polinomios en un vrile. Trtremos solmente los polinomios en un vrile. Además, muchs veces pr simplificr el lenguje escrito les ponemos nomres tles como: px),qx),rx), etcéter, con minúscul y otrs con myúscul: Px), Qx), Rx).
2 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. Ejemplos de lo nterior son: ) Px) = 5x 2 + 3x 4 ) Qx) = 3x 5 1 c) qx) = 2x 4 + 3x 2 1 2. Por hor nos interes l fctorizción de polinomios de grdo dos. Estudiremos esto por csos. Por cierto, qué signific fctorizr un polinomio? Fctorizr un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llmdos fctores, de tl modo que l multiplicrlos entre sí se oteng el polinomio originl. 1.2 Fctorizción por fctor común Oserv lo que hy en común en l representción siguiente, tom en cuent que ls estrells representn vlores reles: + L estrell zul se repite en mos sumndos, por lo que podemos escriir l expresión nterior como sigue: + ) Est visulizción nos yud recordr l propiedd distriutiv de l dición con respecto l multiplicción. L cul estlece que: c + c = + )c Vemos otros ejemplos. + L estrell zul se repite, por lo menos, dos veces en cd sumndo, sí podemos representr es expresión, nuevmente por l propiedd distriutiv de l dición con respecto l multiplicción, de l mner siguiente: + ) Uno más:
Revist digitl Mtemátic, Educción e I nternet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. 3 + - Luego tendrímos: + - ) Ahor, utilizndo l representción simólic del álger, consider que l ilustrción nterior, figur 3) y figur4), se puede expresr sí: 9x 2 12x 3 = 9 12x)x 2 Esto que hemos estdo hciendo corresponde l fctorizción por fctor común. Ahor respondmos l siguiente pregunt: por qué tmién se cumple que 9x 2 12x 3 = x 2 9 12x)?. Oservemos hor ls representciones de l figur 5) y l figur 6), dees tener que: 9x 3 12x 4 + 16x 5 = 9 12x + 16x 2) x 3 I) Podrímos entonces tener l regl siguiente: Ejemplos: Fctorizndo por fctor común signific: que dee her un vrile que se repite en todos los sumndos del polinomio y el fctor común será quell vrile común con el menor exponente. ) 4 3 2 y + 6 = 2 ) y) + 3) = 2 y + 3) ) 5 3 3 + 4 9 2 2 7 6 3 = 1 3 52 ) + 1 ) 4 3 3 1 ) 7 3 2 2 = 1 3 5 2 + 4 3 7 2 2 ) c) xy z) wz y) = xz y) wz y) = z y) x w) L fctorizción de polinomios puede relizrse cominndo diferentes tipos de fctorizción. El ejemplo I) nos permitió fctorizr por fctor común pero, será posile fctorizr el polinomio de grdo dos que se encuentr dentro de los préntesis? L respuest es sí. 1.3 Fctorizción por fórmuls notles o productos notles Antes de seguir delnte recordemos uns fórmuls, que generlmente llmmos fórmuls notles o productos notles. Aplicndo l distriutividd puedes verificr los productos. 1. + ) 2 = + ) + ) = 2 + + 2
4 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. 2. ) 2 = ) ) = 2 + 2 Continuemos l fctorizción por fórmuls notles o productos notles. Un primer fctorizción que se present en I) es: Px) = 9x 3 24x 4 + 16x 5 = 9 24x + 16x 2) x 3 Vimos que corresponde l fctorizción por fctor común, sin emrgo, no es un fctorizción complet. Dentro del préntesis tenemos un trinomio de grdo dos, l cul llmremos Rx) = 9 24x + 16x 2. Éste se prece : pues por lo tnto se tiene que: 2 + 2 = ) ) Rx) = 9 12x + 16x 2 = 3 2 23)4x) + 4x) 2 Rx) = 3 4x)3 4x) = 3 4x) 2 Ahor podemos decir que Px) = 9x 3 24x 4 + 16x 5 se fctoriz completmente como: Px) = 3 4x)3 4x)x 3 Fctorizr utilizndo fórmuls notles o productos notles es en relidd reconocer l form de cd uno de los componentes de un trinomio de grdo dos. Más delnte veremos que estos componentes no están completos por lo que se hce necesrio recurrir otros métodos de fctorizción. Ejemplos: ) Rx) = 4x 2 4x + 1 = 2x) 2 22x)1) + 1 2 = 2x 1)2x 1) = 2x 1) 2 ) Qx) = x 2 22x + 121 = x 2 2x)11) + 11) 2 1.4 Fctorizción por grupción Alguns veces tenemos polinomios que tienen cutro términos, como por ejemplo: Qx) = 18x 3 + 12x 2 15x 10 El polinomio no tiene fctor común, sin emrgo en lgunos csos, se pueden hcer grupos, en este cso hremos dos grupos:
Revist digitl Mtemátic, Educción e I nternet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. 5 18x 3 + 12x 2 y 15x 10 entonces podemos relizr pr cd un de ls expresiones un fctorizción por fctor común: sí: 6x 2 3x + 2) y 53x + 2) Qx) = 6x 2 3x + 2) 53x + 2) = 3x + 2)6x 2 5) Q x) = 6x 2 3x+ 2) 5 3x+ 2) Q x)= 3 x+2) 6x 2 5) Entonces como el nomre lo dice, fctorizción por grupción signific hcer grupos, pero ten cuiddo, no es culquier tipo de grupos. Bueno hst quí tenemos un fctorizción pr Qx). Ahor, l pregunt es si es l fctorizción complet de Qx), l respuest es no. El fctor de segundo grdo del polinomio es fctorizle, sin emrgo, ntes de ver su fctorizción echemos un mird l propiedd siguiente: 2 2 = ) + ) Ést se conoce generlmente como otro de los productos notles o fórmuls notles. Un justificción pr est propiedd se muestr continución. Considere ls representciones siguientes: Diujemos un cudrdo cuyo ldo mide dentro de un cudrdo donde l medid del ldo es como lo muestr l figur de l derech) cuy áre es 2. - - Ahor, si recortmos un cudrdo de ldo, el áre de l figur restnte será 2 2. 8) - 2-2 -
6 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. Así, l juntr ls secciones A y B de tl form que otengmos... B - A -... un rectángulo cuyos ldos tienen medids + y su áre estrá dd por + ) ). 9) - A B - + Por último si oservs lo expuesto en ls figurs 8) y 9) podemos concluir: 2 2 = + ) ) II) Otr mner desde el punto de vist lgerico, de visulizr est propiedd es recurriendo l distriutividd, prtiendo de l derech de II) : - ) + ) = 2 + - - 2 = 2-2 Ahor, volviendo l polinomio en 10), es decir, Qx) = 3x+2)6x 2 5) tenemos que 6 = 6) 2 y 5 = 5) 2 entonces: 6x 2 5) = 6x) 2 5) 2 = 6x 5) 6x + 5) A l últim fctorizción se le suele llmr fctorizción por diferenci de cudrdos. Podemos ver entonces que l fctorizción complet de Qx) es: Qx) = 3x + 2) 6x 5) 6x + 5) 1.5 Fctorizción de un polinomio de segundo grdo en un vrile Hy polinomios que tienen crcterístics prticulres como los de grdo dos, que pueden ser fctorizdos utilizndo otrs técnics demás de ls que y hemos visto. Veremos en est sección dos mners un por inspección y l otr llmd fctorizción por fórmul generl.
Revist digitl Mtemátic, Educción e I nternet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. 7 1.6 Fctorizción por inspección L fctorizción de un polinomio de segundo grdo en un vrile en el conjunto de los números reles puede relizrse, cundo es posile, utilizndo l inspección, en Px) = x 2 + x + c y Qx) = x 2 + x + c, donde,, c representn números reles. Así, se Px) = x 2 + x + c, con, c R. Note que si desrrollmos el producto Px) = x + A)x + B) = x 2 + A + B)x + A B, nos llev l regl siguiente: Si el polinomio Px) se fctoriz entonces l sum de A y B es igul y el producto de A y B es igul c. Vemos como funcion, ) Se Px) = x 2 + 7x + 12. Oserve que ls constntes 7 y 12 son positivs, por lo que A y B, son mos positivos. Ls posiiliddes de 7 y 12 son como se muestr en l tl siguiente: 12 A B 4 3 2 6 1 12 7 A+ B 4 + 3 1+ 6 1+ 6 Est es nuestr escogenci Por lo tnto Px) = x + 4)x + 3) ) Se Qx) = x 2 + 5x 24. Oserve que ls constntes 5 y 24, un es positiv y otr negtiv por lo que: A es positivo y myor que B, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl: 24 A B 6 4 8 3 12 2 5 A+ B 6+ 4) 8 3) 12+ 2 + ) Est es nuestr escogenci
8 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. Por lo tnto Px) = x + 8)x 3) c) Se Mx) = x 2 3x 10. Oserve que ls constntes 3 y 10 ms negtivs por lo que: A es positivo y menor que B,en vlor soluto, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl: 10 3 A B 2 5 1 10 B 2 5 1+ 10 A+ + ) ) Est es nuestr escogenci Por lo tnto Px) = x + 2)x 5) d) Se Mx) = x 2 10x + 21. Oserve que ls constntes y un es negtiv y otr positiv por lo que: es positivo y menor que, el cul dee ser negtivo. Hgmos un tl: 21 A B 7 3 1 21 10 A+ B 7+ 3) 1+ 21 ) Est es nuestr escogenci Por lo tnto Mx) = x 7)x 3) En generl, relizr l inspección en el cso, Px) = x 2 + x + c, con,, c R no es práctico, pues consiste en relizr un serie de prues hst encontrr los vlores que corresponden. Este cso no se present quí. Sin emrgo, vmos estudir un procedimiento mucho menos complicdo y que llmremos fctorizción por fórmul generl. 1.7 Fctorizción por fórmul generl Estudir l fórmul generl requiere conocer un specto importnte que se relcion con l fctorizción de polinomios. Éste es el Teorem del fctor. Teorem 1.1 Teorem del Fctor) Se c R y Px) un polinomio entonces Pc) = 0 si y solo sí x c) es un fctor de Px). Un polinomio de grdo dos en form generl es: Px) = x 2 + x + c, con,, c R. Fctorizrlo implic utilizr lgun de ls fórmuls notles o productos notles que mencionmos nteriormente, sí:
Revist digitl Mtemátic, Educción e I nternet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012. 9 x 2 + x + c = x 2 + x + c ) [ ) = x 2 + 2x) + c ] = x + ) 2 ) 2 2 c = = = x + + x + + 2 4c x + + 2 4c ) 2 c ) ) x + x + 2 4c x 2 4c ) ) 2 c ) completndo cudrdos Oserve que x + ) 2 ) ) 2 = x 2 + 2x) + Oserv que l fctorizción de Px) = x 2 + x + c y está hech, por lo que sus ceros son: x = + 2 4c y x = 2 4c III) lo cul conocemos como l fórmul generl pr fctorizr un polinomio de grdo dos en el conjunto de los números reles. Formlizndo lo nterior tenemos, Teorem 1.2 Se Px) = x 2 + x + c, con,, c R y se = 2 4c, llmdo discriminnte, ) Si > 0 entonces Px) = x 2 + x + c posee dos ceros distintos: x = + 2 4c 2 4c y por el teorem del fctor se tiene que: Px) = x + ) 2 4c x ) 2 4c. y x = ) Si = 0 entonces Px) posee dos ceros igules, x = y por el teorem del fctor se tiene que: Px) = x ) x ). c) Si < 0 entonces Px) no posee ceros en el conjunto de los números reles, por lo que no serí posile fctorizrlo en este conjunto. Algunos ejemplos: Fctoriz en el conjunto de los números reles los polinomios siguientes.
10 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol 12, No 1. Agosto Ferero 2012.. Px) = 3x 2 4x 1 Como = 4) 2 43) 1) = 28 entonces tiene dos ceros distintos, ser: x = 4) + 28 23) x = 4) + 28 23) = 4 + 7 4 23) = 4 7 4 23) = 4 + 2 7 23) = 4 2 7 23) = 2 + 7 3 = 2 7 3 y Luego Px) = 3. Qx) = 4x 2 + 4x + 1 x 2 + 7 3 ) x 2 7 3 ). Como = 4) 2 44)1) = 0 entonces tiene dos ceros igules, ser: x = 4) 24) = 1 2 Luego Qx) = 4 x 1 ) x 1 ) = 2x + 2)2x + 2). 2 2 c. Rx) = 2x 2 + 2x 6 Como = 2) 2 4 2) 6) = 44 entonces no es posile fctorizr Rx) en el conjunto de los números reles. Biliogrfí [1] Swokowski,Erl. Cálculo con Geometrí Anlític. Grupo Editoril Ieroméricn. 2d edición. México. 1989. [2] Spiegel, Murry. Theory nd Prolems of College Alger. McGrw-Hill; 2d edition. 1997. Fctorizción de polinomios.. Sndr Schmidt Q. Derechos Reservdos 2011 Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/)