FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o ningún valor de la segunda (variable dependiente y = f() ) que llamamos imagen. Variable independiente: Es la variable que se conoce. Es la. Variable dependiente: Es la variable que se obtiene a partir de la variable independiente. Es la y = f(). EJEMPLO_ Dada la función f() = +, que permite obtener el coste de alquilar un autobús y en función del número de personas que lo alquilan. a) Calcula el coste del autobús si lo alquila un grupo de personas. La variable conocida es = Número de personas que alquilan el autobús, y por tanto es la variable independiente. La variable dependiente y = Coste autobús en euros se obtendrá a partir de la primera mediante la epresión: y = f() y = + = 6 + = 6 euros. b) Calcula el número de personas que han alquilado un autobús si han pagado 68. En este caso se puede actuar de dos formas: b _ Utilizamos la epresión f() = +, donde conocemos el valor de f() = 68 y buscamos el valor de, que aun siendo la variable desconocida actúa como si fuera la conocida y se calcula mediante la epresión inicial: 68 68 f () = + 68 = + personas. b _ Consideramos la variable conocida = Coste autobús en euros y por tanto como variable dependiente debe actuar y = Número de personas que alquilan el autobús, pero la función ha de cambiar para adecuar las nuevas 68 68 variables: f() y, los cálculos serán f(68) y personas.. Dominio de una función El dominio de una función son el conjunto de valores que toma la variable independiente. Dom f(). Dominio de funciones conocidas.- Funciones polinómicas: el dominio de funciones polinómicas es todo R..- Funciones racionales: el dominio de funciones racionales es todo R menos los valores que anulan el denominador. Igualar el denominador a cero y resolver la ecuación. Se quitan las soluciones obtenidas..- Funciones radicales: el dominio de funciones radicales (raíces cuadradas) son los valores que hacen positivo o cero el radicando. Resolver la inecuación (RADICANDO ). El dominio son los valores de la solución de la inecuación. NOTA: Como nosotros no sabemos resolver inecuaciones daremos el dominio de estas funciones de forma intuitiva. EJEMPLO_ Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f() = + Dom f() = R (Es una función polinómica, todas las tienen imagen) b) f() = + Dom f() = R c) f() = Resolvemos: = Dom f() = R \, d) f() = 5 Resolvemos: + = = Dom f() = R. Recorrido de una función El recorrido de una función son el conjunto de valores que toma la variable dependiente. Rec f() o Im f(). Para calcular el recorrido de una función, normalmente la tendremos que tener dibujada, pues resulta muy complicado conocer el recorrido de ciertas funciones si antes no se han dibujado.
. Monotonía de una función. Crecimiento decrecimiento. Máimos y mínimos En términos coloquiales se dice que una función es creciente cuando al mirarla de izquierda a derecha la función sube, si baja se dice que es decreciente y si ni sube ni baja se dice que es constante. Desde un punto de vista más técnico el estudio de la monotonía de una función (dónde crece, dónde decrece y dónde es constante) se realiza con la tasa de variación que se define: TV [a,b] = f(b) f(a). Se cumple:.- Si TV [a,b] > TV [a,b] = f(b) f(a) > f(b) > f(a) f() (creciente).- Si TV [a,b] < TV [a,b] = f(b) f(a) < f(a) > f(b) f() (decreciente).- Si TV [a,b] = TV [a,b] = f(b) f(a) = f(a) = f(b) f() (constante) Una función tiene un máimo en =a, si la función pasa de subir a bajar en f(a). Una función tiene un mínimo en =a, si la función pasa de bajar a subir en f(a). EJEMPLO_ Estudia la monotonía de la función y =, en los intervalos: [-,-]; [,] y [-,]. Las imágenes de estas abscisas son: f(-) = (-) = 9 = 5 f(-) = (-) = = f(-) = (-) = = f() = = = f() = = 9 = 5.- TV [-,-] = f(-) f(-) = 5 = 8 < f() en [-,-].- TV [, ] = f() f() = 5 = 5 > f() en [, ].- TV [-, ] = f(-) f() = = = f() en [-, ] Observando el dibujo, podemos ver que hay un mínimo en (,-). NOTA: La tasa de variación a veces no es fiable, por ejemplo en el tercer caso la TV nos indica que la función es constate entre [-, ], cuando en realidad la función baja y luego sube hasta el mismo valor de forma que no hay variación entre las imágenes. Cuando no conozcamos la gráfica, nos vamos a guiar por la TV, pero si conocemos la gráfica (una vez las hayamos estudiado), debemos ser capaces de ver si la TV nos engaña o no.. Continuidad de una función Una definición para andar por casa de continuidad puede ser la siguiente: Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel. La definición técnica de continuidad utiliza el concepto de límite por ello se trata de una definición que se escapa de lo que pretendemos este año, se deja por tanto para bachillerato. Cuando se estudia la continuidad de una función, realmente lo que buscamos no es la zona de continuidad de la misma, sino los puntos en los que la función no es continua (puntos de discontinuidad) y además de encontrarlos debemos enunciar la discontinuidad localizada según la siguiente clasificación:.- DISCONTINUIDAD EVITABLE, o de agujero, en la gráfica aparece un agujero, la imagen de la abscisa puede eistir y estar colocada en otro punto o no eistir. = a discontinuidad evitable..- DISCONTINUIDAD INEVITABLE:.- DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO FINITO, en la gráfica aparece un salto cuantificable que podemos medir en términos numéricos. = b discontinuidad inevitable de salto..- DISCONTINUIDAD INEVITABLE DE SALTO INFINITO, en la gráfica aparece un salto no cuantificable. = c discontinuidad inevitable de salto.
.5. Curvatura. Concavidad - Conveidad Para determinar si una función es cóncava o convea nos guiaremos por el siguiente gráfico: Una función presenta un punto de infleión en =a, si en f(a) la función pasa de ser convea a ser cóncava o de ser cóncava a ser convea..6. Puntos de corte con los ejes Cuando hablamos de puntos de corte, nos referimos a los puntos de corte de la función con los ejes de coordenadas, y por lo tanto se distinguen dos casos:.- PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X (ABSCISAS HORIZONTAL) y = Todos los puntos que pertenecen al eje son del tipo (,); (,); (,); (,), es decir, la coordenada y vale cero. Por tanto la condición para buscar los puntos de corte con el eje, será precisamente: y=. Siendo los puntos del tipo (algo,cero) (,) (Puede haber cero, uno, dos, puntos de corte con el eje )..- PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y (ORDENADAS VERTICAL) = Los puntos que pertenecen al eje y son del tipo (, ); (, ); (,); (,), es decir, la coordenada vale cero. Por tanto la condición para buscar los puntos de corte con el eje, será precisamente: =. Siendo los puntos del tipo (cero,algo) (,y) = (,f()) (Solo puede haber un punto de corte con el eje y, debido a la definición de función). EJEMPLO_ Calcula los puntos de corte con los ejes de la función: f() = + 6 + 8..- Cortes con el eje : Se trata de resolver la ecuación y =, que en este caso será: + 6 + 8 =. Se resuelve la ecuación de segundo grado: + 6 + 8 = 6 = 6 8 6 6 6 6 Por tanto los puntos de corte con el eje serán (cada solución origina un punto de corte): (,) y (,)..- Corte con el eje y: Calculamos f() = + 6 + 8 = 8, luego el punto de corte con el eje y será: (,8)..7. Simetría SIMETRÍA PAR: Una función presenta simetría par si se cumple: f() = f( ). Una función PAR es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje vertical). SIMETRÍA IMPAR: Una función presenta simetría impar si se cumple: f() = f( ). Una función IMPAR es simétrica respecto del origen de coordenadas. Cuando nos piden estudiar la simetría se puede atender al dibujo y ver si eiste simetría, o en los casos en los que no tengamos la gráfica dibujada deberemos calcular f( ) y aplicar el siguiente criterio:.- Si f( ) = f() f() ES PAR.- Si f( ) = f() f() ES IMPAR.- Si f( ) f() y f( ) f() f() NO ES PAR NI IMPAR, no presenta ninguna de las dos simetrías estudiadas, pero pudiera ser que presentara otras simetrías, pero que no vamos a analizar.
EJEMPLO_ Estudia la simetría de las funciones: a) f() = + 6. Calculamos f( ) y aplicamos el criterio: f( ) = ( ) + ( ) ( ) 6 = + + 6. Podemos concluir que la función no es par ni impar, pues: f( ) = + + 6 f() = + 6 f( ) = + + 6 f() = ( + 6) = + + 6 Además podemos ver su gráfica en el apartado.6. Puntos de corte con los ejes. b) f() = 9. Calculamos f( ) y aplicamos el criterio: f( ) = ( ) 9 = 9. Podemos concluir que la función es PAR, pues: f( ) = 9 = f() = 9 c) f() = +. Calculamos f( ) y aplicamos el criterio: f( ) = ( ) + ( ) =. Podemos concluir que la función es IMPAR, pues: f( ) = = f() = ( + ) =.8. Periodicidad Decimos que una función es periódica cuando se repite la misma gráfica de forma indefinida. El tramo que tarda en repetirse la gráfica se llama periodo. La periodicidad es característica de las funciones de tiempo, por ello el concepto de periodo se define como el tiempo que tarda la gráfica en repetirse. Nosotros no estudiaremos la periodicidad, salvo en un tipo de funciones, las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente cuyas características estudiaremos en esta unidad..- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Estas funciones aparecen cuando una función se compone de trozos de varias funciones. Para ver su funcionamiento lo hacemos con un ejemplo. EJEMPLO_ Representa la función definida a trozos e indica sus características. f 7-6 si si si - - Pintamos las tres funciones y tomamos la parte correspondiente de cada una:.- Dom f() = (, ) U (,] U (,+).- Rec f() = (,5).- MONOTONÍA:.- Creciente: (, ).- Decreciente: (,+).- Constante: (,) (Consideramos abierto en, pues en ese punto la función deja de ser constante, aunque llegue a tocar el punto)..- CONTINUIDAD:.- =, discontinuidad evitable (agujero).- CURVATURA: No hay..- =, discontinuidad inevitable de salto. 7 7.- PUNTOS DE CORTE: Eje : + 7 = =, + 6 = = 6 (6,) Eje y: f() = (,).- SIMETRÍA: No hay..- PERIODICIDAD: No hay.
.- TIPOS DE FUNCIONES Vamos a estudiar los tipos de funciones más habituales, de tal forma que una vez estudiados los modelos deberemos ser capaces de predecir su forma y características a partir de una información determinada... Funciones polinómicas... Funciones polinómicas de primer grado Las funciones polinómicas de primer grado siguen la epresión: f () m n m : pendiente (marcala inclinació n de la recta) donde n : ordenada enel origen (es elpunto de corte con el eje y) La representación de estas funciones es una línea recta. Estas funciones se denominan funciones afines (y = m + n). Cuando la gráfica pasa por el origen (n=), se llama función lineal (y = m), siendo este caso el que representa la proporcionalidad directa. Dependiendo del valor de m las funciones serán: m : f() es creciente m : f() es decreciente m : f() es constante NOTA: En muchos libros no se distingue entre función afín (y = m + n) y función lineal (y = m) y simplemente llaman a todas funciones lineales, pero solamente las de la forma y = m, representan la proporcionalidad directa. EJEMPLO_ Eplica por qué la función afín y = + 8, no representa la proporcionalidad directa. Simplemente se trata de comprobar que si f() = 8, entonces f() = 68, no cumple la proporcionalidad directa, de tal forma que si es el doble de, le debía corresponder el doble de 8 y no es así. EJEMPLO_ Representa la función y = + 8 e indica sus características. Pintamos la función dando dos puntos y uniéndolos con una recta:.- CURVATURA: No hay..- Dom f() = R.- Rec f() = R.- MONOTONÍA: f() creciente en R.- CONTINUIDAD: f() continua en R 8 8.- PUNTOS DE CORTE: Eje : + 8 = =,.- SIMETRÍA: No hay..- PERIODICIDAD: No hay.... Funciones polinómicas de segundo grado Eje y: f() = 8 (,8) Las funciones polinómicas de segundo grado (cuadráticas) siguen la epresión: y = a + b + c Para pintar una función polinómica de segundo grado debemos tener presentes los siguientes aspectos:.- Si a> la representación es una parábola convea Si a< la representación es una parábola cóncava.- El punto más algo (máimo) o más bajo (mínimo) de la parábola se denomina VÉRTICE. Para calcular b b sus coordenadas se aplica la fórmula: V, f a a.- Los puntos de corte con los ejes se obtienen: Corte con el eje : y= a + b + c =, esto es, resolver la ecuación de segundo grado. Corte con el eje y: = (,f()) = (,c).- Tabla de valores. y - 5 8 5
EJEMPLO_ Representa la función y = características..- a=> + 6 7 e indica sus y 8 9 7 6 7 5 5 6-5 - -7 9 = 6 6.- V, f, 6 F( ) = ( ) + 6 ( ) 7 = 9 8 7 = 6.- Cortes con los ejes: - Cortes con el eje + 6 7 = 6 7 6 6 6 8 - Corte con el eje y (, f()) (, 7) ( 7,) y (,) 7.- Tabla de valores: además de los ya obtenidos (puntos de corte y vértice), damos otros tres o cuatro..- Dom f() = R.- Rec f() = ( 6,+).- MONOTONÍA: f() creciente en (, ) f() decreciente en (,+).- CONTINUIDAD: f() continua en R.- CURVATURA: f() convea en R.- PUNTOS DE CORTE: Eje : ( 7,) y (,) Eje y: (, 7).- SIMETRÍA: No hay..- PERIODICIDAD: No hay... Funciones racionales Las funciones racionales siguen la epresión: y P(), donde P() y Q() son polinomios, con Q() Q() Ejemplos de estas funciones son: f() 5 ; g() 5 o h(), sin embargo algo como y 5, no es una función racional sino que realmente es una función polinómica y 5, esto es, la debe estar en el denominador como mínimo. Las que nosotros vamos a estudiar son las más sencillas, aquellas donde el grado de P() y de Q() es uno como máimo, modelo h() en el ejemplo anterior.... Funciones de proporcionalidad inversa Las funciones de proporcionalidad inversa son un caso particular (el más sencillo) de las funciones racionales. k Responden a la epresión: y = k, que epresado en forma de función es: y. Su representación es una hipérbola. Veamos en un ejemplo como es esta gráfica. y X Y, 5,, 5, 5,, 5 EJEMPLO_ Representa la función y e indica sus características. Damos una tabla de valores y representamos la función: 6
.- Dom f() = \.- Rec f() = \ R.- CURVATURA: f() cóncava en (,) y f() convea en (,+) R.- PUNTOS DE CORTE: Eje : NO HAY Eje y: NO HAY.- MONOTONÍA: f() decreciente en (,) U (,+).- SIMETRÍA: f( ) =.- CONTINUIDAD: = discontinuidad inevitable de salto.- PERIODICIDAD: No hay. = f() f() IMPAR EJEMPLO_ Representa la función y.- Dom f() = \.- Rec f() = \ e indica sus características. y X y Damos una tabla de valores y representamos la función:, 5,, 5, 5,, 5 R.- CURVATURA: f() convea en (,) y f() cóncava en (,+) R.- PUNTOS DE CORTE: Eje : NO HAY Eje y: NO HAY.- MONOTONÍA: f() creciente en (,) U (,+).- SIMETRÍA: f( ) =.- CONTINUIDAD: = discontinuidad inevitable de salto.- PERIODICIDAD: No hay... Funciones eponenciales La función eponencial sigue la epresión: y = a, donde a > y a. Distinguimos dos casos en esta funciones según el valor de la base a.... Funciones eponenciales del tipo: y = a con a > EJEMPLO_ Representa la función y = e indica sus características. Damos una tabla de valores y representamos la función: y X y = f() f() IMPAR, 5 8, 5, 5 8 6.- Dom f() = R.- CURVATURA: f() convea en R.- Rec f() = (,+).- PUNTOS DE CORTE: Eje : NO HAY Eje y: f() = = (,).- MONOTONÍA: f() creciente en R con A.H.: y =.- SIMETRÍA: f( ) =.- CONTINUIDAD: f() continua en R.- PERIODICIDAD: No hay. f() NO TIENE SIMETRÍA 7
... Funciones eponenciales del tipo: y = a con < a < EJEMPLO_ Representa la función y = X e indica sus características. Damos una tabla de valores y representamos la función: y X y 8, 5, 5, 5 8, 65 6.- Dom f() = R.- CURVATURA: f() convea en R.- Rec f() = (,+).- PUNTOS DE CORTE: Eje : NO HAY Eje y: f() = = (,).- MONOTONÍA: f() decreciente en R con A.H.: y =.- SIMETRÍA: f( ) = f() NO TIENE SIMETRÍA.- CONTINUIDAD: f() continua en R.- PERIODICIDAD: No hay. La función eponencial, como cualquier otra, puede presentar modificaciones en su epresión, cada modificación produce un efecto diferente en la gráfica, cuya forma se mantendrá. Para aclarar este aspecto vamos a solucionar el siguiente ejemplo viendo como afectan dichas modificaciones. EJEMPLO_ Representa la función y = -. Características. Damos una tabla de valores y representamos la gráfica: y X y, 75, 5 5 5 6 6 8 Las características son similares a las de la función y =, pero con alguna modificación:.- Dom f() = R.- CURVATURA: f() convea en R.- Rec f() = (, +).- PUNTOS DE CORTE: Eje : (,)* Eje y: f() = - (,,5).- MONOTONÍA: f() creciente en R con A.H.: y =.- SIMETRÍA: NO TIENE SIMETRÍA.- CONTINUIDAD: f() continua en R.- PERIODICIDAD: No hay. * Para el punto de corte con el eje hay que resolver la ecuación eponencial: - = - = - = = = (,) Como vemos la gráfica se ha desplazado una unidad hacia la derecha (al restar al eponente) y cuatro unidades hacia abajo, (al restar cuatro a la función - ). 8
NOTAS_ FUNCIONES * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eiste _ No eiste α _ Alfa β _ Beta _ Gamma > _ Mayor que _ Mayor o igual que < _ Menor que _ Menor o igual que \ _ Menos de conjuntos _ Conjunto vacío * INTERVALOS Intervalo Cerrado _ [a,b] a b Intervalo abierto _ (a,b) a b Intervalo semiabierto o semicerrado _ (a,b] a b Intervalo semiabierto o semicerrado _ [a,b) a b Intervalos infinito _ (-,b] b Intervalos infinito _ (-,b) b Intervalos infinito _ [a,+ ) a Intervalos infinito _ (a,+ ) a Intervalos infinito _ (-,+ ) - * RESOLUCIÓN DE ECUACIONES _ UNIDAD.- ECUACIONES * CONCEPTO DE INVERSO.- Se define como inverso de un valor respecto de una operación como el número que operado con permite obtener como resultado el elemento neutro de dicha operación. - Se llama elemento neutro de una operación al valor que operado con un número no lo modifica. - El elemento neutro de la suma es el, porque + =. Ejemplo: 5 + = 5 - El elemento neutro del producto es el, porque =. Ejemplo: 5 = 5 Así tenemos varios tipos de inversos: - Inverso respecto de la suma, se llama opuesto. Ejemplo: 5 + ( 5) = (Elemento neutro de la suma) - Inverso respecto del producto, se llama inverso. Ejemplo: 5. = (Elemento neutro del producto) 5 9