ALGEBRA Y GEOMETRÍA VECTORIAL EN R Y EN R
Los ectores se peden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R o en R. Se denotan por letras minúsclas negritas Pnto inicial del ector A w dirección de la flecha = dirección del ector B Longitd de la flecha = magnitd del ector Pnto terminal del ector w = AB
Se dice qe los ectores son eqialentes si tienen la misma magnitd y dirección. Se consideran ectores igales aún cando pedan tener posiciones diferentes. w Vectores eqialentes w
OPERACIONES CON VECTORES DEF. Si y w son dos ectores, entonces la sma + w es el ector qe se determina de la sigiente manera: Colocar el ector w de tal manera qe s pnto inicial coincida con el pnto terminal de. El ector resltante estará representado por la flecha qe a del pnto inicial de al pnto terminal de w w w
OPERACIONES CON VECTORES DEF. Al ector de longitd cero se le llama el ector cero y se denota por 0. Se define: 0 + = + 0 = DEF. El ector qe tiene la misma magnitd de pero dirección opesta se denomina negatio (o inerso aditio ) w = -
OPERACIONES CON VECTORES DEF. Si y w son dos ectores, entonces la sstracción - w se define por: w = + (-w) Colocar el ector de tal manera qe s pnto inicial coincida con el pnto inicial de w. El ector resltante estará representado por la flecha qe a del pnto terminal de w al pnto terminal de w
OPERACIONES CON VECTORES DEF. Si es n ector y k es n número escalar (real), entonces el prodcto k se define como el ector cya longitd es k mltiplicado por la longitd de y cya dirección es la misma qe.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES DEF. Si calqier ector en el plano y spóngase qe se ha colocado de manera qe s pnto inicial qede en el origen de n sistema de coordenadas rectanglares. Las coordenadas (, ) del pnto terminal de se llaman componentes de, y se escribe: = (, ) (, )
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES OPERACIONES. Sean y w dos ectores, entonces la sma estará dada por: = (, ) w = ( w, w ) + w = ( + w, + w ) ( + w, + w ) + w (, ) w ( w, w ) w + w
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES OPERACIONES. Si = (, ) y k es n escalar calqiera entonces k = ( k, k ) A eces srgen ectores qe no tienen ss pntos iniciales en el origen. Spongamos n ector P P en el plano: Bidimensional: tiene el pnto inicial P ( x, y ) y el pnto terminal P ( x, y ), entonces el ector sería: P P = (x - x, y - y ) Tridimensional: tiene el pnto inicial P ( x, y, z ) y el pnto terminal P ( x, y, z ), entonces el ector sería: P P = (x - x, y - y, z - z )
NORMAS DE UN VECTOR TEOREMA. Si, y w son ectores en el espacio R o R, y k y l son dos escalares calesqiera, entonces se cmplen las relaciones sigientes: a) + = + b) ( + ) + w = + ( + w ) c) + 0 = 0 + = d) + ( - ) = 0 e) k (l ) = (k l ) f) k ( + ) = k + k g) (k + l ) = k + l h) =
NORMAS DE UN VECTOR A la longitd de n ector se de da el nombre de norma de y se le denota por y esta se obtiene del teorema de Pitágoras qedando s formla como: Para n espacio R Para el espacio R La distancia de n ector qe no tiene s pnto inicial en el origen se obtiene de: Para n espacio R d x x y y Para el espacio R d x x y y z z
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) Sean y dos ectores diferente de 0 (CERO) en los espacios R o R y spóngase qe se han sitado estos ectores de modo qe ss pntos iniciales coincidan. Se dirá qe el ánglo entre y es el ánglo θ determinado por y qe satisface 0 θ, entonces el prodcto escalar (pnto) o prodcto eclidiano interior se define por: = cos θ si 0 y 0 0 si = 0 y = 0
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) El prodcto pnto también pede obtenerse de la sigiente manera: Para R = + Para R = + + TEOREMA. Si y son ectores en el espacio R o R, a) = ; es decir = ( ) / b) Si y son diferentes de cero y θ es el ánglo entre ellos, entonces θ es agdo si y sólo si >0 θ es obtso si y sólo si <0 θ es / si y sólo si =0
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) TEOREMA. Si, y w son ectores en el espacio R o R, y k es n escalar, entonces: a) = b) ( + w ) = + w c) k ( ) = (k ) = (k ) d) > 0 si 0 y = 0 si = 0
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) ORTOGONALIDAD Se define a dos ectores y como ortogonales ( ) si =0. Es decir qe dos ectores son ortogonales si y sólo si son geométricamente perpendiclares. Por lo tanto, si dos ectores son diferentes de cero entonces siempre es posible escribir al ector como = w + w en donde w es n múltiplo escalar de y w es perpendiclar a. w se le llama proyección ortogonal de sobre w es la componente de ortogonal a. w w
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) Los ectores w y w se peden obtener de Proyección ortogonal de sobre w Recordando qe = w + w entonces sstityendo a w y despejando a w Componente de ortogonal a w
PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ) Si =(,, ) y = (,, ) son ectores en el espacios R entonces el prodcto ectorial (crz) x es el alor definido por: O en s notación de determinante,,,,
PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ) TEOREMA 4. Si y son ectores en el espacio R, entonces: a) ( ) = 0 ( es ortogonal a ) b) ( ) = 0 ( es ortogonal a ) c) = ( ) Identidad de Lagrange d) ( w ) = ( w) ( )w e) ( ) w ) = ( w) ( w)
PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ) TEOREMA 5. Si, y w son ectores en el espacio R y k es n escalar, entonces: a) = - ( ) b) ( + w ) = ( ) + ( w) c) ( + ) w = ( w) + ( w) d) k ( ) = (k ) = (k ) e) 0 = 0 = 0 f) = 0
ESPACIO EUCLIDIANO Sean = (,,,, n ) y = (,,,, n ) dos ectores en el espacio R n, y k es n escalar, entonces. la sma estará dada por: + = ( +, +, +,, n + n ) La mltiplicación de n escalar por algún ector estará dada por: k = ( k, k, k,, k n ) El inerso aditio o el negatio de n ector esta dado por: - = (-, -, -,, - n )
ESPACIO EUCLIDIANO la diferencia de ectores estará dada por: - = ( -, -, -,, n - n ) o - = + (-) El prodcto interior eclidiano ector estará dada por: = + + + + n n O 4 4
ESPACIO EUCLIDIANO la norma eclidiana estará dada por: Y la distancia eclidiana esta dada por: Representación matricial de ectores en R n = (,,,, n ) /... n... ) d(, n n n...
ESPACIO EUCLIDIANO Representación matricial del prodcto pnto en R n n... n... T n n T...... Si A es na matriz n x n y = T se conclye qe: A = A T A = A T
ESPACIO EUCLIDIANO Si A es na matriz n x n y = T se conclye qe: A = A T A = A T