LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos rectángulos Usrás ls funciones trigonométrics inverss pr encontrr ls medids desconocids de ángulos en triángulos rectángulos Lee hst el Ejemplo A de tu libro. En tu libro se explic que en culquier triángulo rectángulo con un ángulo gudo de un medid dd, l rzón entre l longitud del cteto opuesto l ángulo y l longitud del cteto dycente l ángulo es igul. L rzón se llm l tngente del ángulo. En el Ejemplo A se us el hecho de que tn 31 3 5 pr resolver un problem. Lee el ejemplo tentmente. Además de l tngente, los mtemáticos hn ddo nombre otrs cinco rzones relcionds con ls longitudes lterles de los triángulos rectángulos. En este libro, trbjrás con tres rzones: el seno, el coseno y l tngente, brevidos sin, cos y tn. Ests rzones se definen en ls págins 641 642 de tu libro. Investigción: Tbls trigonométrics Mide ls longitudes lterles de ABC, redondendo l milímetro más cercno. Después us ls longitudes lterles y ls definiciones de seno, coseno y tngente pr llenr l fil Primer de l tbl. Expres ls rzones como decimles, redondendo l milésim más cercn. A 20 70 C B ma sin A cos A tn A mc sin C cos C tn C Primer 20 70 Segundo 20 70 Promedio Ahor us tu trnsportdor pr dibujr un triángulo rectángulo diferente ABC, con ma 20 y mc 70. Mide los ldos redondendo l milésim más cercn y llen l fil Segundo de l tbl. Clcul el promedio de cd rzón y not los resultdos en l últim fil de l tbl. Busc ptrones en tu tbl. Debes encontrr que sin 20 cos 70 y 1 1 sin 70 cos 20. Tmbién observ que tn 20 tn 70 y tn 70 tn. 20 Us ls definiciones de seno, coseno y tngente pr explicr por qué existen ests relciones. Puedes usr tu clculdor pr encontrr el seno, coseno o tngente de culquier ángulo. Experiment con tu clculdor hst que lo logres. Después us tu clculdor pr encontrr sin 20, cos 20, tn 20, sin 70, cos 70 y tn 70. Compr los resultdos con ls rzones que encontrste midiendo los ldos. (continú) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 12 161
Lección 12.1 Rzones trigonométrics (continución) Puedes usr ls rzones trigonométrics pr encontrr longitudes lterles desconocids de un triángulo rectángulo, dds ls medids de culquier ldo y culquier ángulo gudo. Lee el Ejemplo B de tu libro y después lee el Ejemplo A continución. EJEMPLO A Encuentr el vlor de x. 11 cm 42 x Solución ecesits encontrr l longitud del cteto dycente l ángulo de 42. Se te d l longitud de l hipotenus. L rzón trigonométric que relcion el cteto dycente con l hipotenus es l rzón coseno. x cos 42 1 1 11 cos 42 x Multiplic mbos ldos por 11. 8.17 x Us tu clculdor pr encontrr cos 42 y multiplic el resultdo por 11. El vlor de x es proximdmente 8.2 cm. Si conoces ls longitudes de culesquier dos ldos de un triángulo rectángulo, puedes usr ls funciones trigonométrics inverss pr encontrr ls medids de los ángulos. En el Ejemplo C de tu libro se muestr cómo usr l función tngente invers, o tn 1. En el ejemplo siguiente se us l función seno inverso, o sin 1. EJEMPLO B Encuentr l medid del ángulo opuesto l cteto de 32 pulgds. 74 pulg 32 pulg z Solución Se te dn ls longitudes del cteto opuesto l ángulo y l hipotenus. L rzón que relcion ests longitudes es l rzón seno. sin z 3 2 74 sin 1 (sin z) sin 1 3 2 74 Sc el seno inverso de mbos ldos. z sin 1 3 2 74 L función invers del seno revierte l función del seno. z 25.6 Us tu clculdor pr encontrr sin 1 3 2 7. 4 L medid del ángulo opuesto l ldo de 32 pulgds es proximdmente 26. 162 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish
LECCIÓ CODESADA 12.2 Resolución de problems con triángulos rectángulos En est lección Usrás l trigonometrí pr resolver problems que incluyen triángulos rectángulos L trigonometrí de los triángulos rectngulos se utiliz frecuentmente pr encontrr l ltur de un objeto lto de mner indirect. Pr resolver un problem de este tipo, mide el ángulo desde l horizontl hst tu rect de visión, cundo ves l prte superior o inferior del objeto. Si mirs hci rrib, medirás el ángulo de elevción. Si mirs hci bjo, medirás el ángulo de depresión. En el ejemplo de tu libro se us el ángulo de elevción pr encontrr un distnci de mner indirect. Lee el ejemplo tentmente. Intent resolver el problem por tu cuent, ntes de leer l solución. Después trt de resolver los problems de los ejemplos siguientes. El Ejemplo A es el Ejercicio 13 en tu libro y tiene que ver con un ángulo de depresión. A Horizontl Ángulo de depresión Ángulo de elevción Horizontl B EJEMPLO A Solución El sonr de un brco de slvmento locliz los restos de un nufrgio en un ángulo de depresión de 12. Un buzo es bjdo 40 metros hst el fondo del mr. Cuánto necesit vnzr el buzo por el fondo pr encontrr los restos del nufrgio? Hz un dibujo pr ilustrr l situción. Observ que como el fondo del mr es prlelo l superficie del gu, el ángulo de elevción desde los restos del nufrgio 40 m Ángulo de depresión 12 12 hst el brco es igul l ángulo de d depresión desde el brco hst los restos del nufrgio (según l conjetur AIA). L distnci que el buzo es bjdo (40 m) es l longitud del cteto opuesto l ángulo de 12. L distnci que el buzo necesit vnzr es l longitud del cteto dycente l ángulo de 12. Estblece l rzón tngente. tn 12 4 0 d dtn 12 40 40 d tn 12 d 188.19 El buzo necesit vnzr proximdmente 188 metros pr llegr los restos del nufrgio. (continú) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 12 163
Lección 12.2 Resolución de problems con triángulos rectángulos (continución) EJEMPLO B Un árbol de hoj perenne está sostenido por un lmbre que se extiende desde 1.5 pies debjo de l prte superior del árbol hst un estc en el suelo. El lmbre mide 24 pies de lrgo y form un ángulo de 58 con el suelo. Qué ltur tiene el árbol? Solución Hz un dibujo pr ilustrr l situción. 1.5 pies 24 pies x 58 L longitud de l hipotenus está dd, y l distnci desconocid es l longitud del ldo opuesto l ángulo de 58. Estblece l rzón seno. x sin 58 2 4 24 sin 58 x 20.4 x L distnci desde el suelo hst el punto donde el lmbre se sujet l árbol es proximdmente 20.4 pies. Como el lmbre se sujet 1.5 pies debjo de l prte superior del árbol, l ltur es proximdmente 20.4 1.5, ó 21.9 pies. 164 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish
LECCIÓ CODESADA 12.3 L Ley de los senos En est lección Encontrrás el áre de un triángulo cundo conoces ls longitudes de dos ldos y l medid del ángulo incluido Derivrás l Ley de los senos, que relcion ls longitudes lterles de un triángulo con los senos de ls medids de los ángulos Usrás l Ley de los senos pr encontrr un longitud lterl desconocid de un triángulo cundo conoces ls medids de dos ángulos y un ldo, o pr encontrr un medid desconocid de un ángulo gudo, cundo conoces ls medids de dos ldos y un ángulo Hs usdo l trigonometrí pr resolver problems que tienen que ver con los triángulos rectángulos. En ls siguientes dos lecciones verás que puedes usr l trigonometrí con culquier triángulo. En el Ejemplo A de tu libro, se dn ls longitudes de dos ldos de un triángulo y l medid del ángulo incluido, y se muestr cómo encontrr el áre. Lee el ejemplo tentmente. En l siguiente investigción generlizrás el método usdo en el ejemplo. Investigción 1: Áre de un triángulo En el Pso 1 se dn tres triángulos con ls longitudes de dos ldos y l medid del ángulo incluido rotuld. Us el Ejemplo A como guí pr encontrr el áre de cd triángulo. He quí un solución de l prte b. b. Primero encuentr h. h sin 72 2 1 21 sin 72 h Ahor encuentr el áre. A 0.5bh A 0.5(38.5)(21 sin 72 ) A 384.46 El áre es proximdmente 384 cm 2. Después us el triángulo que se muestr en el Pso 2 pr derivr un fórmul generl. L conjetur siguiente resume los resultdos. Conjetur SAS del áre de un triángulo El áre de un triángulo está dd por l fórmul A 1 b sin C, donde y b son ls longitudes de dos ldos y 2 C es el ángulo entre ellos. C-100 (continú) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 12 165
Lección 12.3 L Ley de los senos (continución) Puedes usr lo que hs prendido pr derivr l propiedd que se llm l Ley de los senos. Investigción 2: L Ley de los senos Complet los Psos 1 3 de tu libro. A continución se muestrn los resultdos que debes encontrr. Pso 1 sin B h, de mner que h sin B Pso 2 Pso 3 sin A h, b de mner que h b sin A Como mbos b sin A y sin B son igules h, puedes igulrlos. b sin A sin B b s in A b s in B b sin A sin B b Divide mbos ldos entre b. Simplific. Ahor complet los Psos 4 6. Combin los Psos 3 y 6 pr obtener est conjetur. Ley de los senos Ddo un triángulo con ángulos A, B y C y ldos de longitudes, b y c ( opuesto A, b opuesto B y c opuesto C), sin A sin B b sin C c. C-101 El Ejemplo B de tu libro muestr cómo usr l Ley de los senos pr encontrr ls longitudes lterles de un triángulo cundo conoces l longitud de un ldo y ls medids de dos ángulos. Intent resolver el problem por tu cuent, ntes de leer l solución. Lee el texto nterior l Ejemplo C, donde se explic que puedes usr l Ley de los senos pr encontrr l medid de un ángulo fltnte solmente si sbes si el ángulo es gudo u obtuso. Sólo se te pedirá que encuentres medids de ángulos gudos. En el Ejemplo C se muestr cómo hcer esto. He quí otro ejemplo. EJEMPLO Encuentr l medid del ángulo gudo C. C Solución Us l Ley de los senos. sin A sin C c A 60 cm 72 48 cm B sin C c si n A sin C 48 s in 72 60 C sin 1 48 s in 72 60 C 49.54 L medid de C es proximdmente 50. 166 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish
LECCIÓ CODESADA 12.4 L Ley de los cosenos En est lección Usrás l Ley de los cosenos pr encontrr ls longitudes lterles y ls medids de los ángulos en un triángulo Hs resuelto muchos problems usndo el Teorem de Pitágors. El Teorem de Pitágors es un herrmient muy poderos pr resolver problems, pero está limitd los triángulos rectángulos. Hy un relción más generl que se plic todos los triángulos. Piens en un ángulo recto formdo por un bisgr con dos ctetos de longitud fij como ldos. Qué le ocurre l longitud del tercer ldo (l hipotenus cundo el ángulo mide 90º) y l relción pitgóric medid que l bisgr se cierr hst ser menor que un ángulo rectángulo o se bre más que un ángulo rectángulo? Pr explorr est pregunt, observ los triángulos en l prte superior de l págin 661 y lee los siguientes párrfos, incluyendo l Ley de los cosenos. Agreg l Ley de los cosenos tu list de conjeturs. L Ley de los cosenos funcion pr los triángulos gudos y obtusos. Lee l derivción de l Ley de los cosenos pr los triángulos gudos en l págin 662 de tu libro. En el Ejemplo A, l Ley de los cosenos se us pr hllr l longitud del tercer ldo de un triángulo cundo se te dn ls longitudes de dos ldos y l medid de su ángulo incluido. Lee el Ejemplo A de tu libro. Luego complet los psos del Ejemplo A siguiente. EJEMPLO A Encuentr m, l longitud del ldo L en el LM cutángulo. L 96 cm M m 77 84 cm Solución Us l Ley de los cosenos y resuelve pr m. c 2 2 b 2 2b cos C L Ley de los cosenos. m 2 96 2 84 2 2(96)(84)(cos 77 ) Sustituye c por m, por 96, b por 84 y C por 77. m 96 84 2 2(96)( 2 84)(co s 77 ) Sc l ríz cudrd positiv de mbos ldos. m 112.45 Hll el vlor numérico. L longitud del ldo L es proximdmente 112 cm. (continú) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 12 167
Lección 12.4 L Ley de los cosenos (continución) En el Ejemplo B de tu libro se us l Ley de los cosenos pr encontrr un medid de ángulo. He quí otro ejemplo. Resuelve el problem por tu cuent ntes de leer l solución. EJEMPLO B Encuentr l medid de I en TRI. I 51 cm 42 cm T 45 cm R Solución Us l Ley de los cosenos y resuelve pr I. c 2 2 b 2 2b cos C L Ley de los cosenos. 45 2 51 2 42 2 2(51)(42)(cos I) Sustituye c por 45, por 51, b por 42 y C por I. cos I 452 512 42 2 2(51) ( 42) Resuelve pr cos I. I cos 1 45 512 42 2 2(51) ( 42) Sc el coseno inverso de mbos ldos. I 56.89 Hll el vlor numérico. L medid de I es proximdmente 57. 168 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish
LECCIÓ CODESADA 12.5 Resolución de problems con trigonometrí En est lección Usrás l trigonometrí pr resolver problems, incluso quellos que tienen que ver con los vectores Alguns de ls plicciones práctics de l trigonometrí tienen que ver con los vectores. En ctividdes vectoriles previs, usste un regl y un trnsportdor pr medir el tmño del vector resultnte y el ángulo entre los vectores. Ahor podrás clculr los vectores resultntes usndo l Ley de los senos y l Ley de los cosenos. En el ejemplo de tu libro, se us l Ley de los cosenos pr encontrr l longitud de un vector resultnte y l Ley de los senos pr encontrr su dirección. Lee el ejemplo y segúrte de que comprendes cd pso. El ejemplo siguiente es el Ejercicio 5 de tu libro. Intent resolver el problem por tu cuent, ntes de leer l solución. EJEMPLO Annie y Sshi están cmpndo en l Sierr evd. Cminn 8 km desde su cmpmento bse, con un rumbo de 42. Después del lmuerzo, cmbin de dirección con un rumbo de 137 y cminn otros 5 km. Solución. A qué distnci están Annie y Sshi de su cmpmento bse? b. Con qué rumbo deben cminr Sshi y Annie pr regresr su cmpmento bse?. Dibuj un digrm pr ilustrr l situción. (Recuerd que un rumbo se mide en el sentido de ls mnecills del reloj, desde el norte.) Aquí l distnci desde el cmpmento bse es r. Pr encontrr r, puedes encontrr el vlor de y luego usr l Ley de los cosenos. Consider como formd por dos prtes, l prte l izquierd de l verticl y l prte l derech. Usndo l conjetur AIA, l prte l izquierd tiene un medid de 42. Como l prte l derech y el ángulo de 137 son un pr linel, l prte l derech tiene un medid de 43. Por lo tnto, l medid de es 42 43, u 85. Ahor us l Ley de los cosenos. r 2 8 2 5 2 2(8)(5)(cos 85 ) r 8 2 5 2 8)(5)(c 2( os 85 ) r 9.06 8 km Sshi y Annie están proximdmente 9.1 km de su cmpmento bse. 42 Cmpmento bse r 137 5 km E (continú) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 12 169
Lección 12.5 Resolución de problems con trigonometrí (continución) b. Añde l digrm l informción que encontrste en l prte. 42 8 km 9.06 km Cmpmento bse El digrm indic que el rumbo que Sshi y Annie deben tomr pr regresr l cmpmento bse es 360 (43 ). Pr encontrr, us l Ley de los senos. sin 8 si n 85 9.06 sin 8s in 85 9.06 sin 1 8s in 85 9.06 61.6 42 43 137 5 km 43 Rumbo pr regresr l cmpmento bse es proximdmente 62, sí que el rumbo es proximdmente 360 (43 62 ), ó 255. E 170 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spnish