Introducción al método d los Elmntos Finitos n D Lcción Discrtizacion Intrpolación n D Adaptado por Jaim Puig-Py (UC) d:. Zabaras, N. Curso FE Analysis for Mch&Arospac Dsign. U. Cornll. 0.. Fish, J., Blytschko, T. A First Cours in Finit Elmnts. Ed. Wily, 007. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
Elmntos Finitos: discrtización n D. La ida básica s rprsntar una función aproimant v h (j. lasolución aproimada u h y las funcions d pruba/pso w h ) mdiant polinomios dfinidos a trozos sobr subdominios (triángulos, cuadrilátros, tc.) simpls gométricamnt, qu san subconjuntos dl dominio D h d bord poligonal.. El conjunto d subdominios cuya unión conjuntista gnra l dominio h s dnomina malla o mallado dl dominio.. Si l dominio tin su bord o contorno curvo, simpr s tndrá un rror d discrtización dl dominio, ya qu h no ajustará actamnt con l dominio dado.. Sin mbargo, mdiant rfinaminto i d malla, h E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
Discrtización D. Hay una corrspondncia natural ntr l númro y localización d los puntos nodals o nodos n un lmnto y l númro d términos usados para la aproimación local. - Rcordmos qu la intrpolación n D d un lmnto linal d nodos, s prsa: v h =a +a. Pusto qu l lmnto tin nodos, los coficints i s dtrminan unívocamnt a partir d los valors n los nodos d v h ( ) y v h ( ). - Con sta aproimación, si igimos a las funcions v h () y v + h () n lmntos adyacnts qu valgan lo mismo n l nodo común, gnrarmos una función continua v h (), poligonal a trozos. v h () v h + () v() v h () v 0 v v i v i+ i + 0 i i+ E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 3
Discrtización D. Qué tipo d aproimacions polinómicas s pudn utilizar n D? Ejmplos comuns: v Un triángulo con 3 nodos h ( ) a aa3y n los vértics (3 cof.) vh ( ) a aa3y ay Un rctángulo con 4 4 nodos n los vértics (4 cof.) 4 3 v ( ) a a a y h 3 a 4 ay 5 ay 6 Un triángulo con nodo n cada vértic y nodo n l punto mdio d cada lado (total: 6 vértics, 6 cof.) E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 4
Vamos a contruir una función intrpoladora f ( y)auna función f( y)n Funcions bas globals n EF. Vamos a contruir una función intrpoladora f h (,y) a una función f(,y) n un dominio dl modo siguint (l subíndic h hac rfrncia a qu f h (,y) stá dfinida a trozos n qu intrvin la magnitud h): * sindo n l númro d nodos n h y f i l valor d f(,y) n ( i,y i ), coordnadas dl nodo gnérico i n la malla d lmntos finitos: n Las funcions bas N i (y)sdfinn d modo qu: n i i i h y N f y f ), ( ), (. Las funcions bas N i (,y) s dfinn d modo qu: ij j j i j i si j i si y N 0 ), ( dlta d Kronckr. Con sta dfinición, obsrvar qu: j N i (,y) N k (,y) j n i ij i n i j j i i j j h f f y N f y f ), ( ), ( E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 5
Intrpolación linal a trozos sobr triángulos Considérs qu l dominio h stá formado por E lmntos triangulars y qu ralizamos una intrpolación linal sobr cada lmnto triangular. v h (,y)=a +a +a 3 y. Los 3 valors d v h sobr los vértics d dtrminan un plano qu intrpola a la suprfici v(,y) y)n 3 puntos E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 6
Intrpolación linal a trozos sobr triángulos v h (,y)=a +a +a 3 y. Los 3 coficints s dtrminan imponindo las 3 condicions d intrpolación:. Rsolvindo l sistma: v v (, y ) a a a y, h 3 v v (, y ) a a a y, h 3 v v (, y ) a a a y, 3 h 3 3 3 3 3 a v ( y y ) v ( y y ) v ( y y ) 3 3 3 3 3 A v v v 3 A a v( y y3) v( y3 y) v3( y y) = ara ára of dl triangl triángulo A y 3 ( 3 ) ( 3) 3( ) dt y a v v v A 3 y3 E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 7
Intrpolación linal a trozos sobr triángulos A ( ) a v( y3 3y) v( 3y y3) v3( y y ) v h (,y)=a +a +a 3 y a v ( y y ) v ( y y ) v ( y y ) 3 3 3 A a v ( ) v ( ) v ( ) 3 3 3 3 A. Sustituyndo los coficints n la prsión d v h (,y): v h (,y)=v N (,y)+v N (,y)+v 3 N 3 (,y) N i (,y) N k (,y) N ( y, ) ( y 3 y 3 ) ( y y3 ) ( 3 ) y A N (, y) ( y y ) ( y y ) ( ) y 3 3 3 3 A N (, y) ( y y ) ( y y ) ( ) y 3 A A = ara ára of dl triangl triángulo dt y y y 3 3 E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 8
Funcions d forma linals, lmnto triangular N(, y) ( y3 3y) ( y y3) ( 3 ) y A N (, y ) ( y y ) ( y y ) ( ) y 3 3 3 3 A N (, y) ( y y ) ( y y ) ( ) y 3 A A = ara ára ofdl triangl triángulo dt y y y 3 3. Obsérvs qu: N i ( j,y j )= ij N (, ) 3 y N (, ) y v h (,y) N (, ) y v h (,y)=v N (,y)+v N (,y)+v 3 N 3 (,y) E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 9
Funcions d forma linals, lmnto triangular d 3 nodos. Las funcions d forma n un lmnto s pudn prsar n forma matricial así: v h (,y) N =[N N N 3 ] ( 3 3 ( 3 ) ( N y y y y 3 ) y ) A N (, ) 3 y ( 3 3 ( 3 ) ( N y y y y 3 ) y ) A N3 ( y y ( y y) ( ) y ) A 3 3 3 3 A y y y y y y. Así, la fórmula d intrpolación n forma matricial s: v h v v (, y) [ N N N 3 ] v [ N ] v v 3 v v 3 N (, ) y N (, ) y E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 0
Funcions d forma linals, lmnto triangular d 3 nodos. Es ncsario calcular l gradint d v h (y) (,y). Para llo vamos a calcular drivadas n la fórmula d la intrpolación, obtnindo una matriz B qu rlaciona dicho gradint con los valors nodals v, v, v 3 : v N N N3 v v v N N N 3 v 3 y y y y. Obsrvar qu la matriz B s constant n st caso intrpolación linal n un triángulo N N N y y y 3 y y3 y3 y y y B N N N3 A 3 3 cons matriz tan t matri constant B E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
Funcions d forma linals, lmnto triangular d 3 nodos. Cómo son las funcions bas globals N i, i=,,,n qu gnran las funcions locals N k d cada triángulo? N 3 (, y ). Las funcions básicas locals N k d lmntos adyacnts, s agrupan juntas para producir una función pirámid N i (,y) para cada nodo global i 3 tal qu : N i ( j,y j )= ij. i, j=,,,n N 5 N (, y) (, y) N (, y) N 4 (, y ). Para los nodos dl bord o contorno d, la función básica s una porción d una pirámid, cuya bas stá dfinida por los nodos n la malla. N (, y) 6 E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
Triángulos d Pascal, lmntos d ordn suprior. S pudn construir lmntos triangulars d ordn suprior mplando l llamado triángulo d Pascal. Un polinomio complto d grado total k n y tin (k+) (k+)/ términos monomials.. Así, un polinomio complto d grado k quda dtrminado únívocamnt dando su valor n (k+) (k+)/ puntos dl plano E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 3
Otros lmntos triangulars. El triángulo d Pascal implica la colocación simétrica d los nodos n lmntos finitos triangulars.. Por jmplo, los 6 términos dl polinomio cuadrático s dtrminan dando l valor d v h (,y) n 6 puntos nodals, n cada vértic y n l punto mdio d cada lado.. Obsrvar qu sta s justo la ubicación d monomios n l triángulo d Pascal para polinomio cuadrático! E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 4
Otros lmntos triangulars. Qué pasa con un polinomio cúbico con 0 términos monomials? Rquir un triángulo d 0 nodos.. La ubicación d los nodos s pud dtrminar por la d los monomios n l triángulo d Pascal, n cada vértic, éti n cada lado djando n él trs sgmntos d igual longitud, y nodo n l cntro d gravdad dl triángulo lmnto finito considrado. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 5
Los lmntos triangulars son continuos n l dominio. Esos lmntos producn funcions bas qu son continuas sobr l dominio, por tanto tinn drivadas primras con cuadrado intgrabl.. En la figura s vn triángulos contiguos d 6 nodos. Los polinomios i intrpoladors locals v h (,y) y v + h (,y) son cuadráticos y coincidn n los 3 nodos comuns a ambos lmntos. Compartn la curva d contacto, parábola d grado. Hay continuidad ntr parchs. No hay continuidad d drivadas transvrsals. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 6
Elmntos rctangulars. S pudn gnrar varios lmntos rctangulars mdiant producto tnsorial d polinomios n y: E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 7
Polinomios bilinals. El producto tnsor d los monomios [, ] con los monomios [, y] produc la matriz siguint: y y y.la combinación linal d los lmntos d sta matriz gnra una aproimación polinómica bilinal local: v h (y)= (,y)= a +a +a 3 y+ a 4 y y. Obsrvar qu sobr cada uno d st tipo d lmntos, v h (y) (,y) s linal n y para constant, linal n para y constant (bilinal).. Estas funcions d forma producn funcions bas N( i (,y) qu son continuas, y por llo tinn drivadas as. con cuadrado intgrabl E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 8
Polinomios bas bicuadráticos a trozos. El producto tnsor d los monomios [,, ] con los monomios [,y,y ] produc la matriz siguint: y y y y y y y y.la combinación linal d los lmntos d sta matriz gnra una aproimación polinómica bicuadrática local: v h (,y)= a +a +a 3 y+ a 4 y+a 5 +a 6 y +a 7 y+a 8 y +a 9 y. Obsrvar qu sobr cada uno d st tipo d lmntos, v h (,y) s cuadrática n y para constant, cuadrática n para y constant (bicuadrática).. Estas funcions d forma producn funcions bas N i (,y) qu son continuas, y por llo tinn drivadas as. con cuadrado intgrabl. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 9
Error d intrpolación. Considramos intrpolación n D d una función g(,y) mplando un polinomio complto d grado k, g h (,y). Si las (k+) primras drivadas d g stán acotadas n, l rror d intrpolación s: g-g h, =ma (,y) g(,y)-g h (,y) <=c h k+ dond c s una constant positiva y h s l diámtro d (la mayor distancia ntr puntos cualquira d ). Esta stimación d rror s válida sólo si g h (,y) s un polinomio complto d grado k. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr 0
Error d intrpolación. S pud dducir una stimación d rror para la a. drivada: g g h k g g h, ch,,. S dfin la norma H n D como sigu: k ch, y y g g g g ddy y. Suponindo qu no hay rror d discrtización ( h = ) y qu h s l máimo diámtro d todos los lmntos n la malla, s pud dmostrar qu : g-g h <= c 3 h k, para h suficintmnt pquño. Esta stimación s válida sólo si g h (,y) s un polinomio complto d grado k. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
Error d intrpolación g-g h <= c 3 h k, para h suficintmnt pquño. Intrpolación linal a trozos sobr triángulos (k=): l rror s d ordn O(h).. Intrpolación bilinal a trozos (sobr cuadrilátros): l rror asimismo O(h) a psar d qu v h (,y)=a +a +a 3 y+a 4 y contin l término cuadrático y y. Pro no contin los términos y para tnr un polinomio cuadrático complto.. Para intrpolación bicuadrática a trozos : v h (,y)= a +a +a 3 y+ a 4 y+a 5 +a 6 y +a 7 y+a 8 y +a 9 y El rror s d ordn O(h ) pus faltan los términos cúbicos 3 y 3.. Estas aproimacions tinn términos tra qu proporcionan continuidad pro no contribuyn a la convrgncia asintótica dl rror d intrpolación. E. T. S. d Ingniría d Caminos, C. y P. Santandr
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