EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigatura VCAF) HOJA 4 Ejercicio : Demostrar que los siguietes operadores so lieales, acotados y hallar sus ormas (para el puto h sólo estimar la orma) a) A : C[, ] C[, ], Ax(t) t x(τ)dτ La liealidad es claro, por que las itegrales tiee la propiedad de ser lieales luego: A((λx + y)(t)) t (λx + y)(τ)dτ t λx(τ)+y(τ)dτ t λx(τ)dτ+ t + t y(τ)dτ λ x(τ)dτ + t y(τ)dτ λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x, que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x C[, ] tal que kxk kaxk max t t [,] x(τ)dτ max t x(τ) dτ max t dτ t [,] t [,] Luego tomado c se cumple la defiició luego esta acotado Calculamos su orma: Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior, sabemos que kaxk x C[, ] tal que kxk Vemos que x C[, ] tal que kxk e el que se tiee kaxk, si tomamos x(t) t [, ] Ax(t) t dτ kaxk max t [,] b) A : C[, ] C[, ], Ax(t) t x() t dτ Vemos que el operador es lieal: A((λx + y)(t)) t (λx + y)() t λx() + t y() λt x() + t y() λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c>tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x C[, ] tal que kxk kaxk max t [,] Ax(t) max t [,] t x()
() x() Luego tomado c se cumple la defiició luego esta acotado Calculamos su orma: Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior, sabemos que kaxk x C[, ] tal que kxk Vemos que x C[, ] tal que kxk e el que se tiee kaxk si tomamos x(t) t [, ] Ax(t) t x() t kaxk max t [,] t c) A : C[, ] C[, ], Ax(t) x(t ) Vemos que el operador es lieal: A((λx + y)(t)) (λx + y)(t )λx(t )+y(t )λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c>tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x C[, ] tal que kxk kaxk max t [,] Luego tomado c se cumple la defiició luego esta acotado Ax(t) max t [,] x(t ) Calculamos su orma: Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior, sabemos que kaxk x C[, ] tal que kxk Vemos que x C[, ] tal que kxk e el que se tiee kaxk, si tomamos x(t) t [, ] Ax(t) x(t ) kaxk max t [,] d) A : C [a, b] C[a, b], Ax(t) x(t) Vemos que el operador es lieal: A((λx + y)(t)) (λx + y)(t) λx(t)+y(t) λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x C [, ] tal que kxk max x(t) +max t [,] kaxk max Ax(t) max x(t) t [,] t [,] Luego tomado c se cumple la defiició luego esta acotado t [,] x (t) Calculamos su orma: Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior, sabemos que kaxk x C [, ] tal que kxk Vemos que x C [, ] tal que
kxk e el que se tiee kaxk, si tomamos x(t) t [, ] x (t) t [, ] kxk max x(t) +max t [,] t [,] x (t) max +max t [,] t [,] Vemos ahora que kaxk Ax(t) x(t) kaxk max, luego kak t [,] e) A : L [, ] L [, ], Ax(t) t x(τ)dτ La liealidad es claro por que las itegrales tiee la propiedad de ser lieales luego: A((λx + y)(t)) t (λx + y)(τ)dτ t λx(τ)+y(τ)dτ t λx(τ)dτ+ +t y(τ)dτ λt x(τ)dτ + t y(τ)dτ λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x L [, ] tal que kxk x(t) Por otro lado kax(t)k t x(τ)dτ Ã! à que: t x(τ)dτ x(τ)dτ t à t x(τ)dτ x(τ)dτ t t 3 La peúltima desigualdad se tiee por que por la desigualdad de Hölder se tiee x(τ) dτ x(τ) dτ kxk Vemos que kak 3 : Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior, sabemos que kaxk 3 x L [, ] tal que kxk Vemos que x L [, ] tal que kxk e el que se tiee kaxk 3, si tomamos x(t) t [, ] kax(t)k t f) A : C [a, b] C[a, b], Ax(t) dx 3 kaxk 3 3!!
Vemos que el operador es lieal: A((λx + y)(t)) d(λx+y) λ dx + dy λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x C [, ] tal que kxk max x(t) +max t [,] t [,] x (t) ( ) kax(t)k max Ax(t) max dx, esta última desigualdad es por ( ) t [,] t [,] Luego tomado c se cumple la defiició luego esta acotado Calculamos su orma: Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior de este mismo apartado sabemos que kaxk x C [, ] tal que kxk Por otro lado cosidero la sucesió x (t) :[a, b] como se observa e el siguete dibujo: / a x(t) a + / b Si ampliamos el dibujo teemos la siguiete situació: a / a + / a + / 4
Lapedietedelagráfica de x (t), e a +, será,esdecir, x (a + ) Luego teemos la siguiete situació: x (t) x (t) si t [a, a + ] x (t) si t a + Luego kx (t)k max x(t) +max t [,] t [,] x (t) + Por otro lado kax (t)k kx (t)k cuado kak g) A λ : L [, ] L [, ], A λ x(t) ª x(t), t λ λ (,), t>λλ (,) La liealidad es claro por que las itegrales tiee la propiedad de ser lieales luego: A((λx + y)(t)) ª (λx+y)(t) si t λ si t>λ λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x L [, ] tal que kxk x(t) λ x(t) + x(t) ( ) Por otro lado ka λ x(t)k λ A λ x(t) λ x(t) + λ x(t) La última desigualdad se tiee por ( ) Vemos que ka λ k : Por defiició kak sup kaxk, es claro que kak, ya que por lo aterior sabemos que kaxk x L [, ] tal que kxk Por otro lado si tomamos x(t) si t λª λ si t>λ kxk x(t) λ λ λ λ λ Por otro lado kax(t)k λ kak, ya que para este x(t) hemosvistoqueelsupremosealcaza h) A : L [, ] L [, ], Ax(t) t x(τ)dτ 5
La liealidad es claro por que las itegrales tiee la propiedad de ser lieales luego: t A((λx + y)(t)) (λx + y)(τ)dτ t λx(τ)+y(τ)dτ t λx(τ)dτ+ + t y(τ)dτ λ t x(τ)dτ + t y(τ)dτ λa(x(t)) + A(y(t)) Por defiició A : X Y es acotado, si existe c> tal que para cualquier x que perteece a la bola cerrada de cetro cero y radio uo, se tiee que kaxk c Sea etoces x L [, ] tal que kxk x(t) ( ) Por otro lado kax(t)k t x(τ)dτ t x(τ)dτ x(τ)dτ x(τ) dτ x(τ) dτ kxk hemos utilizado e la peúltima desigualdad la desigualdad de Hölder Como e este apartado sólo os pide estimar la orma podemos decir que kak Ejercicio : E el espacio l cosideramos el operador A que trasforma el elemeto x (x,x, ) l e el elemeto Ax (λ x,λ x, ) dode λ ( N) a) Demostrar que para cualesquiera λ el operador A es lieal A : D(A) l dode Ax (λ x,λ x, ) A(ax + by) A(ax + by,ax + by, ) (λ (ax + by ),λ (ax + by ),) (λ ax + λ by,λ ax + λ by,)(λ ax,λ ax, )+(λ by,λ by,) a(λ x,λ x, )+b(λ y,λ y, ) aax + bax b) Bajo que codicioes para la sucesió λ,d(a) coicide co todo el espacio l? La codició ecesaria y suficiete es que {λ } N esté acotada P ) Si {λ } N es acotada λ M N λ x M kxk < D(A) l ) Supoemos que {λ } N o es acotada P Etoces {x } N tal que x P < pero λ x Para demostrar esto supoemos que o es cierto, es decir, que si {λ } N o es acotada {x } tal que {x } N l 6
P λ x < Como {λ } N o es acotada, podemos supoer si pérdida de geeralidad que, λ >ε N, ya que si {λ } N o esta acotada tiee ua subsucesió que tiede a ; y trabajamos co ella y obteemos u {x k } k N yetoces{x } N que queremos es x x k si k e otro casoª Luego teemos la hipótesis λ >ε N Cosidero el operador L : l l dode L [(x ) ]( λ x ) es lieal, iyectiva y es sobreyactiva, por supoer que es falsa la afirmació L es cotiua, ya que kl(x)k kxk ε, etoces por el teorema de la aplicació abierta L es isomorfismo; luego L es cotiua pero kl (e )k kλ e k λ pero esto es ua cotradicció, ya que {λ } N o es acotada etoces L o es cotiua etoces teíamos lo que queríamos c) Bajo que codicioes para la sucesió λ,el operador A es acotado ycuálserásuorma? Para que sea acotado hay que pedir sup λ M< ya que si x l tal que N P kxk x P kaxk λ x P M x P M x M PorotroladosiA es acotado kak M< kae i k kakke i k dode e i (,,,,,), dode la coordeada i-ésima es λ i kak sup λ i kak M< Vemos que kak sup λ i, pero esto es claro, ya que por lo aterior teemos que kak sup λ i y kak sup λ i kak sup λ i d)si A es u operador acotado, existe siempre x l x 6 tal que kaxk kakkxk? No,sitomamosλ es claro que etoces kak Porotroladositomox l tal que kxk, es decir, P x, se tiee que kaxk P λ x P ( ) x < etoces o existe x l tal que x 6 tal que kaxk kakkxk e) Bajo que codicioes para la sucesió λ,(a) es u subespacio cerrado de l? 7
La codició ecesaria y suficiete es que if λ k > λ k 6 Vemos primero que: A(l ) es cerrado A(l )l ) ) Si algú λ k A(l ) {x : x k k N tal que λ k }, luego para ver que A(l ) es cerrado, basta verlo e el caso e que λ k 6 k N ) o Si λ k 6 k λ k ε> k N A(l )l, ya que y l tomo yk λ k ysetieeque: yk λ k o l ya que P ³ y k λ k ε P y k < A( y k λ k )y es obvio Por otro lado A(l ) ϕ {x : x es evetualmete } como A(l ) es cerrado, A(l ) cotieealaclausuradeϕ que es l ) Obvio Vemos ahora que: A(l ) es subespacio cerrado if λ k 6 λ k > ) Obvio ) Supogamos que {λ k } etoces existe (x k ) l tal que ³ x k / l (por u resultado que demostamos e b)) A(l ) 6 l A(l ) o es cerrado λ k Ejercicio 3: E el espacio l, para u elemeto x (x,x, ) l pogamos las sucesioes de operadores A x x, x, y B x (,,,,x +,x +, ), Ndode so cero las primeras coordeadas Cual es el caracter de la covergecia de cada ua de las sucesioes? La sucesió A coverge hacia el operador ulo uiformemete, Vamos a comprobarlo Por defiició, A se dice uiformemete covergete hacia el operador A, yse deota A A cuado ka Ak dodeka Ak sup ka x Axk Es claro que A teemos lo siguiete P P ka x k ka xk i x i i x i P i x i pero ya que ka Ak sup ka x Axk luego teemos la covergecia uiforme La sucesió B coverge putualmete al operador ulo Vamos a comprobarlo Sea x l 8
P kb x Bxk kb x k kb xk P + Luego se tiee la covergecia putual a Pero B o coverge uiformemete a ya que kb k Veamos que efectivamete kb k Por u lado kb (x)k kxk kb k Por otro lado kb k sup kb (x)k kb (e + )k kxk i i x i cuado Ejercicio 4: Cosideremos el operador A : C[, ] C[, ], Ax t e τ x(τ)dτ la sucesió de operadores A : C[, ] C[, ], A x(t) t P x(τ)dτ, N k τ k k! Coverge la sucesió A hacia A? Cuál es el caracter de la covergecia? Si coverge, la sucesió A coverge a A uiformemete Vemos esta covergecia ka Ak sup ka x Axk dode ka x Axk max ka x Axk, pero t [,] P esta covergecia está clara, ya que τ k e τ si k! k P τ τ k e si k! k Luego se tiee que A x Ax t P τ k x(τ)dτ e τ x(τ)dτ k! k t P τ k e τ x(τ)dτ si k! k Luego ka x Axk si ka Ak si Ejercicio 5: E el espacio de Hilbert H el operador de proyecció ortogoal sobre el subespacio L H para x u + v siedo u L y v L, se defie por la igualdad Px u Demostrar que el operador P es acotado y hallar su orma Vemos que P es acotado P : H H, P(x) :u, sea x H tal que kxk kxk ku + vk hu, ui + hv, vi +hu, vi kuk + kvk +hu, vi Por otro lado sabemos que u L y v L hu, vi hu, vi y kvk kuk + kvk kuk 9
Luego teemos que kpxk kuk P está acotado Vemos que kp k Sabemos que kp k sup kpxk, etoces por el apartado aterior kp k Por otro lado si x u L tal que u 6, puedo supoer que kxk kuk, ya que sio tomo u : u kxk, e particular kxk, yademásseverifica kuk que: kpxk kuk kxk etoces co esto vemos que el supremo se alcaza y por tato kp k