GF4006, Métodos de Explorción Geofísic Profesor Emilio Ver Guí de Ejercicios Grvimetrí 1) Usndo l integrl de contorno vist en clses: g z = 2 G z dθ Demuestre que l trcción grvittori de un plc orizontl infinitmente extendid de espesor y densidd viene dd por: C g z =2π G (Corrección de Bouguer) 2) En l prte centrl de un cuenc sedimentri se observ un residul de grvedd de -2 mgl. Utilizndo un proximción de Bouguer de cp pln: Δg = 2πG Δ estime el espesor de sedimentos en est prte de l cuenc. Pr ello sum un densidd de 2.7 gr/cc pr el bsmento de est cuenc, y un relleno sedimentrio poroso con un porosidd vcí de 10% y densidd mtricil igul l del bsmento (pr g en mgl, en gr/cc y en metros, 2πG = 0.04193). Cuál serí el resultdo si l porosidd está llen de gu? El procedimiento empledo sobre o subestim el espesor? 3) Considere un cuenc sedimentri lterlmente muy extendid, cuyo relleno tiene un porosidd de 10% y un densidd mtricil de 2.7 gr/cc. Inicilmente l porosidd de este relleno está replet de gu st l superficie, pero debido l sobre explotción del recurso ídrico subterráneo, el nivel freático comienz profundizrse. Si Ud. dispone de un registro continuo de mediciones de grvedd en l superficie prtir del momento en que comienz l explotción del gu subterráne, y sumiendo que l porosidd del relleno se mntiene constnte independientemente de si está vcí o llen de gu. ) Cuál serí su predicción pr l vrición de grvedd en función de de l profundidd del nivel freático? b) Cuál serí est vrición pr = 10 m.? Recomendrí un estudio grvimétrico con el propósito de detectr vriciones del nivel freático en un ciert región? 4) Explique brevemente y en form clr los conceptos de: ) Form Norml de l Tierr b) Grvedd Norml c) Geoide De ls fórmuls correspondientes cundo se pertinente.
5) En relción con l reducción de dtos de grvimétricos, explique resumidmente los siguientes conceptos, dndo ls fórmuls correspondientes cundo se pertinente: 6) - Corrección de ire libre. - Corrección de Bouguer. - Corrección topográfic. - Corrección por ltitud. - Corrección por mres terrestres (ETC). - Anomlí de ire libre. - Anomlí de Bouguer simple. - Anomlí de Bouguer complet. ) Pr un Tierr esféric de rdio R T, obteng un fórmul pr clculr el grdiente grvimétrico γ() en función de l ltur por encim de su superficie. Exprese su resultdo en función de γ 0, el grdiente grvimétrico en l superficie terrestre r = R T, = 0. b) Clcule el grdiente grvimétrico γ pr un ltur = 4 km. Asum R T = 6371 km, γ 0 = 0.3086 mgl/m. NOTA: (1 + x) n (1 + nx), x << 1 7) A B 0 1 Considere l situción representd en l figur donde un bloque corticl de densidd 1 está inserto en un medio de diferente densidd 0. Asumiendo que los puntos A y B están suficientemente lejdos de los bordes del bloque como pr que el efecto de estos se desprecible: ) Estime l diferenci de grvedd que esperrí encontrr en mediciones efectuds en los puntos A y B. b) Qué condición se debe cumplir pr que un vez ec l corrección por ltur l diferenci entre ls mediciones se nul? Interprete su resultdo.
8) B Α C 1 0 Considere l situción representd en l figur donde un bloque corticl de densidd 1 está inserto en un medio de diferente densidd 0. Asumiendo que los puntos A, B y C están suficientemente lejdos de los bordes verticles como pr que el efecto de estos se desprecible: ) Estime l diferenci de grvedd que esperrí encontrr en mediciones efectuds en los puntos A, B y C. b) Qué condición se debe cumplir pr que un vez ec l corrección por ltur l diferenci entre ls mediciones A y B se nul? Interprete su resultdo. 9) C A B 1 H puente 0 Considere l situción representd en l figur donde mediciones de grvedd son efectuds en los puntos A, B y C. Los puntos A y B tienen l mism cot, y el punto B se encuentr en l mitd de un puente sobre un vlle de profundidd. Asumiendo que los puntos A, B y C están suficientemente lejdos de los bordes verticles como pr que el efecto de estos se desprecible, y que el puente tiene un efecto grvittorio desprecible: ) Encuentre expresiones pr l diferenci de grvedd que esperrí encontrr en ests mediciones, es decir, g B g A y g C g A. b) Qué condición se debe cumplir pr que l diferenci entre ls mediciones A y C se nul? c) Asum = 20 m, H = 50 m, 0 = 2.7 gr/cc, 1 = 2 gr/cc y estime vlores numéricos pr g B g A y g C g A.
10) Pr determinr l densidd de l roc donde se sitú l glerí de un min subterráne, se relizn mediciones grvimétrics en superficie (punto A), y sobre el piso de l glerí (punto B), obteniéndose vlores g A y g B respectivmente. Asumiendo que con buen proximción l glerí puede considerrse como un cilindro orizontl de rdio R infinitmente extendido: ) Encuentre un expresión pr en función de l diferenci de grvedd dg = g B g A. b) Estime si H = 60 m, R = 5 m, y dg = 6 mgl. A Superficie H Cp rocos 2R B Glerí cilíndric Vist de sección NOTA: grvedd de cilindro infinito ( r R): R r g g( r) = 2πGR r 2 11) Pr el edificio de l siguiente figur, supong que se conoce el vlor g 1 de l grvedd en el primer piso (punto 1 de l figur). En cd nivel l distnci entre piso y teco es, el espesor de l loz entre pisos sucesivos es t, y su densidd es. ) Obteng expresiones pr ls grveddes g 2, g 3, g 4 y g 5 en los puntos correspondientes sobre el segundo, tercero, curto piso, y sobre el teco respectivmente. Desprecie el efecto de ls predes, y considere que en primer orden ls lozs entre pisos se ls puede considerr como infinitmente extendids lterlmente.
b) Pr = 2.5 m, t = 0.3 m, = 2.5 gr/cc, y un grdiente de ire libre de γ = 0.3086 mgl/m, clcule l diferenci de grvedd de los puntos 2 5 con respecto l punto 1. Cómo difiere en este cso el grdiente de grvedd con ltur con respecto l grdiente de ire libre? 5 4 3 2 t 1 12) W A B E c E c m d m Considere un modelo simple de l zon centrl de Cile donde l cordiller se model medinte un cuerpo de sección rectngulr de ltur. Considere or 2 puntos, uno l W en l zon coster (A), y el otro l E l centro de l cordiller (B). L cordiller present un ríz corticl de espesor d que compens isostáticmente su elevción, es decir: d = c m c
donde c y m son ls densiddes de l cortez y mnto respectivmente. Asumiendo que los puntos A y B están suficientemente lejdos de los bordes del bloque cordillerno como pr que el efecto de estos se desprecible: ) Encuentre un expresión pr l diferenci de grvedd g B g A, del punto B con respecto l punto A, y evlúe su resultdo considerndo c = 2.8 gr/cc, m = 3.3 gr/cc, y = 4 km. b) Encuentre un expresión pr l diferenci de l nomlí de Bouguer de B con respecto de A (punto A est sobre dtum). Evlúe su resultdo. c) Asumiendo un distnci entre A y B de 150 km, Cul es l tendenci regionl pr l nomlí de Bouguer estimd por este modelo? 13) Considere un cilindro de rdio, ltur H, y densidd. P g H ) Por integrción obteng un expresión pr l trcción grvittori g que este cilindro ejerce sobre el punto centrl de un de sus crs circulres (punto P en figur). b) Sobre el punto centrl (A) de un terreno plno donde se construirá un edificio, se llev cbo un medición grvimétric cuyo vlor es g A. Con el objeto de fundr el edificio y construir subterráneos, en l primer etp de l fen se cv un oyo cilíndrico de rdio y ltur H. Luego de esto y ntes de proseguir con l construcción, se mide l grvedd sobre el piso del oyo (punto B), justo por debjo del punto A, obteniéndose el nuevo vlor g B. Utilizndo el resultdo obtenido en ), encuentre un expresión pr Δg = g B g A en función de, H, l densidd del mteril extrído, y el grdiente grvimétrico de ire libre γ. A 1 g A 2 Hoyo cilíndrico g B A B H
c) Asum Δg = g B g A = 3.5 mgl, = H =20 m, y estime con ello l densidd del mteril extrído. Pr el grdiente grvimétrico de ire libre utilice el vlor estándr γ = 0.3086 mgl/m. 14) Considere un modelo de l Tierr con un densidd intern esféricmente simétric, l que vrí linelmente entre un vlor c en su centro (r = 0), un vlor o en su superficie (r = R T ). ) Asumiendo que el vlor de l grvedd en l superficie de l Tierr debe ser el vlor norml g = g 0, determine c en función de o y m, donde m es l densidd medi de l Tierr. b) En este modelo, Cul es el máximo vlor que puede tomr o? 15) A bordo de un submrino, se llev cbo un perfil grvimétrico verticl desde l superficie z = 0 el fondo oceánico z =, en un zon con btimetrí que en primer proximción puede considerrse pln. ) Determine el grdiente grvimétrico dg/dz que esperrí encontrr en este experimento. b) Pr = 2000 m, estime l diferenci de grvedd entre l superficie del mr y el fondo oceánico. 16) Sobre l superficie pln de un zon donde existe un túnel cilíndrico muy lrgo de rdio r y un profundidd, se llev cbo un perfil grvimétrico en un dirección perpendiculr l eje del túnel. Determine l nomlí grvimétric lo lrgo del perfil (eje x) que esper encontrr por efecto del túnel. Pr = 10 m, r = 5 m, y un densidd de l roc circundnte = 2.7 gr/cc Cul es l mplitud máxim de est nomlí? Serí posible medinte grvimetrí detectr l presenci de este túnel? 0 X r
17) Usndo l integrl de contorno vist en clses: g Z = 2 G z dθ C ) Encuentre un expresión pr el efecto grvittorio (g z ) sobre el eje x, de un plc orizontl seminfinit de espesor t y densidd representd en l figur. El borde dereco de est plc se encuentr en x +, el izquierdo en x = 0, y el superior en z = 0 coincidiendo con el eje x. 0 + X t C Z b) Grfique esquemáticmente su resultdo, Cules son los vlores de g z pr x ±? Interprete su resultdo. c) Utilizndo el resultdo de l prte ), encuentre un expresión pr l corrección topográfic CT = CT(x) de un esclón bidimensionl de ltur t como el representdo más bjo. Grfique esquemáticmente su resultdo. 0 t X 18) Pr llevr cbo l corrección topográfic según el esquem de Hmmer, el cálculo más relevnte es el de l trcción grvittori g, de un cilindro de rdio R, ltur, y densidd, sobre el punto centrl (O) de un de sus crs. ) Demuestre que g = 2πG(R + - L), L = (R 2 + 2 ) 1/2 O R L
b) En bse l formul de l prte ), estime l trcción grvittori (componente verticl) en el punto centrl O, de un sector circulr recto de densidd 2.7 gr/cc, espesor de 100 m, y rdio externo R de 200 m (ver figur). 19) ) Clcule l trcción grvittori verticl g z (corrección topográfic) de un column verticl de bse cudrd de ldo, lto L y densidd, en un punto P l nivel de l bse y un distnci x del eje de l column. Pr cer este cálculo, proxime l column por un líne de ms verticl coincidente con el eje de l column, con un densidd linel equivlente λ= 2 (ms / unidd de lrgo). b) Estime g z si L = 50 m, = 10 m, x = 100 m y = 2.67 gr/cc. c) Suponiendo que en un ciert áre de estudio dispone de un topogrfí digitl con vlores de cot en un grill cudrd de puntos, explique cómo podrí usr el resultdo de ) pr estimr l corrección topográfic medids grvimétrics llevds cbo en el áre. Cómo podrí usr este método pr considerr zons que se encuentrn bjo el punto de medid? λ L g g z x 20) Considere un cerro cúbico de ldo y densidd situdo sobre el plno (x-y), centrdo en el origen y con su bse ocupndo el áre definid por: /2 x /2, /2 y /2. Obteng un expresión pr l corrección topográfic dg T origind por este cerro sobre el plno (x-y) lo lrgo del eje x; obteng dg T = dg T (x) pr x > = /2. Asum pr ello que proximdmente el efecto grvittorio de este cerro lo podemos concentrr en su centro de grvedd, es decir en el centro geométrico del cubo.
y x 21) ) Pr determinr l densidd del subsuelo se midió l grvedd en los puntos A y B de l figur. Ambos puntos se ubicn en los extremos de un pozo que se perforó en un unidd de roc cuy densidd uniforme 1 que es l que se busc. Asumiendo que el diámetro del pozo es desprecible, indique como se puede estimr 1 prtir de ls mediciones grvimétrics en los puntos A y B. b) Otr form de clculr l densidd in situ de un terreno se efectú normlmente ciendo uso del método de Prsnis. Este se bs entre otrs suposiciones, en l usenci de eterogeneiddes geológics en el substrto del perfil levntdo, tl como se grfic en l figur. Exprese l nomlí de Bouguer complet pr este levntmiento. Supong que el modelo grvimétrico usdo se just exctmente sus dtos (g obs ), determine l densidd del substrto prtir de l nomlí de Bouguer complet.
22) Considere un punto A donde se n eco mediciones de grvedd ntes y después de l construcción de un edificio de ltur y bse cudrd de ldo. Estime l diferenci de grvedd que esperrí encontrr en mediciones ntes y después de l construcción del edificio. Pr ello sum que = 40 m, = 20 m, y un distnci d entre el edificio y el punto de medición A de 30 m. Asum demás un densidd medi pr el edificio de 0.5 gr/cc, y que proximdmente el efecto grvittorio del edificio lo podemos concentrr en su centro de grvedd. 23) d A Plno x-y Δ R Z ) Pr l esfer de rdio R y contrste de densidd Δ representd en l figur, clcule l nomlí de grvedd g z en l superficie z = 0.
b) sub Integre est nomlí en todo el plno (x-y) y compruebe en este cso prticulr l relción generl, g Plnox y donde ΔM es el exceso de ms que represent l esfer. z ds = 2πGΔM c) Asum R = 500 m, un contrste de densidd de 0.2 gr/cc, y grfique l nomlí correspondiente = 1000 m, = 2000 m. d) Justifique porque el resultdo de l prte b) puede ser plicdo un distribución rbitrri de exceso de ms por debjo del plno x-y. Cómo se lig este resultdo con l ley de Guss vist es clses? 24) Considere or que l figur del problem nterior represent l sección de un cilindro infinitmente extendido en l dirección y, digmos sliendo y entrndo de l págin. Use el teorem de Guss y clcule l nomlí grvittori en l superficie z = 0, tl como en l pregunt 22. Compre est nomlí con l de l esfer correspondiente. 25) Considere un domo semiesférico de rdio R y densidd constnte. Clcule l grvedd que este domo ejerce lo lrgo de todo el eje z, tnto fuer (z 0, z R) como dentro (0 < z < R) del domo. Z R 26) Clcule l nomlí grvimétric correspondiente l fll verticl representd en l figur de más bjo. Est nomlí se puede clculr medinte l superposición de dos plcs semi-infinits. El resultdo pr un plc semi-infinit se puede obtener medinte l integrl de contorno vist en clses. g z = 2 G z dθ C
X Δ = 0.2 gr/cc 10 m 20 30 40 Δ = 0.2 gr/cc Z 27) Qué vrición de grvedd en función de l profundidd Z esperrí encontrr en mediciones llevds cbo en el pozo representdo en l figur de más bjo? Asum un densidd constnte pr el medio donde se cvdo el pozo, y de que el diámetro del mismo es suficientemente pequeño como pr que el mteril extrído no fecte ls mediciones. = Cte. Z 28) Clcule l nomlí grvittori ( g z ) en el origen (x=0, z=0), debid l cuerpo rectngulr bidimensionl representdo en l figur siguiente; el cuerpo es infinitmente extendido en l dirección y Cómo llevrí cbo su cálculo si el cuerpo fuer limitdo entre -L y L en el eje y? o X (x 1, z 1 ) (x 2, z 2 ) Z