APLICACIONES DE LA DERIVADA. Los problemas que se refieren a los descubrimientos de la mejor forma de realizar una actividad se denomina problemas de optimización. Una etensa clase de problema de optimización puede reducirse a encontrar el valor máimo o mínimo de una función. Si es así, los métodos del cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema en estudio. Empezaremos por introducir un vocabulario apropiado para analizar y resolver problemas de esta naturaleza. j Definición: Sea ƒ una función definida en un intervalo I y sean X 1, X dos números que están en I. (a) ƒ es creciente en I si ƒ ( X 1 ) < ƒ ( X ) siempre que X 1 < X (b) ƒ es decreciente en I si ƒ ( X 1 ) > ƒ ( X ) siempre que X 1 < X. (c) ƒ es constante en I si ƒ ( X 1 ) = ƒ ( X ) para todo X 1 y X. Ver las graficas: Si una función es creciente, entonces su gráfica sube o asciende cuando X aumenta. Si una función es decreciente entonces su gráfica baja o desciende cuando X aumenta. La siguiente definición presenta la terminología que se usa para denotar los valores más grandes y los más pequeños de una función en un intervalo. Definición: Sea ƒ una función en un intervalo I y sea 0 un número en I. (a) ƒ ( 0 ) es el máimo (o valor máimo) de ƒ en I si ƒ () ƒ ( 0 ) para todo en I. (b) ƒ ( 0 ) es el mínimo (o valor mínimo) de ƒ en I si ƒ () ƒ ( 0 ) para todo en I. En las figuras siguientes, muestran un máimo y un mínimo. En ellas se representa I como un intervalo cerrado [a, b], pero la definición anterior puede aplicarse a cualquier 17
intervalo. (Los máimos y mínimos también pueden darse en los puntos donde la gráfica tiene picos o saltos, o en los etremos del dominio de la función). Si ƒ ( 0 ) es el máimo de ƒ en I, se dice que ƒ alcanza su máimo en 0, y en ese caso, el punto ( 0, ƒ ( 0 )) es el punto más alto de la gráfica. Si ƒ ( 0 ) es el mínimo de ƒ en I, se dice que ƒ alcanza su mínimo en 0, y en ese caso, ( 0, ƒ ( 0 )) es el punto más bajo de la gráfica. Los máimos y mínimos son los valores etremos de ƒ. Una función puede alcanzar un máimo o un mínimo más de una vez. Si ƒ es una función constante, entonces ƒ( 0 ) es a la vez un máimo y un mínimo que ƒ alcanza en todo número real 0 18
Criterio de la primera derivada para graficar funciones. El siguiente teorema muestra cómo puede usarse la derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente. Teorema: Sea ƒ una función que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). (a) Si ƒ () > 0 para todo en (a, b), entonces ƒ es creciente () en [a, b] (b) Si ƒ () < 0 para todo en (a, b), entonces ƒ es decreciente () en [a, b]. Función creciente. Creciente en 0 si para > o F() F( 0 ) F ' ( 0 ) 0 Una función F() se dice que es Creciente en un punto, 0, si su derivada, en ese punto, 0, es positiva; F '( 0 ) 0. Función decreciente. Decreciente en 0 si para > 0 ; F() F( 0 ) F '( 0 ) 0 Una función F() se dice que es Decreciente en un punto, 0, si su derivada, en ese punto, 0, es negativa; F '( 0 ) 0. Máimos de una Función. En un punto 0, en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máimo relativo. Máimo en ( 0, f( 0 )). Es decir, que F'( 0 ) = 0, y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente, (se anula y cambia de signo). Mínimos de una Función. En un punto 0, en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Mín. en ( 0, f( 0 )). Es decir, que F'( 0 ) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente, (se anula y cambia de signo). Para que una función tenga máimo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo). La eistencia de máimos y mínimos puede depender del tipo de intervalo y de la continuidad de la función. El siguiente teorema enuncia condiciones bajo las cuales una función alcanza un máimo y un mínimo en un intervalo. 19
Teorema: Si una función ƒ es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces ƒ alcanza un mínimo y un máimo por lo menos una vez en [a, b]. Los valores etremos de una función también se llaman mínimo absoluto y máimo absoluto de ƒ en un intervalo. Los máimos y mínimos locales de una función también se definen: Definición: Sea 0, un número en el dominio de una función ƒ. (a) ƒ ( 0 ) es un máimo local de ƒ si eiste un intervalo abierto (a, b) que contiene a 0, tal que ƒ() ƒ ( 0 ) para todo en ( a, b ). (b) ƒ ( 0 ) es un mínimo local de ƒ si eiste un intervalo abierto (a, b) que contiene a 0, tal que ƒ ( ). ƒ ( 0 ) para todo en ( a, b ). La palabra local se refiere a que estos máimos y mínimos lo son en relación con una región, un intervalo abierto pequeño que contiene a 0. Fuera de ese intervalo abierto ƒ puede tomar valores mayores o menores. También se puede hablar de máimos y mínimos relativos en vez de locales. Los máimos o mínimos locales se denominan valores etremos locales de ƒ. En las funciones discontinuas se puede dar el caso de que un mínimo local puede ser mayor que un máimo local. Por lo general, una función que queremos maimizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Algunos de ellos contienen sus puntos fronteras; otros no. Por ejemplo, I = [a, b], contiene a sus puntos frontera; [a, b) contiene sólo al de la izquierda; (a, b) no contiene a ningunos de los dos. Los valores etremos de las funciones definidos en intervalos cerrados, a menudo se presentan en puntos fronteras. Si 0, es un punto para la cual ƒ ( 0 ) = 0, lo llamamos punto estacionario, la gráfica en ese punto se nivela, dado que la tangente es horizontal. Si 0, es un punto interior de I en el que no eiste ƒ ( 0 ), lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica de ƒ tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Estas tres clases de puntos (fronteras, estacionarias y singulares) son la clave de la teoría de máimos y mínimos. Cualquier punto de una función ƒ que sea de uno de estos tres tipos se llama punto crítico de ƒ. Teorema. Si una función ƒ tiene un máimo local o un mínimo local en un número c de un intervalo abierto, entonces ƒ ( 0 ) = 0 o bien ƒ ( 0 ) no eiste. El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del teorema anterior. 140
Corolario. Si ƒ ( 0 ) eiste y ƒ ( 0 ) 0, entonces ƒ( 0 ) no es ni un máimo local ni un mínimo local de la función ƒ. De lo anteriormente epuesto, definimos valores críticos Definición. Un número 0, en el dominio de una función ƒ se llama número (valor) crítico de ƒ si ƒ ( 0 ) = 0 o bien ƒ ( 0 ) no eiste. Esto trae como consecuencia el siguiente teorema. Teorema. Sea ƒ definida en un intervalo I que contiene al punto 0. Si ƒ( 0 ) es un valor etremo, entonces 0, debe ser un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos siguientes: (1) Un punto frontera de I. () Un punto estacionario de ƒ ( ƒ ( 0 ) = 0). () Un punto singular de ƒ en el que ƒ ( 0 ) no eiste. Guía práctica para utilizar el Criterio de la primera derivada en el análisis y la graficas de funciones. 1) Determinar el dominio de la función dada. Se define el Dominio de F() como el conjunto de valores reales ( є R) tal que F() є R. { є R / F() є R}. En general, para calcular el dominio de una función F() hay que ecluir los valores de donde no está definida (no eista) la función dada, que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de una raíz (de índice par). ) Calcular la primera derivada, utilizando los teoremas respectivos, para cada caso, se recomienda factorizar y simplificar la epresión de la derivada. ) Buscar los valores críticos, igualando la primera derivada a cero, y luego despejar los valores de la variable, además, buscar los valores de la variable mencionada donde no eiste la derivada. 4) En un cuadro de cuatro columnas se analiza la función de la siguiente manera: 4.1) Primera columna: se organizan intervalos formados por los valores críticos encontrados ordenados de menor a mayor. 4.) Segunda columna: se coloca la función dada, para en ella sustituir los valores críticos, y conocer donde se localizan los etremos relativos en el plano cartesiano. 141
4.) Tercera columna: se coloca la primera derivada, para buscar el signo que esta posee, dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados por los valores críticos. 4.4) Cuarta columna: indica el resumen de lo analizado. En ella se indica el resultado al aplicar los teoremas respectivos. (Intervalos donde la función crece, Intervalos donde la función decrece, puntos máimos, puntos mínimos si eisten). INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN. 5) Se determina los cortes con los ejes y luego se grafica de acuerdo al resumen. Ejercicios: 1) f( ) = + - 5-5 Domf ( ): f ( ) = + -5 f ( ) = ( + 5 )( -1) 5 si: f '( ) = 0 (+ 5 ) = 0 = ( vc..); ( -1) = 0 = 1( vc..) INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN. (, + (crece) 1.48 Máimo relativo, 1) (decrece) = 1 8 Mínimo relativo ( 1, ) + (crece) Procedimiento: El signo de la derivada se determina escogiendo un valor de prueba adecuado para el intervalo. Escogiendo en el intervalo (, ), obtenemos el valor de prueba. ƒ ( ) = ( ) + ( ) 5. =, como es positivo, ƒ ( ) es positivo para ese intervalo. Eligiendo 0 en, 1), se obtiene el valor de prueba. ƒ ( 0 ) = ( 0 ) + ( 0 ) 5. = 5, como el resultado es negativo, entonces la primera derivada es negativa para ese intervalo. Finalmente, tomando en el intervalo (1, ), obtenemos ƒ ( ) = ( ) + ( ) 5. = 11, entonces la primera derivada es positiva para el intervalo anterior. Se aplica los teoremas para hacer el resumen. Cortes con los ejes: 0 5; 1; 0 5 14
) f( ) = - + Domf ( ): f f ( ) = 6 + 6 ( ) = 6 (1- ) si : f '( ) = 0 6 (1 ) = 0 = 0 ( v. c.); = 1(..) vc INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN. (, 0 ) (decrece) 0 0 Mínimo relativo 0, 1 + (crece) = 1 1 Máimo relativo ( 1, ) (decrece) Cortes con los ejes: 0 ; 0; 0 0 ) f( ) Domf = ( ): ( ) = : '( ) = 0 = = f si f 0 0 ( vc..) INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN. (, 0 ) + (crece) 0 0 ativo 0, + (crece) 14
La tangente es horizontal en = 0 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA 4 4) f ( ) - Domf = + ( ): f = + f = ( ) 4 ( ) (1 ) si f = = = vc =± vc : '( ) 0 (1 ) 0 0 (..); (..) INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN., + (crece) Máimo relativo, 0 (decrece) 0 0 Mínimo relativo 0, + (crece) Máimo relativo, (decrece) Cortes con los ejes: 0 1; 0; 0 0 144
5) f( ) = + -1 Domf ( ): f '( ) = 6 + 6-1 f '( ) = 6( + )( -1) si f '( ) = 0 6 ( + )( -1) = 0 = - ( vc..); = 1( vc..) INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN., + (crece) 0 Máimo relativo, 1 (decrece) 1 7 Mínimo relativo 1, + (crece) Cortes con los ejes: 0 1,811;,11; 0; 0 0 6) ( ) -0 f = + +1 Domf ( ): f = + f = + 0= 0; = ( vc..); = -( v. c.) 5 ( ) 6 0 ( ) 0 6 INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN., + (crece) 9 Máimo relativo, (decrece) 0. Mínimo relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 0.050;.894;.444; 0 1 145
7) f( ) 8 4 = + 1 Domf ( ): f '( ) = 4-16 f '( ) = 4 ( -4) f '( ) = 0 4 ( - 4 ) = 0 = 0 ( vc..); =± ( vc.) (, ) (decrece) = 15 Mínimo relativo (, 0 ) + (crece) = 0 1 Máimo relativo ( 0, ) (decrece) = 15 Mínimo relativo (, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0 0.56; 0.56;.805;.805; 0 1 f = Domf ( ): 4 8) ( ) 4 f = f = ( ) 1 1 ( ) 1 (1 ) si: f '( ) = 0 1 (1 ) = 0 = 0(..); vc = 1(..) vc INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN (, 0 ) + (crece) = 0 0 Etremo relativo ( 0, 1 ) + = 1 1 Máimo relativo ( 1, ) 146
Cortes con los ejes: 0 ; 0; 0 0 5 9) ( ) 5 4 Domf f = + y y y y ( ): 4 4 f ( ) = 5 15 + 4 si : f '( ) = 0 5 15 + 4= 0 cambio devariable = 5 15 + 4 = 0 = 0, 96; y=.704 =± 0,544; =± 1,644( vc..) INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN., 1.64 + (crece) 1.64.61 Máimo relativo 1.64, 0.54 (decrece) 0.54 1.418 Mínimo relativo 0.54, 0.54 + (crece) 0.54 1.418 Máimo relativo 0.54, 1.64 (decrece) 1.64.61 Mínimo relativo 1.64, + (crece) Cortes con los ejes: 0; ; ; 1; 1; 0 00 147
= 10) f( ) 10 ( 1) Domf ( ): f = + f = + ( ) 0 ( 1) 10 [( 1)] ( ) 10 ( 1)[ ( 1) ] f = si f = = ( ) 10 ( 1)(5 ); '( ) 0 10 ( 1)(5 ) 0 = 0 ( vc..); = 1( vc..); = ( v. c. ) 5 (, 0 ) + (crece) = 0 0 Etremo relativo 0, ) + (crece) O.46 Máimo relativo,1 (decrece) = 1 0 Mínimo relativo ( 1, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0; 0; 1; 0 0 4 = 11) f( ) ( 10 ) Domf ( ): f = f = f = ( ) 4( 10 ) ( 10) ( ) 8 ( 10 ) ( 5) ( ) 8[ ( 10) ( 5)] si f '( ) = 0 8[ ( 10) ( 5)] = 0 = 0( v. c.); = 10( vc..); = 5 ( vc..) (, 0 ) (decrece) = 0 0 Mínimo relativo ( 0, 5 ) + (crece) = 5 9065 Máimo relativo ( 5, 10 ) (decrece) = 10 0 Mínimo relativo ( 10, ) + (crece) 148
Cortes con los ejes: 0; 0; 10; 0; 0 4 1) f( ) = ( ) ( +1) Domf ( ): f '( ) = ( ) ( + 1) + ( ) 4( + 1) 4 f = + + + f = + '( ) ( ) ( 1) [( 1) 4( )] '( ) ( ) ( 1) (7 5) si f '( ) = 0 ( ) ( + 1) (7 5) = 0 = (..); vc = 1(..); vc = (..) vc 5 7 (, 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo 1, (decrece) 18,7 Mínimo relativo, + (crece) = 0 Etremo relativo (, ) + (crece) Cortes con los ejes: 01; ; 08 149
1) f( ) = ( 5) 4 Domf ( ): f = + f = + 4 '( ) ( 5) (4( 5) '( ) ( 5) ( 5 ) f '( ) = ( 5) ( 5) sif'( ) = 0 ( 5)( 5) = 0 = 0 ( vc..); = 5 ( vc..); = ( vc..) 5 (, 0 ) (decrece) = 0 0 Mínimo relativo 0, + (crece) 4 Máimo relativo,5 (decrece) = 5 0 Mínimo relativo ( 5, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0; 0; 5; 0 0 14) f ( ) ( 4) Domf ( ): = + f '( ) = ( + 4) si f '( ) = 0 ( + 4) = 0 = 4 ( v. c. ) (, 4 ) + (crece) X = 4 0 Etremo relativo ( 4, ) + (crece) 150
Cortes con los ejes: 0; 4; 5; 0 64 15) f( ) 5 15 +4 Domf ( ): 4 = f = f = ( ) 0 0 ( ) 10 ( ) si : f '( ) = 0 10 ( ) = 0 = 0( v. c. ); =± ( vc..) 6 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, (decrece) Mínimo relativo,0 + (crece) = 0 4 Máimo relativo 0, (decrece) Mínimo relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 0.544 ; 0.544; 1.644; 1.644; 0 4 151
16) f( ) = Domf ( ): + + + + f ( ) = f ( ) = f ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( 9 ) ( 9) ( + 9) si : f '( ) = 0 = 0 = 0(..) vc ( + ) (, 0 ) + = 0 0 Etremo relativo ( 0, ) + Cortes con los ejes: 0 0 17) f( ) ( 1) = ( ) Domf '( ) ( 1)( ) [( )( 1) ( ) ( 1)] '( ) ( 1)( ) [( ) 4 )] ( ): f '( ) = ( 1) ( ) + ( 1)( ) + ( 1) ( ) f = + + f = + + + f '( ) = ( 1)( ) ( 5 + 1 ) si f : '( ) = 0 ( 1)( ) ( 5 + 1 ) = 0 = ( vc..); = 1( vc..); = 1.44( vc..); = 0.( vc..) 15
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN (, 0. ) (decrece) = 0. 0.76 Mínimo relativo ( 0., 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo ( 1, 1.4 ) (decrece) = 1. 4 0.05 Mínimo relativo ( 1. 4, ) + (crece) = 0 Etremo relativo. (, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0 0, ; 1 18) ( ) (4 ) Domf f = ( ): f = f = ( ) 8 4 ( ) 4 ( ) si f = = = vc = ± : '( ) 0 4 ( ) 0 0(..); (..) vc INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, + (crece) 4 Máimo relativo, 0 (decrece) = 0 0 Mínimo relativo 0, + (crece) 4 Máimo relativo, (decrece) Cortes con los ejes: 0 ; ; 0 15
4 19) f ( ) = Domf ( ): + 4 + + f ( ) = f ( ) = f ( ) = ( + 4) ( + 4) ( + 4) 4( 4) 4() 4 16 8 ) 4(4 ) 4(4 ) si : f '( ) = 0 = 0 =± ( v..) c ( + 4) (, ) (decrece) = 1 Mínimo relativo (, ) + (crece) = 1 Máimo relativo (, ) (crece) Cortes con los ejes: 0 0 154
4 0) f( ) = 4 Domf ( ): f = f = ( ) 4 6 ( ) ( 1) si: f '( = = = vc = vc = vc ) 0 ( 1) 0 1.78(..); -0.8(..); 0(..) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, 0.8 (decrece) 0.8 4.08 Mínimo relativo 0.8, 0 + (crece) = 0 4 Mínimo relativo 0, 1.78 (decrece) 1.78 8.409 Mínimo relativo 1.78, + (crece) Cortes con los ejes: 0 ; ; 0 0) f ( ) = + Domf ( ): se aplica la definición devalor absoluto : +, si: + 0 f ( ) = + = ( + ), si : + < 0 a) f ( ) = si: f '( ) = 0 = 0 = ( v. c.) b) f ( ) = + si: f '( ) = 0 + = 0 = (..) vc se busca los cortes con el eje y = 0 = 1; = 155
INTERVALO ƒ ( X ) RESUMEN,1) 1 0 1, ó, 0, + Cortes con los ejes: 0 ó ó INTERVALO ƒ ( X ) RESUMEN,1) ó 1 0 1, (crece), Máimo relativo (decrece) 0, + ó Una forma más práctica es la siguiente: f ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + Domf ( ): f ( ) = f ( ) = + ( 1)( ) + si: f '( ) = 0 f ( ) = = 0 ( ) = 0 = ( vc..); f '( ) / = 1; = ( 1)( ) 156
INTERVALO ƒ ( X ) RESUMEN, 1) (decrece) 1 0 Mínimo 1, + (crece) Máimo relativo, (decrece) 0 Mínimo, + (crece) = 1) f( ) 1 Domf ( ): se deriva el valor absoluto : ( ) 1 ( ) 1 f ( ) = f ( ) = 1 ( 1)( + 1) ( ) 1 si : f '( ) = 0 f ( ) = = 0 = 0 = 0( v. c.); ( 1)( + 1) f '( ) / = 1; = 1. (, 1 ) (decrece) = 1 0 Mínimo ( 1, 0 ) + (crece) = 0 1 Máimo relativo ( 0, 1 ) (decrece) = 1 0 Mínimo ( 1, ) + (crece) 157
) f ( ) = Domf ( ): + 1 se deriva el valor absoluto : 1 1 ( + 1) + 1 ( + 1) + 1 f ( ) = f ( ) = + 1 + 1 ( ) 1 si: f '( ) = 0 f ( ) = = 0 = 0 = 0( vc..); ( 1)( + 1) f '( ) / = 1; = 1 (, 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo ( 1, 0 ) (decrece) = 0 1 Mínimo ( 0, 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo ( 1, ) (decrece) Cortes con los ejes: 0 0 158
) ( ) 1 1 Domf f = se derivael valor absoluto : (): 1 f () = f () = 1 1 1 1 ( 1) 1 + ( 1) + 1 ( 1) 1 + ( 1) + 1 1 si : f '( ) = 0 = ( v. c.); f '( ) / = 1; = 1 1 (, 1 ) (decrece) = 1 Mínimo relativo 1, + (crece) Máimo relativo,1 (decrece) = 1 0 Mínimo relativo ( 1, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0 0 f = 4) ( ) 1 Domf ( ): se deriva el valor absoluto : ( ) ( ) f ( ) = f ( ) = 1 ( 1)( + 1) 1 1 ( ) 1 si : f '( ) = 0 f ( ) = = 0 = 0 = 0( v. c.); f '( ) / = 1; = 1 ( 1)( + 1) 159
. (, 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo ( 1, 0 ) (decrece) = 0 1 Mínimo relativo ( 0, 1 ) + (crece) = 1 0 Máimo relativo ( 1, ) (decrece) 4 5) f( ) = 6 Domf (): 1 (8 1) f '( ) = 8 f '( ) = (8 1) f '( ) = (8 1) 1 si : f '( ) = 0 = 0 (8 1) = 0 = 8 ( vc..); f '( ) / = 0. (, 0 ) decrece) = 0 0 Etremo relativo 0, (decrece) Mínimo relativo, + ( (crece) Cortes con los ejes: 0 0; 160
y f()=6^(4/)-^(1/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 1 6) f( ) = (8 ) Domf ( ): 1 1 1 f '( ) = (8 ) + ( 1) f '( ) = (8 ) 8 4( ) f '( ) = f '( ) = 4( ) si: f '( ) = 0 = 0 = ( vc..); = 0 f '( ) ( vc..) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, 0 + (crece) 0 0 Etremo relativo 0, + (crece) 7.55 Mínimo relativo, (decrece) Cortes con los ejes: 0 0 ; 8 y f()=(8-)^(1/) 15 10 5-18 -16-14 -1-10 -8-6 -4-4 6 8 10 1 14 16 18-5 -10-15 161
7) ( ) ( 8) f = Domf ( ): 1 1 1 f '( ) = ( 8) + ( ) f '( ) = ( 8) + 1 8+ 8( ) f '( ) = f '( ) = 8( ) si: f '( ) = 0 0 ( vc..); 0 f '( ) (.. vc) = =± = (, ) (Decrece) = 7.56 Mínimo relativo (, 0 ) + (crece) = 0 0 Máimo relativo ( 0, ) (Decrece) = 7.56 Mínimo relativo (, ) + (crece) Cortes con los ejes: 0.8 ; 0 y f()=(^-8)^(/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 8) f( ) = ( 4 ) Domf ( ) :[ -, ] 1 f '( ) = (4 ) + ( ) f '( ) = (4 ) 4 (4 ) 1 1 f '( ) = (4 ) 4 f '( ) = (4 ) f '( ) = ( ) si : f '( ) = 0 = 0 =± (4 ) (..); vc =± f '() (..) vc ( ) (4 ) 16
0, ) (decrece) Mínimo relativo, + (crece) Máimo relativo, (decrece) 0 Cortes con los ejes: 0 ; 0 0 f = 4 ) Domf ( ):(,4] 9) ( ) ( 1) ( 1 1 1 f '( ) = (4 ) + ( 1)( (4 ) ( 1)) 1 1 + + f '( ) = (4 ) (4 ) ( 1) f '( ) = (4 ) 5 16 1 5 + 16+ 1 si : f '( ) = 0 = 0 0.061;.61( vc..); = 4 f '( ) ( vc..) (4 ), 0.061 (decrece) 0.061.007 Mínimo relativo 0.061,.61 + (crece).61 8.8 Máimo relativo.6, 4 (decrece) 4 0 16
Cortes con los ejes: 0 1 ; 4 ; 0 y f()=(^-1)*(4-)^(1/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 0) f( ) = ( ) Domf ( ):(, ] 1 1 1 1 f '( ) = ( ) + ( ) ( ) f '( ) = ( ) 1 (1 ) f '( ) = ( ) [ ] f '( ) = ( ) (1 ) si: f '( ) = 0 = 0 = 1; = f '( ) ( vc..) ( ), 1 + (crece) 1 1 Máimo relativo 1, (decrece) 0 Cortes con los ejes: 0 0 ; [ ] 164
1) f( = + ( ): ) ( 1) 1 Domf ( ) 1 1 1 f '( ) = + 1 + ( 1) ( + 1) f '( ) = ( + 1) + 1 + ( 1) 1 ( + 1) f '( ) = ( + 1) [ + + 1 ] f '( ) = ( + 1) ( + 1) 1 si: f '( ) = 0 = 0 = ; = 1 f '( ) ( vc..) ( + 1) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, 1 (decrece) 1 0 Etremo relativo 1, (decrece) 1.19 Mínimo relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 1 ; 0 1 y f()=(-1)*(+1)^(1/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 ) f( ) ( ) Domf ( ): = (4 ) 1 1 '( )= ( ) (4 ) '( ) = ( ) (4 ) '( ) = ( ) f f f (4 ) (4 ) f '( ) = f '( ) = ( ) ( ) (4 ) 4 si f '( ) = 0 = 0 = ( v. c); = ( ) 0; = f '( ) ( vc..) 165
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, 0 (decrece) 0 0 Mínimo 0, + (crece) 1.1 Máimo relativo, (decrece) 0 Mínimo, + (crece) y f()=(^-^)^(/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 f ( ): 1 5 f '( )= ( 5+ 6) ( 5) f '( ) = ( 5 6) + 5 5 si f '( ) = 0 = 0 = ( vc. ); = ; = f '( ) ( vc..) ( 5+ 6) ) ( ) = 5 + 6 Domf INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, (decrece) 0 Etremo relativo, (decrece) 0.6 Mínimo relativo, + (crece) 0 Etremo relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 ; ; 0 1.8 166
y f()=(^-5+6)^(1/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 4) f( ) = 5+ 6 Domf ( ):(,) (, ) 1 1 5 f '( )= ( 5+ 6) ( 5) f '( ) = 5+ 6 5 5 si f '( ) = 0 = 0 =, pero en Domf ( ) = ; = f '( ) ( v. c.) 5 + 6 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X) RESUMEN, (decrece) 0 Etremo relativo 0 Etremo relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 ; ; 0.45 y f()=(^-5+6)^(1/) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - -4-6 -8 167
5) f( ) = arctg ( ) 1 Domf ( ): INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA f '( ) = f '( ) = f '( ) = ; si f '( ) = 0 = 0 = 0( v. c.) 1 + ( ) + 1 + 1 4 1 + 1 4 4 4 (, 0 ) + (crece) = 0 Máimo relativo ( 0, ) (decrece) π π 6) f( ) = sen( );, f '( ) = cos( ) si f '( ) = 0 cos( ) = 0 =,( n=± 1, ±, ± 5...) Para : n =± 1 =± ( vc..); Para: n=± =± ( vc..) nπ π π 1,, (decrece) 1 Mínimo Absoluto + (crece) 1 Máimo Absoluto, (decrece) 1 Cortes con los ejes: 0 ;0 168
π π 7) f( ) = cos( );, f '( ) = sen( ) si f '( ) = 0 sen( ) = 0 = nπ,( n = 0, ± 1, ±,...) Para : n = 0 = 0;( v. c.); Para : n =± 1 =± π (..) vc 0, (decrece) 1 Mínimo Absoluto, 0 + (crece) 0 1 Máimo Absoluto 0, (decrece) 1 Mínimo Absoluto, + (crece) 0 169
8) f( ) = sen( );(0, π ) f '( ) = cos( ) si f '( ) = 0 cos( ) = 0 cos( ) = = arccos( ) 1 1 1 1 π 5π = (..); vc = (..) vc 0, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) Máimo Absoluto, (decrece) 9) f( ) = + cos( );(0, π ) 1 1 1 1 f '( ) = sen( ) si f '( ) = 0 sen( ) = 0 sen( ) = = arc sen( ) π 5π = (..); vc = (.. vc) 6 6 0, + (crece) Máimo Absoluto, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) Cortes con los ejes: 0 1 170
40) f( ) = sen + ( );(0 sen, π ) [ ] f '( ) = sen( )cos( ) + cos( ) f '( ) = cos( ) sen( ) + 1 si f '( ) = 0 cos( ) [ sen( ) + 1] = 0 π π cos( ) = 0 = ( vc..); = ( vc..) 1 7π 7π 11π sen( ) + 1= 0 sen( ) = = ( vc..); = + π = 6 6 6 0, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece), 0 Máimo Relativo (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) 171
41) f ( ) = sen+ sen( );(0, π) f '( ) = cos( ) + cos( ) f '( ) = cos( ) + (cos ( ) 1) f '( ) = cos( ) + 4cos( ) f '( ) = (cos ( ) + cos( ) 1) si f '( ) = 0 (cos ( ) + cos( ) 1) = 0 cambio : si y = cos( ) f '( ) = (y + y 1) 1 1 ± π 5π y = = cos( ) = ; = ( vc..) y= 1 1= cos( ) = π; =± π( vc..) π 5π tomaremoslos valores queestenen (0, π) = ; = ; = π 0, + (crece).598 Máimo Relativo, (decrece) 0 Etremo relativo, (decrece).598 Mínimo Relativo, + (crece) 4) f ( ) = cos( ) ;( 0, π ) f '( ) = 6 sen( ) f '( ) = 8 sen( ) cos( ) si f '( ) = 0 8 sen( ) cos( ) = 0 = ; = ( v. c.) ; =± π (..); v c = 0 ± π π tomaremos los valores que esten en (0, π) = ; = ; = π π π 17
0, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) Máimo relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) 4) f( ) = sen + cos( );(0, π ) f '( ) = cos( ) sen( ) f '( ) = cos( ) ( sen( )cos( )) f '( ) = cos( ) 4 sen( ) cos( ) f '( ) = cos( )(1 sen( )) si f '( ) = 0 cos( )(1 sen ( )) = 0 0 = cos( ) = ; = ( vc..) 1 sen( ± π π 7π 5π π π 5π π π ) = 0 = 6 ; = 6 ; = 6( vc..) los valoresen(0, π ) = 6; = 6 ; = ; = 0, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) 1 Mínimo Relativo, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) 17
44) f( ) = sen( ) + cos( );(0, π) f '( ) = cos( ) sen( ) si f '( ) = 0 cos( ) sen( ) = 0 = (.); vc = + π = (..) vc π π 5π 4 4 4 0, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) 1 Mínimo Relativo, + (crece) 174
45) f ( ) = 4 sen( ) cos( );(0, π ) f '( ) = 4 cos( ) + sen( ) si f '( ) = 0 4 cos( ) + sen( ) = 0 4 4 4cos( ) = sen( ) tg( ) = = arctg( ) 0.9. como : tag( θ ) es negativa en el II y IV cuadrante = π 0.9 =.1( v. c); = π 0.9 = 5. 5( vc..) 0,.1 + (crece).1 5 Máimo Relativo.1, 5.5 (decrece) 5.5 5 Mínimo Relativo 5.5, + (crece) 46) f( ) = c os ( ) cos( );(0, ) [ ] [ ] f '( ) = cos( ) sen( ) + sen( ) f '( ) = sen( ) cos( ) + 1 si f '( ) = 0 sen( ) cos( ) + 1 = 0 sen( ) = 0 = 0(..); v c =± π (..) vc 1 5π π cos( ) + 1= 0 cos( ) = = ( vc..); =± 5 según(0, π ) = π ( v. c.) ; π π = (..); vc = (.) vc π 175
0, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) 47) f( ) = sen ( );(0, π) f '( ) = 1 cos( ) si f '( ) = 0 1 cos( ) = 0 = ; =± ( vc..) 5π π 5π π tomaremoslos valores queestenen (0, π) = ( vc..) ; = ( vc..) 0, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) Máimo relativo, (decrece) 176
48) f( ) = sen( );( π, π) f '( ) = 1 cos( ) si f '( ) = 0 1 cos( ) = 0 = arccos(1) = 0( vc..); =± π( vc..), 0 + (crece) 0 Etremo Relativo 0, + (crece) [ + ] 49) f( ) = sen( ) 1 cos( ) ;( 0, π ) f sen sen f sen '( ) = cos( )(1+ cos( )) ( ) ( ) '( ) = cos( ) + cos ( ) ( ) f '( ) = cos ( ) + cos( ) 1 si f '( ) = 0 cos ( ) + cos( ) 1= 0 π 5π =± (..); vc =± π(..); vc = (..) vc ; = π 5π π según (0,π ) = π (..); vc = (..); vc = (.) vc 177
0, + (crece) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Máimo Relativo, (decrece) 0 Etremo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) 50 ) f ( ) = e Domf ( ) = f '( ) = e + e f '( ) = e (1 + ); si f '( ) = 0 e (1 + ) = 0 = 1( v. c. ), 1) (decrece) 1 0.68 Mínimo Relativo 1, + (crece) Cortes con los ejes: 0 0 178
51) f( ) = e Domf ( ) = f '( ) = e e f '( ) = e (1 ); si f '( ) = 0 e (1 ) = 0 = 1( vc..),1) + (crece) 1 0.68 Máimo Relativo 1, (decrece) Cortes con los ejes: 0 0 5) f( ) = (1 + e ) Domf () = f '( ) = e + (1 + ) e f '( ) = e ( + ); si f '( ) = 0 e ( + ) = 0 = (..) vc, ) (decrece) 0.15 Mínimo Relativo, + (crece) Cortes con los ejes: 0 1;01 179
5) f( ) = e Domf () = f '( ) = e + e f '( ) e ( si f e v = + ); '( ) = 0 ( + ) = 0 = (. c.); = 0( v. c. ), ) + (crece) 0.54 Máimo Relativo, 0 (decrece) 0 0 Mínimo Relativo 0, + (crece) Cortes con los ejes: 00 54) f( ) = e Domf ( ) = '( ) = '( ) = (1 + ) f e e f e = 1 + ) = 0 =± 1(..); = si f '( ) 0 e ( vc 0( vc..), 1) + (crece) 1 0.68 Máimo Relativo 1, 0 (decrece) 0 0 Mínimo Relativo 0, 1 + (crece) 1 0.68 Mínimo Relativo 1, (decrece) Cortes con los ejes: 00 180
5 f = e Domf ( ): - 5) ( ) ; f = e + e f = e si f = e = '( ) ( ) '( ) ( ) : '( ) 0 ( ) 0 (- ) = 0 = 0( vc..); = ( v. c. ) e (, 0 ) = 0 0 Mínimo relativo ( 0, ) + = 0.54 Mínimo relativo (, ) 56) f( ) (5 = 1) Domf ( ) = e f e e f e '( ) = 10 + (5 1) '( ) = (5 10 1) si f '( ) = 0 e (5 10 1) = 0 0.095( vc..);.095( v. c. ) 181
, 0.095) (decrece) 0.095 1.05 Mínimo Relativo 0.095,.095 + (crece).095.57 Máimo Relativo.095, (decrece) 57) f ( ) = Ln( ); Domf ( ) : (0, ) 1 1 f '( ) = f '( ) = 0 = 0 = 0( v. c.) porque f '( ) 0 0, + (crece) Cortes con los ejes: 01 18
58) f ( ) = Ln( ) Domf ( ):(0, ) f '( ) = Ln( ) + f '( ) = ln( ) + 1; si f '( ) = 0 ln( ) + 1 = 0 ln( ) = 1, aplicando ep. ln( ) 1 1 e = e = 0.6( v..) c e INTERVALO ƒ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN 0, 0.6 0.6 0.4 Mínimo relativo. 0.6, + Cortes con los ejes: 01; 0 0 f = Ln + Domf ( ): 59) ( ) ( 1) f '( ) = si f '( ) = 0 = 0 = 0( vc..) ( + 1) ( + 1) INTERVALO ƒ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, 0 0 0 Mínimo relativo. 0, + 18
60) f( ) L ( = n 4) Domf ( ):(, ) (, ) f '( ) = si f '( ) = 0 = 0 = 0( v. c.), pero noestá en el domf ( ) ( 4) ( 4) f ( ) / en =± ( v. c. ) por def. INTERVALO ƒ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN,, + Cortes con los ejes: 0 5 = 61) f( ) ( ) Ln Domf ( ): ( ) f'( ) = Ln ( ) + f'( ) = Ln ( ) 1 ; sif'( ) 0 Ln ( ) 1 0 + = + = ln( ) 1 1 1 Ln( ) = 1, aplicando ep. e = e = =± e ( vc..); = 0( vc..) e, 0.606) (decrece) 0.606 0.67 Mínimo Relativo 0.606, 0 + (crece) 0 0 Máimo Relativo 0, 0.606 (decrece) X=0.606 0.67 Mínimo Relativo 0.606, (crece) Cortes con los ejes: 01,0 184
Nota: Los ejercicios resueltos por el autor han sido recolectados de varios tetos actualizados de cálculo con geometría analítica. Por favor a los lectores cualquier sugerencia o corrección de algunos de ellos enviarlos a los E mail correspondientes. Gracias por visitar mi página WEB. Dámaso Rojas. Enero 008 185