GUÍA DE: CÁLCULO INTEGRAL Índice. Presentción.. Antiderivd y Primitiv.. Integrl Indefinid (Repso). 4. Constnte de Integrción. 4 5. Integrl Indefinid (Repso). 4 6. Técnics de Integrción. 5 A. Método de Integrción Por Prtes. 5 B. Método de Integrción Por Sstitción Trigonométric. 6 C. Método de Integrción Por Frcciones Prciles Simples. 7 7. Integrl Definid. 7 8. Áres de Sperficies Limitds Por Crvs Plns y Volúmenes de Sólidos de Revolción. 7 8. Áre. 9 8. Volmen. 9 9. Clclo de Volúmenes de Sólidos de Revolción y de Áre entre Crvs.. Longitd de Arco.. Trbjo.. Leyes de Crecimiento y Decimiento. Integrles Dobles. 4. Bibliogrfí 4
. Presentción. El Cálclo Infinitesiml es n de ls herrmients mtemátics más importntes desrrollds por el hombre. Es l bse de mchos cmpos de l cienci, entre ellos l físic, y s so tiene n grn inflenci en mchs áres de l vid modern: científicos, ingenieros e inclso economists lo tilizn pr crer modelos qe se jsten ls sitciones de dirio. Se trt de n ecelente rm pr el estdio de l ntrlez. Como l myorí de los grndes descbrimientos de l cienci, el cálclo infinitesiml no srgió de l noche l mñn, sino qe es obr de mchos mtemáticos de distints épocs. Por ss contribciones decisivs, Isc Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se considern ss pdres con igldd de derechos, pero en s époc estos dos personjes sostvieron n gri dispt por l prioridd. Est polémic, qizá l más célebre de l histori de l cienci, mostró lo mejor y lo peor de mbos personjes e inflyó de mner determinnte en l evolción posterior de ls mtemátics en Erop. En lo qe l dispt sobre l prioridd se refiere, hoy csi todos los estdios están de cerdo en qe Newton y Leibniz desrrollron prlelmente el cálclo sin plgirse: segrmente Newton ntes qe Leibniz, nqe púbico s trbjo mcho despés. Polémics l mrgen, lo cierto es qe mbos feron cpces de constrir los sólidos cimientos del edificio qe es el cálclo infinitesiml. Porqe diferenci de lo qe h ocrrido con otrs teorís científics, prece difícil qe el cálclo vy sfrir n profndo cmbio en el ftro. Si Leibniz y Newton levntrn l cbez, estrín orgllosos de qe el cálclo infinitesiml hoy en dí sig siendo en esenci igl lo qe ellos mismos desrrollron nqe no deberín estrlo tnto de l polémic qe mntvieron y ss consecencis (Dniel Mrtín Rein 7). Consideremos qí qe, l igl qe en l ritmétic hy operciones mtmente inverss, en el cálclo ps l mismo. L operción invers del Cálclo Diferencil es el Cálclo Integrl y vicevers. Es decir dd l diferencil, encontrr l fnción primitiv de l epresión diferencil dd. En 665 Newton sentó ls bses del cálclo infinitesiml en torno l novedoso concepto de flión, lo qe hoy en dí se conoce como derivd, l pendiente de l rect tngente n fnción en n pnto. Revist cómo ves? Así fe Newton vs. Leibniz, págins 6-9.
. ANTIDERIVADA Y PRIMITIVA. Encentre l Antiderivd de cd n de ls sigientes fnciones.. f()= - +5 b. f()= 7 6-4 4 8 c. f()= 78 + 96 d. f()= ( 7 7 5 4 5 ++5) e. f() f. f() 4. Encentr l primitiv de: ) f ( ) 6 b) y Csc c) m. INTEGRAL INDEFINIDA. Reselv ls sigientes integrles. i) e d v) be 4d i) d 5 5 iii) d 5 5 t iv) dt 4 t d 4 d vii) viii) send i) cos ii) 4 e dn e send sectg d v) vi) e cos sec i) e d ) 6 d d sen d d iii) iv) 8 5 d vii) viii) d 5 li) cos send lii) sen 6.cos 6d d d ii) iii) iv) 4 5. d d d vi) vii) 5. d viii) 6 5 ) 7 d d 7 i) ii) d v) d d vi) d 5d i) ) 9 4 cos t iii) d. ln iv) dt sent d d vii) viii) e 6 9 csc d 9 6 d ii) 4 send d v) vi) cos cos i) i) 4 sen cos d l) sen cosd liii) ctg csc d
4. CONSTANTE DE INTEGRACION. dy. Determinr Y si = +, d y=4, =. b. Obteng Y si dy = d, y=5, =. 4. Hll l ección de l fnción cy tngente tiene n pendiente de -/ + pr cd vlor de y cy gráfic ps por el pnto (,). 5. Encentr l ección de l fnción cy gráfic tiene n mínimo reltivo en = y n máimo en =4. 6. Se estim qe dentro de t meses l poblción de n cierto peblo estrá cmbindo n ritmo de 4+5t / persons por mes. Si l poblción ctl es de, Cál será l poblción dentro de 8 meses? 7. Un estdio mbientl de n ciert comnidd sgiere qe dentro de t ños el nivel de monóido de crbono en el ire estrá cmbindo n ritmo de. t+. prtes por millón por ño. Si el nivel ctl de monóido de crbono en el ire es de.4 prtes por millón, Cál será el nivel dentro de tres ños? 8. El vlor de revent de n ciert mqinri indstril decrece n ritmo qe cmbi con el tiempo. Cndo l mqinri tiene t ños, el ritmo l qe est cmbindo s vlor es (t-) dólres por ño. Si l mqinri se compro nev por dólres, Cánto vldrá ños despés? 9. Se lnz n bol hci rrib con n velocidd inicil de 64 pies/seg., y desde n ltr inicil de 8 pies. ) Hll l fnción posición qe describe l ltr s en fnción de tiempo t. b) Cándo lleg l bol l selo? (Acelerción de l grvedd= pies/s ). Hllr l fnción cy l primer derivd se -+5, y teng el vlor cndo =.. Determinr l ección de l crv de l segnd derivd cy tngente en cd pnto teng de pendiente. 5. INTEGRAL INDEFINIDA (Repso).. Obteng ls sigientes integrles. 4
4d ) 5 b) d 9 sen 4d e) t dt t f) 8 cos 4 tdt 5 c) d) d 5t 4 5dt g) d h) t e 5e 4 e sec i) d j) d e k) 7d 7 l) d e tg7 5 9send ds m) d n) ñ) 4sen t cos tdt 5 cos o) cos s p) sec 9t tg9tdt q) tg4 d r) 4dt sen t s) cos 4sds sen d csc t) sen d ) v) 5dt d ctg w) t 4t 58 d d 4d d ) y) z) b) 5 9 ds dt d c) d) e) d 8 6s 4t 4t 5 f) e g) e k) cos 4 d 5d 5 h) 8 4d i) 4 d l) j) d 4 d m) 8 cos d n) sen d 6. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN A. Clclr ls sigientes integrles tilizndo el Método de Integrción por prtes.. nd b. sen d c. sec d d. nd e. rcctg d f. rcsec d t. rc csc dt h. rctg d i. e d j. e cos d k. cos d l. e d m. sen4d n. cos d ñ. n4d o. n 9 d p. 7 4 d 4 q. 5 e d r. sen d s. sec d 5 t. rctg5 d. 4e cos 9d 9 v. sec 4d w. 4 rcsen d. cos d 5 y. d 7 csc z. e d 5
b. nd c. n d d. e d e. e t cos tdt B. Clclr ls sigientes integrles tilizndo el Método de Integrción por Sstitción Trigonométric, de epresiones qe contienen rdicles de l form:,,. Tipo de ríz fnción Tringlo rectánglo Fnción ilir Identidd trigonométric tn z z hip. sec z sec A tn A ct.dyc. sen z z ct. dyc. cos z sen A cos A hip. - ct. op. sec z tn z - ct. dyc. z sec A tn A En los dibjos de los triánglos l ríz qe está encerrd en el cdro se clcl con el teorem de Pitágors. 5. 4 d b. d c. d 64 d. d 49 d e. 4 6 f. d g. d 9 8 h. d i. d j. 9 d k. 7d l. 4d 7 m. d 4 6 n. d ñ. d 6
d o. 6 p. d 5 6 q. d r. 9 d s. 7 d C. Clclr ls sigientes integrles tilizndo el Método de Integrción por Descomposición en Frcciones Prciles simples. 7d. d b. 4 5 4 8 e. d f. 7 4d i. d 6 j. 5 8 9 8 m. d 4 p. d. d n. d d c. d 7 d. 6 5 7 g. d h. d 9 6 5 k. d d l. 6 9 d 4d ñ. o. 4 7. INTEGRAL DEFINIDA. Obtén ls sigientes integrles definids ) d b) d e) d 6 d i) 9 / 4 f) sen d / j) d m) d n) d 4 d c) d g) 4 k) d d ñ) d d) e d h) d 5 4 8 l) d o) d 8. ÁREAS DE SUPERFICIES LIMITADAS POR CURVAS PLANAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 7
. Encentre el áre de l región R bjo l crv y 4 entre y. Determinr el áre bjo l crv y f ( ) entre y. Hllr el áre limitd por l prábol y y l rect y 4. Clcle el áre de l región cotd por ls gráfics de ls ecciones y y y 5. Hllr el áre entre l prábol y 6 5 y l líne y 5 6. Encentre el áre de l región cotd entre ls gráfics de 6 y y y 7. Hllr el áre de l región limitd por el eje, l crv y 6 y ls línes verticles y 4 8. encentre el áre de l región cotd por ls gráfics de ls ecciones y 4 y y 9. Se f ( ) Clcle el volmen del sólido generdo l girr l región bjo l gráfic de f entre y lrededor del eje.. Encentre el volmen del sólido generdo por l rotción de l región limitd por l crv y el eje de ls y y l rect y en torno del eje de ls y. encentre el volmen del sólido generdo por l rotción de l región limitd por ls prábols y y y 8 lrededor del eje de ls. determinr el volmen del sólido qe se form l hcer girr lrededor del eje l región limitd por ls crvs y y y. Hllr el volmen qe se form l hcer girr lrededor del eje y el áre limitd por l crv y, el eje y y l rect y 4 4. L región cotd por ls gráfics y, y, y gir lrededor del eje. Clcle el volmen del sólido resltnte. 5. L región contenid en el primer cdrnte cotd por ls gráfics de y y 8 y gir lrededor del eje y.clcle el volmen del sólido resltnte. 8
8. ÁREA. Escrib l integrl definid qe condzc obtener el áre de l región dd. (Clcle el áre). =-y-y Y = - Y =. Encentre el áre de l región encerrd entre l crv y = + y y y el eje. Determinr el áre bjo l crv y= - + entre = - y = y el eje. 4. Hllr el áre limitd por l prábol y y l rect y 5. Clcle el áre de l región cotd por ls gráfics de ls ecciones y y y 6. Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de y = +, y = -, =, =. 7. Obteng el áre encerrd entre y = - ++ y el eje. 8. VOLUMEN. Clcle el volmen del sólido qe se form l girr l región dd lrededor del ) eje b) el eje y. 9
. Clcle el volmen del sólido qe se form l girr l región dd lrededor del eje y.. Encontrr el volmen generdo por l elipse 9 + 6y = 44, gir lrededor del eje. 4. Hllr el volmen del sólido formdo l girr lrededor del eje, l región limitd por l gráfic de f( ) sen y el eje ( ). 5. Spong qe el circlo y gir l rededor del eje y. Clcle el volmen del sólido resltnte. 6. Se R l región limitd por y= 4 - y y=. Clcle el volmen de los sólidos obtenidos cndo R gir lrededor de : )el eje y b) l rect y = - c) l rect y = 7 7. Clcle el volmen del sólido qe se form l hcer girr l región limitd por y = -, el eje y el eje y. Cndo l región gir lrededor de l rect dd. ) eje y b) eje c) y= 8. Clcle el volmen del sólido qe se form l girr l región dd lrededor del eje. 9. Obteng el volmen qe se form l girr l región encerrd entre ls crvs y=, y=4- lrededor del eje y.
. Obteng el volmen qe se form l girr l región encerrd entre ls crvs y= 4+, y=, gir lrededor del eje. 9. CALCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Y DE AREA ENTRE CURVAS. Encentre el volmen generdo por l región encerrd por ls crvs y=, y=, = cndo gir lrededor del ) eje b) eje y c) rect y=8. Resp. c) v=87.65.. Hllr el áre entre l prábol y y l líne y.. Encentre el áre de l región cotd entre ls gráfics de y = - 4+ y y = - ++. 4. Hllr el áre de l región limitd entre ls gráfics de ls crvs y, y. 5. Obteng el volmen del sólido de revolción qe se form l hcer girr l región encerrd entre ls rects y=5, y = 6-, eje, eje y ) lrededor del eje y, b) lrededor del eje. 6. El fro: Clcle l cntidd de espcio qe hy en el interior de n fro cyo diámetro es de 6cm. y cy profndidd es de 8cm. Resp. 56 π cm 7. El Perfme: Ciert botell de perfme tiene form de n cilindro circlr sobre el cl v n segmento esférico, sobre este s vez v n cilindro más peqeño, como se mestr en l figr. Determine el volmen de l botell. Resp. (7 6 ) π / cm 8. El problem del yoyo: Se tll n yoyo de n esfer de mder recortndo los polos y hciendo n cnl lrededor del ecdor como se mestr en el digrm. Determine el volmen del yoyo, sponiendo qe el rdio de l esfer originl es de dm. 54 Resp. dm 56 Esqem: Problem 6 Esqem: Problem 7 Esqem: Problem 8
. LONGITUD DE ARCO. Clclr l longitd de rco de l crv: ) = t, y= t ; t b) = cos t, y= sen t ; t π c) = 5 cos t, y= 5sen t ; t Figr ) - < t < Figr b) < t < Figr c) < t <. Encentre l longitd de rco de l cicloide qe tiene ecciones prmétrics =t sen t, y= -cos t, t.. TRABAJO. Un resorte cy longitd ntrl es de 4 plgds ejerce n ferz de 5 librs cndo se estir plgds con respecto s longitd ntrl. ) Encentre l constnte del resorte k. Resp. k=.5 b) Cánto trbjo se necesit pr estirr el resorte de s longitd ntrl 4 plgds de longitd? Resp. W=8lb/pie.. Pr estirr n peqeño resorte de s longitd ntrl de 6cm. A n de 8cm. Se necesit n ferz de 9 dins. Clcle el trbjo relizdo l estirr el resorte () de s longitd ntrl n de cm. (b) de n longitd de 7cm. A n de 9cm. Resp. 6ergios, 8ergios.
. Un tnqe de g cilíndrico de pies de rdio y pies de ltr se llen hst l mitd con g. Cánto trbjo se necesit pr bomber tod el g sobre el borde sperior del tnqe? Densidd del g = 6.4lb/pie. Resp. W= 6 pies-lb. LEYES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. El número de bcteris en n cltivo ment de 6 8 en hrs.encontrr n fórml pr el número de bcteris l tiempo t, sponiendo qe en cd momento l ts de crecimiento es directmente proporcionl l número de bcteris. dn Cál será el número de bcteris l cbo de ctro hors? k N Resp. 54 dt. L ley de Newton del enfrimiento firm qe l rpidez con qe n objeto se enfrí es directmente proporcionl l diferenci de tempertrs entre el objeto y el medio qe lo rode. L tempertr de n objeto bj de 5 ºF ºF en medi hor, estndo rodedo por el ire n tempertr de 75ºF. Clcle s tempertr l cbo de otr medi hor. dt k (T - Tm) dt. Un cerpo, cy tempertr es de º F, se enfrí en el ire, qe tiene n tempertr de 6ºF, hst n tempertr ºF en min. Clclr el tiempo en el qe lcnz n tempertr de 9ºF. Resp.54.54min. dt k (T - Tm) dt 4. Un plc de metl se enfrí de 8ºC 65ºC en min. Al estr roded de ire n tempertr de 5ºC. Utilice l ley de enfrimiento de Newton pr estimr l tempertr l cbo de n hor de enfrimiento. Cándo llegr l tempertr 4ºC? dt k (T - Tm) dt. INTEGRALES DOBLES. Clcl el vlor de ls sigientes integrles ) ( 5) dyd b ) dyd c ) 5 y y yddy 4 cos d) sen d d
4. BIBLIOGRAFÍA. Bibliogrfí Básic. Progrm de Estdios de l Unidd de Aprendizje: Cálclo Integrl. Méico. 8. Prcell, E. J. et l. (). Cálclo Diferencil e Integrl. Méico. PEARSON. Prentice-Hll. Lehmnn, Ch. (8). Cálclo Diferencil e Integrl. Méico. Lims, Grpo Norieg Editores Leithold, Lois. (4). Cálclo. Ed. Oford. Swokowsky, E. W. (989). Cálclo con Geometrí Anlític. Méico: Grpo Editoril Iberoméric. Becerr, E.,J.M. (5). Mtemátics VI n pseo sencillo e introdctorio l cálclo. Universidd Ncionl Atónom de Méico. Revist cómoves? Año 9, número, jnio de 7. Bibliogrfí Virtl. Sitios sgeridos. GeoGebr 5. Sistem Algebrico Comptcionl (CAS). <https://es.wikipedi.org/wiki/> <www.librosmrvillosos.com/> <http://recrsostic.edcción.es/descrtes/web/inde.html> <http://www.wolfrmlph.com/> 4