CONTENIDO. TEORÍ DEL RIESGO Y ÁRBOLES DE DECISIÓN.... ELEMENTOS ESTRUCTURLES DE JUEGOS EN RIESGO.... DOMINCIÓN SIMPLE Y ESTOCÁSTIC.... DOMINCIÓN ESTOCÁSTIC....4 VLOR ESPERDO DE L INFORMCIÓN PERFECT....4. REIP: RESULTDO ESPERDO CON INFORMCIÓN PERFECT...4.4. RER: RESULTDO ESPERDO EN RIESGO...4.4. VIP: VLOR DE L INFORMCIÓN PERFECT...4.4.4 CIP: COSTE DE L INFORMCIÓN PERFECT...5.5 CRITERIOS DE DECISIÓN LTERNTIVOS...5.5. CRITERIO DEL ÓPTIMO VLOR MEDIO CON VRINZ COTD...5.5. CRITERIO DE VRINZ MÍNIM CON VLOR MEDIO COTDO...6.6 ÁRBOLES DE DECISIÓN...6.7 CSOS DE ESTUDIO...7.7. CSO #: INVERSIÓN...7.7. CSO #: PRODUCCIÓN...0.7. CSO #: CONCURSO PÚBLICO....7.4 CSO # 4: DOMINCIÓN ESTOCÁSTIC...7.8 EJERCICIO...8.8. OPERDORES CELULRES...8.8. MPLICIÓN PLNT...9
. TEORÍ DEL RIESGO Y ÁRBOLES DE DECISIÓN. ELEMENTOS ESTRUCTURLES DE JUEGOS EN RIESGO. DOMINCIÓN SIMPLE Y ESTOCÁSTIC Defncón : Domnacón mple Sea y do alternatva de un problema de decón en ambente de rego con la mma dtrbucón de probabldad. Se dce que, cuando lo reultado que e obtenen con domna (de manera mple) a y e denota por on empre mejore o guale que lo que e obtenen con r r j y, r > r ;. Matemátcamente e ecrbe j j j0 j0 j0 alternatvamente e factble tambén exprearlo como r j r j j y j0, r j0 < r j0. El crtero de domnacón mple partcona el conjunto de alternatva en do ubconjunto:. El conjunto de alternatva admble, o conjunto de alternatva que no etán domnada por nnguna otra.. El conjunto de alternatva no admble, o conjunto de alternatva domnada por alguna otra.. DOMINCIÓN ESTOCÁSTIC Defncón : Domnacón etocátca para la contante C Sean y do alternatva de un problema de decón en ambente de rego. Se dce que domna etocátcamente a para un valor C, y e denota e/ C, cuando la probabldad de conegur reultado uperore a C con e empre mejor que la probabldad de conegur reultado uperore a C con, e decr: e/ C P( r > C) > P( r > C) o lo
que e equvalente, decr que no domna e puede ecrbr como e/ C Pr ( > C) < Pr ( > C). quí r repreenta lo reultado que e conguen con lo reultado que e conguen con. y r repreenta Defncón : Domnacón etocátca Decmo que domna etocátcamente a, y notamo de C, la probabldad de conegur reultado uperore a C con probabldad de conegur reultado uperore a C con e, cuando, para cualquer valor e empre mejor que la ; e decr, e Pr ( > C) Pr ( > C) C y C0, P( r > C0) > P( r > C0). Tambén e váldo que e P( r > C) P( r > C) C y C0, P( r > C0) < P( r > C0) en el cao de no domnacón de la prmera obre la egunda. Nota:. Recuérdee que, para cualquer alternatva, la probabldad de que u reultado ean uperore a un certo valor C, dada por Pr ( > C), no e otra coa que el complemento a la undad de la funcón de dtrbucón de ea alternatva aplcada a ee valor C, e decr: Pr ( > C) = F( C). En conecuenca, el anteror crtero puede e expreare (equvalentemente) de la forma: F ( C) F ( C) C y 0 0 0 e C, F ( C ) < F ( C ) y para lo reultado defavorable F ( C) F ( C) C C, F ( C ) > F ( C ). y 0 0 0. Por ello, a ete crtero tambén e le denomna crtero de domnacón en probabldad o dtrbucón.. De eta manera, un crtero de decón en ambente de rego erá váldo propone como alternatva óptma a una alternatva que no eté domnada n mple n etocátcamente..4 VLOR ESPERDO DE L INFORMCIÓN PERFECT E evdente que un decor tomaría empre la mejor decón upera el etado de la naturaleza que va a preentare, e decr, tuvera nformacón perfecta de u entorno. í, todo decor,
una vez reuelto el problema, e plantea puede obtener má nformacón obre el etado de la naturaleza, de manera que lo deal ería que tuvera certeza obre la preentacón de la concrecone. Por tanto, toda mejora en la nformacón obre el entorno upone, en general, una mejora en lo reultado obtendo. En conecuenca, todo decor podría etar ntereado en obtener nformacón adconal que le permtee un mejor conocmento del entorno. Ea nformacón adconal puede er de do tpo:. Informacón adconal de carácter perfecto o nformacón certa: e caracterza porque le permte al decor comportare como upera exactamente qué concrecón del etado de la naturaleza va a preentare, e decr, como el problema e planteae en ambente de certeza.. Informacón adconal de carácter mperfecto o nformacón aleatora: e caracterza porque tene dtnta poble concrecone, permténdole al decor rectfcar la dtrbucón de probabldad que en un prncpo otorgó el etado de la naturaleza (Teorema de Baye). hora ben, toda nformacón adconal tene un cote. Por ello, el decor, ante de contar con ea nformacón, debe conocer el valor que para él tene y determnar le nterea o no comprarla. Para valorar la nformacón adconal de carácter perfecto ntroducmo lo guente concepto:.4. REIP: reultado eperado con nformacón perfecta Repreenta la cantdad que el decor epera ganar upera con certeza qué concrecón del etado de la naturaleza va a preentare. Se calcula como REIP = E r j * donde r * = mejor ( r ) j. S E e una varable aleatora dcreta entonce REIP = r * P mentra j j que S E e una varable aleatora contnua entonce REIP = r * f ( E ) d. Cabe advertr que j J j j j lo reultado on favorable, ee <<mejor>> e máxmo y, en cao contraro, e mínmo..4. RER: reultado eperado en rego j j j.4. VIP: Valor de la nformacón perfecta Repreenta el valor que la nformacón adconal perfecta tene para el decor porque upone la mejora en lo reultado eperado que obtendría con ea nformacón. Se calcula, por tanto, 4
como VIP = REIP RER. Ete valor repreenta la cantdad máxma que el decor etará dpueto a pagar por la nformacón adconal de carácter perfecto..4.4 CIP: cote de la nformacón perfecta Repreenta la cantdad de dnero que le cueta al decor adqurr la nformacón perfecta. Por tanto el crtero de decón etá dado por:. S CIP VIP, el decor adqurrá la nformacón perfecta.. S CIP > VIP, el decor no adqurrá la nformacón perfecta..5 CRITERIOS DE DECISIÓN LTERNTIVOS.5. Crtero del óptmo valor medo con varanza acotada Ete crtero e baa en que el decor no e capaz de aumr cualquer rego; por ello, fja una cota M para el mmo, de manera que una alternatva no erá valda para él el rego que entraña e uperor a ea cota, rego meddo a travé de la varanza de cada alternatva. Sea una alternatva cualquera del conjunto de alternatva de un problema de decón en ambente de rego. cada alternatva le aocamo un par de número formado por u meda y u varanza, eto e, µ σ (, ). Ete crtero hace una partcón del conjunto de alternatva en do ubconjunto:. El conjunto de alternatva válda, formado por aquella alternatva con varanza menor o gual que M. = { / σ M} v. El conjunto de alternatva no válda, formado por aquella alternatva con varanza mayor que M. = { / σ > M} nv Se verfca, por tanto = v nv y = v nv = 0. í, la alternatva óptma egún ete crtero erá aquella, de entre la válda, que preente un mejor valor medo, e decr: mejor µ *. Dependendo de lo reultado on favorable o defavorable, tendremo: Reultado favorable: Reultado defavorable: máx µ * mín µ * v v 5
.5. Crtero de varanza mínma con valor medo acotado Ete crtero e baa en que el decor no e conforma con cualquer reultado eperado, no que pretende que nunca ea peor que una determnada cuantía. Por ello, fja una cota M para el mmo, de manera que una alternatva no erá válda para él el reultado eperado de ea alternatva e peor que ea cota, que e la peor exgda. Sea una alternatva cualquera del conjunto de alternatva de un problema de decón en ambente de rego. cada alternatva le aocamo un par de número que forman u meda y u varanza ( µ, σ ). Ete crtero hace una partcón del conjunto de alternatva en do ubconjunto:. S lo reultado on favorable. El conjunto de alternatva válda, formado por aquella alternatva con eperanza mayor o gual que M. = { / µ M}. El v conjunto de alternatva no válda, formado por aquella alternatva con eperanza menor que M. = { / µ < M} nv. S lo reultado on defavorable. El conjunto de alternatva válda, formado por aquella alternatva con eperanza menor o gual que M. = { / µ M}. El v conjunto de alternatva no válda, formado por aquella alternatva con eperanza mayor que M. = { / µ > M}. nv Se verfca, por tanto = v nv y = v nv = 0. í, la alternatva óptma egún ete crtero erá aquella, de entre la válda, que preente una mínma varanza, e decr, mín σ *. v.6 ÁRBOLES DE DECISIÓN El modelo de decón baado en matrce e adecuado para juego encllo pero dejan de er útle en tuacone má compleja. En ete últmo cao lo árbole de decón e conttuyen en la etructura de dato por excelenca para repreentar la tuacón en la que el jugador partcpará. La Fgura muetra la repreentacón de un juego complejo medante el uo de una etructura de dato en forma de árbol. 6
.7 CSOS DE ESTUDIO.7. Cao #: Inverón Un ndvduo ha ganado en la lotería prmtva un mllón de euro. El drector de u agenca bancara le ha convencdo de que lo mejor que puede hacer con el dnero e nvertrlo en un nuevo fondo de nverón que tene la guente caracterítca:. La nverón e anual.. un porcentaje del captal e nverte en renta fja, que tene una remuneracón garantzada del 0%.. el reto del captal e nverte en renta varable. Sobre la remuneracón de eta parte de la nverón, eta perona cuenta con la guente nformacón: la propaganda que hace el banco, e que la rentabldad erá de un 5% anual. No obtante, una revta económca, baándoe en la tendenca actual de lo mercado nternaconale y en la prevone polítca, afrma que tan ólo erá de un 4%. Para eta perona la probabldad de que el banco tanga razón en u prevone e la mma que la probabldad de que acerte la revta. 4. El fondo tene do modaldade: Opcón : el 0% del captal e nverte en reta fja y el 70% retante en renta varable. Opcón B: el 60% del captal e nverte en renta fja y el 40% retante en renta varable. Tenendo en cuenta eta nformacón, contete la guente pregunta: a) Cuále on lo benefco que el ndvduo puede conegur egún la opcón que elja? b) S baa u decón en el crtero del valor monetaro eperado, cuál erá la decón óptma? c) Cuánto dnero etaría dpueto a pagar por una nformacón certa obre la evolucón del mercado de renta varable en le próxmo año? Solucón a) Vamo a comenzar dentfcando lo elemento de ete problema de decón, que on lo guente: - Decor: El ganador de la lotería prmtva 7
- lternatva: opcón en la cual nvertr : nvertr en la opcón : nvertr en la opcón B - Etado de la naturaleza: Será la evolucón del mercado fnancero, que, en ete cao, tene do poble concrecone: E : conegur una rentabldad para la nverón en renta var able del 5% E : conegur una rentabldad para la nverón en renta varable del 4% La probabldad de que ocurra una u otra tuacón e conocda por el decor, ya que condera que ) = ) = 0.5, por tanto, e un problema de decón en ambente de rego. - Crtero de evaluacón: erá la rentabldad de la nverón elegda. Para calcular lo benefco que el decor puede conegur tenemo en cuenta que: renta fja: 00.000 euro rentabldad: 0.000 euro (0%) Opcón : renta varable: 700.000 euro rentabldad: 05.000 euro (5%) 8.000 euro (4%) renta fja: 600.000 euro rentabldad: 60.000 euro (0%) Opcón B: renta varable: 400.000 euro rentabldad: 60.000 euro (5%) 6.000 euro (4%) Como lo conjunto de alternatva y de etado de la naturaleza on dcreto y únco, podemo plantear el problema de decón medante una matrz de reultado, en la aparecerán lo poble benefco egún la alternatva elegda y el etado de la naturaleza que e preente. Eta matrz, en mle de euro erá: 0,5 0,5 / E E E 5 58 0 76 b) El crtero de decón del valor monetaro eperado ( VME) repreenta cada alternatva por un únco valor, u promedo o valor eperado. í, en nuetro problema tendremo: 8
E( ) = r p = 5 0,5 + 58 0,5 = 96,5 j j= j j= j E ( ) = r p = 0 0,5 + 76 0,5 = 98 La alternatva óptma erá a la que le correponda un óptmo reultado eperado: j * opt máxe = ( ) = 98 Luego, quere maxmzar u benefco eperado, deberá nvertr u dnero en la modaldad B. c) El decor eta dpueto a pagar, como mucho, por la nformacón certa obre la evolucón del mercado fnancero (etado de la naturaleza), el valor que le otorgue a dcha nformacón ( VIP ). Ete valor, recordemo, no e má que mejora que el decor epera conegur en el reultado económco al contar con dcha nformacón. Matemátcamente lo podemo calcular como la dferenca entre lo que epera ganar tuvera la nformacón perfecta ( REIP) y lo que epera ganar en cao de no tenerla ( RER ). Calculamo cada uno de eto térmno * j j= VIP = REIP RER RER = opt E( ) = 98 REIP = r p = 5 0,5 + 76 0,5 = 05,5 j * para j = r = máx r = máx {5,0} = 5 donde * para j = r = máx r = máx {58, 76} = 76 Por tanto VIP = 05,5 98 = 7,5, e decr, el decor etaría dpueto a pagar por dcha nformacón perfecta hata 7.500 euro. 9
.7. Cao #: Produccón Una emprea debe decdr al comenzo del año el número n de artículo que producrá. De acuerdo con u experenca ha etmado que la venta aleatora e dtrbuyen egún una ley normal de meda 0,8n y varanza n 0 5 6. La emprea no puede fabrcar má de.000 artículo al año y cada artículo venddo produce un benefco de 0.000 euro. Se condera que uno benefco de 5 mllone de euro on ufcente y una varanza de benefco uperor a 90 e naceptable. Dcuta el problema planteado, tenendo en cuenta el <<ambente>> de la decón, egún lo dtnto crtero aplcable. Solucón Elemento del problema: - Decor: La emprea - lternatva: número de undade n que debe producr y que etará comprenddo entre 0 y.000. - Etado de la naturaleza: número de undade vendda ξ. - Reultado: benefco = 0.000ξ. - Clafcacón del problema: a cada alternatva n le correponde nfnto reultado, ya que on nfnto lo etado de la naturaleza, pero conocemo la dtrbucón de probabldad de dcho etado que e normal de meda 0,8n y varanza tanto, e un problema de decón en ambente de rego. n 0 5 6, por - Crtero de decón: vamo a utlzar lo crtero del valor medo, máxmo valor medo con varanza acotada y mínma varanza con valor medo acotado. a) Crtero del valor monetaro eperado ocamo a cada alternatva un únco reultado, el reultado eperado de dcha alternatva; de eta forma tranformamo el problema de decón en ambente de certeza, optando por aquella alternatva que tene aocado el óptmo reultado eperado. En nuetro cao: E(0.000 ξ ) = 0.000 E( ξ ) = 0.000 0,8 n= 4.000n Como el número máxmo de artículo que e pueden fabrcar al año e.000, no 0
pudendo er negatvo, y lo reultado (benefco) uponen conecuenca favorable para el decor, el crtero de valor medo conduce al problema de optmzacón matemátca: máx 4.000n a.. 0 n.000 Evdentemente la funcón objetvo alcanza u máxmo en el mayor valor poble de n, e decr en n =.000. por tanto, la emprea aplca el crtero de valor medo, debe fabrcar.000 undade. b) Crtero de máxmo valor medo con varanza acotada Tenemo que determnar el número de artículo a producr que maxmzan lo benefco eperado endo la varanza de lo ngreo no uperor a Como 90. V(0.000 ξ) 0.000 V( ) 9 0 n 0 9 0 n 8 5 6 5 = ξ = =, el crtero de máxmo valor medo con varanza acotada conduce al problema de optmzacón matemátca: máx 4.000n a.. 90. n 90 5 n.000 n 0 Como 90 9.0 5 n 5 0 n 0 n 00, el problema e reduce a: máx 4.000n a.. 0 n 00 Cuya olucón e n=00. por tanto, la emprea trata de maxmzar el benefco eperado, endo la varanza de lo benefco no uperor a artículo. 90 debe fabrcar 00 c) Crtero de la máxma varanza con valor medo acotado Hay que determnar el número de artículo a fabrcar que mnmzan la varanza de lo benefco endo lo benefco eperado de al meno 5 mllone de euro. E decr, tenemo que reolver el problema de optmzacón matemátca:
mín 90 n 5 a.. 4.000n 5.000.000 n.000 E decr: La funcón n = 65. mín 5 900n a.. 65 n.000 900n alcanza u mínmo valor en el menor valor poble de n, e decr, en Como e un problema de mnmzacón con retrccone de degualdad e podrían haber determnado lo punto crítco aplcando la condcone neceara de Kuhn-Tucer. Se reuelve, a modo de ejemplo, guendo dcha metodología úncamente en ete últmo cao, ben e podría haber aplcado a lo demá. Lnλµ n λ n µ n (,, ) = 900 ( + 65) (.000) La condcone de Kuhn-Tucer para el problema conderado on: L. = + λ λ = n. λ ( n+ 65) = 0 ( a ) 4 4.500n 0 λ ( n.000) = 0 ( b ). n 65 ( a) n.000 ( b) λ 0, λ 0 4. De la egunda condcón obtenemo: λ = 0 o n = 65 y λ = 0 o n =.000 Tenemo, entonce, cuatro pobldade: λ = 0 λ = 0; B) λ = 0 yn=.000 ; C) n= 65 yλ = 0 ; D) n=.000 y n= 65. ) y La cuarta pobldad no e puede dar; vamo a analzar la otra tre: ) S λ = 0 y λ = 0, uttuyendo en la prmera condcón obtenemo:
L = + = n 4 4.500n λ λ 0 4 4.500n = 0 n= 0 El punto obtendo P (0;0;0) no e un punto crítco ya que no verfca la prmera retrccón (a). B) S λ = 0 yn=.000, uttuyendo en la prmera condcón obtenemo: L = 4 4.500n + λ λ = 4.500 0 λ = 0 λ = 4.500 0 > 0 n No verfca la cuarta condcón, por tanto el punto obtendo P (.000;0;4.500 0 ) no e un punto crítco. C) S n= 65 yλ = 0, uttuyendo en la prmera condcón obtenemo: L = 4 4 4.500n + λ λ = 4.500.65 + λ = 4 0 λ = 4.500 65 n 4 El punto P (5; 4.500.65 n ;0) e un punto crítco, ya que verfca la cuatro condcone de Kuhn-Tucer. Por tanto el únco canddato a punto crítco e P 4 (5; 4.500.65 n ;0) la funcón tene un mínmo vamo a analzar la convexdad del problema. La funcón objetvo e convexa ya que u egunda dervada. Para ver en ee punto (8.000 n ) e potva n [65,.000]. Como el conjunto factble tambén e convexo, ya que la retrccone on lneale, el problema e convexo para mínmo. Por tanto la f uncón objetvo alcanza un mínmo global en el punto crítco. S la emprea trata de mnmzar la varanza de lo benefco alcanzado uno benefco eperado de al meno 5 mllone de euro, debe fabrcar 65 undade..7. Cao #: Concuro públco Una emprea tene la pobldad de preentare a un concuro públco para la adjudcacón del ervco nternaconal de correo aéreo, que le upondría un benefco de 5 mllone de euro al año. Para preentare al concuro debe preparar un proyecto que le cotará medo mllón de euro, conderando que la probabldad de conegur el contrato e de un 70%.
La emprea no poee avone ufcente para cubrr el ervco por lo que en cao de conegur el contrato, debe decdr compra lo avone que le falta o lo alqula a una emprea naconal o extranjera. El cote de cada opcón planteada e de,.5 y. mllone de euro repectvamente. La emprea abe que tene una probabldad de un 50% del mporte de la compra, de un 0% del preco del alquler el proveedor e una emprea naconal y de un 0% e extranjera. En ete últmo cao, tambén tene que tener en cuenta que el pago e realzará en dólare y que una devaluacón del euro upondrá una pérdda adconal de 00.000 euro. Según la tuacón actual del mercado monetaro, eta emprea condera que la probabldad de una devaluacón del euro e de un 75%. a) Qué decón deberá tomar la emprea? b) S pudera dponer de nformacón perfecta obre la conceón de la ubvencone, Cuánto etaría dpueto a pagar por ella? Solucón a) Ete e un problema de decón ecuencal, ya que la emprea debe tomar do decone nterdependente: prmero debe decdr realza el proyecto (e preenta al concuro) y, en cao de conegur el contrato, compra o alqula a una emprea naconal o extranjera lo avone que le faltan. La forma de repreentar y reolver ete tpo de problema e medante el árbol de decón. µ ) = 0,5 4) = 0,5,5 ) = 0,7 4 µ 4 ) = 0,5 4) = 0,5,45 µ 6 5 µ 5 ) = 0,5 µ 5) = 0,75 6) = 0,5,6,46 4) = 0,5 5) = 0,75,0 ) = 0, µ 6) = 0,5,0-0,5 µ 7 0 Fgura : Árbol de decón típco 4
Donde: : preentare al concuro. : no preentare al concuro : comprar lo avone. : 4 alqular lo avone a una emprea naconal. : 5 alqular lo avone a una emprea extranjera. E : Tener éxto. E : no tener éxto. E : conegur la ubvencón. E : 4 no conegur la ubvencón. E : devaluacón 5 E : 6 no devaluacón. Como conocemo la probabldade de ocurrenca de cada etado de la naturaleza (ambente de rego), vamo a utlzar el crtero de valor monetaro eperado para oluconar el problema. Ello upone que el valor de lo nodo de ncertdumbre erá el promedo de lo reultado a lo que conducen la dferente rama que parten de dcho nodo. í: µ =,6 0,75 +,46 0,5 =,85 µ =,0 0,75 +,0 0,5 =,5 S planteamo el problema reultante en forma normal e tene: 0,5 0,5 E E4 4, 45,5,85,5 plcando el crtero de valor medo E ( ) = µ = 0,5+,5 0,5=,5 E ( ) = µ =,45 0,5 + 0,5 =,5 4 4 E ( ) = µ = µ 0,5 + µ 0,5 =,85 0,5 +,5 0,5 =, 55 5 5 5 Para valorar el egundo nodo de decón optmzamo lo reultado eperado correpondente a cada alternatva: máx E( ) = µ =,5 opt = : alqular lo avone a una emprea extranjera 5 5 =,4,5 =,4,5 5
Valoramo el guente nodo de ncertdumbre, que ecrto en forma normal reulta: 0, 7 0, / E E E, 55 0,5 0 0 í pue E ( ) = µ =, 55 0, 7 + ( 0,5) 0,0 =,85 6 E ( ) = 0 El valor del prmer nodo de decón erá máx E( ) = µ =,85 opt = : preentare al concuro 6 =, =, Por tanto la decón óptma erá preentare al concuro y, lo gana, alqular lo avone a una emprea extranjera. Con eta forma de actuar, el decor epera conegur,85 mllone de euro. b) Para poder contetar a eta pregunta debemo conocer el valor que para el decor tene la nformacón de carácter perfecto obre la conecucón de la ubvencone. Matemátcamente podemo calcular como VIP = REIP RER, SIENDO: REIP = r p =, 45 0,5 +,5 0,5 =, 875 * j j j = r =,45 j = 4 r =,5 RER = µ 5 =, 55 * * 4 Por tanto VIP =,455,55 = 0, Eta e la cantdad, en mllone de euro, que el decor etá dpueto a pagar, como máxmo, por una nformacón perfecta obre la conceón de la ubvencone. 6
.7.4 Cao # 4: Domnacón etocátca Dado un problema de decón en ambente de rego, donde lo reultado on favorable y la matrz de reultado vene dada por: 0, 0, 0, 0, 0, E E E E E 4 5 5 6 8 0 0 0 7 5 5 Etude la domnacón etocátca de dcha alternatva. Solucón Recordemo prmero cuándo una alternatva domna a otra etocátcamente, endo lo reultado favorable: e F( C) F( C) C y C0, F( C0) < F( C0) í pue, tendremo que determnar la funcón de dtrbucón de cada alternatva y luego compararla. Recordamo que la funcón de dtrbucón e defne como: F( R) = P( r R). Por tanto tenemo: 0 R < 0 0, 0 R < 0,5 R < 5 F ( R) = 0,7 5 R < 6 0,8 6 R < 8 8 R 0 R < 0 0, 0 R < F ( R) = 0,5 R< 7 0, 7 7 R < 0 0 R 0 R < 0, R < F ( R) = 0,6 R < 5 5 R 7
F ( R) La repreentacón gráfca de eta funcone de dtrbucón e la guente fgura: F ( R) 0,5 F ( R) F ( R) í pue: S R < 0 nnguna alternatva etá domnada. 5 0 S 0 R <, la alternatva y domnan a la alternatva. S R <, la alternatva domna a la y. S R < 5, la alternatva y domnan a la alternatva. S 5 R < 0, la alternatva domna a la y. S 0 < R, nnguna alternatva etá domnada. Por tanto, nnguna alternatva domna a otra para cualquer valor..8 EJERCICIO.8. Operadore celulare TIGO, un operador de telefonía móvl celular, ha preentado una demanda contra COMCEL por práctca comercale monopolítca, pdendo 0 mllone de dólare por daño. En febrero, TIGO recbe una oferta de conclacón de COMCEL para arreglar la tuacón, en la que le ofrecen.5 mllone de dólare. El conejo de admntracón de TIGO debe decdr acepta la propueta o contnua la demanda. Lo abogado creen que la probabldad de que TIGO gane e de. Sn embargo, eñalan que 8
ncluo ganando, la probabldad de que el juez otorgue lo 0 mllone peddo e del 50%, ya que tambén exte la pobldad de que otorgue una compenacón de 5 mllone de dólare. í mmo, lo abogado han anuncado que u honoraro entre febrero y mayo (me en el que e realzara la audenca) erá de 00.000 dólare y que lo honoraro de repreentacón del juco erán de 00.000 dólare. El conejo de admntracón de TIGO cree que hay una probabldad de un 60% de que COMCEL haga una nueva oferta en el me de mayo ante de ncar el proceo judcal. S eto e aí, etma que la probabldad de que el arreglo ea por 4.5 mllone de dólare e del 70% y del 0% de que ea por 5.5 mllone de dólare. S COMCEL no preenta eta egunda oferta en mayo, TIGO puede ncar una negocacón, conformándoe, en ete cao, con.5 mllone de dólare. Depué de un anál detallado, lo conejero de TIGO determnan que la funcón de utldad del dnero e u( x) x, donde x vene expreado en mllone de dólare. S TIGO pretende maxmzar u utldad eperada Cuál e la decón óptma?.8. mplacón planta El jefe de una gaolnera etá etudando amplar u ntalacone porque, con la actuale, e forman grande cola y mucho coche e marchan n repotar. Sabe que el número medo de vehículo que llegan a u gaolnera e de 0 por mnuto. Ha etmado que la nverón le cotará 500.000 euro, pero lo ngreo etmado con la amplacón on I( x) = 0.000x 0.000, donde x repreenta el número de coche que llegan a la gaolnera por mnuto. Recomendaría al jefe de gaolnera hacer la nverón? Cuánto dnero cree uted que etaría dpueto a pagar por aber con certeza cuánto coche van a llegar cada mnuto? 9