Series de Fourier Aplicació: Aálisis de Señales Jua E Dombald Estudiate de Igeiería Electróica Uiversidad Nacioal del Sur, Avda Alem 53, B8CPB Bahía Blaca, Argetia Juae_ce@hotmailcom Agosto Resume: E este iforme se mostrará como las series de Fourier permite obteer u desarrollo e series de seos y coseo, para facilitar el estudio de las diversas señales, aplicació utilizada e muchas igeierías Se describirá las características pricipales de las señales y posteriormete se desarrollará las ecuacioes que represeta las mismas Palabras Claves: Señales, Periodicidad, Series de Fourier I INRODUCCION El aálisis de Fourier, aparte de ser ua rama de las matemáticas de gra iterés a la hora de tratar fucioes complejas, de variable real o compleja, tiee aplicacioes de gra importacia e múltiples igeieras E este trabajo se tratará la cotribució de Fourier a la teoría de señales E 87 Joseph Fourier estableció, e sus trabajos presetados e Fracia, que cualquier señal periódica podía ser represetada por ua serie de sumas trigoométricas e seos y coseos, relacioadas armóicamete, pero sus argumetos fuero imprecisos, por lo que e 89 Dirichlet proporcioó las codicioes precisas para que ua señal periódica pudiera ser represetada por ua serie de Fourier Joseph logro, además, represetar señales o periódicas, o como suma de siusoides relacioadas armóicamete, sio como itegrales de siusoides, o relacioadas armóicamete Las series de Fourier so ua de las herramietas más poderosas para el aálisis de sistemas LI (Sistema Lieal Ivariate e el iempo) II SERIES DE FOURIER APLICADA A SEÑALES Ua señal es ua fució que represeta las variacioes e el tiempo de ua variable física Puede clasificarse e térmios de la forma de variació del tiempo, del coteido de eergía o potecia, o de la periodicidad o o de la señal eiedo e cueta la variació del tiempo las señales puede ser de tiempo cotiuo, que so aquellas e las cuales la variable tiempo se represeta como ua variable real x(t), < t < O de tiempo discreto, que so aquellas e las cuales la variable tiempo se represeta como ua variable etera x [ ], =, ±, ±,
Ua señal se dice que es de eergía si su E es fiita, lo que implica que su potecia sea cero Por ejemplo, los pulsos limitados e el tiempo γ E = lim xt () γ γ Ua señal se dice que es de potecia si su potecia es fiita, lo que implica que su eergía sea ifiita U ejemplo de este tipo de señales lo ecotramos e las señales periódicas P = lim x() t γ γ γ γ Las señales periódicas so aquellas que para u > dado, cumple co x( t + ) = x(t), dode es el periodo de la señal Las señales aperiódicas, que so aquellas que o cumple la característica de periodicidad eiedo e cueta la periodicidad de las señales, Fourier pudo asegurar que toda señal periódica se puede expresar e térmios de ua serie de seos y coseos, de la forma a x(t) + a cos w t + b se w t = = ( ) ( ) () Esta serie es coocida como Serie rigoométrica de Fourier, dode a los coeficietes a, a y b so los Coeficietes rigoométricos de Fourier, mietras que w es la frecuecia fudametal de la señal Estos coeficietes trigoométricos se defie como a = x() t a x t t = ()cos( ) ω, dode π ω = y es ua itegral a lo largo de u periodo b = x()se( t t) ω Además las señales periódicas puede expresarse e térmios de ua serie de expoeciales complejos, de la forma + i w x(t) ce t ()
= (xt c= x te () Dicha serie es deomiada Serie Expoecial de Fourier, dode los coeficietes c so los Coeficietes Expoeciales de Fourier y ω la frecuecia fudametal de la señal Estos puede expresarse como Además las series de Fourier permite establecer la dualidad etre tiempo y frecuecia, de forma que operacioes realizadas e el domiio del tiempo tiee su dual e el domiio frecuecial Los coeficietes c so los coeficietes espectrales de la señal La gráfica de esos coeficietes, e fució del ídice armóico o de las frecuecias ω, forma el espectro de frecuecia, es decir el cojuto de frecuecias que costituye a la señal Hay dos tipos de gráficos, uo co la magitud de los coeficietes y otro de la fase Ambas fucioes so discretas e frecuecia E el siguiete grafico se muestra el espectro de frecuecia, la magitud y la fase de los coeficietes de + π i(k+ ) x Fourier de ua oda triagular de la forma f( x) e π (k + ) Dode la magitud es c y la fase es Arg( c ) Figura : Espectro de frecuecia, magitud y fase de los coeficietes de Fourier de ua oda triagular De acuerdo a la simetria de las señales periodicas, las expresioes () y () puede simplificarse, como asi tambié los calculos de sus coeficietes: t ua señal periódica co periodo, que tiee simetría par 3
a / = x()cos( t ωt) b = Etoces la serie trigoométrica de Fourier de ua señal periódica par cotiee sólo térmios e coseo y posiblemete ua costate t ua señal periódica co periodo, que tiee simetría impar a = a = / b = x()se( t ωt) Etoces la serie trigoométrica de Fourier de ua señal periódica impar cotiee sólo térmios e seo t ua señal periódica co periodo, que tiee simetría de media oda, es decir x( t+ ) = x( t), etoces / / / () () () () ( ) τ τ / a = xt= xt+ xt= xt+ x + d = / a = xt ( )cos( t ) xt ( )cos( t ) xt ( ) cos( t ) ω = ω + ω /,si es par = ( ( ) ) ( ) cos( ) = xt ( )cos( t ),si es impar / / xt ωt ω,si es par b = x()se( t t) ω = xt ( )se( t ),si es impar / ω Por lo tato la serie trigoométrica de Fourier de u señal periódica, co simetría de media oda cotiee sólo armóicas impares ( a = a =, b = ), la de ua señal periódica par que, además, tiee simetría de media oda cotiee sólo armóicas impares e coseo ( a = a =, b = ), mietras que la de ua señal periódica impar que, además, tiee simetría de media oda cotiee sólo armóicas impares e seo ( a = a =, b = )
III CONCLUSIONES E este trabajo hemos podido observar como la aplicació de las series de Fourier a la teoría de señales ayuda a facilitar su aálisis, ya sea señales que esté relacioadas co las comuicacioes o co el aálisis de circuitos eléctricos, etre otras Hemos visto como, a partir de la serie de Fourier, es posible recostruir ua señal periódica y demostrar que cualquier señal está costituida por compoetes seoidales de distitas frecuecias REFERENCIAS [] Cálculo de sumas ifiitas de potecias pares egativas de eteros utilizado series de Fourier, [e líea], dispoible e: http://wwwoeies/oim/revistaoim/umero8/fourier-sumasifiitaspdf [cosultada el 7 de Julio de ] [] Aálisis De Fourier E El Aálisis De Señales E Redes De Computadoras, [e líea], dispoible e: http://wwwbueastareascom/esayos/a%c3%alisis-de-fourier-e-el- A%C3%Alisis/656html [cosultada el 7 de Julio de ] [3] Señales y Aálisis de Fourier, [e líea], dispoible e: http://wwwimse-cmcsices/~bele/ficherospdf/practicapdf [cosultada el de Agosto de ] [] Señales y Espectros, [e líea], dispoible e: http://exaueeduar/depar/areas/iformatica/sistemasoperativos/comuicacioes/presetacioes_proye ctor/seialesyespectrospdf [cosultada el de Agosto de ] 5