DEMOSTRACIONES VISUALES AUTORAS: Patricia Cuello-Adriaa Rabio Coteidos: Expresioes algebraicas - Idetidades - Propiedades de los úmeros aturales Las demostracioes o está allí para coveceros de que algo es verdadero, está allí para demostrar por qué es verdadero. Adrew Gleaso Ua buea demostració es aquella que os hace más sabios. Yuri I. Mai Qué so las demostracioes si palabras?. Geeralmete so dibujos o diagramas que ayuda al lector a ver por qué ua proposició matemática e particular puede ser verdadera, como tambié para ver cómo uo puede empezar a demostrar que es verdadera. Muchos argumeta que las demostracioes si palabras o so demostracioes verdaderas. Etoces, qué so? La respuesta o es simple. James Robert Brow e el libro Philosophy of Mathematics: A Itroductio to the World of Proofs ad Pictures (Routledge, Lodres, 999) dice: A los matemáticos, como al resto de la gete, les gusta las ideas iteligetes, e particular se deleita co u dibujo igeioso. Pero esta apreciació o acalla u escepticismo prevaleciete. Después de todo u diagrama es, a lo sumo, u caso particular, por lo tato o se puede establecer u teorema geeral. Aú peor, puede ser categóricamete de falsas apariecias. Auque o e forma uiversal, la actitud prevaleciete es que los dibujos o so más que ideas heurísticas; so psicológicamete sugestivas y pedagógicamete importates, pero o demuestra ada. Quiero opoerme a este puto de vista y decir que los dibujos juega u rol legítimo e la evidecia y la justificació, u rol que va más allá de lo heurístico. E sítesis, los dibujos puede demostrar teoremas.(citado e la Itroducció de Proofs without words II de Roger B. Nelse. Ed. The Mathematical Associatio of America. 000). Los problemas visuales permite geeralizar expresioes y verificarlas a través del dibujo. Si se tuviera que demostrar estas expresioes desde el álgebra, habría que utilizar métodos de demostració de alto ivel, como es el caso del método de Iducció Completa (coteido que o correspode a ivel medio). Además, este método permite demostrar igualdades etre expresioes algebraicas pero o así deducir dichas igualdades. Cómo se puede implemetar esta metodología? Teiedo e claro el objetivo se les etrega la image a los alumos y se les preguta qué les sugiere la situació. Aalizada las figuras, pasa al trabajo (idividual o e grupos) bajo la cosiga de qué me dice este dibujo y de qué forma puedo expresar eso algebraicamete. E la puesta e comú, co el aporte de todos y, si es ecesario co la guía del docete, se debe llegar a la expresió algebraica plateada.
Actividades iiciales.. 3..
5. 6. 7. 8. Las siguietes situacioes represeta propiedades de los úmeros aturales, co u grado mayor de complejidad. 9. 0. a. 3
0. b... RESPUESTAS. Propiedad distributiva factor comú 5x3 + x3 = (5+) x 3 x6 + x = x (6+) a.b + a.c = a. (b + c). Diferecia de cuadrados A B = (A + B). (A B) 3. Biomio al cuadrado (A + B) = A + B + A.B. Desarrollo del triomio al cuadrado Sumado las áreas de los rectágulos se tiee que: (A + B + C) = A + B + C + AB + AC + BC Se ve claramete que: (A + B + C) A + B + C, o sea que la operació de poteciació o es distributiva respecto de la operació de suma.
5. Suma de los primeros úmeros aturales: Si se mira e cada diagoal, la catidad de putos se correspode co los úmeros aturales. E este caso llega hasta 3 pero se podría seguir idefiidamete. Así se completa e forma simétrica u paralelogramo (hacer que los alumos extieda el úmero de putos y la costrucció de diagoales) y se halla el área utilizado como uidad cada puto, luego se divide por porque la suma de los aturales es hasta la diagoal del paralelogramo. E este caso sería: + + 3 = (. 3) :. Geeralizado: + + 3 +.+ = ( + ). / 6. Suma de los úmeros impares: + 3 + 5 + + ( ) = La suma de los primeros úmeros aturales es igual a. 7. Tomado el lado del cuadrado mayor como la uidad y aalizado de afuera hacia adetro, el área de la parte sombreada se puede expresar como:.... i i 8. Suma y diferecias de áreas (a+b) (a-b) = a + ab + b - a + ab - b = ab (la suma del área de los rectágulos) Se llega a la equivalecia por dos camios diferetes: diferecia de áreas y suma de áreas. 9. Se va duplicado el área al pasar de u rectágulo a otro. Tomado el área del primer cuadradito como uidad, esa área mide = 0, el área del segudo rectágulo es x = =, el tercero es x = =, el siguiete es x = 8 = 3 y así sucesivamete. Etoces el área de cada rectágulo es de la forma. Si se quiere calcular el área de todos los rectágulos, la suma de todos es: 0 + + +...+ Comparado la sumatoria aterior co el área del dibujo e geeral (u rectágulo de.( 0 + +...+ - ) más u cuadradito de área se tiee: 0 + +...+ = ( 0 + +...+ - ) x + = ( 0 + +...+ - + ) x + + (utilizado la estrategia de agregar detro del parétesis que, como está multiplicado por fuera del parétesis, para compesar este agregado hay que restar. = + ) Despejado queda: + - = [( 0 + +...+ - + ) x ]-( 0 + +...+ ) 0 + +...+ ( la suma de las potecias de ) = + Esta serie diverge. Se puede relacioar este problema co otro marco que o sea el geométrico o el algebraico, por ejemplo co la fució expoecial. 5
0. a.. ( + +...+ ) (es la suma de todos los cuadrados) +. (. +. +.9 +...+. ) (es la suma de todos lo rectágulos) = 6. ( + +...+ ) Por otro lado, si se aaliza el área del rectágulo como b. h = ( + ). ( + ) y comparado el área por dos camios diferetes (suma de áreas y área del rectágulo total) se tiee que: 6. ( + +...+ ) = ( + ). ( + ) Etoces la suma de los primeros úmeros cuadrados es: ( + +...+ ) = [( + ). ( + )]/6 Esta serie tambié es divergete. 0. b. Calculado la parte sombreada se tiee la suma de los cuadrados de los primeros úmeros aturales: + +...+ = [( + ). ( + )]/6 El área del cuadrado total es: ( + + 3 + + ) Se puede querer saber, por ejemplo, qué parte del total está sombreado: i i i i ( ).( ) 6.( ) 3.( ) Esta serie coverge a cero. Utilizado la o distributividad de la poteciació respecto de la suma, comparado umerador co deomiador, se tiee que el umerador (suma de cuadrados) es meor que el deomiador (cuadrado de ua suma). Efectivamete, se puede ver e el dibujo que la parte o sombreada se hace cada vez mayor respecto de la sombreada. Tambié se puede querer saber qué parte del cuadrado o está sombreada: [. (+) / ] - [( + ). ( + )]/6. + +...+ +. + 3. + 6. + 0. +...= + +...+ + + 3 + 6 + 0+... = [( + ). ( + )]/6 (ver ejercicio 0) + i.(i )/ (es la sumatoria de la sumatoria de los primeros úmeros aturales, dado que =; 3 = + ; 6= ++3...) Si se aaliza el área del rectágulo como u todo, su área es: b. h = (++3+...+ ). = [ (+)]/. [( + ). ( + )]/6 + i.(i )/ = {[ (+)]/}. i i 6
Por lo tato + 3 + 6 + 0+... ( la suma de los úmeros triagulares) = = i.(i )/ = [. (+)]/ [( + ). ( + )]/6 = [( + ). ]/6 i. Sobre uo de los lados se agrega u cuadrado... El área de los rectágulos es. = ;. = ;.3 = 6 ; 3.5 = 5... Los primeros factores coforma los térmios de la sucesió de Fiboacci a = a i. a i + Tambié esos rectágulos so áureos, ya que las fraccioes que se forma co cada térmio de la sucesió de Fiboacci y el aterior tiede al úmero de oro. Por lo tato este puede ser u procedimieto para costruir rectágulos áureos. 7