Departamento de Ingenería Industral Facultad de Cs. Físcas y Matemátcas Unversdad de Chle IN540: Métodos Estadístcos para economía y gestón Profesores: Marcelo Henríquez, Felpe Avlés Auxlares: José Mguel Carrasco Auxlar 3 23 de Abrl de 2010 Problema 1 Comparamos dos muestras aleatoras de 10 hombres y de 10 mujeres de edades comprenddas entre los 18 a 22 años en un ítem que mde su autoestma (escala de 0 a 10 puntos). a) Podemos afrmar que ambas muestras dferen sgnfcatvamente en autoestma? b) Podemos afrmar que la autoestma de los hombres es sgnfcatvamente mayor que la de las mujeres? c) Resuelve la pregunta a) por medo de la prueba no paramétrca adecuada HOMBRES: 8, 7, 6, 8, 7, 5, 6, 4, 9, 9 MUJERES: 8, 6, 5, 6, 5, 4, 4, 4, 6, 4 Solucón: a) Se trata de comparar las medas de hombres y de mujeres (6.9 y 5.2, respectvamente) con una prueba t para muestras ndependentes (contraste blateral o de dos colas): el SPSS nos da t(18)=2.53, p=0.021, luego la respuesta es sí. b) Igual que en a) sólo camba aquí que el hecho de que el contraste es ahora unlateral (una cola). En este caso sólo hay que dvdr la p que nos da el programa por 2. Luego quedaría así: t(18)=2.53, p=0.0105, sendo la respuesta tambén que sí. c) Debemos aplcar la prueba de Mann-Whtney que nos da z =2,23, p= 0.0254, luego los resultados no camban. Problema 2 Medmos la capacdad lectoescrtora de 10 nños dsléxcos a través de un cuestnaro (escal de 0 a 100 puntos) antes y despúes de recbr una terapa. Sus resultados fueron: ANTES: 70, 72, 80, 75, 77, 80, 74, 81, 76, 73 DESPUES: 74, 73, 84, 75, 84, 95, 88, 86, 80, 79 a) Ha aumentado la capacdad lectoescrtora de los nños tras el tratamento? b) Resuelve la pregunta anteror por medo de la prueba no paramétrca adecuada Solucón: a) Se trata de comparar las medas de antes y después (75.8 y 81.8, respectvamente) con una prueba t para muestras relaconadas): el SPSS nos da t(9)=3.84, p=0.004, luego la respuesta es sí. b) Debemos aplcar la prueba de Wlcoxon que nos da z =2,67, p= 0.0077, luego los resultados no camban.
Problema 3 Comparamos 4 tratamentos clíncos (A, B, C, D) asgnando al azar 15 sujetos a los msmos. Las puntuacones de los sujetos en la VD (un cuestonaro de escala de 0 a 150 puntos) fueron: A: 42, 0, 63 B: 45, 64, 33, 29 C: 44, 82, 64, 74 D: 109, 120, 116, 97 a) Compara s las varanzas de los 4 grupos son smlares b) Analza s hay dferencas entre los grupos c) Cual es el grupo que rnde mejor? Y el peor? d) Analza la pregunta b) medante la prueba no paramétrca adecuada. Solucón: Se trata de comparar 4 muestras ndependentes medante un ANOVA nter: a) Pedmos al SPSS en opcones que nos haga un test de homogenedad (Levene). Dcho test nos da F3,11=1.79, p=0.207, luego hay homogenedad, homoscedastcdad o gualdad en las varanzas de los 4 grupos. b) El ANOVA nter nos da F3,11=12.15, MCe= 355.61, p=0.0008, luego hay dferencas globales entre los 4 grupos, es decr la VI nfluye sgnfcatvamente sobre la VD. Ahora en c) veremos entre qué grupos hay dferencas y entre cuáles no las hay. c) En post-hoc selecconaremos p.e. la prueba de Student-Newman- Keuls (S-N-K). Los resultados nos muestran que la meda del grupo D (=110.5) dfere sgnfcatvemente del las otras 3 medas (A=35, B=42.75, C=66), entre las cuales no hay dferencas sgnfcatvas. Ello quere decr que el mejor tratamento es el D, mentras que el peor serían los tratamento A, B, y C ndstntamente. d) Aplcaremos una prueba de Kruskall-Walls que nos dará una ch 2 3=10.5, p=0.0148, lo que concde con los resultados de b). S quséramos hacer pruebas a posteror no paramétrcas aplcaríamos 6 pruebas de Mann- Whtney (por otras tantas comparacones por pares de condcones). Problema 4 Una muestra al azar de 6 sujetos lee 1, 3 y 5 veces una lsta de 50 palabras que deben memorzar. Tras cada lectura se les pasa una tarea de recuerdo. Sus resultados (o acertos) fueron: 1 lectura: 15, 17, 14, 18, 18, 16 3 lecturas: 21, 25, 22, 24, 29, 27 5 lecturas: 28, 32, 34, 35, 30, 30 a) Analza s se cumplen los supuestos del ANOVA b) Incrementa el número de lecturas el recuerdo? c) Donde se dan los mejores y peores resultados? d) Calcula la potenca (para α=.05) y el tamaño del efecto e) Analza la pregunta b) medante la prueba no paramétrca adecuada
Solucón: ANOVA ntra. a) Test de esfercdad de Mauchly: W=.43, p=.187. Se cumplen los supuestos. b) Sí porque F2,10=64.5, MCe= 5.37, p<0.001 c) Como el SPSS no hace pruebas a posteror para la varables ntra haremos lo sguente: Aplcaremos 3 pruebas t para muestras relaconadas para comparar por pares las 3 condcones. Los resultados nos muestran que las tres dferencas son estadístcamente sgnfcatvas luego la mayor tasa de acertos se da tras cnco lecturas mentras que la peor se da tras la prmera lectura. d) Potenca=1; tamaño del efecto (eta cuadrado)=0.928 e) Fredman: ch 2 2=12, p=0.0025 Problema 5 El drector de un colego desea saber s los años de experenca educatva de los profesores (A1: menos de dos años; A2: más de dos años) y tres métodos de enseñanza nfluyen en el rendmento de una asgnatura. 12 alumnos son asgnados al azar a las 6 condcones referdas. Su rendmento académco a fnal de curso fue: a) Influye la experenca docente del profesor sobre el rendmento? b) Influyen los métodos de enseñanza? Cuál es el mejor y el peor? c) Hay nteraccón?. Haz una gráfca e nterprétala. Solucón: ANOVA nter 2x3. a) no pues F1,6=0.5, MCe= 0.67, p=0.506 b) sí pues F2,6=78, MCe= 0.67, p<0.001. Después deberemos hacer pruebas a posteror comparando por pares las medas de B1, B2 y B3. Un camno para ello es hacer un ANOVA unfactoral nter tomando como VI la B y pedr que nos haga las pruebas de Newman-Keuls. En ese caso observaremos que las tres dferencas son sgnfcatvas sendo pues el mejor método de enseñanza el B3 (meda 9.5) y el peor el B1 (meda 2.5). c) Hay nteraccón pues F2,6=6.5, MCe= 0.67, p=0.031. Con Excel hacemos la gráfca:
Deberemos a contnuacón hacer una prueba de efectos smples a mano para nterpretar dcha nteraccón. Para ello podríamos responder a las preguntas: - exsten dferencas entre A1 y A2 en B1? - exsten dferencas entre A1 y A2 en B2? - exsten dferencas entre A1 y A2 en B3? Una posbldad para ello es hacer 3 pruebas t para muestras ndependentes (cortando en cada caso los datos de B que no entren en los análss). S las hacemos veremos que nnguna de las tres dferencas es sgnfcatva. Estos anómalos resultados son debdos al pequeño tamaño muestral utlzado. Problema 6 En un estudo sobre memora regstramos el número de acertos de 6 sujetos en condcones de reconocmento (A1) y de recuerdo (A2) en tres perodos temporales dstntos (B1: tras una hora desde la fase de estudo; B2: tras una día; B3: tras una semana). Los resultados fueron:
Analza e nterpreta los resultados. Solucón: ANOVA ntra 2x3. La varable A nfluye sobre la VD: F1,5=8.17, MCe= 4.91, p=0.035, lo que quere decr que en condcones de reconocmento (meda A1=6.5) los sujetos rnden mejor que en condcones de recuerdo (meda A2=4.39). Los efectos prncpales de B tambén son sgnfcatvos: F2,10=17.77, MCe= 3.53, p=0.001. Debemos comparar pues por pares las medas de B1, B2 y B3 (que son respectvamente 2.83, 6.42 y 7.08). Aplcaremos para ello 3 pruebas t para muestras relaconadas para comparar por pares las 3 condcones. Los resultados nos muestran que no hay dferencas entre B2 y B3, pero sí entre B1 con B2 y con B3. La nteraccón es sgnfcatva: F2,10=5.42, MCe= 0.93, p=0.025 (ver gráfca).
Deberemos a contnuacón hacer una prueba de efectos smples a mano para nterpretar dcha nteraccón. Para ello debemos responder a las preguntas: - exsten dferencas entre A1 y A2 en B1? - exsten dferencas entre A1 y A2 en B2? - exsten dferencas entre A1 y A2 en B3? Una posbldad para ello es hacer 3 pruebas t para muestras relaconadas. S las hacemos veremos que sólo hay dferencas sgnfcatvas entre A1 y A2 en B3. Problema 7 Cómo optmzar el presupuesto de muestreo en dversos estratos? Cuando los costos de muestreo se toman en cuenta, una manera es aplcar la asgnacón de Neyman, en la cual los tamaños muestrales son proporconales al producto de los tamaños de cada estrato, las desvacones estándar y los recíprocos de la raíz cuadrada de los costos. El sguente cuadro presenta nformacón de una encuesta sobre el uso mensual de una tarjeta de crédto bancara por parte de los clentes de certo banco. La poblacón está estratfcada por ngreso: Estrato ngreso () del Proporcón del estrato ( π ) Desvacón estándar ( σ ) Costo de la entrevsta en M$ ( c ) Meda de la muestra en M$ Bajo 0.3 10 2.5 80 Medo 0.5 20 2.5 250 Alto 0.2 40 10.0 400 Responda los sguentes, consderando la asgnacón de Neyman. a) Suponga que se lleva a cabo un total de 1000 encuestas. Cómo dstrbuye las entrevstas entre los tres estratos? b) S una muestra aleatora smple de un tamaño de 1000 fuera obtenda de la poblacón, cuál sería el tamaño de la muestra para el estrato alto? c) Por qué la recomendacón de tamaño muestral para el estrato alto en a) dfere de b)? d) Estme la meda de la poblacón e) Calcule el costo total de la encuesta. f) S el costo de entrevsta para el estrato alto fuera $2,500 cómo aplcaría las 1000 entrevstas? Solucón: La asgnacón de Neyman para la muestra en cada estrato, se traduce en, donde n = πσ/ c n ( π σ / c )
n: El tamaño total de la muestra π : σ : c : n : La proporcón de la poblacón en el estrato La desvacón estándar de la poblacón en el estrato El costo de una entrevsta en el estrato El tamaño de la muestra para el estrato Utlzando la fórmula con n= 1000 y los datos del cuadro, calculamos n Estrato del ngreso () π σ / c n Bajo 0.06 176.47 177 Medo 0.20 588.23 588 Alto 0.08 235.29 235 0.34 1000 b) Aproxmadamente 200 dado que el 20% de la poblacón es de ese estrato. c) Por la desvacón estándar que es la más alta en ese estrato. d) Estmacón de la meda de la poblacón = π * y = 229 (en mles de $). e) Costo total c n = 2.5*177+2.5*588+10.0*235= 4,262.5 (en M$) f) En este caso: Estrato del ngreso () Costo de la entrevsta ( c ) π σ / c n Proporcón ( π ) Desvacón estándar ( σ ) Bajo 25 0.06 142.85 143 0.3 1 Medo 25 0.20 476.19 476 0.5 2 Alto 25 0.16 380.95 381 0.2 4 0.42 1000 y el nuevo Costo total es obvamente 1000*2.5 = 2500 (enm$). Problema 8: En un expermento se compararon tres métodos de enseñar un doma extranjero; para evaluar la nstruccón, se admnstró una prueba de vocabularo de 50 preguntas a los 24 estudantes del expermento repartdos de a ocho por grupo. a) Cuál es la varable respuesta y la explcatva en este estudo? Solucón: La varable respuesta es el puntaje en la prueba de vocabularo La varable explcatva son los métodos de enseñanza (audtvo, traduccón y combnado). Es un factor con 3 nveles.
b) Complete la tabla de ANOVA: Tabla de análss de varanza (ANOVA) Solucón: Tabla de ANOVA Pasos para completar la tabla: 1) calculo los grados de lbertad, en el total son n-1 y n=24, por lo tanto son 23. Los grupos a comparar son 3 por lo tanto los gl Inter son 2, verfco que (2+21) son los 23 del total. 2) La suma de cuadrados Inter se obtene multplcando la meda cuadrátca por los gl,.e. 323.792*2=647.584 3) Tenendo la SC Inter, saco la SC Intra restando 1460.958-647.584=813.374 4) Con la SC Intra y los gl calculo la meda cuadrátca Intra =813.374/21=38.732 5) Por últmo con las dos MC calculo el test F=323.792/38.732=8.360 c) Qué supuestos debería verfcar el nvestgador, escrba las hpótess asocadas a ellos. Solucón: El nvestgador antes de comparar las medas, debe verfcar los supuestos de Normaldad y de Homogenedad de las varanzas (el supuesto de ndependenca se comprueba en el dseño, dvdó a 8 estudantes por cada método). Hpótess: 1) Normaldad: Necesta realzar 3 pruebas de hpótess, una para cada grupo del tpo: donde representará cada método de enseñanza: audtvo, traduccón y combnado.
2) Homocedastcdad: la hpótess es: Donde 1=método audtvo, 2=método traduccón, 3=método combnado. d) Asuma que se cumplen los supuestos y realce la prueba de nterés para el nvestgador. Informe la conclusón del estudo. Solucón: S se cumplen los supuestos, entonces podemos comparar las medas de los métodos de enseñanza usando el test F de la ANOVA: Hpótess: De la tabla de ANOVA sacamos el test F=8,36 al que corresponde un valor-p de 0,002, este valor-p es menor que el nvel de sgnfcacón de 0,05, por lo tanto rechazamos la hpótess nula y conclumos que exsten dferencas sgnfcatvas entre las medas de los métodos de enseñanza al 5%.