PROFESOR JNO profsorjano@gmail.com 885 MTEMÄTICS Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad EJERCICIOS DE EXMEN DE CÄLCULO INTEGRL Å bachillrato continuaciçn s prsntan un conjunto d jrcicios d amn d célculo intgral corrspondint a la asignatura d matméticas I d Å d bachillrato. La corrcciçn sté n las péginas siguints. Å) Encuntra la funciçn primitiva d () qu val n =. f Å) Calcula: Å) Calcula: sn d d Å) Calcula: d 5Å) Calcula l Éra limitada por f() =, g() = y h() = Å) El rcténgulo d vñrtics (,), B (, ), C (, - ) y D (, - ) quda dividido n dos parts por f() =. Haz un dibujo y calcula l Éra d los dos rcintos. 7Å) Calcula l valor d si l Éra comprndida ntr f() = y g() =, val /, sindo >. 8Å) Dfin suma suprior y suma infrior d una funciçn n un intrvalo y corrspondint a una particiçn. plücalo a f() = n [-, ] para P = {-, -,, }. RESOLUCIÄN l principio d cada soluciçn hay unas pistas. Si no sabs cçmo mpzar consáltalas pro tn n cunta qu so significa qu tins aán mucho por studiar y aprndr. Si ya has hcho l jrcicio, s l momnto d comprobarlos consultando las rspustas. Å) Encuntra la funciçn primitiva d S trata d una funciän qu s un cocint d polinomios. Como l grado dl numrador s igual al dl dnominador, primro s fctåa la divisiän y s aplica la rlaciän qu dic qu l sa divisiän s igual al cocint mçs l rsto ntr l divisor. () qu val n =. f continuaciän qudarç un fracciän qu habrç qu dscomponr n otras mçs simpls para qu su funciän primitiva sa d tipo logaritmo npriano. Para trminar habréa qu aplicar l torma fundamntal dl cçlculo (Rgla d Barrow) CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - -
PROFESOR JNO profsorjano@gmail.com 885 MTEMÄTICS Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad S fctáa la divisiçn : ( + + ). El cocint s y l rsto (--). Por lo tanto: + + = ] 9 8 ( ) B B Hay varios mñtodos para calcular y B. Uno d llos s dar tantos valors a como coficints haya. S obtinn asé las cuacions suficints para l cçlculo d, B,... S procura lgir valors qu facilitn l cçlculo. Para X = - - = B Para = - - = - ; = sü d d d La intgral pdida sré: (obsrva qu s ha cambiado l signo dl rsto, por so s ha indicado con un signo mnos I d d d Ln Ln C hora aplicamos las condicions dl problma: para =, I() = =. Ln + Ln + C C = +. Ln Ln I() =. Ln (+) + Ln (+) + +. Ln Ln Å) Calcula: sn d Una intgral s pud rsolvr d varias manras. Un camino s l d convrtir sta intgral n inmdiata, sabindo qu sn = sn. sn. sn = La intgral rsultant s dividirç n dos inmdiatas, sindo una d llas dl tipo u n.u. Ya vs qu convin qu tngas n la mmoria las rlacions trigonomñtricas bçsicas. CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - -
PROFESOR JNO MTEMÄTICS profsorjano@gmail.com 885 Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - - d sn d sn d sn d sn I C Å) Calcula: d S cominza oprando para obtnr un n vz dl, para lo qu dividimos ntr numrador y dnominador. 8 arctg arctg d d d Å) Calcula: d = u d = du.d = dv v d dv d d d d = Simpr qu vas un n l dnominador fura d una raéz sumado a un nåmro y otro nåmro n l numrador, tins qu pnsar qu pud tratars d un arcotangnt. Para llo habrç qu oprar con constants hasta llgar a la prsiän d la intgral inmdiata. S trata d una tépica intgral por parts. En st caso s important asignar corrctamnt quñ s lo qu hay qu drivar y quñ s lo qu habrç qu intgrar d cada part. Drivarmos, porqu si drivamos la prsiän no s va a simplificar.
PROFESOR JNO profsorjano@gmail.com 885 MTEMÄTICS Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad 5Å) Calcula l Éra limitada por f() =, g() = y h() = En stos jrcicios s fundamntal hacr la rprsntaciän grçfica. Para llo hay qu calcular los puntos d cort qu tndrçn mucho qu vr con los lémits d intgraciän. En st caso, l Çra rsultant habrç qu obtnrla calculando Çras parcials y lugo oprando con llas para consguir la suprfici pdida. f() h() g() h() u d d u 8 d = u Å) El rcténgulo d vñrtics (,), B (, ), C (, - ) y D (, - ) quda dividido n dos parts por f() =. Haz un dibujo y calcula l Éra d los dos rcintos. D nuvo la rprsntaciän grçfica s imprscindibl y habrç qu hacrla n funciän dl parçmtro. No srç acta pro si posibl. T rcurdo qu cuando una funciän polinämica d sgundo grado tin l coficint d >, sus ramas stçn hacia arriba. Si s <, sus ramas starçn hacia abajo. Hagamos unos célculos prvios para podr rprsntar la gréfica d la parébola. MÜnimo d f() f () = = ; = / ; f CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - -
PROFESOR JNO MTEMÄTICS profsorjano@gmail.com 885 Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - 5 - Corts con los js (y = ) S Como S s un rcténgulo, para calcular S sustramos S al Éra total dl rcténgulo. Est Éra sré: S =. = S = S + S ; S = S S = u 5 Sgán l profsor, igual t pid qu S lo obtngas tambiñn mdiant célculo intgral. En s caso: cqd 5 d S 7Å) Calcula l valor d si l Éra comprndida ntr f() = y g() =, val /, sindo >. Vamos a hacr los célculos prvios para consguir la aproimaciçn gréfica. MÉimo d f(): f () = = ; ; f() = ; M (, ) Corts con OX: f() = = D nuvo hay qu hacr la grçfica, sälo qu n st caso s abirta ya qu dpnd dl parçmtro. Esto significa qu harmos una rprsntaciän grçfica posibl pro pud qu no sa la acta. Esto no db procupart ya qu cuando conozcas l parçmtro podrçs hacr la rprsntaciän corrcta.
PROFESOR JNO MTEMÄTICS profsorjano@gmail.com 885 Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - - Corts con g(): y y = =. ( ) Por lo tanto, l Éra amarilla pdida sré: 7 8 8 8 d - -7-5 7-5 7. Por lo tanto = S rsulv: - 5 + 7 = ; 8 5 5... solucions imaginarias. La gréfica corrgida s: HabrÇs obsrvado qu h pusto como valor dl Çra -/ y no /. Eso s dbido a qu tal y como h plantado l dibujo l Çra quda por dbajo dl j OX. El dibujo provisional tambiñn ha condicionado l ordn d los lémits d intgraciän. âcämo rsolvr la cuaciän d trcr grado?. En primr lugar no asustars, y n sgundo aplicar Ruffini.
PROFESOR JNO profsorjano@gmail.com 885 MTEMÄTICS Prof. VÄCTOR M. VITORI Bachillrato - Univrsidad 8Å) Dfin suma suprior y suma infrior d una funciçn n un intrvalo y corrspondint a una particiçn. plücalo a f() = n [-, ] para P = {-, -,, }. La dfiniciän d suma suprior infrior la puds ncontrar n cualquir libro d tto o n intrnt. [ -,] para P = { -, -,, } Hallamos l MÉimo y l münimo para cada particiçn o subintrvalo, fijéndonos n la gréfica: [-,] MÉ = 5 ; mün = - Suma suprior = la suma d los rcténgulos d bas [-,] MÉ = - ; mün = - la longitud dl intrvalo y d [, ] MÉ = ; mün = - altura l MÉimo Suma infrior = las alturas l münimo Suma suprior =.5 +.(-) +. = Suma infriror =.(-) +.(-) +.(-) = -7 CÅLCULO INTEGRL Ej. Çmns É bach. - 7 -