(Apuntes en revisión pr orientr el prendizje) Cpítulo I Funciones INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos de myor importnci y trscendenci en ls mtemátics es el de función, que constituye un herrmient fundmentl e indispensle en el quehcer de quienes, como el ingeniero, deen representr con modelos diversos fenómenos de l nturlez, con l finlidd de interpretrlos, mnejrlos, modificrlos y utilizrlos pr el mejormiento de l clidd de l vid. CONCEPTOS PRELIMINARES Conjuntos numéricos Conjunto de números nturles. Se denot con y está formdo por todos los números que se utilizn pr contr. = {,,3,4,5, } Como se oserv, se trt de un conjunto no finito, es decir, que contiene un número infinito de elementos. Conjunto de números enteros. Se denot con y está formdo por todos quellos números que son el resultdo de l diferenci de dos números nturles. Como se oserv,. = pp= m n; mn, { } o, en form eplícit, = {, 4, 3,,,0,,,3,4, } Conjunto de número rcionles. Se denot con y está formdo por todos los números que pueden ser epresdos como el cociente de dos enteros. p = rr= ; pq, ; q 0 q ING, PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
Estos números tienen dos forms de epresrse, como cociente y como deciml. Por ejemplo, 4 cociente: ; deciml: 0.8 5 Además, en l form de cociente su epresión no es únic sino que eiste un número infinito de epresiones. Por ejemplo, 4 8 6 3 = = = = = 3 6 4 48 L epresión deciml de un número rcionl es siempre periódic, esto es, que uno o un grupo de dígitos (mrcdos con test) se repiten indefinidmente l derech del punto deciml. Considérense los siguientes ejemplos: 5 = 0.4 = 0.4000... = 0.40 ; = 0.4545... = 0.45 5 7 = 7.000... = 7.0 Los números enteros y los nturles son rcionles, y que st con dividirlos entre l unidd pr epresrlos de l form p q. Conjunto de números irrcionles. Se denot con Ι y está formdo por los números que no pueden epresrse en form deciml periódic. Algunos ejemplos son: =.44356... 7 =.645753... π = 3.459654... e =.78888... Conjunto de número reles. Se denot con y está formdo por los números rcionles y por los irrcionles. A cd número rel le corresponde un punto de l rect numéric y vicevers, lo que se ilustr como: π.09 0 e 3.750
3 En el siguiente esquem se present l clsificción de los números reles: Nturles Enteros cero Rcionles Reles Enteros negtivos Frcionrios Irrcionles L rect y = m+ y m = tnα y = m+ α (, ) P y y y y y y = ( ) (, ) Q y Ls cónics Circunferenci. ( ) ( ) h + y k = r y k O r C h Práol. ( y k) = 4p( h)
y 4 k V h F p ( h) = 4p( y k) y + = Elipse. ( h ) ( y k ) p y k F V h F k C h F ( y k) ( h) + = c y F C h k c F y
Hipérol. ( h ) ( y k ) = y c 5 F V k C V F ( y k) ( h) = h y F k C V h V c F Vriles En mtemátics ls mgnitudes constntes y vriles son de sum importnci y generlmente se hl de ells independientemente de su significdo físico. Intervlos de vrición
Considérese el eje numérico de ls sciss, con " " como mgnitud vrile, y dos vlores de " ", y, tles que <. Se llm intervlo ierto l conjunto de todos los números reles myores que " " y menores que " ". Este, y se epres como: intervlo se denot con ( ) (, ) = { ; < < } Estos vlores se uicrín en l rect numéric como se oserv en l figur Se llm intervlo cerrdo, denotdo con [,, ] l formdo por los vlores reles del intervlo ierto, junto con los vlores y. Se epres como:, = { ; } Y en l rect numéric se represent como: Se conoce como intervlo semiierto por l izquierd y se,, l epresdo y representdo como: denot con ( ] (, = { ; < } Se conoce como intervlo semiierto por l derech y se,, l epresdo y representdo como: denot con [ ) ( ( ) (, ) = { ; < } ) 6 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Concepto de función ) Concepto trdicionl ) Enfoque con l teorí de conjuntos
7 Concepto trdicionl. Cundo dos vriles están relcionds en tl form que cd vlor de l primer corresponde un vlor y sólo uno de l segund, se dice que l segund es función de l primer. A vrile f A vrile Notción. Si en un epresión funcionl " " es l vrile independiente y " y " es l vrile dependiente, se y = f pr representr l función en costumr escriir ( ) estudio y se lee: " y es igul f de " Ejemplo. Se: ( ) ( ) φ ( ) y = g ; y = F ; y = ; ( ) f = 5+ Otener: f f f f f ( 0 ) ; ( ) ; ( 3 ) ; ( ) ; ( )
8 Ejemplo. Se: Compror que: ( ) 4 f = 5 + 0 f( ) f( ) = 0 Ejemplo. Se: Verificr que: ( ) = g ( + ) ( ) = ( ) ( ) g z g z g z Es posile escriir que: z+ g( z+ ) = y z g( z) = de donde: g z+ g z z+ z = z z = z = = g z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Enfoque con l teorí de conjuntos Conjunto producto. Sen Ay B dos conjuntos. Si se colectn tods ls prejs ordends (, ) en donde el primer elemento pertenece A y el segundo elemento pertenece B, entonces est colección de prejs ordends form un conjunto que se denot por:
{(, ), } A B = A B que se llm conjunto producto o producto crtesino de Ay B. Al producto crtesino de un conjunto por sí mismo se le denot como: A A= A ; B B= B 9 Ejemplo. Ddos los conjuntos: A= {,0, } ; B= {,3,4 } ; C= { 5,6} Clculr: A B ; B C ; C B ; C Se colectn de mner ordend ls prejs como se h epresdo y se lleg : A B =,,,3,,4,0,,0,3,0,4,,,,3,,4 {( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )} B C= {(,5 ),(,6 ),( 3,5 ),( 3,6 ),( 4,5 ),( 4,6) } C B = {( 5, ),( 5,3 ),( 5,4 ),( 6, ),( 6,3 ),( 6,4) } C = C C= ( 5,5,5,6,6,5,6,6 ) ( ) ( ) ( ) { } Not. Como se oserv en B C y C B, el producto crtesino no es conmuttivo, es decir, que B C C B. Ejemplo. Sen los conjuntos: A= 3; y B= y 3< y < 4; y Representr gráficmente: A B ; B A ; A ; B { } { }
0 RELACIÓN Definición. Un relción inri o simplemente un relción, consiste en: Un conjunto A Un conjunto B Un proposición P que es fls o verdder pr tod, del producto crtesino A B. prej ordend ( ) Un relción R de un conjunto A un conjunto B es un suconjunto del producto crtesino A B, esto es: R A B A B 0 3 4 5 6 C
Al conjunto A se le llm Dominio y l conjunto B Codominio. El número 7 no es un elemento de A. Como se oserv en l figur, en el Codominio B eiste un elemento que no está socido con lguno del Dominio. Al conjunto C B, formdo por quellos elementos de B que sí están socidos con elementos del Dominio A, se le denomin Recorrido, Rngo o Imgen. Entonces, pr l figur nterior, es posile escriir: Relción = =,,,0, 3,, 4,0, 5,, 6,0 R R Dominio = =,,3,4,5,6 D R Codominio = = 0,, C R Recorrido = = 0, R R {( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )} { } { } { } Si cd elemento del Dominio está socido con un solo elemento del Codominio, l relción se denomin Uniforme; si está socido con dos o más, es Multiforme; finlmente, l relción es Biunívoc si es Uniforme de A hci B y de B hci A, lo que quiere decir, que cd elemento de A está socido con uno y sólo un elemento de B y vicevers. En l siguiente figur se ilustrn con digrms de Venn los tres tipos de relciones: 3 4 c d e R. Multiforme R. Uniforme R. Biunívoc 3 c 3 Simólicmente y de mner eplícit, un Relción se puede escriir como sigue: R=, A, B; P, y Donde (, ) {( ) ( )} P y represent l proposición que es fls o verdder pr tod prej ordend del producto crtesino A B.
Ejemplo. Sen los conjuntos: A= {,,0,,} y B= { 3,,,0,,,3} Otener ls siguientes relciones y dr dominio y recorrido de cd un: R = (, y) A, y B; y = { } {( ) } {( ) } R =, y A, y B; y = R3 =, y A, y B; + y = 5 Pr representr gráficmente un relción, como es suconjunto del producto crtesino, se utiliz l mism convención que pr grficr este, por lo que los primeros elementos corresponden sciss y los segundos ordends. Ejemplo. Representr gráficmente l siguiente relción: R=, y, y ; y = {( ) }
3 Ejemplo. Representr gráficmente l siguiente relción definid en los reles y dr su dominio y recorrido: R=, y, y ; y < + {( ) } Ejemplo. Representr gráficmente l siguiente relción definid en los reles y dr su dominio y recorrido: y R= (, y), y ; + = 4
4 Ejemplo. Representr gráficmente l siguiente relción definid en los reles y dr su dominio y recorrido:,, ; R= y y + y {( ) } Ahor se trtrá el concepto de función rel de vrile rel, prtir del hecho de que se trt de un relción, pero l selección de ls prejs ordends que l conformn se sujet cierts propieddes que no necesrimente tienen
5 ls relciones, rzón por l cul se puede decir que tod función es relción, pero no tod relción es función. Se puede firmr entonces, que tod función es un relción y por consiguiente, suconjunto del producto crtesino. Se presentn dos definiciones de función que son equivlentes, l primer prtir de un tipo de relción y l segund más generl, ms válids. Definición. Un función es un relción uniforme Definición. Un función es un tern formd por: ) Un primer conjunto llmdo Dominio de l función. ) Un segundo conjunto llmdo Codominio de l función. c) Un regl de correspondenci que tiene ls siguientes propieddes: - A todo elemento del dominio se le puede socir un elemento del codominio. - Ningún elemento del dominio h de quedrse sin su socido en el codominio. - Ningún elemento del dominio puede tener más de un socido en el codominio. f D f R f C f
6 Ejemplo. Representr gráficmente, con digrms de Venn, l siguiente función definid medinte prejs ordends: f = 3,0,,,,, 0,3,,4 C f {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} = { 5, 4, 3,,,0,,,3,4,5} Considérense ls siguientes relciones en ls que en lgunos csos se trt de función y en otros no, y se hcen ls justificciones correspondientes. 5 3 6 4 A B Est relción no es función, y que el elemento "5" del conjunto A no está socido con lgún elemento del conjunto B.
7 5 4 6 A B Est relción no es función, y que el elemento "" del conjunto A está socido con dos elementos del conjunto B. 3 4 5 6 A B Est relción sí es función porque todos los elementos del conjunto A están socidos en el conjunto B y cd elemento de A está relciondo con uno y sólo un elemento de B. En resumen, un función puede escriirse de l siguiente form: f =, y y = f {( ) ( )} en donde ( ) otenid prtir de l regl de correspondenci y f( ) f es l imgen de en el codominio, =. Ejemplo. Dd l siguiente relción, decir si es función, justificr l respuest y, en cso de no serlo, nlizr l fctiilidd de que fuer función.,, ; R= y y + y = 4 {( ) }
8 De este ejemplo se puede deducir que l condición geométric pr que un relción se función, es que tod rect prlel l eje " y " dee cortr su gráfic en un solo punto. Eisten diferentes tipos de funciones, de cuerdo los elementos de sus dominios y codominios. En este tem se hlrá, como y se h dicho, de funciones reles de vrile rel, es decir, funciones cuyo dominio y codominio están contenidos en los números reles. Notción Como un función es un relción, se puede presentr tmién trvés de l teorí de conjuntos, como: f =, y D; y = f {( ) f ( )} O ien, cundo esto es posile, escriiendo ls prejs ordends que l conformn, de l siguiente mner: f =, y,, y,, y,...,, y {( ) ( ) ( 3 3) ( n n) } Pr denotr ls funciones, demás de ls nteriormente citds, eisten vris forms de ls cules, ls más
9 utilizds, sí como l form de leerls, se muestrn continución: y = f( ) ; Df que se lee como: y es un función de, donde pertenece l domino D. f = {(, y) y = f( ) ; Df } que se lee como: conjunto de prejs (, ) f y tles que cd elemento y se otiene de plicr l regl de correspondenci f cd elemento del dominio de l función. f: Df Cf ; y = f que se lee como: función f que mpe l domino D f en el codominio C f, dd por l regl de correspondenci y = f. ( ) Representción gráfic ( ) Ejemplo. Considérese l siguiente función: y = f( ) =+ Al nlizr est epresión se deduce que se trt de un práol ( y = ) con vértice en el origen y cuyo eje focl es el eje " ". Sin emrgo, el signo positivo pr el rdicl limit su gráfic l prte que se encuentr en l prte positiv del eje " y ". Enseguid se muestr un tl con lgunos vlores de pertenecientes l dominio de l función y sus correspondientes imágenes " " f. y o ien, ( ) 0 3 4 5 6 7 8 9 y 0.0.0.4.73.0.4.45.65.83 3.0
Si se llevn ests prejs (, ) y l plno y, se otiene l gráfic mostrd en l siguiente figur: y y = f( ) = + 0 Nótese que en el ejemplo nterior, si no se huier restringido " y ", eistirín dos vlores de ell pr cd vlor de " ". D = 0, ; C = ; R = 0, [ ) [ ) f f f Ejemplo. Determinr el dominio y el recorrido, sí como hcer un trzo proimdo de l gráfic de ls siguientes funciones: i) y = + 3 ; (ecución de un rect) ii) S = 6 ; (práol; superficie de un cuo en función de l longitud de cd rist) iii) t =+ 0.04 d ; (práol; tiempo de cíd lire en función de l distnci en metros) iv) f ( ) = ; (ecución de un rect con un hueco) v) 4 y = 6 ; ( ecución de un curv sintótic) vi) y = 9 3 ; ( ecución de prte de un elipse) i) y = + 3
ii) S = 6 iii) t =+ 0.04 d iv) ( ) f =
4 v) y =. Si en est función se fctoriz el polinomio 6 del denomindor, se otiene: 6= ( + )( 3) lo que hce ver que el dominio de l función serán todos los vlores reles con ecepción de = y = 3, y que pr estos dos vlores no eiste un vlor rel de l función. Si se clculn los vlores de l función en l proimidd de estos dos vlores que nuln el denomindor de l función dd, se ve que en ellos se presentn síntots verticles, que son rects imginris ls que l gráfic de l función se proim hci rri o hci jo pero sin llegr tocrl. Pr conocer el comportmiento de l gráfic de l función, result conveniente, cundo se presentn síntots verticles, finr l tulción -tl con el clculo de vlores de " y " en términos de vlores de " " - en dichos lugres. Entonces, l tulción qued como sigue: 5 4 3.5.5 0 y 0.7 0.9 0.67.45 ±.5 0.67 0.5.5 3 3.5 4 5 6 0.64 0.67.5 ±.45 0.67 0.9 0.7
y 3 D f =,3 síntot 3 síntot f (, 0.64] ( 0, ) R = Si se dn l vrile independiente vlores muy grndes, tnto positivos como negtivos, se verá que l gráfic de l función no cruz el eje de ls sciss por lo que este es un síntot horizontl. vi) y = 9 3
4 Ejemplo. Dds ls siguientes funciones, otener su dominio: 3 i) y = 5 + ; ii) f ( ) = ; iii) y = + 3 iv) f ( ) = ; v) y = 5 ; vi) f ( ) = 3 + 7 vii) y = 6 ; viii) f ( ) = 4 4 6 i) y = ; ) f ( ) = 5 ; i) y = 6 5 5
5
6