8 Ríces de un ecución cudrátic Introducción Se bord en est sección l deducción de l fórmul pr hllr ls ríces de un ecución cudrátic. Se nlizn ls crcterístics de ls soluciones, según l form del discriminnte de l ecución. Por último se encuentrn epresiones que relcionn l sum y el producto de ls ríces de un ecución cudrátic en términos de los coeficientes de l ecución cudrátic. Objetivos del módulo 1. Conocer un epresión pr ls ríces de un ecución cudrátic.. Conocer los tipos de soluciones de un ecución cudrátic. 3. Conocer un epresión pr l sum y el producto de un ecución cudrátic. Pregunts básics 1. En qué consiste el discriminnte de un ecución cudrátic?. A qué es igul l sum de ls ríces de un ecución cudrátic? 3. A qué es igul el producto de ls ríces de un ecución cudrátic? Pierre de Fermt (1601-1665) Fermt fue bogdo y gobernnte oficil, más recorddo por su trbjo en l teorí de números; ls mtemátics ern pr él su entretenimiento. En 1636 propuso un sistem de geometrí nlític similr uno de Descrtes, que éste presentó unos ños después. El trbjo de Fermt estb bsdo en un reconstrucción del trbjo de Apolonio usdo en el álgebr de Frncois Viète. Similr trbjo dejó l descubrir métodos de diferencición e integrción y encontrr máimos y mínimos. Fermt es fmoso por el teorem que llev su nombre y que dice que ddo culquier entero positivo n >, es imposible que eistn números enteros diferentes de cero,, y, z, tles que n + y n = z n. Si n = hbrá infinits triplets (, y, z) llmds terns pitgórics, como por ejemplo (3, 4, 5). Fermt dijo que hbí descubierto un prueb («prueb mrvillos»), pero que no hbí en l págin suficiente mrgen pr drl. Se sospech que ddos los vnces de l époc, Fermt hbí ddo con un demostrción equivocd. El teorem fue finlmente demostrdo en 1995. Contenidos del módulo 8.1 Form de ls ríces 8. Crcterístics de ls soluciones 8.3 Sum y producto de ríces Visite el sitio http://docenci.ude.edu.co/cen/ AlgebrTrigonometri/ Ve el módulo 8 del progrm de televisión Álgebr y trigonometrí Álgebr y trigonometrí 93
Cpítulo 3: Polinomios. Polinomio cudrático Escuche L conjetur de Pierre de Fermt en su multimedi de Álgebr y trigonometrí 8.1 Form de ls ríces L form de ls ríces de l ecución cudrátic b c 0 se puede ver de l mner siguiente: Si b c 0, entonces b c. Por tnto, c b b b b 4 4 c. Se tiene entonces que b b 4c. 4 Despejndo b, se tiene que b b 4c. 4 Etryendo ríz cudrd mbos miembros, 4 4 b b c. En consecuenci, 4 b b c. Ls dos ríces de l ecución cudrátic vienen dds por 1 4 b b c, 4 b b c. 8. Crcterístics de ls soluciones En l solución de l ecución cudrátic prece el término b 4c. L epresión b 4c se llmrá el discriminnte de l ecución, y según l nturlez de éste, ls soluciones serán sí: 1. b 4c 0, entonces l ecución cudrátic tendrá dos soluciones reles distints.. b 4c 0, entonces l ecución tendrá dos soluciones reles igules. 3. b 4c 0, entonces l ecución no tendrá soluciones reles sino dos soluciones complejs conjugds. 94
Ejemplo 1 Módulo 8: Ríces de un ecución cudrátic Encuentre ls ríces de l ecución 4 3 En este cso se tiene que = 1, b4, c 3. b 4c 4 4 1 3 4 L ecución tiene dos ríces reles distints que son: b b 4c 1 1, 3. b b 4c, 1. 8.3 Sum y producto de ríces Como ls ríces de l ecución cudrátic vienen dds por: 4 1 b b c 4 b b c,, se pueden derivr, de ls fórmuls nteriores, ls siguientes consecuencis: b 1, c 1. O se que en tod ecución cudrátic l sum de sus ríces es c de ells es. Ejemplo b y el producto En ciert ecución cudrátic, l sum de sus ríces es 5 y su producto es 6. Hlle l ecución. b Como 1, se tiene que b 5. Álgebr y trigonometrí 95
Cpítulo 3: Polinomios. Polinomio cudrático c c Como 1, se tiene que 6. Por tnto, c 6 y b5. Si en ls epresiones nteriores se tom = 1, se tiene que c 6, b 5. En consecuenci, l ecución es 5 6 Si tom otros vlores en los reles, se obtendrán otrs ecuciones. L form generl de ests ecuciones es 5 6 Ejemplo 3 Encuentre ls ríces de ls siguientes ecuciones:. 3 10 8 Aplicndo l fórmul tenemos: b 4 c (10) 4(3)( 8) 100 96 196 Por tnto, l ecución tiene dos ríces reles: b b 4c 10 196 4 1, 6 6 3 b b 4c 10 196 4 4. 6 6 b. 4 13 36 Hciendo l sustitución y = se obtiene l ecución cudrátic Aplicndo l fórmul tenemos: y 13y 36 b 4 c ( 13) 4(1)(36) 169144 5 Por tnto, l ecución obtenid tiene dos ríces reles: b b 4c 13 5 18 y1 9, y b b 4c 13 5 8 4. Entonces ls soluciones de l ecución originl son 1 3, 3, 3 y 4. 96
Módulo 8: Ríces de un ecución cudrátic c. 6 3 7 8. Hciendo l sustitución y = 3 se obtiene l ecución cudrátic Aplicndo l fórmul tenemos: y 7 y 8 b 4 c (7) 4(1)( 8) 49 3 81 Por tnto, l ecución obtenid tiene dos ríces reles: b b 4c 7 81 y1 1, y b b 4c 7 81 16 8. 3 3 Entonces ls soluciones de l ecución originl son 1 1 1 y 8. d. 4 5 Aplicndo l fórmul tenemos: b 4 c ( 4) 4(1)(5) 16 04 Por tnto, l ecución no tiene ríces reles sino dos ríces complejs conjugds: b b c i 4 4 4 4 1 i, b b 4c 4 4 4 i i. Ejemplo 4 Escrib un ecución cudrátic cuys ríces sen 3 y 5. b 1 3 ( 5) ; entonces, b. c 1 3( 5) 15 ; entonces, c15. Álgebr y trigonometrí 97
Cpítulo 3: Polinomios. Polinomio cudrático L ecución generl será 15 ( 15) Tomndo = 1 obtenemos l ecución 15 Ejemplo 5 Escrib un ecución cudrátic cuys ríces sen /3 y 1/. 1 7 b 1 entonces 3 6 1 1 c 1 entonces 3 3 L ecución generl será 1 c. 3 7 b. 6 7 1 7 1 ( ) 6 3 6 3 Tomndo = 6 obtenemos l ecución 6 7 Ejemplo 6 Hlle el vlor de k de modo tl que l sum de ls ríces de l siguiente ecución se igul l producto de ls misms: 3 k 3 Plntendo l iguldd entre l sum y el producto de ls ríces tenemos: b c k 3 1 1, 3 3 de donde k 3 y por tnto k = 5. 98
Ejemplo 7 Módulo 8: Ríces de un ecución cudrátic Hlle el vlor de k de modo tl que l sum de ls ríces de l siguiente ecución se igul l producto de ls misms: 3 ( k ) k1 Plntendo l iguldd entre l sum y el producto de ls ríces tenemos: b ( k ) c k1 1 1, 3 3 de donde k k1 y por tnto k 1. Ejemplo 8 Encuentre dos números cuy sum se 1 y su producto 104. Sen 1 y los números buscdos; entonces 1 1 y 1 104. Tomndo = 1, 1 1 b y 1 104 c, tenemos que estos números son ríces de l ecución cudrátic 1104 Aplicndo l fórmul tenemos: 1 (1) 4(104) b b 4c 1 5 6 1 13, 1 (1) 4(104) b b 4c 1 5 16 8. Ejemplo 9 L sum de un numero y su recíproco es 13. 6 Hlle el número. Se el número buscdo; entonces: 13 1, 6 13 1, 6 13 6 6, Álgebr y trigonometrí 99
Cpítulo 3: Polinomios. Polinomio cudrático 6 13 6 Ls ríces de est ecución cudrátic son: b b 4c 13 (13) 4(6)(6) 13 5 18 3 1, 1 1 1 b b 4c 13 (13) 4(6)(6) 13 5 8, 1 6 1 3 que son los números buscdos. Ejemplo 30 Un vión reliz un vuelo entre dos ciuddes situds 4.99 km un de l otr. Si el vión ument su velocidd en 3 km/h puede hcer el tryecto en 1 hor menos. Cuál es l velocidd del vión? Suponiendo que l velocidd del vión es v km/h y reliz el tryecto en t hors, tenemos entonces que 4.99 t. v Si l umentr l velocidd en 3 km/h se demor un hor menos, tenemos l ecución 4.99 t1. v 3 Por tnto, reemplzndo tenemos: 4.99 4.99 1, v v 3 4.99 v 4.99, v v 3 (4.99 v)( v 3) 4.99 v, 4.99v159.744 v 3v 4.99 v, 159.744 v 3v 0, v 3v159.744 Ls soluciones de est ecución cudrátic son: 100
Módulo 8: Ríces de un ecución cudrátic b b 4c 3 (3) 4(1)( 159.744) 3 64000 768 v1 384, v b b 4c 3 (3) 4(1)( 159.744) 3 64000 83 416. Obvimente l solución buscd es 1 y sí l velocidd del vión es de 384 km/h. Ejemplo 31 Dos ciuddes A y B se encuentrn un distnci de 490 km un de otr. Dos ciclists prten simultánemente de A y B, cd uno hci l otr ciudd. A prtir del sitio donde se cruzn, el ciclist que prtió de A demor 9 hors en llegr B y el que prtió de B demor 16 hors en llegr A. Encuentre l velocidd de cd ciclist. Se l distnci desde A l sitio donde se cruzn y t el tiempo en que se cruzn. A prtir de este sitio, el ciclist que slió de A recorre 490 km en 9 hors y el que prtió de B recorre km en 16 hors. L velocidd de cd ciclist es: v A 490 490, v B. t 9 t 16 Despejndo t e igulndo tenemos: 9 16(490 ) t. 490 Se obtiene entonces l ecución cudrátic: 16(490 ) 9 7 15.680 7.840 0 cuys ríces son 80 y 1.96 Como < 490, entonces el punto de encuentro está 80 km de A y por tnto v A 490 10 70 80 70 km/h, vb km/h. 9 9 3 16 16 4 Ejemplo 3 Dos obreros A y B trbjndo juntos pueden relizr un trbjo de 4 hors. Cuánts hors se necesitn pr que cd obrero relice el trbjo por si solo, si el obrero B requiere 3 hors más de trbjo que el obrero A? Álgebr y trigonometrí 101
Cpítulo 3: Polinomios. Polinomio cudrático Se el número de hors que trd el obrero A relizndo el trbjo por sí solo; entonces el obrero B trd + 3 hors. L velocidd de trbjo de cd obrero por seprdo y trbjndo juntos es: V A 1, V B 1, V 1. AB 3 4 Por tnto tenemos que 1 1 1, 3 4 de donde se obtiene l ecución cudrátic 51 Ls ríces de est ecución son 5 73 y l ríz negtiv no tiene sentido, sí que el obrero A necesitrí proimdmente 5 73 6.77 hors y el obrero B proimdmente 9.77 hors. 10