TRILCE Cpítulo FACTORIZACIÓN Ftorizr un polinomio s somponrlo n os o más polinomios llmos ftors, tl moo qu, l multiplirlos, s otng l polinomio originl. Ejmplo : y ( y)( y) Ants ftorizr y ftorizo ftors Pu notrs qu si multiplimos (+y)(-y) s otin y qu vin sr l polinomio originl (l ftorizión y l multipliión son prosos invrsos). Ftor Primo Es qul polinomio qu no s pu somponr n otros polinomios. Ejmplo : y no s primo (s pu somponr). y s primo (no s pu somponr). Propis :. El númro máimo ftors primos qu tin un polinomio stá o por su gro. Así por jmplo : 6 6 los más tin ftors primos.. Los polinomios linls (primr gro) nsrimnt son primos.. Sólo s pun ftorizr los polinomios no primos. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN I. Métoo l Ftor Común S pli uno n toos los términos l polinomio s rpit l mismo ftor, l qu s nomin ftor omún. Pr ftorizr, s tr término l polimonio l ftor omún, (si ést tuvis ifrnts ponnts, s lig l mnor ponnt). Ejmplo :. Ftorizr : y + z + w. Soluión : y+z+w "" ftor omún s tr "". Ftorizr : y y z y w Soluión : y y 7 7 y z y w ftor omún s tr "y " tnrmos : y (y y z w) polinomio ftorizo mnor ponnt. Ftorizr : Sol. grupno : (+)+(+) ftor omún : + s tr (+) tnrmos : (+)(+) polinomio ftorizo (y+z+w) polinomio ftorizo 9
Álgr II. Métoo ls Intis En st so, s utilizn ls intis lgris (Proutos Notls); pro n form invrs, s ir tnino l prouto s luln los ftors qu l iron orign. S pu utilizr ulquir Prouto Notl stuio; pro los qu s utilizn on más fruni los rormos n l siguint uro : Prouto Notl Polinomio Ftorizo Difrni Curos : (+)(-) Trinomio Curo Prfto : (TCP) ( ) Sum o Difrni Cuos : ( )( ) Ejmplo : Soluión :.Ftorizr : y 0 9 ( 9)( ) Soluión : ( ) y ( y)( y) polinomio ftorizo. Ftorizr : 0 Soluión : 9 9 0 ) Asp Dol : S pli polinomios l form : A By Cy D Ey F s otinn os ftors trinomios. ()() ( ) polinomio ftorizo. Ftorizr : 7 Soluión : ( )( 9) polinomio ftorizo Rgl : * S somponn n os ftors : A ; Cy ; F * Mint trs sps, s omprun: By, D, Ey. Ej. Ftorizr : 0 y y 6 y 8 III. Métoo ls Asps ) Asp Simpl : S pli trinomios, otniénos ftors inomios. Rgl : s somponn os los términos, n os ftors, lugo s lul l sum l prouto n sp, tl qu s igul l término no sompusto l trinomio. Ej. Ftorizr : 0 9 Soluión : 0 y y 6 y 8 y -y - Comproions : Asp -y + 6y = y Asp -y - y = -y Asp - 0 = -6 lugo, tnrmos : (+y+)(-y-) 0
TRILCE ) Asp Dol Espil Gnrlmnt, s pli polinomios urto gro l form : A B C D E S otinn os ftors trinomios sguno gro. Rgl : * S somponn : sum l prouto n sp. * L sum otni s rst A y E, lugo s lul l C. * L ifrni qu rsult s sompon n os ftors pr omprorlos on : B y D. Ejmplo : Ftorizr : 9 6 Soluión : 9 6 Cso B : ofiint prinipl posils ros : Rgl pr ftorizr : ivisors T. inpnint ivisors ofiint prinipl ) S lul los posils ros y s ompru si lguno nul l polinomio, por jmplo : Si s nul pr : = (-) s ftor = - (+) s ftor = / (-) s ftor ) Al polinomio o, s l ivi ntr l ftor o ftors inomios otnios n l primr pso, l oint st ivisión s l otro ftor l polinomio. Ejmplos :. Ftorizr : 6 7 Soluión : IV. Comproión : Asp qu s rst 9, otniénos Asp.. Asp. +. = ( )( ). Métoo los Divisors Binomios o Evluión Binómi S pli polinomios ulquir gro, gnrlmnt on un sol vril, simpr qu tngn por lo mnos un ftor linl (primr gro). "Cros" un Polinomio Son los vlors l vril qu nuln l polinomio. Pr otnr los posils "ros" un polinomio, tnrmos : Cso A : ofiint prinipl = posils ros : ivisors l término inpnint * Posils ros (ofiint prinipl= ).,,, 6 ivisors 6 * S ompru qu s nul pr: = (-) s ftor. * S ivi por Ruffini l polinomio ntr (-) : - = 0 * Finlmnt tnmos : ( )( 7) -6-7 - 7-7 0 - + 7. Ftorizr : 6 7 6 ftor fltnt * Posils ros (ofiint prinipl ) :,,, 6 Divisors "" ( ) Divisors "6" * S ompru qu s nul pr: /. * S ivi por Ruffini ntr : -. * Finlmnt, tnmos :
Álgr 6 7-6 - 6 9-0 - ) Si prn ponnts prs trtrmos formr TCP. Ejmplo : Ftorizr : Soluión : 8 IV. (ftor fltnt) tnrmos : ( )( ). Métoo los Artifiios En st so, no istn rgls fijs. S pli uno ls rgls ntriors no son fáils plir; pro s pu romnr lo siguint : ) Si os o más términos s rpitn onstntmnt, s sugir hr mio vril. Ejmplo : Ftorizr : ( ) ( ) Soluión : ( ) Hmos : ++ = s lig l ltr qu s s mnos :,, rmplzno : ( ) ( ) ( ) - ( ) omo : = ++ (++)[ (++)- ] Tnmos : ( ) ( ) pr formr TCP, nsitmos : ( )( ) Artifiio Summos y rstmos : 8 TCP ( ) ( ) ( )( ) y ftorizo ) Si prn ponnts imprs, prourmos formr sum o ifrni uos. Ejmplo : Ftorizr : Soluión : * Como hy ponnts imprs, usmos sum o ifrni uos. * Si " " l ftorizn " ", pr " ". Artifiio : summos y rstmos. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Inir l númro ftors primos : P(; y) 7 y y ) ) ) ) ) 6 0. Sñlr un ftor primo, l ftorizr : F(; y) y y y ) y ) y - ) ) - y ) y 0. Inir un término un ftor primo : R(; y) 6 y y y y ) y ) y ) ) y ) 0. Ftorizr : y y F(;y) y y y y y El ftor primo qu más s rpit s : ) y + ) y - ) ( y) ) + y ) - y 0. Ftorizr : F(; y) ( y ) (y ) Un ftor primo s : ) + y ) - y ) + ) y ) y - 06. Ftorizr : F(; y) ( y) ( y) y Un ftor primo s : ) + y ) - y ) + y ) - y ) - 07. Ftorizr : F() ( ) ( ) Un ftor primo s : ) - ) - ) + ) + ) + 08. Si l polinomio : F() (m ) (m ) Es ftoril min un sp simpl (n los ntros), más : m Z m. Inir un ftor primo. ) + ) + 7 ) + ) + ) - 09. Ftorizr : F(;y) ( y) 8y ( y) y L sum sus ftors primos s : ) + y ) + y ) + y ) + y ) + y 0. Ftorizr : F() 6 El término inpnint uno sus ftors primos s : ) - ) - ) 6 ) -6 ) -. Ftorizr : F() 6 L sum ofiints uno sus ftors primos s : ) ) ) ) 7 ) 9. Ftorizr : F() 6 9 L sum sus ftors primos s : ) 6 - ) 8 - ) + ) + 7 ) -. Ftorizr : P() 6 08 inir l ftor primo rptio. ) - ) - ) + ) - ) +. Ftorizr : F() ( ) ( ) L sum ftors primos linls s : ) + ) + ) ) + ) -. Inir l sum ftors primos : 7 ( ) ) + 6 ) - ) - ) )
Álgr 6. Dr l sum los ftors primos : ( - )( - ) + - 8 ) + 7 ) - 7 ) - ) + 7 ) + 7. Dr un ftor primo : ) ) ) ) ) 8. Dr un ftor primo : ( ) ( ) ( ) ) + ) ) + + ) ) 9. Ftorizr : ( + )( + )( + )( + ) - inir qu l sum los términos linls sus ftors primos. ) 6 ) 0 ) 8 ) 0 ) 0. Cuántos ftors linls tin : 8 8 7 ) ) ) ) ). S : R() ( ) ( 7) ( Iniqu l númro ftors primos : ) ) ) ) ) ) ( 6). Iniqu l númro ftors primos linls : 8 P(;y) y y y 6 y ) ) ) ) ) 8. Inir un ftor primo : F(;y) 7 y y y ) y ) y y ) ) y y ) y 6 y. Ftorizr : F(;) 7 Inir l ftor primo myor gro. ) ) ) ). Ftorizr : F() ( ) ) ( ) ( ) Inir l vlor numério un ftor primo, pr =. ) ) 0 ) ) - ) Hy os orrts 6. Un ftor : s : ) - ) + ) + ) + ) + 6 7. Uno los ftors 8 6 s: ) ) ) ) ) 8. Ftorizr : R( ;y) y ( Iniqu l sum ftors primos. ) ( y ) ) ( y ) y ) y ) ( y ) ) ( y ) ) ( y y ) 9. Ftorizr : 6 P(m) m 7m 8 Inir l término linl uno los ftors primos urátios. ) m ) -m ) m ) 8m ) -m 0. Al ftorizr un polinomio n l onjunto los númros ntros, mint l proiminto l sp simpl, s rliz lo siguint : 8 ( )
TRILCE Entons un ftor primo l polinomio s: ) - ) + ) + ) + ) +. Al ftorizr : ( )( 7)( 6)( ) 0 uno los ftors linls s : ) - ) + 7 ) + 6 ) + ) -. Ftorizr : ( ) ( ) 79 Iniqu l sum toos sus ftors primos: ) (+) ) (+) ) (+) ) (+) ) (+). Iniqu un ftor primo : A() ( )(6 )( )( ) ) + ) - ) + ) + ) 6. Hllr l prouto los ofiints l ftor primo myor término inpnint l polinomio. P() 8 8 7 ) ) ) 8 ) ). Si s sumn lgrimnt, los ofiints y los términos onstnts los trs ftors inomios, n los qu pu somponrs l polinomio : 76 8 0, s otin : ) ) 9 ) 0 ) ) 97 6. Ftorizr : P() Iniqu l inomio qu no s ftor. ) - ) + ) - ) + ) Toos son ftors 7. Dtrminr l númro ftors primos l siguint polinomio : P() ) ) ) ) ) 8. Inir l sum ofiints un ftor primo : P() 0 0 ) ) ) ) 7 ) 9. Hllr l númro términos un ftor primo n Q : 7 6 F(n) n n n n n ) ) ) ) ) 6 0. En uánto isminuy l númro ftors primos : ( - )( - )( - ) (6 + ); si l rstmos 0? ) En ) En ) En ) En ) No vrí iho númro. Sñl un ftor primo : P(m;n) m(m mn ) n(n mn ) ) m + n ) m - n ) mn + ) ) m n. Un ftor : s : m mn n ( y 6 y y y ) ) y y ) y ) y ) y y ) y y. Al ftorizr : K uno sus ftors s : 09 6 ) + ) - ) - ) - ) +. Dsomponr n ftors : y y yz yz ) (-z)(z-y)(+y)(+z) ) (-z)(+z)(+y)(y-z) ) (+z)(+y)(y-)(z-y) ) (z-)(y-z)(-y)(+z) ) N.A. yz z y z z
Álgr. Dsomponr n os ftors : ( y) y( y). Iniqu un ivisor : 0 R() ( ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) 6. Ftorizr : ( ) ( ) ( ) ( ) inir l sum los ftors : ) ) + + + ) ) ) 7. Ftorizr : A(;y;z) ( y) (y z) (z y ) Iniqu l númro ftors primos otnios. ) ) ) ) ) 8. Ftorizr : R() ( ) ( 9) ( )( ) Inino un ftor primo. ) + ) + 8 ) + 7 ) + ) Hy orrts 9. Ftorizr : ( ) y( y )( y ) (y ) ( ) Iniqu l númro ftors primos. ) ) ) ) ) 0. Ftorizr l polinomio : P() ; y r omo rspust l sum ofiints l ftor gro. ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ). Inir l vlor numério qu form uno los ftors primos : ( ) ; pr : = -. ) - ) - ) 0 ) ). Dr l sum los ofiints l ftor primo mnor gro n : 7 ( ) ( ) ) 7 ) 7 ) 8 ) 7 ) Más un s orrt. Sñl U. l término myor gro un ftor primo l polinomio : 7 P() ) ) ) ) ) 6. Ftori n l mpo los númros rls: P() ( ) ( 9) ( Sñl l númro ftors primos : ) 0 ) ) 8 ) 6 ) 7 ) 6. Ftorizr inir l númro ftors primos rionls : 0 P() ) ) ) ) ) 7. Sñl l sum ofiints un ftor primo : F() 7 ) 8 ) 6 ) ) ) 6
TRILCE 8. El polinomio : P() ( )( )( ) ( ) Lugo ftorizrlo tom l form : Clulr : + n. n n ( ) ( n ) ) - ) - ) ) ) 60. Proporion uno los ftors primos : M(;;) ( ( ) ) ) ) ) ) ) - 9. Sñl un ftor : ( ) ( ) ) ) ) ) ) 7
8 Álgr Clvs Clvs 0. 0. 0. 0. 0. 06. 07. 08. 09. 0...... 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 60.