INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL-EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Myo de 0 INDICADORES DE DESEMPEÑO. Aplic procesos lógicos y coherentes, l fctorizr completmente un epresión lgebric.. Estblece relción entre los procesos inversos de los productos notbles, utilizándolos en l simplificción de epresiones lgebrics.. Muestr inicitiv en l relizción de ctividdes y consults.. Vlor el trbjo en equipo, fvoreciendo el prendizje colectivo. FACTORIZACION Es el proceso medinte el cul epresmos un polinomio como el producto de dos o más epresiones o fctores irreducibles. Es de notr que de cuerdo l estructur o form (cso) del polinomio, dich fctorizción o representción tiene y un proceso definido; sí encontrmos los siguientes csos: FACTOR COMUN Fctor común sencillo Se d o present cundo todos los términos de l epresión lgebric, tienen un fctor común, es decir, todos los términos tienen un divisor común. Se etre el fctor común de los coeficientes (máimo común divisor) De l prte literl se etre l letr repetid en todos los términos, con el menor eponente. Se divide cd término de l epresión lgebric entre el fctor común y el cociente resultnte se pone en un préntesis; préntesis que qued multiplicdo por el fctor común generl.. y + 9 y 8y En este ejercicio se observ que hy fctores comunes entre los términos del polinomio ddo, por lo que se eligen los fctores comunes con su menor eponente (M.C.D.) tnto entre los coeficientes numéricos como en l prte literl, obteniéndose como fctor común y El otro fctor el que v dentro de un préntesis, result de dividir cd término del polinomio entre el fctor común. Luego el polinomio ddo qued fctorizdo y + 9 y 8y y.( + 6) Not: L fctorizción se puede comprobr efectundo el producto indicdo en el ldo derecho de iguldd, el cul debe dr el polinomio que se fctorizó. b. (m ) + b (m ) c (m ) Est vez, el fctor común es un polinomio (binomio), en este cso, m y l fctorizción se reliz en form nálog l ejercicio nterior. Por lo tnto, (m ) + b (m ) c (m ) (m ).( + b c) Fctor común por grupción de términos Este cso se present, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igul numero de términos, con un fctor común diferente en cd grupo; sí se sc en cd grupo el fctor común quedndo l mism epresión en cd uno de los préntesis, pr luego tomr dicho préntesis como un polinomio común (fctor común).
Not: Trtr desde el principio que nos queden igules los términos de los préntesis nos hrá más sencillo el resolver estos problems.. v + u + uv uv u u v A simple vist se observ que no hy fctor común en todos los términos, pero hy términos que se precen como v y uv. Además, hy un número pr de términos, por lo que, se puede pensr en el cso de fctor común por grupción, Ahor efectumos un grupción conveniente de términos, por ejemplo, el º con el º, el 5º con el º y el º con el 6º. Entonces, v + u + uv uv u u v (v uv ) (u u ) + (uv u v), ( téngse en cuent que l encerrr en el préntesis, uno de los binomios grupdos, se dej un signo menos por fuer pr que en interior todos los términos tomen distinto signo y sen igules los de los demás préntesis; luego scmos fctor común de cd préntesis. v ( u) u ( u) + u v ( u) (preciendo un nuevo fctor común) ( u).(v u + u v) Finlmente, tenemos v + u + uv uv u u v ( u) (v u + u v) Not: si l fctorizr los grupos no se consigue un nuevo fctor común, entonces, se grupn de otr form hst logrrlo. Es de notr que el ejercicio nterior tmbién puede relizrse grupndo los términos de en Trinomio cudrdo perfecto (T.C.P) Un trinomio es Cudrdo Perfecto si se tienen dos términos cudrdos y con el mismo signo y un tercer término epresdo como el doble producto de sus ríces. Pr fctorizrlo se orgniz el trinomio en orden descendente respecto un de ls vribles, luego se etre l ríz cudrd l primero y tercer términos del trinomio y se seprn ests ríces por el signo del segundo término. El binomio formdo se elev l cudrdo. y + y ( - y) Ejemplo: 9 6y + 6y Como es un trinomio, l pregunt inmedit es: Será un trinomio cudrdo perfecto? Se reconoce porque dos de sus términos son positivos y cudrdos perfectos (tienen ríz cudrd ect) y el tercer término (positivo o negtivo) es igul l doble producto de ls ríces cudrds de los dos primeros: 6y () (6y). Entonces, el trinomio cudrdo perfecto se fctoriz seprndo ls ríces cudrds por el signo del º término, se encierrn entre préntesis y se elev l cudrdo. O se, 9 6y + 6y ( 6y) Diferenci de Cudrdos 6y ()(6y) Este cso se d cundo dos cudrdos perfectos se están restndo; pr fctorizrlo se etre l ríz cudrd l minuendo y sustrendo y se multiplic l sum de ests ríces cudrds por su diferenci. b ( + b) ( b). 9 y Obsérvese que son dos cudrdos perfectos que se están restndo, por lo tnto pr fctorizrlo, se sc l ríz cudrd de cd uno de los términos y ests formn dos fctores, uno con ms y uno con menos. Por lo tnto, 9 y ( + y ) ( y )
y b. ( + b ) ( b + ) Tmbién se trt de un diferenci de cudrdos. Entonces, ( + b ) ( b + ) [( + b ) + ( b + )] [( + b ) ( b + )] [ + b + b + ] [ + b + b ] [] [b ]. (b ) (b ) ( + b ) ( b + ) (b ) Trinomio de l Form + b + c Es un trinomio pero no cudrdo perfecto, sino de l form + b + c Se bren dos préntesis y se sc l ríz cudrd de, l cul se distribuye en cd uno de los préntesis. Se coloc el signo del segundo término en el primer préntesis y en el segundo, el producto de los signos del º y tercer término. Así: + b + c ( p ) ( q ), con p.q c, p + c b 7 + ( ) ( ) como los signos de los préntesis quedn igules, buscmos dos números que multiplicdos den y sumdos den 7. Estos son y. Se coloc primero el myor y en el segundo préntesis, el menor. Entonces, 7 + ( ) ( ) Trinomio de l form + b + c Los trinomios de l form + b + c pueden fctorizrse por vrios métodos o procedimientos: llevándolo l form de un trinomio de l + b + c ; por tnteo y plicndo l formul del bchiller. ª form: Se multiplic y se divide por el polinomio ddo, de mner que el primer término quede epresdo como un cudrdo perfecto, o se, () ; en el segundo término se dej indicd l multiplicción, de mner, que se ve l ríz cudrd del primero, o se, () y en el último término, se hce l multiplicción ordinri; sí obtenemos en el numerdor un trinomio de l form + b + c, que finlmente debemos dividir por el mismo fctor por el que multiplicmos el polinomio inicilmente. Ejemplo: 5 Primero multiplicmos y dividimos el polinomio ddo por, obteniendo () 5() 6, luego fctorizmos el numerdor.( ), pr ello buscmos dos números que multiplicdos den 6 y restdos (porque tienen signos diferentes) den 5. 6.( Los números son 6 y ; ) Luego se sc fctor común donde se posible. Buscndo simplificr o eliminr el que está en el denomindor, sí:..( ).( ) Diferenci y sum de cubos perfectos Este cso se d cundo dos cubos perfectos se están restndo y se descompone o fctoriz como el producto de dos fctores: El primer fctor es l diferenci de sus ríces cúbics y el segundo fctor se obtiene elevndo l cudrdo l primer ríz, más el producto de ls dos ríces, más el cudrdo de l segund ríz. b ( b).( b b ) b ( b).( b b )
. 5 + 8b Es un sum de cubos, hor scmos l ríz cúbic cd término y luego formmos los fctores: Por tnto, 5 + 8b (5 + b) [(5) (5) (b) + (b) ] (5 + b) (5 0 b + b ) b. ( ) ( ) Se trt de un diferenci de dos cubos, por lo que se plic l segund epresión, ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) + ( ) ( ) + ( ) ] desrrollndo: [ + ] [ + + + + + ] Simplificndo: [ ] [ + + + ] fctorizndo y simplificndo: ( ) ( + ) ( ) ( ), entonces, ( ) ( ) ( ) Polinomio Cubo Perfecto Pr que un polinomio de términos se el cubo de un binomio debe cumplir ls siguientes condiciones:.el primer y el último término sen cubos perfectos.que el segundo término se más o menos el triple del cudrdo de l ríz cúbic del primer término multiplicdo por l ríz cúbic del último término..que el tercer término se más el triple de l ríz cúbic del primer término por el cudrdo de l ríz cúbic del último término. Not: Si los términos son positivos se refiere l cubo de l sum de ls ríces cúbics de su primero y último término y si son lterndos positivos y negtivos, l epresión dd es el cubo de l diferenci de dichs ríces. Ejemplo:. 7 + 7 b + 9b + b Este cso se reconoce porque el polinomio tiene términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen ríces cúbics ects); enseguid se debe ordenr pr ver si se trt del cubo de un binomio. En este cso, el polinomio está ordendo y hor hy que comprobr si se cumplen ls condiciones. Se procede sí: Se sc l ríz cúbic del º y el º término y verificmos si,, b El º término, es el triple del cudrdo de l primer ríz cúbic por l segund: (). b (9 ).b 7 b El tercer término, debe ser el triple de l primer ríz por el cudrdo de l segund: () (b) 9b Como se cumplen tods ls condiciones, y demás, todos los términos son positivos, se trt del cubo de un sum. Entonces, se sumn ls ríces cúbics, se encierrn entre préntesis y luego se elev l cubo. O se, 7 + 7 b + 9b + b ( + b) b ( ).b ( ).b b. 8m + 96mn 6n 8m n El polinomio tiene términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hy que ordenrlo con relción l letr m: 8m 8m n + 96mn 6n Como los signos vn lterndos, se trtrí del cubo de un diferenci y se fctoriz como en el ejemplo nterior: 8m 8m n + 96mn 6n (m n) REGLA DE RUFFINI m (m) (n) n (m) (n) En lgunos csos es conveniente fctorizr los polinomios medinte divisiones sintétics (regl de Ruffini). Est regl se plic en polinomios cuyos fctores son de l form ( ± )
Est regl nos dice que un polinomio tiene por fctor ( ± ) si l reemplzr el vlor por en el polinomio, el resultdo es cero. El vlor de de los posibles fctores de l epresión, es un divisor del término independiente del polinomio. Ejemplo: + 6 + - + 6 El posible vlor de deber ser divisor del término independiente es este cso 6 6 tiene por divisor,,,, 8, 6. Culquier de ellos puede ser el que hg cero l epresión. Pr dividir en form sintétic, tommos los coeficientes del polinomio y dividimos pr los divisores de 6. Probmos con : Si + 6 + - + 6, Sus coeficientes en orden son: 6-6 6 0 8 7 0 6 NO 6-6 - - -8 8-6 -7 0 SI Coeficientes resultntes ( + -7+) (+) Volvemos dividir: -7 - - 0 SI ( + - ) ( - ) ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) ( + ) CASOS COMBINADOS - (reiterdos). En este ejercicio, observmos que se d el cso de diferenci de cudrdo, entonces l fctorizción qued ( ) ( + ), sin embrgo uno de los fctores o préntesis, dicionlmente cumple con ser tmbién diferenci de cudrdos. Por lo que el polinomio ddo qued epresdo como: ( ). ( + ).( + ) b. 9 + b b Primero verificmos si cumple lgunos de los csos vistos, como no es posible plicrlos entonces, se grupn los tres últimos términos del polinomio, los cules formrán un trinomio cudrdo perfecto y sí, se obtendrá un diferenci de cudrdos: 9 + b b 9 ( b + b ) 9 ( b) [ + ( b)] [ ( b)] destruyendo ( + b) ( + b) ACTIVIDAD I. Fctorr o fctorizr los siguientes polinomios:. Bjs el primer cociente y multiplics por el divisor. Ubics bjo el do.cociente pr sumr o restr según se el cso. Multiplics por el divisor y ubics bjo el er.coeficiente y si sucesivmente hst terminr todos los coeficientes. Compruebs que l operción con el ultimo coeficiente te de cero cso contrrio busc otro divisor y vuelve intentr. Si obtienes cero entonces ese divisor es el vlor de l vrible y pr que se cero el fctor será con el signo contrrio En nuestro cso nos slió pr - entonces el fctor es (+) 5. El polinomio se fctor entonces disminuyendo un grdo l polinomio inicil tomndo los coeficientes + 6 + - + 6 resultntes. ( + ) ( - ). +. +. b - b. 6p q + pq 5. y - 8 y + y 6. 9m n + 8 mn - 7mn 7. 7hk + hk + hk 8. w y - 9wy + wy 9. m mb mc 0. 5 5 5 5 9. bb 5
0. mnn mn... by by. y 6y 5. n 5 y n y 5 6. 5 y5by 6b 6. b n b n b n n n 7. bb p p 8. b b 9. 0. y y. t 0t 5. z 6z 9 7. yz y z y. n 0 n 5 8. b y by. y yp p 5. y 6y 9. 7b 7b 0. + 6 6. 8 y 6y. m n m n 7. 5 t 5t. by b 6y b 8. 8 8 6. n n. b9b bb 9. z z 5. n z nz ny 6y II. UBICAR EN CADA ESPACIO EL NÚMERO QUE HACE FALTA PARA QUE EL RESPECTIVO TRINOMIO SEA CUADRADO PERFECTO 0. 57. 6 8 0 7. 8. 58. 7. 5. 59. n n 0 75. 5. y 60. 5 76. 5. 8b n 6. n 6 7 77. 7 6 5. 9 6 6. 7 80 78. 0n n 6. 9 8y 6. 00 79. 7m m 6 7. 5 6. 55 80. 6 7 8. b 9. 65. 6y 60y 8. m m 5 m _ n 50. z _ 6 66. (5) (5) 5 8. 0y y 5. 67. 8 9 6 8. n n 5. m m 8y y 68. 58 8. 5 III. Fctorr o fctorizr: 69. 8 85. n 7 n 6 5. 86. 5m 5. 7 0 70. 6 m 6 55. 7 7. tn.tn 8 56. 5 87. 6 5 88. 6 9 89. 68 90. 8 5 9. 0 5 7 7. 9. 8 6 9. 8 7 9. 6-5y 9. - y 95. 6-5 96. 6m n - 9p 97. 5 5 98. m b 9 99. 7 00. 5 + y 0. 8y + 0. 6 y 6
9 6 0. m m 0. 5 0. 99 0 05. 6 5. 6 9 59 60 8 COMBINADOS. y y bb. bbby y. 0. 6 yy 8y 6 5. 6 9 55 8n n 6. 7 5 8n 9n 7. 5 FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR. 5 6... 5. 6. 7. 8. b b b 5 7 0 z 5 ( b) b y yz b 6 5 ( b) 8 9 ( b c) c 5 b b ( b ) b 8 6 9. b b. b b 9 b b 9. 6 0.... ( ) ( 6 5 8 06. 6 5 07. 08. 09. 5 0. 7 7 5 8. 9. 9 y 6y 0. b b.. m m 5. p p 6p. 0m 6m m 5. b 6b 5b )..( ) b b b 5. c b c ( b)( ) ( b )( ) El SABIO SABE QUE IGNORA Confucio. 5. 6. 7. 8. 9 y y y y y y b b b 7