POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete)
EJEMPLO Considere un cilindro cizo y homogéneo de 30 cm de diámetro colocdo sobre un plno inclindo 5º. ) Cuál es el vlor mínimo del coeficiente de rozmiento pr que el cilindro desciend rodndo sin deslizr? Cuál es su celerción ngulr? b) espond ls miss pregunts del prtdo nterior suponiendo que se d l cilindro un impulso inicil hci rrib de modo que sub por el plno inclindo. Aprtdo ) Cilindro descendiendo lo lrgo del plno inclindo N mg cosθ 5 cm mg senθ Tondo como sentido positivo el sentido descendente, tenemos l componente del peso prlel l plno inclindo, mg senθ. En sentido negtivo tenemos l fuerz de rozmiento,.si el cilindro rued sin deslizr, ést será un fuerz de fricción estátic, y que en roddur el punto de contcto no tiene velocidd reltiv respecto l suelo sobre el que se sient. θ 5º L fuerz de fricción estátic lcnz como máximo el vlor µn, donde N mg cos θ es l rección norl y µ es el coeficiente estático de rozmiento. Por lo tnto l condición pr que hy roddur sin que se produzc deslizmiento será que l fuerz de rozmiento se menor que µn.
EJEMPLO (CONTNUACÓN) Aplicndo l ª ley de Newton: se m l s del cilindro y 5 cm N mg cosθ θ 5º Condición de roddur: Llndo mg senθ m Q mg senθ m g senθ m En el cso de un cilindro homogéneo se l celerción de su CM mg senθ Dinámic de rotción: llmemos l momento de inerci del cilindro respecto su CM y se su celerción ngulr Tondo momentos respecto del CM, vemos que l únic fuerz que produce un momento que hce girr el cilindro es, que se encuentr plicd en l periferi del mismo, un distnci : g senθ Q Q mg senθ mg senθ, y que m 3
EJEMPLO (CONTNUACÓN) g senθ Q mg senθ Pr que ruede sin deslizr < µ N mg senθ Q mg senθ mg senθ Q Q < µ mg cosθ Cálculos numéricos: Q θ 5º 0.5 m 3 tg 5 < µ Q tgθ < µ Q tg 5 µ > µ > 0. 554 3 Acelerción ngulr: g senθ ( Q) 9.80 sen 5 0.5 ( ) 8.4 rd/s Pregunt dicionl: Cuál serí el resultdo si en lugr de trtrse de un cilindro se trtse de un esfer homogéne del mismo rdio? Solución: µ > 0.33 9.7 rd/s 4
EJEMPLO (CONTNUACÓN) Aprtdo b) Cilindro scendiendo lo lrgo del plno inclindo ω 5 cm N mg cosθ θ 5º mg senθ Cundo el cilindro sube gir en sentido ntihorrio (su velocidd ngulr ω es sliente respecto l plno del ppel). Pero l componente del peso prlel l superficie del plno inclindo tiene sentido descendente y medid que sube l velocidd linel del CM y su velocidd ngulr decrecen, por eso su celerción ngulr es entrnte respecto l plno del ppel, y está socid con un giro en sentido horrio. L fuerz de rozmiento (estátic) está dirigid en sentido contrrio, es por tnto de sentido scendente. L diferenci entre mbs es. Así, l ª ley de Newton plicd este cso nos d: mg senθ Tondo momentos respecto del CM, vemos que l únic fuerz que produce un momento que hce girr el cilindro es, que se encuentr plicd en l periferi del mismo, un distnci : Ests son ls miss ecuciones que encontrmos en el cso del cilindro descendente, por lo que l solución de este cso es l mis en lo que se refiere l cálculo de celerción ngulr (vése prtdo nterior). Además, l condición de roddur sigue siendo l mis, por lo que el límite mínimo del coeficiente de rozmiento pr roddur es tmbién igul. µ > tg 5 3 5
EJEMPLO Dos discos de rdio están unidos simétricmente medinte otro disco de rdio menor,, de modo que forn un crrete con simetrí de revolución respecto del eje perpendiculr los tres discos, el cul se coloc sobre un suelo horizontl rugoso. L s del crrete es m, y su momento de inerci respecto l eje de simetrí perpendiculr que ps por su CM es. Se enroll un cuerd sobre el disco centrl, y se tir de ell plicndo un fuerz constnte dirigid hci l derech (l cuerd no desliz). ) Cuál es el vlor mínimo del coeficiente de rozmiento con el suelo pr que el crrete ruede sin deslizr? Cuál es su celerción ngulr? b) Discut cuál es el sentido de l fuerz de rozmiento estátic en el cso nterior. c) Determine l fuerz de rozmiento y compruebe l hipótesis de roddur sin deslizmiento usndo los siguientes vlores numéricos: 5 cm 0 cm dio de giro g 6 cm m 4 kg 8 N µ 0.0 6
EJEMPLO (CONTNUACÓN) Aprtdo ) * * uerzs que ctún en sentido horizontl: L fuerz con que se tir de l cuerd, dirigid hci l derech. L fuerz de rozmiento (desconocid por hor, hy que clculrl) y l que suponemos dirigid hci l izquierd. N Segund ley de Newton: ( es l celerción del CM) Suponiendo que rued sin deslizr: ( ) m Su de momentos respecto l CM Condición pr que ruede sin deslizr: < µn m 7
8 EJEMPLO (CONTNUACÓN) Aprtdos ) y b) N µn < m m m m N mg Pr que ruede sin deslizr debe cumplirse que especto l sentido de l fuerz de rozmiento (pdo b): > m mg µ Si l fuerz de rozmiento tiene el sentido que hemos supuesto < m N > µ > m Pero si entonces tiene sentido opuesto l que supusimos, es decir, el mismo sentido que. (Sugerenci: plntéese de nuevo el proble suponiendo de entrd que l fuerz de rozmiento tiene el mismo sentido que y compruébese que se lleg l mismo resultdo).
EJEMPLO (CONTNUACÓN) 5 cm 0 cm m 4 kg dio de giro g 6 cm 8 N µ 0.0 Aprtdo c) El dto del rdio de giro nos permite clculr el momento de inerci: mg 4 0.6 0.04 kg m m 0.67 rd/s m.3 m/s 8 4.3 0.54 N Comprobción de l hipótesis de roddur: N 0.0 4 9.8 7.84 N > µ Esto signific que está dirigid en sentido contrrio l supuesto inicilmente, es decir, está dirigid en el mismo sentido que. O tmbién ver que µ 0.0 es yor que µ minimo µ minimo 0. 5 mg m N mg 9
EJEMPLO (CONTNUACÓN) Pregunts dicionles propósito de este proble.. Si l s del crrete cmbise, quedndo igul todo lo demás, cmbirí l fuerz de rozmiento? L fuerz de m rozmiento no depende de l m NO! m s!... Porque el momento de inerci es g m g y por lo tnto m Qué rdio deberí tener el disco interno del crrete pr que l fuerz de rozmiento cmbise de signo (nteniendo igul todo lo demás)? y son del mismo sentido si < m y de sentidos opuestos en cso contrrio Mismo sentido < g < m Sentidos contrrios > g 0