E.T.S.I.I. Departamento. a la Ingeniería Industrial

Transcripción

1 ublicción de Nots: --9 ech de xmen: -- 5 Mecánic - rimer pellido: Mtrícul: Segundo pellido: Nombre: NOT: en el enuncido ls mgnitudes ectoriles se escriben en negrit (V), unque en l solución Vd. Debe representrls con un flech ( V ). No se permite el uso de clculdor. L ponderción de este ejercicio en el exmen es del 5%. Todos los recudros tienen l mism ponderción. onteste cd pregunt sólo con un resultdo. rimer rte (6 minutos) Hoj de Un brr rígid se muee de modo que su extremo desliz sobre un líne prlel l eje x con elocidd i constnte y su extremo desliz sobre el eje y. Sbiendo que, en un instnte ddo ls coordends del extremo son (,,) y ls del extremo son (,,) se pide determinr, en función de y : Los módulos y de l elocidd y de l celerción respectimente del extremo. Los módulos y de l elocidd y de l celerción respectimente de punto centrl de l brr. L brr de longitud está rticuld en sus extremos l cudrilátero rticuldo D y l correder que desliz sobre l rect r. Los puntos y son fijos. Sbiendo que ls longitudes de ls brrs, D y D son igules y de lor, que l brr gir con elocidd ngulr constnte y que los ángulos α y β 9º son conocidos, se pide determinr en función de, y α: l módulo de l elocidd del punto l módulo de l celerción del punto l módulo de l elocidd de rotción de l brr l módulo de l elocidd del.t.s.i.i. punto Deprtmento de ísic plicd senα tn α l Ingenierí Industril

2 ublicción de Nots: --9 ech de xmen: -- rimer pellido: Mtrícul: 5 Mecánic Segundo pellido: Nombre: rimer rte (6 minutos) Hoj de l mecnismo de l figur está formdo por ls brrs rígids, MD, G y DG que están rticulds en sus extremos. demás, el extremo de l brr puede desplzrse erticlmente sin rozmiento. Dicho mecnismo sustent un peso medinte un pr M plicdo en sentido ntihorrio en el punto M. Se pide determinr, en l posición de equilibrio, en función de, y θ: l lor del pr plicdo M. l lor (con signo) de l componente horizontl de l rección de l pred en. l lor X e Y (con signo) de ls componentes horizontl y erticl respectimente de l rección de l pred en M. ecciones positis: y X hci l derech; Y hci rrib. M M cos θ X X Y Y tnθ tnθ D G Un horquill de ms desprecible, rrstr trés de un rill horizontl homogéne de z ms m y longitud L, un rued homogéne de ms M, rdio L/ y espesor desprecible. L rued tiene un moimiento de roddur y piotmiento sin deslizmiento Ω respecto del suelo horizontl, permneciendo siempre en un plno erticl. Supuesto conocid l rotción Ω Ωk de l horquill respecto del sistem fijo, se pide determinr en función de x m, M, L y Ω: l módulo L V O del momento cinético de l rill respecto del punto O. y L L energí cinétic T V de l rill. l módulo L del momento cinético de l rued respecto de su centro de mss. L energí cinétic T.T.S.I.I. O de l rued. L V ml Ω T V 6 ml Ω 7 L Deprtmento 6 ML Ω 5 T ML Ω de z x ísic plicd Un crrete de rdios menor y myor r y r respectimente, ms m, momento de inerci I mr respecto su eje y centro de mss situdo en dicho eje, es rrstrdo (medinte un cble rrolldo decudmente l superficie cilíndric de rdio r) subiendo un pendiente de ángulo θ por un operrio en l form representd, siendo ucte l celerción que el operrio imprime l extremo del cble ( u es un ector unitrio constnte prlelo l plno inclindo). Si el crrete rued sin deslizr en su scenso, se pide determinr l Ingenierí en función de m, g, r, θ y : l módulo de l celerción del centro de mss del crrete. l módulo de l fuerz que el operrio ejerce sobre el cble. g l módulo de l fuerz de rozmiento entre suelo y crrete. Industril Vlor mínimo µ* del coeficiente entre suelo y crrete que segur que no exist deslizmiento pr θ5º. 5 m + mg sinθ 9 θ m + mgsinθ µ* μ * g

3 SOLUIÓN : Un brr rígid se muee de modo que su extremo desliz sobre un líne prlel l eje x con elocidd i constnte y su extremo desliz sobre el eje y. Sbiendo que, en un instnte ddo ls coordends del extremo son (,,) y ls del extremo son (,,) se pide determinr, en función de y : Los módulos y de l elocidd y de l celerción respectimente del extremo. Los módulos y de l elocidd y de l celerción respectimente de punto centrl de l brr. plicndo el teorem de ls elociddes proyectds : ( r r ) ( r r ) i ( i j+ k) j ( i j+ k ) or tnto Si derimos l expresión del teorem de ls elociddes proyectds se obtendrí: Ddo que cte y por consiguiente: ( r r ) + ( ) ( r r ) + ( ) + ( ) ( r r ) + ( ) i ( i j) j ( i j + k) i ( i j) or tnto, j j y finlmente.t.s.i.i. r r + r, + y + l punto es el punto medio de l brr, por tnto, Deprtmento de Se obtendrí entonces los siguientes resultdos: + i j ísic plicd j + l j Ingenierí Industril

4 L brr de longitud está rticuld en sus extremos l cudrilátero rticuldo D y l correder que desliz sobre l rect r. Los puntos y son fijos. Sbiendo que ls longitudes de ls brrs, D y D son igules y de lor, que l brr gir con elocidd ngulr constnte y que los ángulos α y β 9º son conocidos, se pide determinr en función de, y α: l módulo de l elocidd del punto l módulo de l celerción del punto L elocidd de rotción de l brr l módulo de l elocidd del punto senα tn α y l centro instntáneo de rotción (I) de l brr D se encontrrí, plicndo el teorem de los tres centros, en l intersección de l prolongción de los segmentos y D, es decir, en el infinito. or tnto, l brr D poseerá un moimiento de trslción lo que implic que:. Todos los puntos de l brr D tienen l mism elocidd. Todos los puntos de l brr D tienen l mism celerción x or tnto, ddo que l brr D rot lrededor de con elocidd ngulr constnte, el moimiento del punto será un moimiento circunferencil con cte. or ello: y n l posición de l figur (β 9º), i L elocidd del punto debe ser prlel l rect r: ero, demás, + i + ( sen α ) i + cosαj.t.s.i.i. cosα senα Ddo que l elocidd debe ser prlel l rect r, ( sen α ) sen α cosα sen α j tn α j y j i j k Deprtmento de tn α ísic plicd l Ingenierí Industril

5 l mecnismo de l figur está formdo por ls brrs rígids, MD, G y DG que están rticulds en sus extremos. Dicho mecnismo sustent un peso medinte un pr M plicdo en sentido ntihorrio en el punto M. Se pide determinr, en l posición de equilibrio, en función de, y θ: l lor del pr plicdo M. l lor de l componente horizontl de l rección de l pred en. l lor X e Y de ls componentes horizontl y erticl respectimente de l rección de l pred en M. ecciones positis: y X hci l derech; Y hci rrib. M M cos θ tnθ X X Y Y tnθ D G X y Y x D G r hllr el pr M se utilizr el rincipio de los Trbjos Virtules. L únic fuerz plicd es el peso coordends: rg cosθ i + sin θj l único pr plicdo es M Mk. l trbjo irtul elementl será: j que está plicd en el punto G de or tnto, M cos θ δ T M δθ+ δ rg Mδθ+ ( j) ( sinθδθ i + cos θδθ j) δθ r determinr l rección se puede tomr momentos respecto l punto M: M cosθ sinθ M cosθ cosθ cosθ sinθ sinθ tnθ Se obtendrí:.t.s.i.i. X X+ X r l obtención de X e Y bstrí con : tnθ Y Y Y Deprtmento de ísic plicd l Ingenierí Industril

6 Un horquill de ms desprecible, rrstr trés de un rill horizontl homogéne de ms m y longitud L, un rued homogéne de ms M, rdio L/ y espesor desprecible. L rued tiene un moimiento de roddur y piotmiento sin deslizmiento respecto del suelo horizontl, permneciendo siempre en un plno erticl. Supuesto conocid l rotción Ω Ωk de l horquill respecto del sistem fijo, se pide determinr en función de m, L y Ω: l módulo L V del momento cinético de l rill respecto del eje z. L energí cinétic T V de l rill. l módulo L del momento cinético de l rued respecto de su centro de mss. L energí cinétic T de l rued. L V ml Ω T V 6 ml Ω L 7 6 ML Ω T z Ω x O O y L 5 ML Ω z x L rill posee un moimiento de rotción lrededor e un eje fijo (el eje z ). Su momento cinético áxico L V respecto del eje z lo podemos clculr del modo siguiente: L k ml mlω ( I Ω ) [ ] V O xyz ml xyz Ω xyz L energí cinétic de l rill se puede clculr como: TV Ω ( IO Ω ) [ Ω] ml mlω xyz 6 ml xyz Ω xyz L elocidd de rotción de l rued tiene un componente de roddur ( ΩL/ k ) y otr de piotmiento ( Ω k Ωi). l momento cinético respecto de su centro de mss será: M.T.S.I.I. Ω M Ω O [ ] M xyz M L / xyz Ω xyz MLΩ xyz Deprtmento de L MΩ + L MLΩ L + L L 7 6 ML Ω L I L or tnto, su módulo será : 6 ísic plicd : M Ω T M( Ω L) + [ Ω ΩL/ ] M ML M ML xyz Ω + Ω + Ω 8 M ΩL / xyz L energí cinétic de l rued será: T M + ( IO ) l Ingenierí xyz Industril 5 Ddo que L/, finlmente se obtiene T ML Ω

7 Un crrete de rdios menor y myor r y r respectimente, ms m, momento de inerci I mr respecto su eje y centro de mss situdo en dicho eje, es rrstrdo (medinte un cble rrolldo decudmente l superficie cilíndric de rdio r) subiendo un pendiente de ángulo θ por un operrio en l form representd, siendo u l celerción que el operrio imprime l extremo del cble ( u es un ector unitrio constnte). Si el crrete rued sin deslizr en su scenso, se pide determinr en función de m, g, r, θ y : l módulo de l celerción del centro de mss del crrete. l módulo de l fuerz que el operrio ejerce sobre el cble. g l módulo de l fuerz de rozmiento entre suelo y crrete. Vlor mínimo µ* del coeficiente entre suelo y crrete que segur que no exist deslizmiento pr θ5º. 5 m + mg sinθ 9 θ m + mgsinθ µ* μ * y D I mg N 9 g l crrete posee moimiento plno y ddo que el centro instntáneo de rotción (I) del crrete se encuentr en el punto de contcto entre rmp y crrete, l elocidd del punto será igul : r + r r+ r D D D Ddo que l tryectori de es un líne rect prlel l rmp, el ector elocidd será un ector cuy dirección coincide con l del ector u : D u or tnto, l celerción de (derid del ector elocidd) será : d Du dt Ddo que el cble es inextensible y permnece en todo momento prlelo l rmp, l elocidd del punto D y su celerción coincidirán con ls del extremo del cble. or tnto: u y.t.s.i.i. Ddo que no hy deslizmiento ni resistencis l nce del crrete, se erificrá (Tª de l nergí inétic): dt + du dr Siendo T l energí cinétic del crrete, U su energí potencil grittori y r el ector posición del punto. Diidiendo por dt l expresión nterior: Deprtmento de dt du d + r dt dt dt I L energí cinétic del crrete ísic es T m + I plicd m + I m+ r dt I I Y su derid respecto del tiempo: m+ m+ dt l r Ingenierí 9 r L energí potencil es (h es l cot del centro de mss del crrete) : U mgh du Industril mgh mg sinθ mg sinθ dt I I m+ + mgsinθ m+ sin + mg θ 9 r 9 r Su derid respecto del tiempo es Operndo : x Ddo que inerci I mr, finlmente se obtiene 5 m+ mgsinθ 9

8 Si se escriben ls ecuciones de l dinámic del centro de mss del crrete: X m mgsin θ + m (*) Y N mgcosθ N mgcosθ L ecución de l dinámic de rotción lrededor del eje perpendiculr l plno director del moimiento que ps por el centro de mss (eje del crrete) es l siguiente: I( θ ) r or tnto, I( θ ) r I r r I r r r Despejndo, r I I r r 6r Si se introduce este resultdo en l ecución (*): I mgsin m 6r I m+ + mgsinθ 9 r θ + ste resultdo es idéntico l obtenido nteriormente utilizndo el Tª de l nergí inétic. L fuerz de rozmientos serí: I I m mgsin + + θ 9 r 6r y operndo: Ddo que inerci I mr, finlmente se obtiene I m mgsinθ + 9 r m+ mgsinθ 9.T.S.I.I. I m mgsin + θ 9 r μ* l coeficiente de rozmiento mínimo serí: N mgcosθ Deprtmento de I Simplificndo l expresión nterior: μ* tnθ + 9cosθ mr g ísic plicd Ddo que inerci I mr y pr θ5º, finlmente se obtiene μ * 9 g + l Ingenierí Industril