Universidad de Costa Rica Escuela de Física Mecánica Celeste Andrë Oliva I r 2 dv dt = k (1 + m)a(1 e 2 ) (1) = k 2 (1 + m)

Transcripción

1 Universidd de Cost Ric Escuel de Físic Mecánic Celeste Andrë Oliv I 2014 Elementos Orbitles 1. Posición en órbits eĺıptics. Ls integrles de áres y de vis viv (energí pr un órbit elíptic son ( dr 2 + r 2 ( dv r 2 dv = k (1 + m(1 e 2 (1 ( 2 = k 2 (1 + m r 1 (2 donde es el semieje myor, v es l nomlí verdder, es decir, el ángulo polr de l órbit. Eliminndo dv de l [Ec. 2] prtir de l [Ec. 1], se obtiene ( 2 dr + k2 (1 + m(1 e 2 ( 2 r 2 = k 2 (1 + m r 1 (3 Ahor, se n l rpidez ngulr medi del cuerpo en su órbit, definid medinte l tercer ley de Kepler (P es el periodo n = 2π P = k 1 + m (4 3 2 Despejndo k 1 + m de ls [Ec. 4] y [Ec. 3], se obtiene l ecución diferencil Ahor, definimos el siguiente cmbio de vribles: n = r dr (5 2 e 2 ( r 2 r = e cos E = r = ( (6 El ángulo E se llm nomlí excéntric, y este cmbio de vribles implic en relidd un trslción del origen desde el foco de l elipse (lugr donde se encuentr el cuerpo más msivo, l centro de l mism. Ahor, sustituyendo n = dr 2 e 2 2 e 2 cos 2 E lo cul, hciendo l integrción, qued = dr e sin E = (1 cos EdE (7 n(t T = M = E e sin E (8 donde hemos definido el ángulo M, l nomlí medi, que indic el desplzmiento ngulr que hbrí descrito el rdio vector si se hubier movido uniformemente con l rpidez ngulr medi n. En otrs plbrs, hemos proyectdo l órbit elíptic en un órbit circulr. A l [Ec. 8] se le llm ecución de Kepler, y es trscendentl en E. 1

2 A prtir de l [Ec. 5] y l ecución de l elipse en coordends polres, r = (1 e2 1 + e cos v, prece l relción Y prtir de quí, = 1 e2 1 + e cos v = e cos v = 1 e2 1 cos v = cos E e (9 (1 e(1 + cos E 1 + cos v = (1 + e(1 cos E 1 cos v = Con ls que se obtiene, usndo l fórmul de l tngente del ángulo medio, 1 cos v 1 + cos v = tn v 1 + e 2 = 1 e tn E 2 (10 (11 (12 2. Posición en órbits hiperbólics. L determinción de l posición en órbits hiperbólics gurd un estrech nlogí con l sección nterior. De l ecución polr de l hipérbol 1, r = (ɛ ɛ cos v (13 Ls integrles del movimiento de áres y vis viv (moméntum ngulr y energí son Ahor, l eliminr dv ( dr 2 + r 2 ( dv r 2 dv = k (1 + m(1 ɛ 2 (14 ( 2 = k 2 (1 + m r + 1 (15 de ests ecuciones sustituyendo l primer en l segund, se obtiene que ν = rdr ( + r2 2 ɛ 2 (16 donde ν = k 1 + m. Aunque [Ec. 16] puede ser integrd en términos de funciones hiperbólics 3/2 directmente, es preferible introducir un cntidd uxilir F que corresponde l nomlí excéntric en ls órbits elíptics. Hgmos + r = ɛ 2 (ef + e F = ɛ cosh F (17 1 L excentricidd es hor myor que 1, por lo que surgen cmbios de signo pr que r sig siendo positivo. Por eso se us hor el símbolo ɛ, pr recordr que hor ɛ > 1. 2

3 Entonces, ν = [ 1 + ɛ cosh F ]df = M = ν(t T = F + ɛ sinh F (18 que serí un equivlente de l ecución de Kepler pr órbits hiperbólics. Entonces, en nlogí con [Ec. 9] podemos encontrr y, de quí, encontrmos un nálogo [Ec. 12], r = (ɛ2 1 = [ 1 + ɛ cosh F ] ( ɛ cos v tnh v 2 = ɛ + 1 ɛ 1 tnh F 2 (20 3. Posiciones en el sistem heliocéntrico. En l siguiente figur se muestrn ls vribles de un órbit elíptic generl proyectd en l esfer celeste. El problem generl de dos cuerpos es de sexto orden, por lo que hy seis constntes de integrción, que pueden ser elegids rbitrrimente. En observciones, entonces, conviene elegir ls constntes siguientes: e : excentricidd de l órbit (y definid más rrib : longitud del nodo scendente, ángulo en el cul se encuentrn el plno de l órbit y el de l eclíptic, cundo v de sur norte. i : inclinción del plno de l órbit con respecto l plno de l eclíptic. ω : longitud del perihelio medid desde el nodo scendente. 3

4 T : tiempo de psje del perihelio. En el plno de l órbit, entonces, definiendo el eje x positivo en l dirección del punto del perihelio, x 0 = r cos v y 0 = r sin v (21 z 0 = 0 Ahor, podemos rotr el eje x de form que coincid con l líne de nodos, con lo que ls ecuciones nteriores quedn x = r cos(v + ω = r cos(v + π y = r sin(v + ω = r sin(v + π (22 z = 0 por comodidd, elegimos un nuevo prámetro, u = v + ω, el rgumento de Ltitud. En seguid, rotmos el sistem de coordends de form que hor sí el eje x coincid con l líne de nodos, y el eje y esté en el plno de l eclíptic. Ls nuevs coordends son x = r cos u y = r sin u cos i (23 z = r sin u sin i Aunque tmbién, l ser coordends esférics, en términos de l ltitud b y l longitud l, x = r cos b cos(l y = r cos b sin(l z = r sin b (24 Comprndo [Ec. 23] y [Ec. 24], cos b cos(l = cos u cos b sin(l = sin u cos i sin b = sin u sin i (25 y finlmente, { tn(l = tn u cos i tn b = tn i sin(l (26 Est ecución nos permite clculr l longitud y ltitud cundo se conocen, i y u. Recpitulndo, u contiene l informción de en qué momento de l órbit se encuentr el objeto, y u y dn l ubicción del plno de l órbit. Pr objetos distntes, el conocimiento de l ltitud y longitud es suficiente; solo bstrí un rotción pr trnsformr l ltitud y longitud en declinción (δ y scención rect (α, porque b y l están en el sistem eclíptico, que, debido l inclinción terrestre de 23.5, se encuentr rotdo con respecto l sistem ecutoril, de uso común en los telescopios. No obstnte, pr los cuerpos cercnos l Tierr, est proximción no es válid y hy que clculr ls coordends geocéntrics, es decir, hy que efectur un trslción tmbién. 4

5 4. Determinción de órbits. Con el nálisis nterior entonces es posible clculr l scención rect y l declinción de los puntos de un órbit. Ahor bien, surge l pregunt de cómo determinr los prámetros de un órbit prtir de observciones hechs con instrumentos. Aunque el tem no se trtrá en el presente trbjo, se dejrá esbozdo y con l referenci de dónde encontrrlo listo pr clculr. Primero, se necesitn tres observciones. L rzón de esto es que l tener tres observciones de un mism órbit, se obtendrín seis ecuciones: α 1 = ϕ(, iω,, e, T ; t 1 α 2 = ϕ(, iω,, e, T ; t 2 α 3 = ϕ(, iω,, e, T ; t 3 (27 δ 1 = ψ(, iω,, e, T ; t 1 δ 2 = ψ(, iω,, e, T ; t 2 δ 3 = ψ(, iω,, e, T ; t 3 y l ser seis prámetros, ls ecuciones los determinrán. Ahor bien, ls relciones ϕ y ψ no son sencills, y de hecho se trt de ecuciones trscendentles en generl. Otr form de determinr l órbit es conociendo l posición y velocidd en un instnte ddo, medinte lo cul tendrímos seis cntiddes conocids, y hbrí que encontrr l relción con los seis prámetros. Hy vrios métodos pr resolver este problem, dos de los cules son el método de Guss y el método de Lplce. Ambos involucrn proximciones. Un descripción bstnte complet de mbos métodos se encuentr en el cpítulo 6 de Moulton ( Referenci. Moulton, Forest Ry (1970. An Introduction to Celestil Mechnics, Dover Publictions. ISBN