Curso de Mecánica Cuántica. Enero-Mayo de 2017

Transcripción

1 Curso de Mecánic Cuántic. Enero-Myo de 7 Tre Ejercicios del cpítulo (págin 76) del libro Quntum Mechnics. Concepts nd pplictions. Second edition. Nouredine Zettili () Método. L función de ond t es ψ(x, ) ϕ (x) + ϕ (x) + 6 ϕ (x). El vlor medio de l energí se clcul como E ψ(x, ) H ψ* (x, ) dx. Sustituyendo l función de ond dd y recordndo que ls ϕ n (x) son funciones propis del hmiltonino de vlor propio E n π m n, tenemos E ψ(x, ) H ψ * (x, ) dx ϕ (x) + ϕ (x) + 6 ϕ (x) + ϕ (x) ϕ (x) + 6 H ϕ (x) + ϕ (x) H H ϕ (x) + 6 ϕ (x) + H ϕ (x) dx ϕ (x) + 6 ϕ (x) dx ϕ (x) + ϕ (x) + 6 ϕ (x)

2 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb π m () ϕ (x) + π m () ϕ (x) + 6 π m () ϕ (x) dx. Efectundo los productos y debido que ϕ (x), se encuentr que E + dx dx ϕ (x) ϕ (x) 6 π π π m 8 d x ϕ (x) ϕ (x) + m () ϕ (x) + m () ϕ (x) + d x dx 6 6 ϕ (x) d x ϕ (x) ϕ (x) + ϕ (x) 6 π π m () ϕ (x) m () ϕ (x) dx ϕ (x) ϕ (x) + 8 dx ϕ (x) ϕ (x). Usndo hor que ls funciones de ond ϕ n (x) son ortonormles; es decir, que, ϕn* (x) ϕ m (x) dx δ m,n, tenemos E π m 8 + Así que el resultdo finl es E 8 π m. Método. () + () + 8 π 6 8 π m m En el curso vimos que si tenemos un conjunto de funciones propis {φ n (x), n,,,, } del hmiltonino estcionrio (en el sentido de que el potencil no depende del tiempo) H, l solución generl del sistem es ψ(x, t) cn φ n (x) exp -i E n n t () y el vlor medio de l energí es E cn E n. n Aplicndo est fórmul encontrmos E 6 π m + π m + π m 8 π m (b) Como el hmiltonino H es estcionrio (en el sentido de que el potencil no depende del tiempo), l función de ond l tiempo t es ψ(x, t) ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t + 6 ϕ (x) exp -i E t donde E n π m n. E ψ(x, t) H ψ * (x, t) dx H ϕ (x) exp i E π m 8 d x ϕ (x) ϕ (x) + t + ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp i E t + t + 6 ϕ (x) exp -i E t + 6 ϕ (x) exp i E t dx d x ϕ (x) ϕ (x) exp -i E t exp i E t + d x ϕ (x) ϕ (x) exp i E t exp -i E t + 8 dx ϕ (x) ϕ (x) π m 8 d x ϕ (x) ϕ (x) + exp -i E t exp i E t dx ϕ (x) ϕ (x) + ϕ (x) exp -i E t

3 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb exp i E t exp -i E t d x ϕ (x) ϕ (x) + 8 dx ϕ (x) ϕ (x). Usndo hor que ls funciones de ond ϕ n (x) son ortonormles, E π m 8 + () + () + 8 π 6 8 π m m. El resultdo es el mismo que en (), debido que se trt de un sistem estcionrio y que estmos en l bse de l energí. () L ecución de Schrödinger estcionri (independiente del tiempo) es (b) - d ψ (x) E ψ(x), m dx x - m d ψ (x) dx + V ψ x E ψ(x), x > Ddo que pr x tenemos un prticul libre, lo que espermos es un ond pln. Como E < V, pr x >, espermos un exponencil decreciente. Pr verificr que este es el comportmiento, podemos encontrr l solución. Pr x, l solución es ψ < (x) exp(i k x) + r exp(-i k x), k Pr x >, l solución es m E. ψ > (x) t exp(-κ x), κ m(v - E). Ls condiciones de continuidd en x son ψ < (x ) + r t ψ > (x ) pr l función de ond y ψ < (x ) i k - i k r -κ t ψ > (x ) pr su derivd, sí que obtenemos el sistem de ecuciones - -κ i k t r i k, cuy solución es t r k + i κ k k - i κ. Así que pr x, l solución es

4 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb ψ < (x) exp(i k x) + k - i κ k + i κ exp(-i k x), k m E, y pr x >, l solución es ψ > (x) k k + i κ exp(-κ x), κ m(v - E). Hciendo E ev.6-8 J, V ev. -8 J, m 9. - kg,. - J s, tenemos k.6 m - y κ k, podemos hcer ls gráfics Re[ψ < (x)] Im[ψ < (x)] ψ < (x) Re[ψ > (x)] Im[ψ > (x)] -. -.

5 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb.... ψ > (x) Gráfics (c) En l prte negtiv del eje X l función de ond es ψ < (x) exp(i k x) + k - i κ k + i κ exp(-i k x), k m E. El hz incidente de electrones es exp(i k x), y si le plicmos el operdor de impulso tenemos p exp(i k x) k exp(i k x), sí que el impulso es igul k. L relción de de Broglie es λ h/p, por tnto, λ π h.89 - metros. k m E J s kg / J / J kg s kg m kg s s (d) En l solcuión de l ecución escribimos explicitmente ls condiciones de fronter en x. (e) L mplitud de probbilidd es ρ(x) φ * (x) φ(x). En x, tenemos ρ() k, y pr x >, ρ(x) k exp(- κ x), sí que κ +k κ +k ρ(x) exp(- κ x) exp - ρ() Por lo tnto, l rzon es un %. m(v-e) x.. () Sketch V(x) nd locte the position of the two minim. Poniendo uniddes rbitrris con m y, l gráfic es

6 6 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb V(x) x (b) L ecución de Schrödinger es - d φ (x) + V(x) φ x E φ(x) m dx con V(x) m sinh (x) - cosh(x) y hy que probr que es solución. Hciendo es decir, φ(x) [ + cosh(x)] exp - - m d dx + m sinh (x) H φ(x) - 8 m φ(x). cosh(x) - cosh(x) [ + cosh(x)] exp - 8 cosh(x) - [ + cosh(x)] exp - m cosh(x) ; Por lo tnto, φ(x) sí es solución de l ecución de Schrödinger y el vlor propio de l energí es E - 8 m. Con ls uniddes elegids en el inciso (), en l siguiente gráfic mostrmos el potencil y el vlor propio de φ(x), V(x) - - x (c) En ls misms uniddes, tenemos

7 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb Clculos Se tiene que Δx n x n - x n y Δp n p n - p n. Clculmos primero x n. Tenemos que x n φ n (x) x φ * n (x) d x x sin n π x d x Clculmos hor x n. Tenemos que x n φ n (x) x φ * n (x) d x x sin n π x d x 6 π n - Determinmos hor p n. Tenemos que p n φ n (x) p φ * n (x) d x -i φ n (x) d d x φ n * (x) dx -i sin n π x d dx sin n π x dx -i n π sin n π x cos n π x d x -i n π sin n π x dx -i n π n π cos n π - cos() Determinmos hor p n. Tenemos que p n φ n (x) p φ n * (x) d x - n π sin n π x φ n (x) d d x d x φ n * (x) dx - n π n π sin n π x d dx sin n π x dx Así que Δx n x n - x n 6 π n π n Δp n p n - p n n π n π

8 8 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb Δx n Δp n n π - 6 π n n π - 6 π π n n - 6 π π n - 6 Así que desprecindo el 6, tenemos Δx n Δp n ~ π n Cuents () Método. L función de ond t es ψ(x, ) ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x). El vlor medio de l energí se clcul como E ψ(x, ) H ψ* (x, ) dx. Sustituyendo l función de ond dd y recordndo que ls - ϕ n (x) son funciones propis del hmiltonino de vlor propio E n ω + n, tenemos E ψ(x, ) H ψ * (x, ) dx - - ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x) H ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x) * dx - ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x) H ϕ (x) + H ϕ (x) + H ϕ (x) * dx - ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x) ω ϕ (x) + ω ϕ (x) + ω ϕ (x) * dx. Efectundo los productos se encuentr que E ω ω - - ϕ (x) ϕ * (x) d x + ϕ (x) ϕ * (x) d x + ω - ω - ϕ (x) ϕ * (x) dx + ϕ (x) ϕ * (x) dx +

9 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb 9 ω - ϕ (x) ϕ * (x) d x + ω - ϕ (x) ϕ * (x) dx + ω - ϕ (x) ϕ * (x) d x + ω - ϕ (x) ϕ * (x) dx + ω - ϕ (x) ϕ * (x) dx, que se reduce E ω ϕ (x) ϕ * (x) d x + - ω ϕ (x) ϕ * (x) dx + - ω ϕ (x) ϕ * (x) dx + - ω ϕ (x) ϕ * (x) d x + - ω ϕ (x) ϕ * (x) dx + - ω ϕ (x) ϕ * (x) dx + - ω ϕ (x) ϕ * (x) d x ω ϕ (x) ϕ * (x) dx ω ϕ (x) ϕ * (x) dx. - Usndo hor que ls funciones de ond ϕ n (x) son ortonormles, E ω + ω Así que el resultdo finl es E Método. + 9 ω 9 ω. 9 ω En el curso vimos que si tenemos un conjunto de funciones propis {φ n (x), n,,,, } del hmiltonino estcionrio (en el sentido de que el potencil no depende del tiempo) H, l solución generl del sistem es ψ(x, t) cn φ n (x) exp -i E n n t () y el vlor medio de l energí es E cn E n. n Aplicndo est fórmul encontrmos (b) E ω + ω + + ω 9 ω + Como el hmiltonino H es estcionrio (en el sentido de que el potencil no depende del tiempo), l función de ond l tiempo t es ψ(x, t) ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t donde E n ω + n. Por lo tnto, E ψ(x, t) H ψ * (x, t) dx - H ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp -i E t + t + ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t * dx ϕ (x) exp -i E t Usndo que E n ω + n, efectundo los productos y el que el conjunto de funciones {ϕ n(x), n,,,, } es ortonorml, tenemos E ω + ω + ω que es el mismo resultdo que en (), debido que se trt de un sistem estcionrio y estmos clculndo el vlor medio de l energí.

10 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb (c) ψ(x, ) ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ (x). ψ(x, t) ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t ψ(x, t) x ψ(x, t) - ψ * (x, t) x ψ(x, t) dx ψ * (x, t) x ψ(x, t) x ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp -i E t + t + ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp -i E t + ψ * (x, t) x ψ(x, t) ϕ * (x) exp i E t x ϕ (x) exp -i E t + ϕ * (x) exp i E t x ϕ (x) exp -i E t ϕ * (x) exp i E t x ϕ * (x) exp i E t x ϕ * (x) exp i E t x ϕ * (x) exp i E t x ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp -i E t ϕ (x) exp -i E ϕ (x) exp -i E t t + t + t + ϕ (x) exp -i E t ϕ * (x) exp i E t x ϕ * (x) exp i E t x ϕ (x) exp -i E t * ϕ * (x) exp i E t x ψ * (x, t) x ψ(x, t) ϕ * (x) x ϕ (x) + exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + 8 ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp i E t - i E t ϕ * (x) x ϕ (x) + 9 ϕ * (x) x ϕ (x) ψ * (x, t) x ψ(x, t) ϕ * (x) x ϕ (x) + exp(i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + exp( i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + exp(-i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + 8 ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp(i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + exp(- i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp(-i ω t) ϕ * (x) x ϕ (x) + 9 ϕ * (x) x ϕ (x) ψ(x, t) x ψ(x, t) - ψ * (x, t) x ψ(x, t) dx ϕ (x) exp -i E t ϕ (x) exp -i E t + ϕ (x) exp -i E t + dx ϕ * (x) x ϕ (x) + exp(i ω t) d x ϕ * (x) x ϕ (x) + exp( i ω t) dx ϕ * (x) x ϕ (x) exp(-i ω t) d x ϕ * (x) x ϕ (x) + 8 d x ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp(i ω t) dx ϕ * (x) x ϕ (x) - - -

11 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb + exp(- i ω t) - Pero y sbemos que ϕn (x) x ϕ m* (x) d x - ψ(x, t) x ψ(x, t) - d x ϕ * (x) x ϕ (x) + 6 exp(-i ω t) dx ϕ * (x) x ϕ (x) ψ * (x, t) x ψ(x, t) dx dx ϕ * (x) x ϕ (x) m ω n δ m,n- + n + δ m,n+ (Zettili, expresión (.78), págin 8), sí que m ω exp(i ω t) + 6 exp(-i ω t) + exp(i ω t) + 6 exp(-i ω t) m ω cos(ω t) + + cos( ω t) m ω cos( ω t) 6 + m ω cos( ω t) ψ(x, t) x ψ(x, t) 6 + m ω cos( ω t) Demostremos primero que j n Lo podemos hcer por inducción. n! (n- j)! n - j si j n y j n si j > n. Pr j, se tiene n n! (n-)! n - n n -, que es cierto, y que es l definición mism del operdor. Lo suponemos hor pr j, y lo probmos pr j +, o se, suponemos que es cierto que j n n! (n- j)! n - j, y tenemos j n n! (n- j)! n - j n! (n- j)! n - j n! (n- j)! n - j n - j - n! [n-( j+)]! n - (j + ), que es l expresión prr j + y por lo tnto qued demostrdo. L prte j n si j > n es trivil. De mner idéntic se puede probr que j n (n+ j)! n! n + j. Ahor evlumos X. Tenemos X μ ω + y recordndo siempre que y no conmutn, obtenemos X μ ω + μ ω + μ ω Así que n X m μ ω n m

12 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb μ ω n m + μ ω n m + μ ω n m + μ ω μ ω n m m(m - ) n m - + (m + ) n m + m n m + μ ω μ ω μ ω (m + ) (m + ) n m + Como n m δ n,m, tenemos n X m μ ω m(m - ) δ n,m- + ( m + ) δ n,m + (m + ) (m + ) δ n,m+ μ ω m(m - ) n m - (m + ) (m + ) n m + m + n m n X m μ ω X μ ω n X m μ ω ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) n ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) m m - m - m - m m n + μ ω m + m + m + m + m + n m + m + ( m + ) m + n m - m ( m - ) m n + 6 m + 6 m + m n X μ ω

13 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb El vlor esperdo del operdor n es n ψ n ψ n n + 7 n - 7 n - 7 n, como n j j j, tenemos ψ n ψ , Hciendo el producto encontrmos ψ n ψ Tomndo en cuent que los estdos n son ortonormles, es decir, que n m δ n,m, se encuentr que ψ n ψ Otr mner de hcerlo, mucho más sencill, es ψ n ψ 7 () + 7 () () () En el cso del hmiltonino, tenemos 7 ω + 7 ω ω ω ω 69 ω

14 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb () Usndo los operdores de escler es muy fácil clculr los elementos de mtriz del operdor X. En efecto, tenemos n X m n μω + m μω n + m μω n m + n m μω m n m - + m + n m + μω m δ n,m- + m + δ n,m+ μ ω m n m - m + n m +. Igulmente pr su cudrdo, n X m μ ω m(m - ) δ n,m- + ( m + ) δ n,m + (m + ) (m + ) δ n,m+ μ ω m(m - ) n m - (m + ) (m + ) n m + m + n m Lo mismo sucede pr el operdor P, n P m n i μ ω - m i μ ω n - m i μ ω n m - n m i μ ω m + n m + - m n m - i μ ω m + δ n,m+ - m δ n,m- i μ ω m + n m +, - m n m - y pr su cudrdo n P m - μ ω n m - μ ω n m - n m - n m + n m - μ ω m(m - ) n m - - (m + ) n m - m n m + (m + ) (m + ) n m + - μ ω m(m - ) δ n,m- - ( m + ) δ n,m + (m + ) (m + ) δ n,m+ - μ ω m(m - ) n m - (m + ) (m + ) n m + -( m + ) n m. Usndo l definición de l vrinz, tenemos

15 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb ΔX n n X n - n X n μ ω ( n + ) μ ω n +, y ΔP n n P n - n P n μ ω ( n + ) μ ω n +. Y finlmente ΔX n ΔP n μ ω n + μ ω n + n +. Por lo tnto, pr el estdo n, tenemos ΔX ΔP 7. (b) Cundo l prtícul está en el estdo de menor energí, tenemos ΔX ΔP. El estdo bse es un estdo que mínimiz ls dipsersiones de l posición y del impulso. () Tenemos que ψ(x) A A * x - x d x 8 7 A A*. Por lo tnto, A 7. (b) Por definición Δx x x - x, sí que debemos clculr, ψ(x) x ψ * (x) d x 8 7 x - x dx , y x ψ(x) x ψ * (x) d x 8 7 x - x dx , y tenemos Δx x - x

16 6 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb Pr l cntidd de movimiento linel, p -i ψ(x) p ψ * (x) d x -i 8 7, 8 7 d x - x dx x - x dx -i 8 7 x - x - x dx y p ψ(x) p ψ * (x) d x d x - x dx x - x dx x - x (-6 x) dx , sí que tenemos, Δp p - p. Finlmente, Δx Δp >. (c) L energí de los estdos ligdos del pozo está dd como E n π m n, n,,, y sus correspondientes funciones de ond como φ n (x) sin n π x, n,,,. Así que l energí dd corresponde l estdo n. Pr encontrr l probbilidd hcemos P E φ (x) ψ(x) 7 sin π x x - x dx 6 π 89 π Este problem lo hicimos en clse. Sólo reproduzco los cálculos. - m - m d +V(x) φ(x) E φ(x) dx d E φ(x) dx +V δ(x) φ(x) - d φ(x) +V δ(x) φ(x) E φ(x) d φ(x) - m V δ(x) φ(x) + m E φ(x) m d x dx d φ(x) dx + m E φ(x) d φ(x) + k φ(x), k d x φ(x) φ- (x) exp(i k x) + r exp(-i k x) x < φ + (x) t exp(i k x) x > m E φ - () φ + () + r t d φ(x) - m V δ(x) φ(x) + m E φ(x) dx

17 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb 7 -ε ε lim ε dx d φ(x) - m V ε dx d x δ(x) φ(x) + m E ε dx φ(x) -ε -ε dφ + (x) dx - d φ -(x) x+ε d x x-ε - m V i k ( + r) - i k + i k r - m V ( + r) i k + i k r - i k + i k r - m V ( + r) i k r - m V ( + r) m V m V i k r, t + r + i k - m V i k - m V i k - m V r r * m V i k - m V m V -i k - m V φ() + m E ε dx [exp(i k x) + r exp(-i k x)] + m E t dx exp(i k x) -ε m V k + m V V k + V m i k t t * i k - m V -i k -i k - m V k k + m V k m k m + V Asi que finlmente R m V k + m V k, T. + m V k L ecución de Schrödinger pr este problem es - d φ(x) + V δ(x) φ(x) E φ(x). m dx Ls condiciones de fronter sobre l función de ond son φ(-), φ(), φ( + ) φ( - ). L condición de fronter sobre l derivd de l función de ond l derivmos en el péndice y es dφ(x) dx - dφ(x) - m V φ(). x + dx x - Sin embrgo, en este problem se nos está pidiendo determinr ls funciones de ond impres cundo E >, sí que hy que gregr l condición φ(-x) -φ(x), que implic que φ(). Llmmos I l región dd por - < x < y llmmos II l región dd por < x <. Como l delt de Dirc está en cero, l ecución de Schrödinger qued

18 8 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb donde k d φ I (x) dx + k φ I (x), - < x < d φ II (x) + k φ II (x), < x < dx m E es positivo y que debemos suponer que E >. L solución l ecución de Schrödinger es φ I (x) A cos(k x) + A sin(k x), - < x <, φ II (x) B cos(k x) + B sin(k x), < x <. L condición φ( + ) φ( - ) se trduce en A B, y l solución es hst este momento φ I (x) A cos(k x) + A sin(k x), - < x <, φ II (x) A cos(k x) + B sin(k x), < x <. El que l solución se impr implic que debe nulrse en x, lo cul quiere decir que A, y l solución se ve hor como φ I (x) A sin(k x), - < x <, φ II (x) B sin(k x), < x <. L condición de pridd complet φ(-x) -φ(x) exige que B A, y llevmos l solución como φ I (x) A sin(k x), - < x <, φ II (x) A sin(k x), < x <. Debemos imponer hor l condición de l función de ond se cero en los extremos del pozo infinito; es decir, debemos tener que φ I (-), lo cul nos llev que -A sin(k ) o que necesrimente k n π, siendo n un número entero. Est es l condición que nos dice cules son ls energís permitids y demás nos dice que el espectro es discreto. Notemos que utomáticmente qued tmbién stisfech l condición φ II (). Así que en este momento l función de ond luce como φ I (x) A sin n π x, - < x <, φ II (x) A sin n π x, < x <, con n,,,. Desechmos los enteros negtivos, y que dn ls misms soluciones. Es importnte notr que l condición de fronter en x pr l derivd de l función de ond y se cumple. Efectivmente, l condición dφ(x) dx - dφ(x) - m V φ() se trduce en φ x + dx x - II () - φ I () - m V φ(). Como φ II () n π A cos n π, φ I () n π A cos n π, y φ(), vemos que se stisfce. Finlmente podemos determinr l constnte A medinte l condición de normlizción. Ddo que sin n π x dx, obtenemos - finlmente φ I (x) φ II (x) sin n π x, - < x <, sin n π x, < x <, que evidentemente podemos poner como φ(x) sin n π x, - < x <. L enrgí de estos estdos está dd por l condición de cuntizción k n π; es decir, ls energís permitids son E n π m n, n,,, Si se compr este resultdo con el resultdo del pozo infinito de potencil, se ve que ests funciones de ond y sus energís no se ven modificds en bsoluto por l presenci de l brrer de potencil delt en el centro del pozo. No sucede lo mismo con los estdos pres,

19 Tre. Curso 7 Pr psr pdf.nb 9 que sí se modificn y su modificción es lgo complej. Ls funciones de ond y ls energís del sistem inicilmente son φ n (x) n n! mω π / exp - mωx H n mω x, E n ω n +, n,,,, donde ω k. En prticulr, cundo se trt del estdo bse, n, tenemos m φ (x) mω π / exp - mωx H mω x mω π / exp - mωx, E n ω. Si l constnte del resorte, k, es cmbid l doble súbitmente, encontrmos que ω ω, sí que hor ls funciones de ond serán ϕ n (x) n n! mω π / exp - mωx H n mω x, E n ω n +, n,,,, y por tnto, l función de ond del estdo bse del nuevo potencil será ϕ (x) mω π / exp - mωx H mω x mω π / exp - mωx, E n ω. L probbilidd de hllr l prtícul en el nuevo estdo bse está dd por el cudrdo de l proyección del nuevo estdo en el viejo, o por el entrelzmiento entre ls dos funciones de ond; escrito en términos mtemticos tenemos P φ ϕ φ (x) ϕ (x) d x mω π - / mω π / exp - mωx - mωx - dx mω π / mω π / - π m ω -.98 Resumiendo P.98.