. SISTEMAS Y COORDENADAS INTRODUCCIÓN GEOMETRÍA ANALÍTICA (DEFINICIÓN). Es un puente entre el álgebra la geometría que hace posible resolver algebraicamente (o analíticamente) problemas geométricos. También nos permite resolver geométricamente problemas algebraicos. La relación entre álgebra geometría se forma asignando números o puntos. Vincula la geometría (gráfica) con el álgebra. RENE DESCARTES, matemático filósofo francés, presentó en su libro La Geométrie, un recurso para unificar el estudio del álgebra de la geometría geometría analítica que se fundamenta en el uso de sistemas de coordenadas rectangulares. COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO CUADRANTES. Si se trazan dos rectas dirigidas, perpendiculares entre sí, dividen el plano en cuatro regiones, llamados cuadrantes ( Figura.). II (-,+) III (-,-) I (+,+) IV (+,-) o Primer cuadrante. ' o Segundo cuadrante. o ' Tercer cuadrante. o Cuarto cuadrante. Fig.. EJES Y ORIGEN. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las equis (); la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las es () el punto de intersección origen o cero. COORDENADAS. La posición de un punto en un plano esta determinado por medio de sus distancias a cada uno de los ejes ( Figura.).
N P Abscisa de P, distancia NP al eje vertical. Ordenada de P, distancia MP al eje horizontal. M Fig.. REPRESENTACIÓN DE COORDENADAS. La abscisa la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto se escriben como un par de números dentro de un paréntesis. DESIGNACIÓN DE UN PUNTO. (,) Para designar un punto R de abscisa ordenada, se escribe R (,); para un punto E de abscisa 5 ordenada 8, se escribe E(5,-8). LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO. Para localizar un punto dado por sus coordenadas, por ejemplo P (-,5) se llevan unidades negativas en el eje a partir del origen al final de ese punto se levanta una perpendicular, sobre la cual se cuentan 5 unidades positivamente ( Figura.). P Fig.. Localización de un punto
Ejercicio a) Graficar los puntos A (,5), B(-, -), C(,) D(-,) (Figura.). A A (,5) B (-, -) B D C C (,) D (-,) Fig.. Ejercicio b) Ubicar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos P (-,-5/), Q (-5/, 9/) T (.75,.5) (Figura.5). Q T P Fig..5
Ejercicio c) Representar gráficamente el triángulo formado por los vértices A (,) B (-,) C (-,-6) (Figura.6). Fig..6 Ejercicio d) Graficar el polígono cuos vértices son: A (,), B (,-), C (-,-), D (-, ), E (, 5) (Figura.7). D E A C B Fig.7 Ejercicio e) Si los vértices de un rectángulo tiene las coordenadas: A (, ), B (-5, ), C (-5,-), D (,-). Hallar su área su perímetro (Figura.8). B C 8 A D A= u P= u Fig..8
5 LUGAR GEOMÉTRICO DEFINICIÓN: Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una ecuación; cualquier punto que satisface a la ecuación pertenece a la grafica de la ecuación. El procedimiento para encontrar la ecuación de un lugar geométrico es directo, a que cada punto (,) del lugar geométrico debe cumplir las condiciones establecidas. De otro modo consiste en trazar un cierto número de puntos dibujar una línea continua. En la maoría de los casos, el conjunto de puntos que satisface una ecuación polinomial describe una curva o una unión de curvas. El objeto de la Geometría Analítica es estudiar ciertos lugares geométricos utilizando las ecuaciones que los representan recíprocamente, representar geométricamente las soluciones de ecuaciones para obtener propiedades de ellas a partir de su representación geométrica. LA CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior llamado centro. c LA PARÁBOLA Como lugar geométrico, es el lugar de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco de una recta fija llamada directriz. D V F LA ELIPSE. Es el lugar de los puntos tales que la suma de las distancias de cada uno a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
6 L L. v fff F F v R R SIMETRÍA. Dos puntos son simétricos cuando se encuentran a la misma distancia de un punto o de una recta. Una curva es simétrica respecto al eje, si al sustituir en la ecuación () por ( ) la ecuación no cambia. INTERCEPCIONES CON LOS EJES. Llamaremos intercepción de una curva con el eje a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intercepción con el eje es la ordenada del punto de intersección de la curva con dicho eje. CONCEPTOS BASICOS SOBRE RECTAS, SEGMENTOS Y POLIGONOS PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Abscisa del PM de un segmento conocidas las abscisas de los etremos del segmento.- Es igual a la semisuma de las abscisas de los etremos del segmento. PM X A Xm X B m A B EC. () La fórmula () se utiliza para determinar la abscisa del PM de un segmento Ejemplo. Calcular la abscisa del PM del segmento A (+) B (+) (Figura.9). m 7 5 6 7 8 9 Fig..9 m
7 Ejemplo. Calcular la distancia del PM del segmento C(-) D(-6) (Figura.). m 6 6 8 Fig. 6 5 m Distancia entre dos puntos de un sistema de coordenadas lineales d = d = Ejemplo. Hallar la distancia entre los puntos cuas coordenadas son: a) (-8) () d = -8 = - = ụ b) b) () () -6 - - - -8-6 - - 6 8 6 d = = - = ụ c) (-5) (-) d = - (-5) = -+5 = -8 = 8ụ COORDENADAS ( m, m ) DEL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO Las coordenadas del PM de un segmento son iguales a la semisuma de las coordenadas de los etremos del segmento. Teniendo un segmento de coordenadas A(, ), B(, ) m m EC. () La fórmula () determina las coordenadas del Punto Medio de un segmento Ejemplo. Hallar las coordenadas del PM del segmento A (,), B (,) (figura.). m 7 m
8 PM A B Fig. Ejemplo 5. Encontrar las coordenadas del PM del segmento de recta que une los puntos A (, -) B (7,) 5 7 m m Ejemplo 6. Un etremo de un segmento de recta es A (6,) el PM (-,9) Encontrar las coordenadas del otro etremo? (Figura.). 6 6 6 m 8 8 9 m Fig. Pm A
9 Ejemplo 7. Un segmento de recta tiene por etremo el punto (-,) como Punto Medio (/, -5/). Determina las coordenadas del otro etremo. 5 5 5 5 5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: I) P (, ) P (, ) son dos puntos pertenecientes a una misma recta horizontal. es: P (, ) P (, ) La distancia dirigida de P a P d = EC. () II) Si los puntos se encuentran en una misma recta vertical. P (, ) La distancia dirigida de P a P es: P (, ) d = EC. () III) Si los puntos no se hallan sobre una recta horizontal o vertical. P. P
* Se trazan dos rectas paralelas a los ejes cortándose en punto como lo muestra la figura, formando un triángulo rectángulo; posteriormente se usa el teorema de Pitágoras para la distancia entre dos puntos. De ahí que la distancia de: P P = ( ) + ( ), d ( ) ( ) EC. (5) Haciendo P P = d Las fórmulas (), () (5) se utilizan para calcular la distancia entre dos puntos P (, ) P (, ), dados en un plano coordenado, o la longitud del segmento rectilíneo cuos etremos sean los puntos P P Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos A(,-5) B(-,-) (Figura.). d ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) () 6.7 B A Fig. Ejemplo. En un sistema de ejes rectangulares, situar los pares de puntos calcular sus distancias respectivas (Figura.). A) (,-9) (9,), B) (-,) (-,7) C) (-,-6) (-,-) B C A Fig.
Solucion: a) b) d d ( 9) ( 9) d 8 8 d 6 d.7 ( 9 ) ( 9) d d ( ) (9) d 8 5 d 6 d.9 ( 5) ( 7) c) d d d d ( ) (9) 5 9 ( 5) ( 6 ) *Muchas veces conviene dejar el resultado en raíz; así la comprobación de los problemas será eacta Ejemplo. Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 5 es el punto (7,); si la abscisa del otro etremo es. Hallar su ordenada (Figura.5). P (7,) P (,?) d = 5 d 5 5 5 ( ( ( 7) 6 ( ) 5 6 ( ) 5 6 5 7 ) ( ) 6 ( ) ( ) ) 7 5 8 ( )( ) factorizando Fig..5 Valores de solución
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA. R R R P P Q Q Q P Coordenadas de los puntos. P : (, ) Q : (, ) R : (, ) P: (, ) Q: (, ) R: (, ) P : (, ) Q : (, ) R : (, ) TEOREMA.- Las coordenadas de un punto P que dividen a un segmento cuos etremos son P: (, ) P: (, ) en la razón P r P son: PP r r r r EC. (6) Mediante la fórmula (6) se determina la abscisa la ordenada del punto que divide a un segmento rectilíneo en una razón dada r. Ejemplo..- Hallar las coordenadas del punto P que dividen al segmento determinado por los puntos (8, ) (-5, 7) en la razón r = /. 5 5 8 ( )( 5) 8 ( ) 8 7 7 5 7 7 7 7. 7 ( )(7) ( ) 7 8 7 9 7 9 9. 7 Ejemplo..- hallar las coordenadas del punto P que dividen al segmento determinado por los puntos (, ) (-, -) en la razón r = -5/. 5 5 ( )( ) ( ) 5 5 ( ) 6 5.5 5 ( )( ) 5 5 ( ).5
.- Obtén los puntos medios de los lados del triángulo con vértices A(8,), B(-,-) C(,). Prueba que la distancia entre dos puntos medios es la mitad de la distancia entre los vértices del lado restante. Punto medio X = X+X Y = Y+Y XAB = (8)+( ) = 8 = 6 +( ) = YAB = = = 5 Punto medio de AB= (,5) +() XBC = = +() = YBC = = 8 = Punto medio de BC= (-,) XCA = 8+ + = YCA = = = Punto medio de CA= (,) PROB.- El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quién se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 5 km del punto de partida a 5 km del punto donde debía llegar. Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde envió su señal, si el avión se desplaza en línea recta los lugares de partida llegada se ubican en A(-,) B(8,5)? AP PB = 5 5 = 5 75 = 5 5 = 5 7 Razón
X + X(r) + r Y + Y r + r P=(.,.) = + (8)(5 7 + ( 5 7 ) = = + 5 5 7 + 5 7 + ( 7 ) = 7 = + 5 7.7 = 7.7 8 + 5 7.7 = = 6 7.7 =.7.7 =. 5 7.7 = 7.5.7 =. problema.- Determinar la distancia entre los puntos de coordenadas A(-,) B(6,-) d = ( ) + ( ) dab= (6 ) + ( ) = (6 + ) + ( 5) = () + 5 = + 5 = 5 = 5 5 =5. 5 Problema- Hallar las coordenadas de un punto p(,) que divida al segmento A(5,) B(-,-) en la razón r=/
5 POLÍGONOS (AREAS) CASO I- ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON BASE EN EL EJE O PARALELO A DICHO EJE Si se conocen las coordenadas de los vértices de un triángulo, se puede calcular su área en función de dichas coordenadas; siendo la base paralela al eje. Ejemplo : Calcular el área del triángulo ABC, dado los vértices A(, ) B(, ) C(-, ) B Área de ABC CA OB C A 5 u Ejemplo : Calcular el área el triángulo DEF dado los vértices respectivamente (, ), (6, ) (, 6) F D E Área DEF DE CF 5 6 5u
6 Ejemplo Sí los vértices de un triángulo tienen las coordenadas A ( /, -) B (- / -) C (, 5). Calcular su área. b = 7, h = 7 C A b. h B A u 77 CASO II- AREA DE UN TRIANGULO CON UN VERTICE EN EL ORIGEN. A ( )( ) ( )( ) Ejemplo : Obtener el área del triángulo OAB, dado A (, ), B (7, 9) A B Área OAB= 7 9 ()(9) ()(7) 6 () u Ejemplo : Obtener el área del triángulo OAB dado A (, ) B (7, ) B A A 7 ( ) () u
7 CASO III- AREA DE UN TRIANGULO CUANDO NO TIENE NINGUN VERTICE EN EL ORIGEN (Método por determinantes). Dados A(, ), B(, ) C(, ) los vértices de un triángulo, el área se puede determinar por la formula: A ( ) Ejemplo. Calcular el área del triangulo cuos vértices son: A(,), B(,5) C(,7) 5 7 A 5 7 6. 5 Ejemplo. Para que valor de ordenada tendrá el siguiente triangulo de vértices: A (, ), B(-,) C(8,-); teniendo un área de 8 u² - 8-8 8 8 8 5 8 6 8 8 8 5 5 6 8
8. LA RECTA DEFINICIÓN. Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos... PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN Pendiente: Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación la notación de pendiente es por la letra m de acuerdo con la definición se epresa m=tg La pendiente se define matemáticamente por el siguiente teorema: m EC. (7) La fórmula (7) permite encontrar la pendiente de una linea recta que pasa por dos puntos CRITERIOS DE APLICACIÓN SOBRE LA PENDIENTE El ángulo de inclinación puede tomar cualquier valor entre º 8, siguiendo los siguientes criterios. a) m es un número positivo, si º 9º b) m es un número negativo, si 9º 8 º c) m = o, si º d) m = si 9º VALOR DEL ANGULO DE INCLINACIÓN =arc tg m La fórmula (8) servirá para obtener el ángulo de inclinación de una línea recta de pendiente m EC. (8) INCLINACIÓN. La inclinación de una recta que intercepta al eje es el angulo que la recta hace con dicho eje. NOTAS : La inclinación de una recta horizontal es cero. Las rectas verticales no tienen pendiente Elevacion Considerar m Avance
9 Ejemplo. Trácese una recta que pase por el punto (,), con una inclinación de 5º 5 X(,) Ejemplo. Trazar una recta que pasa por el punto (-,), con una inclinación de º (-,) Ejemplo. Cuál es la recta que pasa por el punto (-,) tiene una pendiente de -/. (-5,) - (-,)
Ejercicio. Elaborar la grafica de la recta con pendiente / que pasa por el punto (-,-) Ejercicio 5. Calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos (-, -) (,) m 6 Ejercicio 6. Cual es la pendiente de la línea cua ecuación es = 5 5 5 5 5 m Y = m + b m: pendiente Ejercicio 7. Encuentra la pendiente de la siguiente ecuación = 6 m = Ejercicio 8. Encuentra la pendiente de la recta l, determinada por los puntos (-,) (,-6) 6 5 m 6 5 m
Ejercicio 9. Encontrar las pendientes de las rectas determinadas por los pares de puntos. a). (, 5) (, 6) m = / c). (-, -) (-, ) m = b). (, -5) (-, ) m = -/ d). (-, ) (, ) m = Trazar la recta que pasa por el punto dado tiene la pendiente dada. e). (, ); m = f). (-, ); m = -/ INCLINACIÓN Y PENDIENTE. Ejercicio. Hallar la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A (-6, -) B (8, ) 7 m 6 8 ; = arc tan - (/) = 6 Ejercicio. Hallar la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que se une a los puntos A (, -5) B (, ) 5 6 m 5 ; = arc tan - (-/5) = arc tan(-.6) = - 57 * Como m es (-); es > 9 pero < 8, por lo que el ángulo encontrado es: = 8 57 9 = 9
Ejercicio. Hallar la pendiente m el ángulo de inclinación, de las rectas que unen los pares de puntos siguientes: a) (-8, -) (5, 9) 9 m 58 = tg () = 5 b) (, -) (, -7) 7 m = 8 5 = 5 c) (-, ) (-,) las rectas verticales no tienen pendiente 6 m = 9 d) (8, 6) (, 6) es cero m = = tg - ()= 6 La inclinación de una recta horizontal
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD I. Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. m = m = II. Dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de una de las rectas es reciproca de signo contrario de la pendiente de la otra recta. Tg = m tg = m m m ó m. m = - Ejercicio. Determina si la recta que pasa por los puntos (6, ), (, ) la que pasa por (, ), (, ) son paralelas. m 6 6 m.5.5.5.5.5 5 6 7 Por igualdad de las pendientes, las rectas son paralelas.
Ejercicio. Demuestra que la recta que pasa por los puntos (, 5), (-, -) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (, -) (-, ) 5 7 5 7 5 m 7 5 7 5 m Son perpendiculares porque sus pendientes cumplen con la condición m m = - - - - 5 6-5 - - - -
5.. ECUACION DE LA RECTA DEFINICIÓN. Geométricamente se define como la distancia mas corta entre dos puntos. Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos. Sean P (, ) P (, ) m como una pendiente, se tienen las: FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA. A + B + C = FORMA GENERAL. - = m FORMA PUNTO PENDIENTE. - = FORMA DE DOS PUNTOS. = m + b FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN. a b FORMA SIMETRICA = a FORMA DE RECTA HORIZONTAL. = b FORMA DE RECTA VERTICAL. cos w + sen w=p FORMA NORMAL
6 ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL Ejemplo.- Cual es la ecuación de la recta horizontal que pasa por (,9). = Ejemplo.- Cual es la ecuación de la recta vertical que pasa por (-,-). = - FORMA DE ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE - = m ( - ) EC. (9) La formula (9) es la ecuación de una recta dado un punto su pendiente Ejemplo.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-,), cua pendiente es -/ = = = 6 = - + 6 + = + 5 = Gráficamente: P Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (,-) tiene una pendiente de -/. - = m ( - ) + = ( -) ( + ) = - ( ) + = - + + + = + + =
7 Gráficamente: P Ejemplo 5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-5,) tiene un ángulo de inclinación de 5º. m= tg (5 )=- = - ( + 5) = - + 5 + + 5 = + + = Gráficamente: Ejemplo 6.- Dado el Punto (,-) la pendiente m = 5/ ; determina su ecuación. + = 5 ( ) ( + ) = 5 ( ) + = 5 5 5 5 = 5 7 = Ejemplo 7.- Con el punto (5,) el ángulo de inclinación de 5º. Hallar la ecuación de la recta. m = tg θ m = = ( 5) = 5 5 + = =
8 Gráficamente: P Ejemplo 8.-Teniendo el punto (-5,) un ángulo de inclinación de = 5º m = tg (5º) = - ( + 5) m=- = - 5 + + 5 = + + = ECUACIÓN PENDIENTE- ORDENADA EN EL ORIGEN = m + b EC. () La ecuación cua recta tiene una pendiente m su ordenada en el origen (b), es: Ejemplo 9.- Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente intersección con el eje es. su 7 = 7 = 7 7 = + 7 = 7 = 7 7 7 = +7 =
9 Gráficamente: 7 Ejemplo.- Determina la ecuación de la recta con pendiente ordenada al origen -. = + (-) = = Ejemplo.- Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente que corta el eje en el punto -5. = 5 Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente su 5 intersección con el eje es. = ( - 5 ) () = 5-5 = Gráficamente: -5
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. En Geometría (Postulado). Una recta se determina cuando pasa por dos puntos cualesquiera; analíticamente se puede determinar su ecuación mediante el Teorema: = La formula () es la ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos EC. () Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-,-) B (5,). + = 5 + = 8 8 ( + ) = + 9 8 + 8 = + 9 8 + 9 8 = 8 + = Gráficamente: B A Ejemplo. Determina la ecuación de la recta dado los puntos (,-) (-,) 6 + = + = + = ( + ) = - ( ) + = - + 9 + + 9 = + 5 =
Ejemplo5 -Demuestre si la ecuación = -5 es para los puntos (,-) (8,). 8 + = ( ) + = = = 5 + = REPRESENTACIONES CON LA FORMA SIMETRICA. Ecuación de la recta que intercepta a los ejes coordenados (,) en los puntos (a,) (,b), respectivamente: EC. () a b La fórmula () es la ecuación en forma simétrica o canónica de una línea recta Ejemplo 6.- Dada la ecuación simétrica, convertirla en forma general. - + = = Ejemplo 7.-Pasar la ecuación general 6 = a la forma simétrica. Haciendo =, Haciendo = () 6 = ()--6= 6 = --6= = 6 6 = = = Sustituendo los valores de (, ) en la fórmula () se tiene la ecuación simétrica
Ejemplo 8.-Represente en forma simétrica, la siguiente ecuación + 6 =. Haciendo = Haciendo = 5 6 = -6 = = 6 = 6 = 6 Ejemplo.9-Las intersecciones que una recta determina sobre los ejes son (,) (, -7), respectivamente, mostrar la forma general a b 7 7 8 = Gráficamente: Ejemplo.- Encontrar los puntos de intersección de la recta 5 + 8 6 = con los ejes 5 + 8 = 6 5 8 6 6 6 5 La recta corta a los ejes en 6, 5,
Gráficamente: Ejemplo.-Que ángulo forma la recta = 6 con el eje horizontal - = - + 6 = m α = tan 56º, Ejemplo. Hallar el ángulo que hace la recta 5=, con el eje = 5 - = - + 5 5 = m = tan 5º Ejemplo.- Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto (,); teniendo un ángulo 5º con el eje. m = tg 5º = - = - ( ) = - + + 7 = Ejemplo.- Determina la ecuación de la recta cuas intersecciones son (,) con el eje, (,5) con el eje. a b 5 5 + = + =
FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA. La ecuación general de la recta se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que este quede igualando a cero. A + B + C = La fórmula () es la forma general de la ecuación de una línea recta. Dos ecuaciones que son equivalentes representan el mismo lugar geométrico, en el caso de las ecuaciones lineales con dos variables, representan la misma recta. Ejemplo de ecuaciones equivalentes, todas en la forma general 6 + = + = - + = EC. () representan a la recta cua ecuación pendiente ordenada al origen es: = Ejemplo 5.- Escribir la ecuación = 5 + a la forma general. 5 + = Ejemplo 6.- Pasar la ecuación + + 6 = a la forma común. = - 6 = Ejemplo 7.- Pasar la ecuación 6 = a la forma simétrica Haciendo = haciendo = () 6 = () 6 = 6 = - 6= = = - 6 = - Sustituendo valores de (,), tenemos:
5 Ejemplo 8.-Hallar la ecuación de una recta en su forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus intercepciones son (-8) (5) respectivamente; transformarla a la forma común. a b 8 5 5 8-5 + 8 = (-) 5 8 + = 8 = 5 + 5 = 8 5 = 5 8 Ejemplo 9.- Cuales son la pendiente la intersección con el eje de la recta cua ecuación es 7 = A + B + C = A B = -7 C = - A Para m = B 7 7 C Intersección con el eje = b = B 77 7 C Intersección con el eje = 7 A
6 DISTANCIA DE UNA RECTA A+B+C= AUN PUNTO DADO(, ) Considerando a d=ab como una distancia dirigida de un punto dado P (, ), hacia la recta A+B+C=, se determina por la ecuación: d A B A B C EC. () La fórmula () se usa para calcular la distancia de un punto a una linea recta El signo que precede al radical se selecciona de acuerdo a las siguientes condiciones: ) Si el coeficiente de C, el radical es de signo contrario a C ) Si el coeficiente de C= el coeficiente B, el radical A tienen el mismo signo. ) Si los coeficientes C B son el coeficiente A, el radical A tienen el mismo signo Ejemplo.- Hallar la distancia del punto (,5) a la recta +=6 +-6= () (5) 6 6 5 6 6 5 d 6 9 5 5 Gráficamente: P Ejemplo.- Hallar la distancia de la recta -+= al punto (,-) d () ( ) ( ) 9 6 8 5 8 5.6 5
7 Gráficamente: P FORMA NORMAL DE LA RECTA Teorema.- La ecuación de la recta en la forma normal es: cos w + sen w p = EC. (5) La formula (5), permite encontrar la forma normal de la recta dado w p Donde p es un numero positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta normal trazada del origen a la recta, con la que es perpendicular, tiene un ángulo positivo (w) se mide en la parte positiva del eje hacia la recta normal ; dicho ángulo puede tener valores entre o w 6º.Si la recta pasa por el origen, el valor de p es cero en la forma normal de la ecuación. Entonces, la recta normal se dirige arriba del origen, por lo que el valor del ángulo w esta dado entre o 8º. P sen W P W P cos W P (X,Y ) Ejemplo.-: Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w=6 o p=6. cos 6º + sen 6 6 = ( ) + ( ) 6 = + 6 =
8 Ejemplo : Reducir la ecuación 5 5 = a la forma normal A= B=-5 C=-5 A B () ( 5) 5 69 5 5 = 5 = PROBLEMAS.-.-Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo como en la siguiente figura. Hallar el valor de a si CD = a + las coordenadas son: A(-,), B(,-8), C(- 5,-). d AB = X X Y Y AB = CD CD = a + d AB = + 8 BC = AD = a + d AB = 5 CD = a + = d AB = 5 + a = d AB = 69 a = d AB = a = a = PUNTOS COORDENADA A (-,) B (,-8) C (-5,- D (-,-)
9.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-,), es paralela a la recta determinada por los puntos (,-) (5,). Y Y = Y Y X X X X d = AX +BY +C A +B X = X = 5 Y = Y = A= B= -5 C= - X = Y = Y + = + 5 X d = + 5 +( ) () +( 5) Y + = 5 X d = 5 6+5 Y + = 7 X 5 d = 5 5Y + = X X 5Y = d = AX + BY + C A + B d = 7 7 = 5 () +( 5) 7 7 = 5 6 + 5 = 5 7 = 5 5 + 7 = A= B=-5 C=- PUNTOS 5 + 7 = Con = 7 7 5Y + 7 = 5Y = 7 8 5Y = 5 Y = 5 5 Y = 9 COORDENADAS A (,-) B (5,) C (-,) D (7,9) Con = (-) 5 7 = -5 = -7 + -5 = -5 = 5 5 =
.-Demostrar que X Y 9 = es la ecuación de la mediatriz del segmento,, 5. Mediatriz: Es una línea recta que divide en dos partes iguales a un segmento de recta además es perpendicular. PM= XM = X +X YM = Y + Y X = Y = X = Y = 5 XM = + = =.5 YM = 5 = = PM =. 5, X Y -.58 -. - -.5 PUNTOS COORDENADAS A (-,) B (-5) C (,-.58) D (,-.) E (-,-.5) F (.5,) Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y = 9 Y =. 58 Y =. Y =. 5
INTRODUCCION A LAS CONICAS El estudio de las cónicas se inicia con Apolonio de Pergamo, quien en sus investigaciones, relaciono las intersecciones de un cono con un plano, descubriendo ciertas curvas a las que identifico con el nombre de: circunferencia, parábola elipse e hipérbola. SECCION CONICA: Es el conjunto de puntos que se forman de la intersección de un cono con su proección con un plano. LA CIRCUNFERENCIA Geométricamente la circunferencia es una curva plana cerrada cuos puntos equidistan de otro punto fijo llamado centro. Analíticamente se representa por una ecuación de segundo grado con dos variables. Una circunferencia queda perfectamente determinada, si se conocen: a) su centro su radio b) dados los etremos de un diámetro c) dado el centro una recta tangente d) dados puntos de la circunferencia ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA. Si el centro de la circunferencia es el origen de las coordenadas, la ecuación es: + =r La formula (6) se conoce como la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen radio r TEOREMA. La circunferencia cuo centro es el punto (h,k) radio r, tiene por ecuación: (-h) + (-k) = r EC. (7) La fórmula (7) se conoce como la ecuación ordinaria de una circunferencia con centro fuera del origen del sistema de coordenadas radio r Toda circunferencia se puede epresar por medio de la ecuación de tipo general + + D + E + F = EC. (6)
Ejemplo. Determinar la ecuación de la circunferencia del centro en el origen cartesiano de radio ; construendo la grafica correspondiente: Ecuación: + =6 + = r =6- + = () 6 + = 6 + + + + + +.87 +.6 +.6 Tabla de valores de para obtener. Gráficamente Ejemplo. Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro (5,-) radio 9 (-h) + (-k) = r (-5) + (-) =( 9 ) (-5) + (+) = 9 Desarrollando ambos binomios al cuadrado - + 5 + + 6 + 9=9 + - + 6 + -9= + - + 6 +5= Ec. general Ec. Particular
Ejemplo. Determinar la ecuación de la circunferencia cuo centro es el punto C (-,) que pasa por el punto A (,) Fórmula de la d entre dos puntos r r r ( ( ) () r 9 r ) ( ) ( ) ( ) Sustituendo datos: (-h) +(-k) =r (+) +(-) =() (+) +(-) = +++ -8+6= ++ -8+7-= ++ -8+7= Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (-,-) radio 5 u; construendo la grafica correspondiente (-h) + (-k) = r (+) + (+) = (5) (+) + (+) = 5 5 ( ) -6-5 - - - - + + +.5 +.8 + +.8 +.5 + + - - - - 5-5.5-5.5-6 - 5.8-5.5-5 - Elaboración de la tabla de valores dado a, obteniendo Gráficamente: C
OBTENCIÓN DEL CENTRO Y EL RADIO DADA LA ECUACIÓN GENERAL Ejemplo. Dada la ecuación de la circunferencia, obtener las coordenadas del Centro el radio r. + +--= er paso: ++ -= ordenamos cambiamos termino independiente º. Paso: ( +) + ( -)= agrupamos términos er. Paso: ( ++)+( -+)=++ aplicamos T.C.P º. Paso: (+) + (-) =9 simplificación 5º. Paso: += se obtienen las coordenadas del centro =- -= = 6º. Paso: r =9 obtención del radio r=9 r= Solución: C ( -, ) r =. Ejemplo 5. Encontrar el centro el radio de la circunferencia cua ecuación es: 8 +8 + 8-8 -= (8 +8) + (8-8)= ( ++ 8( +) +8( -)= ( + ( +) + ( -) ) + ( -+ ) ) + ( - ) 8 8 6 9 Igualando con cero r = 6/9 Centro (-/, /) r= / * (TCP) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
5 PROB. Dada la ecuación general + + + 77 = ; hallar su centro su radio. + + = 77 + ( +)=-77 + + = 77 Aplicando T:C:P: + 9 + + + 5 = 77 + 9 + 5 Simplificando ( ) + ( + 5) = Centro (, 5), para el radio r = 8 r = 8 = =. PROB.Obtener el centro radio de la circunferencia, dada la ecuación:. + + + =. + + = Aplicando T:C:P.. + + + + = + + Simplificando ( ) + ( + ) = Centro: (, ) ; radio r = = = PROB. Obtener la ecuación general de la circunferencia con Centro (-, ) radio r=. ( + ) + ( ) = ( ) + + + + ( ) = 8 + + +. + = 8 + +. + = 8 + +. + 8 = + +. = 5
6 CIRCUNFERENCIA OUE PASA POR TRES PUNTOS. Ejemplo 6. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(-,), B(,5) C(5,-). B A C Considerando que se busca la ecuación general + +D+E+F= que los tres puntos están sobre la circunferencia, tenemos las tres ecuaciones correspondientes: ( -, ) + D + E + F = (, 5 ) 9 + 5 + D + 5E + F = ( 5, - ) 5 + 9 + 5D +-E + F = Epresadas abreviadamente: Dando solución al sistema: D E F = D + 5E + F = - 5D E + F = - D = -/5, E = -8/5, F = -/5 Sustituendo estos valores en la ecuación general, se tiene + 8 = 5 5 5 + 5 8 =
7 Ejemplo 7. Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por los puntos (,), (,6) (7,). (,) F = (,6) 9 +6+ D + 6E + F = (7,) 9 + 7D + F = Solución del sistema: F= D+6E=-5 7D=-9 D=-7, E=- F= Ecuación general + -7-= Reduciendo a la forma ordinaria: ( -7) + ( -)= 9 (²-7 + ) + ( 9 -+)= (-7) + (-) =65 Igualando con cero, Centro (7,) r =65 r 65 r 65
8 LA PARÁBOLA DEFINICIÓN: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco de una recta llamada directriz. Elementos de la Parábola D L P A p V p F R D: directriz F: foco AF: eje focal V: vértice LR: ancho focal p: distancia del v al f P: un punto cualquiera ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN. I) Cuando la parábola abre hacia la derecha p es positiva = p EC. (8) II) Cuando la parábola abre hacia la izquierda p es negativa (9) III) Cuando la parábola abre hacia arriba p es positiva () IV) Cuando la parábola abre hacia abajo p es negativa () = -p EC. = p EC. = -p EC. Las igualdades (8) (9) corresponden a la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen del sistema de coordenadas cuo eje focal es el eje. Por el signo (+) abre hacia la derecha; (-) abre hacia la izquierda. Las igualdades () () corresponden a la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen del sistema de coordenadas cuo eje focal es el eje. Por el signo (+) abre hacia arriba; (-) abre hacia abajo. NOTAS: El termino o nos indica si la parábola es horizontal o vertical: vertical; horizontal p señala hacia donde esta abierta la parábola: (+) arriba o a la derecha, (-) abajo o a la izquierda LR es la cuerda focal equivalente a cuatro veces el valor de p.
9 Ejemplo. Una parábola cuo vértice esta en el origen cuo eje coincide con el eje, pasa por el punto (-,). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz la longitud de su lado recto. =-p Sustituendo (-,) () =-p(-) 9= p p=.5 L D Directriz es Ecuación buscada = p =.5 = -9 F p p foco es igual a (-p,) (-.5,) Lado recto p (.5) 9 R Ejemplo. Una parábola cuo vértice esta en el origen cuo eje coincide con el eje, pasa por el punto (,); hallar la ecuación de la parábola, sus coordenadas del foco, la ecuación de su directriz la longitud de su lado recto. Sustituendo (,) () =p() 6= p p= =p D L Directriz es = -p = - Ecuación buscada = 6 F p p Foco es igual a (p,) (,) Lado recto p = ( ) = 6 R
5 Ejemplo. Una parábola cuo vértice esta en el origen cuo eje coincide con el eje pasa por el punto (,-). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto =-p Sustituendo (,-) () =-p(-) 6= 8p p = Directriz es = p = D p Ecuación buscada Foco es igual a (,-p) = -8 (,-) L -p F R Lado recto p = ( ) = 8 Ejemplo. Una parábola cuo vértice esta en el origen cuo eje coincide con el eje pasa por el punto (6,). Determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto =p Sustituendo (6,) (6) =p() 6= p p= Directriz es = -p = - Ecuación buscada = L F R p -p D foco es igual a (,p) (,) Lado recto p = ( ) =
5 Ejemplo 5. Obtener la ecuación de la parábola, dado los siguientes datos: Foco (,-) directriz =. Señalando los datos D De la figura p = Como p, coordenada del foco es negativa la parábola abre hacia abajo. =-p = -6 LR = p =6 F (,-) Ejemplo 6. Encontrar el foco la directriz de la parábola que tiene por ecuación + 6 =. =-6 D Ecuación de tipo = - p luego p=-6 p= - F coordenadas del foco (-/,) directriz p =/ Longitud del lado recto LR = (-/) =6
5 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE (h,k) Y EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO. (-k) = +p(-h) EC. () (-h) = + p(-k) EC. () La ecuación (), es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen eje focal paralelo al eje. El signo (+) abre hacia la derecha; el signo (-) abre hacia la izquierda. La ecuación (), es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen eje focal paralelo al eje. El signo (+) abre hacia la arriba; el signo (-) abre hacia abajo. Ejemplo 7. Obtener la ecuación de la parábola, cuo vértice esta en el punto (,5) el foco (,); además encontrar la ecuación de la directriz la longitud del lado recto. Señalando los puntos V (,5) F (,) Ecuación de forma (-h) = -p (-k) p= 5- = sustituendo V (,5) p= Forma reducida (-) =-8 (-5) Directriz =7 Lado Recto ()=8 Desarrollando -+= -8+ -+8+-= -+8=6 Forma General Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la parábola cuo vértice es el punto (-,), foco (-,); así como la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto. Ecuación (-h) = p(-k) L R F D Directriz Lado recto (+) = p(-) p= - = (+) =8(-) =k-p =-= p=()=8
5 Ejemplo 9. Encontrar la ecuación general de la parábola con V (5,-) F (5,-) Por la grafica la parábola abre hacia abajo p= (-h) = -p(-k) (-5) = 8(+) - +5 = -8-6 -+ 8 += Ejemplo. Encontrar los elementos de la parábola cua ecuación es -- + 6 = - =-6 - +5 = 6+5 - +5 =-6 (-5) =(-) =5, = V = (,5) LR= p= Desarrollo ubicar términos completar con T.C.P. reducir simplificar factorizar igualar con cero coordenadas del Vértice longitud del Lado Recto p = distancia del Vértice al foco Grafica F
5 LA ELIPSE DEFINICIÓN. Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos siempre es constante. : Eje focal V, V : Vértices : Centro B,B: Eje menor a: Semieje maor, distancia del centro a uno de los vértices b: Semieje menor LR: Lado recto P: Un punto cualquiera con coordenadas (,) c: Distancia del centro a uno de los focos F (-c,): Coordenadas de los focos = a b EC. () F (c,) V (-a,): Coordenadas de los vértices V (a,) La ecuación () sirve para determinar la ecuación ordinaria de la elipse horizontal con centro en el origen cartesiano eje focal en el eje. = b a Ec. (5) NOTAS: - a b son valores positivos - Al valor maor lo igualamos con a al menor con b - Siempre a >b - Cuando se desconozca a,b ó c se determina por el teorema de Pitágoras o diferencia de valor maor menos valor menor. - Si nos dan V tenemos a - Si nos dan F tenemos c - Si nos dan P tenemos (,) - b b Lado Recto a a La ecuación (5) sirve para determinar la ecuación ordinaria de la elipse vertical con centro en el origen eje focal coincidiendo en la ordenada. Ecentricidad de la elipse.- Es la razón que eiste entre c a, epresado en un cociente. Se define como el coeficiente de la distancia focal entre el eje focal c e a
55 Ejemplo. De la ecuación de la elipse graficar. 5 6 Calcular en ancho focal a = 5, a= 5 b = 6, b= c = 9, c= LR =b = (6) = a 5 5 V F B F V = = 6 5 5 B Ejemplo. Encontrar la ecuación de la elipse cuos vértices son (,) (,-) sus focos (, + ). b a 96 a=, a = c =, c = b = 96 Ejemplo. Transformar la ecuación general + 8 =, a la forma particular. 8 8 6 8 (/8)
56 Ejemplo. Dibújese la elipse de ecuación características importantes. 9, mostrando todas las Sol: el denominador maor esta en el termino a=, b= c 9 5 Ejemplo 5. Pasar la ecuación 5 + 6 = a la forma canónica graficar + = 6 5 ( ) a = 5, a= 5 b = 6, b= c = 9, c= Ejemplo 6. Escríbanse las ecuaciones de las tres elipse con vértices en (, +8) focos en a) (, +7); b) (, +); c) (, +). Determínese en cada caso la ecentricidad e. Dibújense las graficas. 7 a) a = 8, c = 7, b = 5 ; e 8 Sol: En cada caso la elipse es vertical b= a - c e= c a b) a = 8, c =, b = 8 ; c) a = 8, c =, b = 6 ; e e 8 a) + = ; + = b a 5 6 b) + = ; + = b a 8 6 c) + = ; + = b a 6 6
57 Ejemplo 7. Obtener el ancho focal la ecuación de la elipse cuos vértices son (+5,) focos (+,) V (-a, ) V (a, ) F (-c, ) F (c, ) a ecuación b a=5 c= a =5 c =6 b =a - c b = 9 5 9 ancho focal 9 b 8 a 5 5 Ejemplo 8. Dada la elipse de ecuación + 5 = 8, obtener el valor del semieje maor (a) del semieje menor (b). + 5 = 8 + 5 = 8 8 8 8 + 5 = 8 + 5/5 = 8/5 + = 8/5 a = b 8 5 a = b 8 5 8 5 5
58 Ejemplo 9. Obtener la ecuación de la elipse con vértice en (,+) que pasa por el punto (,) V (,) P(,) V (,-) Ecuación + = b a Teniendo (,) = (,), Sustituimos b b 6 b b b 6 Sustituendo en la Ecuación 6 Desarrollando 6 6 6 6 6 6 () 8 6 (/) 6 Ecuación General
59 Ejemplo. Dada la elipse de ecuación 9 + 6 = ; obtener el valor del eje maor, eje menor, el ancho focal, la ecentricidad, las coordenadas de los focos de los vértices. 9 + 6 = (/) 9 + 6 = + = 6 9 a = 6, a = b = 9, b = c = 7, c = 7 Long. eje maor = a = 8 Long. eje menor = b = 6 LR = b = (9) = 8 = 9 a e = c = 7 a Centro (, ) Focos ( +7, ) Vértice (+, ) Ejemplo. Sabiendo que a= que pasa por el punto de la elipse. (, 5 ). Hallar la ecuación + = a b 9 + = 9 b ( 5 ) + = = 9 b ( 5 ) + 9 = 9 b + /9 = 9 b /9 = b 9 + = 9 /9 = 5 b 9 b = /9 5/9 b = 5 5 9 b =
6 ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (h,k) Y EJES PARALELOS A LOS COORDENADOS. ( h) a ( k) b ( h) b ( k) a EC. (6) EC. (7) La fórmula (6) es la ecuación de la elipse horizontal de centro fuera del origen eje focal paralelo al eje. La fórmula (7) es la ecuación de la elipse vertical de centro fuera del origen eje focal paralelo al eje. Ejemplo. Obtener la ecuación de la elipse; cuando el centro es el punto (-,), los vértices (-,7) (-,-) focos en (-,5) (-,-). Señalando los puntos V F C F V Ecuación (-h) + (-k) = b a Sustituendo el punto (-,): (+) + (-) = 6 5 a=5 a =5 c= c = 9 b= b =6 Ejemplo. Sea la ecuación 5 +9 --6+7=, obténgase los elementos de la elipse grafiqué. (5 -) + (9-6) = -7 5( -8) + 9 ( -) = -7 Aplicando TCP 5( -8+6) + 9( -+)= -7+8+6 Simplificando 5(-) + 9 (-) =5 5(-) + 9(-) = 5 5 (-) + (-) = 9 5 Como 9>5 la elipse es horizontal e igualando con cero, determinamos el centro es C(,)
6 a =9, a= b =5, b= 5 c =, c= Coordenadas de los focos F (,), F (6,) L L Coordenadas de los vértices V (,), V (7,) Lado recto V R F c F R V LR= (5) = Ecentricidad e = Ejemplo. Los vértices de una elipse tiene por coordenadas (-,7) (-,-); la longitud de cada lado recto es. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes maor menor, las coordenadas de sus focos su ecentricidad. V Por la ubicación de los puntos, deducimos que la ecuación es: C (-,) a (-h) + (-k) = b a a=, a =6, a=8 Eje maor V b = a b = b=, b = Sustituendo: (+) + (-) = c =, c= = 6 Focos Ecentricidad F (-, + ) F (-, - ) e= =
6 Tarea (nov 7) PROB.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el punto C(, -), eje focal paralelo al eje, cua longitud del eje maor es de ecentricidad /5. PROB.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el punto C(-, ), eje focal paralelo al eje, cua longitud del eje menor es 6 de longitud de cada lado recto es igual a /.