INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Ferado Pito Parra UNIDAD 8 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE OVIIENTO LINEAL Cetro de masa. Hasta ahora se ha utilizado el modelo de partícula o puto material para el estudio de la diámica de los cuerpos de dimesioes fiitas. E ese caso la partícula material se ha cosiderado aislada, represetado el resto del uiverso por la accio de fuerzas o por su eergía potecial. Pero, qué ocurre cuado hay que cosiderar las dimesioes del cuerpo e estudio? La aproximació de puto material es válida e los movimietos de traslació y e aquellos casos e los que la precisió e la localizació del cuerpo es del orde de las dimesioes de este. Por tato, hay de propoer u uevo modelo que permita estudiar los cuerpos, y su evolució temporal, e los casos e que la aproximació aterior o sea válida. Este modelo es el de sistemas de partículas, que es u cojuto de partículas cuyas propiedades globales se quiere estudiar. La figura muestra u sistema de partículas compuesto de tres masas. E el sistema existe dos tipos de fuerzas: 1. Las fuerzas exteras como la atracció gravitacioal de la tierra por ejemplo. 2. Las fuerzas iteras que las partículas ejerce uas sobre otras. Frecuetemete es muy práctico reemplazar u sistema de muchas partículas co ua partícula simple equivalete de masa igual, esto lo coocemos como cetro de masa. El cetro de masas de u sistema discreto o cotiuo es el puto geométrico que diámicamete se comporta como si e él estuviera aplicada la resultate de las fuerzas exteras al sistema. De maera aáloga, se puede defiir como el puto del sistema dode se cosidera cocetrada toda su masa. El cetro de masa de cualquier objeto simétrico homogéeo, se ubica sobre u eje se simetría. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA Por otro lado, el cetro de masa se refiere a cuerpos o a varios cuerpos que se mueve e relació de otros y se defie como el puto R C x, y, z que se mueve e la misma trayectoria que seguiría ua partícula sometida a ua fuerza resultate. El aálisis de la figura aterior permite defiir el vector posició del cetro de masa mediate la siguiete ecuació: R C x, y, z m 1r 1 + m 2 r 2 + + m r m 1 + m 2 + + m m i m i r i Como m, es decir la masa total del sistema, la ecuació se covierte: R C x, y, z m i r i Dode r i es el vector posició que cotiee las coordeadas x, y, z de la masa m, que se puede escribir como: De dode se obtiee: R C x, y, z x C i + y C j + z C k x C m i x i ; y C m i y i ; z C m i z i ovimieto del cetro de masa. Imagiemos ua rueda de u automovil que tiee u movimieto de rotació, auque la rueda gira, el cetro de masa de la misma geera ua trayectoria rectilíea debido a ua fuerza eta. Esa fuerza es el total de todas las fuerzas ivolucradas e mover la rueda del auto. E este ejemplo el cetro de masa coicide co el cetro de gravedad, pero cuado hablamos de sistemas de cuerpos, el cetro de masa o siempre coicide co el cetro del sistema. La rueda está formada por ifiitas partículas, por lo que el movimieto de cada ua de las partículas del sistema os advierte que el cetro de masa de la misma deberá estar moviédose tambié, si aalizamos ua de ellas e u tiempo t ésta deberá haberse APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA desplazado R C, etoces el desplazamieto del Cetro de asa e ese mismo itervalo de tiempo será: R C m i r i si dividimos esta expresió por t y hacemos que este itervalo de tiempo sea lo mas pequeño posible, es decir t 0, se obtedrá: R C lim t 0 t r m i lim i t 0 t Y esta expresió es la defiició de velocidad media, es decir: dr C dr m i i v C m i v i La aceleració del cetro de masas se obtiee derivado v C co respecto del tiempo: dv C dv m i i a C m i a i Las expresioes de v C y de a C, permite señalar que el cetro de masas se mueve como ua sola partícula de masa, sometida a la acció de ua fuerza resultate de todas las fuerzas exteriores que actúa sobre el sistema. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA Catidad de movimieto lieal de ua partícula. Siempre hacemos referecia a catidad de cosas, objetos, etc. Cuado vemos ua aveida a las 12 del mediodía existirá más catidad de movimieto que si la observamos u domigo a la misma hora. La catidad de movimieto es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es u vector mietras que la masa es u escalar, como resultado obteemos u vector co la misma direcció y setido que la velocidad. La catidad de movimieto sirve, por ejemplo, para difereciar dos cuerpos que tega la misma velocidad, pero distita masa, el de mayor masa, a la misma velocidad, tedrá mayor catidad de movimieto. Cosideremos ua partícula de masa costate m, como la de la figura aterior, ya que a dv, y aplicado la seguda ley de Newto, obteemos que: F m dv d mv Podemos itroducir m e la derivada porque es costate. Así, la seguda ley de Newto dice que la fuerza resultate que actúa sobre ua partícula es igual a la rapidez de cambio de la combiació el producto de la masa y la velocidad de la partícula mv. Esto es lo que se cooce como catidad de movimieto lieal (p), lo que permite escribir. p mv Para ua partícula e movimieto e el espacio, las compoetes del mometo lieal e cada direcció x, y y z so: p x mv x ; p y mv y ; p z mv z Las uidades e el SI de la magitud catidad de movimieto lieal so las de masa por rapidez, es decir, kg m s. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA Si cambia la catidad de movimieto lieal de ua partícula, su velocidad varía, y si la masa es costate, como casi siempre es el caso, etoces hay aceleració, que ecesariamete debe ser producida por ua fuerza. ietras mayor sea la fuerza, mayor el cambio de velocidad, y por lo tato mayor el cambio de la catidad de movimieto lieal. Pero hay otro factor importate a cosiderar: el tiempo durate el cual se ejerce la fuerza. El cambio de la catidad de movimieto lieal es mayor si se aplica la misma fuerza durate u itervalo de tiempo largo que durate u itervalo de tiempo corto. Estas afirmacioes se puede demostrar escribiedo la ecuació de mometo lieal de la siguiete forma: F d mv dp dp F p f p i p t f F t i Esta expresió se defie como el impulso I de la fuerza F e el itervalo de tiempo, es decir el impulso I es u vector defiido por la expresió: I t f F t i El módulo del impulso se represeta como el área bajo la curva de la fuerza e el tiempo, por lo tato si la fuerza es costate el impulso se calcula multiplicado la F por Δt, mietras que si o lo es se calcula itegrado la fuerza etre los istates de tiempo etre los que se quiera coocer el impulso, por lo que se puede escribir: I F t p Cuato mayor sea el impulso, mayor será el cambio de la catidad de movimieto lieal de la partícula. Esta expresió se llama el teorema del impulso y de la catidad de movimieto lieal, que se expresa como: el impulso de la fuerza eta es igual al cambio de la catidad de movimieto lieal de la partícula. Este teorema es equivalete a la seguda ley de Newto. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA Catidad de movimieto lieal de u sistema de partículas. Para compreder la importacia del cetro de masa de u cojuto de partículas, debemos pregutar qué le sucede cuado las partículas se mueve. La primera respuesta que podemos obteer es que las ecuacioes de las partículas so equivaletes a la ecuació de u solo vector que se obtiee al aalizar ua sola partícula. Para etederlo veamos los siguietes ejemplos, al atrapar ua pelota, realmete estamos atrapado u cojuto de u gra úmero de moléculas de masas m 1, m 2, m 3, m. El impulso que setimos se debe a la catidad de movimieto lieal total de ese cojuto, pero es el mismo que si estuviéramos atrapado ua sola partícula de masa m 1 + m 2 + m 3 + + m, que se mueve co velocidad equivalete a de la velocidad del cetro de masa del cojuto. v C m i v i Supoga que marcamos el cetro de masa de ua llave ajustable, que está e algú puto del mago, y deslizamos la masa co cierto giro sobre ua mesa lisa horizotal, tal como se aprecia e la figura. El movimieto global parece complicado, pero el cetro de masa sigue ua líea recta, como si toda la masa estuviera cocetrada e ese puto, por lo que se cocluye que: p v C E u sistema de partículas sobre el que la fuerza resultate es cero, la catidad de movimieto lieal total es costate y la velocidad del cetro de masa tambié es costate. Es decir, la catidad de movimieto lieal total de u sistema de partículas es la suma de los mometos de cada ua de las partículas que itegra el sistema. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra
INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA Coservació de la catidad de movimieto lieal. Partamos de las siguietes afirmacioes, la catidad de movimieto lieal de u sistema de partículas es la suma de los mometos de cada ua de las partículas que itegra el sistema y la resultate de las fuerzas exteriores aplicadas a u sistema coicide co la variació temporal del mometo lieal del sistema de partículas, para señalar la importacia que tiee defiir el pricipio de coservació de la catidad de movimieto. Éste dice, cuado la suma de las fuerzas exteras que actúa sobre u sistema de partículas es cero se dice que la catidad de movimieto es costate cumpliédose que la catidad de movimieto iicial es igual a la catidad de movimieto fial. E u sistema de dos partículas podremos platear la siguiete ecuació: m 1 v 1i + m 2 v 2i m 1 v 1f + m 2 v 2f p 1i + p 2i p 1f + p 2f p totali p totalf p total costate E ausecia de impulso, la catidad de movimieto de u cuerpo o sistema de cuerpos, se coserva, recordemos que impulso es debido a las fuerzas exteras Al aplicar la coservació del mometo lieal a u sistema, es idispesable recordar que el mometo lieal es ua catidad vectorial. E ciertos aspectos, el pricipio de coservació del mometo lieal es más geeral que el de coservació de la eergía mecáica. Esta ley de coservació es importatísima y es aplicable a u gra úmero de situacioes físicas de las que mecioaremos si desarrollar alguas de ellas: E el estudio del choque de dos o más cuerpos. E la diámica de u motor a reacció (cohete o avió jet). E el aálisis de u feómeo explosivo. APUNTES DE FÍSICA I Coservació de la Catidad de ovimieto Lieal Profesor: José Ferado Pito Parra