Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias alrededor de c. Deició 2. Cuado c = 0, teemos la serie de potecias a x y e este caso decimos que la serie de potecias es alrededor del orige. Si cosideramos las series de potecias como fucioes de x podemos escribir f(x) = a () ó f(x) = a x os pregutamos etoces cual es el domiio de tales fucioes, es decir para que valores de x la serie dada coverge. Teorema 1. Si la serie de potecias a () coverge para alguos x 1 c, etoces coverge absolutamete cuado < x 1 c ; esto es, x (c ɛ, c + ɛ) dode ɛ = x 1 c Demostració. Supogamos que la serie a () coverge para algú x 1 c. Sea ɛ = x 1 c y elegimos x (c ɛ, c + ɛ). Sabemos que a (x 1 c) 0 por lo tato la sucesió {a (x 1 c) } es acotada por lo que existe M > 0 tal que a (x 1 c) < M a (x 1 c) < M ahora bie si x (c ɛ, c + ɛ), etoces < ɛ. Por lo que a () = a () = a (x 1 c) x 1 c < M x 1 c = Mr, dode r = x 1 c Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 1
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Como 0 < r < 1 etoces r = x 1 c < 1. Por lo que la serie Mr es ua serie geométrica covergete y por el criterio de comparació la serie coverge Corolario 1. Si la serie de potecias a () a () o coverge absolutamete para algú x 1 c, etoces diverge cuado > x 1 c ; esto es, para toda x fuera del itervalo [c ɛ, c + ɛ] dóde ɛ = x 1 c Demostració. Supogamos que a (x 1 c) o coverge absolutamete, y x 2 c > x 1 c. Si a (x 2 c) covergiera etoces a (x 1 c) covergeria absolutamete lo cual o puede ocurrir Corolario 2. El cojuto de putos x para el cual ua serie de potecias dada a () coverge es u itervalo o vacio cetrado e c, es decir, debe ser uo de los siguietes {c}, R o u itervalo (c ρ, c + ρ) co ρ > 0. La serie coverge absolutamete e el iterior del itervalo, pero puede o o puede coverger e los extremos Demostració. Sea A = { x a () coverge y supogamos que A {c} y A R. Etoces existe x 0 c tal que la serie dada diverge cuado x = x 0 segu los resultados ateriores la serie diverge para todo x fuera del itervalo [c ɛ, c + ɛ], dode ɛ = x 0 c. Por tato A [c ɛ, c + ɛ] por lo que A es u cojuto acotado de ahí el cojuto { } B = a () coverge = { x A} es u cojuto acotado o vacío y por lo tato, tiee ua míima cota superior a la cual llamamos ρ = sup B. Vamos a probar que (c ρ, c + ρ) A [c ρ, c + ρ] } Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 2
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. supogamos que x (c ρ, c + ρ). Etoces < ρ = sup B asi que existe x 1 c B tal que < x 1 c. Esto es, existe x 1 A tal que < x 1 c y segú los resultados ateriores la serie coverge absolutamete e x. Por lo tato (c ρ, c + ρ) A. Supogamos ahora que x A. Etoces a () coverge asi que B. Así esto es es decir por lo tato sup B = ρ c ρ x c + ρ x [c ρ, c + ρ] A [c ρ, c + ρ] Deició 3. Al cojuto de úmeros reales x para los cuales la serie de potecias a () coverge, itervalos de covergecia de la serie. Deició 4. E la deició aterior si el itervalo es acotado, llamamos al úmero ρ radio de covergecia de la serie. Si la serie coverge solamete e x = c decimos que el radio de covergecia es 0, mietras que si la serie coverge para todo úmero real, decimos que el radio de covergecia es + Lo primero que vamos a determiar cual es su domiio de covergecia. Ejemplo Ecotrar el itervalo de covergecia y el radio de covergecia de la serie de potecias (x 3) 2 Solució E este caso usamos el criterio de la razó L = (x 3) +1 2 ( + 1) 2 +1 (x 3) = + 1 x 3 2 Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 3
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. = x 3 2 Etoces la serie coverge si L < 1 esto es la serie coverge absolutamete si x 3 < 2 y diverge si L > 1 esto es diverge si x 3 > 2 por lo que la serie de potecias coverge absolutamete e el itervalo (1, 5) y diverge fuera del itervalo [1, 5]. Vamos a ver los extremos e x = 1 se tiee (1 3) 2 = ( 2) 2 = ( 1) la cual es la serie armóica alterate que es covergete e x = 5 se tiee (5 3) (2) 2 = 2 = (1) la cual es la serie armóica que es divergete, por lo tato el itervalo de covergecia para la serie de potecias dada es [1, 5) y el radio de covergecia es 2 Ejemplo Ecotrar el itervalo de covergecia y el radio de covergecia de la serie de potecias 2 (x 3) Solució E este caso usamos el criterio de la razó L = ( + 1) 2 (x 3) +1 2 (x 3) 2 +1 2 = ( + 1) 2 (x 3) +1 2 2 (x 3) 2 +1 = x 3 2 = x 3 2 Etoces la serie coverge si L < 1 esto es la serie coverge absolutamete si x 3 < 2 y diverge si L > 1 esto es diverge si x 3 > 2 por lo que la serie de potecias coverge absolutamete e el itervalo (1, 5) y diverge fuera del itervalo [1, 5]. Vamos a ver los extremos e x = 1 se tiee 2 (1 3) 2 = 2 2 ( 2) 2 = ( 1) 2 la cual divergete e x = 5 se tiee la cual divergete 2 (5 3) 2 = 2 (2) 2 = 2 Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 4
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Ejemplo La serie ya que si 1 + x + x 2 + x 3 + + x + coverge si x < 1 S = 1 + x + x 2 + x 3 + + x = 1 x+1 1 x etoces S 1 x +1 = 1 x = 1 1 x por lo tato el itervalo de covergecia es x ( 1, 1) Ejemplo La serie!x coverge si x = 0 Esto se puede determiar usado el criterio del cociete, teemos que Ejemplo La serie ( + 1)!x +1!x = ( + 1)x la cual coverge si x = 0 x! coverge x R Esto se puede determiar usado el criterio del cociete, teemos que x +1 (+1)! x! x = = 0 < 1 por tato coverge x R + 1 Ejemplo Aplicado el criterio del cociete, idique el itervalo de covergecia para la serie Solució Sea segú el criterio del cociete a +1 a = x 2 a = x 2 x +1 2 +1 x 2 = 1 2 x = 1 2 x Se tiee que 1 x < 1 x < 2 2 < x < 2 2 por lo tato el itervalo de covergecia es x ( 2, 2) Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 5
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Ejemplo Aplicado el criterio del cociete, idique el itervalo de covergecia para la serie Solució Sea segú el criterio del cociete a +1 a = ( 1) (x 5) =1 4 a = ( 1) (x 5) 4 ( 1) +1 (x 5) +1 4 +1 (+1) ( 1) (x 5) 4 = x 5 4( + 1) = 1 x 5 4 Se tiee que 1 x 5 < 1 x 5 < 4 1 < x < 9 4 por lo tato el itervalo de covergecia es x (1, 9) Prof. Esteba Rubé Hurtado Cruz 6