UNIERSIDAD PRIADA JUAN MEJÍA BACA Autorizción de Funcionmiento Resolución Nº 5-8- CONAFU IT3 Físic Generl I Texto Informtivo L Cinemátic PARTE II 3.7 Movimiento lo lro de un curv culquier 3.7.1.elocidd ectoril: Son el punto P que se desplz en un tryectori curvilíne culquier (fiur mostrd). Un vez escoido un sistem de coordends crtesins, introducimos el vector que determin l posición del punto P (en un instnte ddo, después de un tiempo Δt, el punto se encuentr en ; que se crcteriz por un vector: Definimos estmos como velocidd vectoril medi del punto P l rzón: Si Δt, tiende cero (Δt ) se define l velocidd instntáne como: Es equivlente : El punto tiende hci el punto P, l cuerd Δr tiende l tnente l curv T en P y por tnto el vector tiene l dirección de l tnente en el punto P
3.7..Acelerción ectoril: L velocidd vectoril es constnte cundo su módulo y dirección son constntes Se tendrá csos donde solmente el módulo de l velocidd vectoril vrí como en el movimiento rectilíneo (l dirección de l velocidd es el de l rect). En otros csos puede vrir solmente l dirección quedndo constnte el módulo (ejemplo: movimiento circulr uniforme). En el cso enerl l velocidd vrí en dirección y en mnitud de punto en punto. Si trnsferimos los vectores velocidd de puntos sucesivos hci un orien común, vemos que podemos clculr un celerción vectoril medi usndo un definición nálo o l velocidd medi: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Si t se obtiene l celerción instntáne El vector, tiene en enerl l dirección de l velocidd, tiene l dirección del cmbio instntáneo en l velocidd, como l velocidd cmbi en l dirección en l cul l tryectori se curv, l celerción está siempre puntndo hci l curv y en enerl no es tnente en perpendiculr l tryectori. 3.8 Movimiento de un prtícul en un plno: 3.8.1Componente tnencil l norml: Se un prtícul que se mueve lo lro de un curv contenid en el plno de l fiur. Se P l posición de l prtícul en un instnte ddo uniérmos P en vector unitrio tnente l tryectori de l prtícul y puntndo hci l dirección del movimiento, se el vector unitrio correspondiente l posición P de l prtícul un instnte después. Trzndo mbos vectores desde el mismo orien O' definiremos el vector. Como y son de lonitud unitri sus puntos se encuentrn sobre el círculo de rdio 1. Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 3
Representndo por A el ánulo entre y encontrmos que l mnitud de Δ es: Consideremos hor el vector y notmos que conforme Δ tiende cero, este vector se vuelv tnente l círculo unitrio de l fiur nterior, es decir, perpendiculr y que su mnitud se proxim : Entonces el vector obtenido en el límite es un vector unitrio lo lro de l norml l tryectori de l prtícul en l dirección hci l cul cmbi. Representdo este vector por escribimos: Con l velocidd sí: de l prtícul es tnente l tryectori podemos expresrlo L ecución será 4 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Pero: Con: Y con: Tenemos: Lueo: Ls componentes esclres de l celerción son: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 5
3.9. Movimiento de un Proyectil Esto es otro tipo de movimiento en el plno, con celerción constnte, lueo si = cte tenemos: u = u u ( t t ) Donde o es l velocidd pr t = t, lueo: = (t t) (3.15) Tmbién si: d r Tenemos: = + (t t) r r r = t t t t ( t t) ( t t) = t t Donde r posición en el tiempo t y lueo: 1 r r ( t t ) ) ( t t 3.16. 6 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
En el ráfico notmos que: = x + U x + U y Donde: ox = ocos +, oy = o Sen Si (t =) = (ox U x + oy U y )- t U y Hbiendo reemplzndo en: = + en donde: x= ox, y = oy t L que indic que l componente de como debí y que no hy celerción en dich dirección. t en l dirección x permnece constnte, Similrmente l ecución (16) con r = y t = seprndo en sus componentes: 1 r = x U x + Y U y = ( U x + oyu y ) t - t U y Es donde: X = oxt, Y = oyt - - 1 t Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 7
Pr l solución de problems usmos l mism convención que en el movimiento en cd libre (+), cundo el proyectil se encuentr subiendo y (-) cundo est en descnso. Alunos resultdos importntes: Tiempo totl en vuelo (T) Es el tiempo necesrio pr que el proyectil rerese l mismo nivel de donde fue disprdo. T = t (escenso) + t (descenso) Cundo sbe: y = oy t y = cundo lcnz l ltur máxim Lueo: d oy = oy = t t = y T = t = oy = osen Alcnce horizontl R. osen R =oxt = vocos ( ) = SenCos R = Sen (3.17) Altur máxim (H) H = oy t - 1 t Tiempo de subid: t = oy H = o oy 1 oy H = oy oy oy 8 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
1 oy 1 1 H = ( o Sen ) ( Sen ) (3.18) Otrs relciones son: H R 1 4 T 9 H.T 8 Se demuestr prtir de ls ecuciones: X = oxt 1 Y = oyt- t Y eliminndo + l ecución de l tryectori es: Y = xt - x Cos (3.19) 3.1. PROBLEMAS ARIOS 19. Se lnz un proyectil bjo un ánulo con l horizontl y ps dos puntos coordendos son (,) y (,). Hllr el ánulo de tiro y probr que l velocidd o con l que fue lnzd, es dd por: = 13 4 SOLUCIÓN: L ecución de l tryectori es: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 9
x Y = xt - Cos En el punto (,) l ecución será: = t - Cos 1 = t - Cos (t -1 ) Cos (1) En el punto (,) 4 = t - Cos 4 = t - Cos (r ( = t 1) Cos () 4 Iulndo (1) y () (t -1) Cos = ( 4 (t -1) = t -1 4t - 4 = t - 1 t = 3 3 3 t = =t -1 Entonces: 1) Cos 4 Sen = Cos = 3 13 3 13 1 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Como: = (t 1) = Cos = ( 3-1) x 4 13 1 x x 13 4 = 4 1 = 13 4. Un prtícul es proyectd con un velocidd hst lcnzr un distnci sobre l horizontl que es el doble de l ltur máxim lcnzd. Probr 4 que l distnci es 5 SOLUCIÓN: H = Ym = Sen Pero como: X = Ym = Y demás: Sen (1) R = XA= Sen () Iulndo (1) y () tenemos: Sen = Sen SenCos = Sen = SenSen Lueo: 1 Cos = Sen Cos 1 = Ct = Sen Entonces: Cos = Sen Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 11
X = Sen = Sen Cos X = x 1 x 5 5 4 5 con ello: R = X = 4 5 X = x 1 x 5 5 4o 5 x Con ello = R = X = 4o 5 1. Un prtícul es proyectd hci un pntll verticl rectnulr, perpendiculr l plno verticl de su tryectori, psndo justmente por encim de est en el punto más lto de su tryectori. L pntll está metros en frente del punto de proyección y puede superr m metros rrib de este punto. Hllr los componentes verticl y horizontl de l velocidd de proyección. SOLUCIÓN: ocos = oz ox = ocos oy = osen Ahor l velocidd finl verticl y horizontl serán: y = oy t x = ox 1 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
y = osen t ; x = ocosq L ltur máxim está dd por: Ym = H= Sen Pero. Ym = H= m Lueo: m = Sen Tmbién se sbe que cundo lcnz su ltur máxim: y =; Lueo; y = = Sen - t t = Sen Pero cundo trnscurre este tiempo l prtícul se encuentr un distnci: X = = (Cos) t Lueo: = (Cos) Sen Despejndo de (1) y () e iulndo tenemos: = n Sen Con ello: (Y) = SenCos Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 13
n Sen = SenCos Sen SenCos n Sen Cos t n t con lo cul construimos el siuiente triánulo: Sen = Cos = n n 4n 4n Y como: n n = Sem n 4n = ( 4n ) = n ( 4n ) = n Como los componentes de l velocidd de proyección están dds por: osen erticl ocos Entonces: Sen= ( 4n ) n x n 4n Sen= n n n Sen= n (componente verticl) 14 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Sen= ( 4n ) n x 4n Cos= n n n Cos= n componente verticl. Un prtícul es despedid de un punto 3, rrib de l horizontl, l dirección de l proyección hce un ánulo con el horizonte. Probr que si l myor ltur rrib del punto de proyección es h, l distnci horizontl l elevr con el plno horizontl es: 6hCt SOLUCIÓN Se l velocidd de proyección Su componente verticl será: Sen, y es disminuid por un retrdción en un distnci por consiuiente: Sen = h Sen = h osen = h L componente verticl de l velocidd es destruid en un tiempo t ddo por: y = osen - t Lueo: y = = osen - t Sen h h h t= Lueo l prtícul ce del reposo un distnci 4h bjo l cción de l rvedd y el tiempo pr esto está ddo po: 1 t 1 = 4h t1 = 8h = h Entonces el tiempo totl del movimiento es: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 15
t+ t1 = h h + h = 3 L velocidd horizontl es: ocos = osen Ct ocos = h Ct L distnci horizontl: d = ocos t = ocos (3 h / ) h d= h / ) Ct x 3 = 6h Ct 3. Un prtícul escribe un tryectori curvilíne con velocidd totl es 9.5 m/s, clculr el rdio de curvtur de l tryectori en ese instnte. SOLUCIÓN: Tenemos que: = n + t el módulo : + n + t Tmbién: = 6t 3/ en t = 1.5 = 1 d t = = 1t en t = 1.5 t = 18 m/s Lueo: n = t n = ( 5) (18) n = 45 384 81 9 De l relción: n = n = (1) 9 = 16 m 16 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
4. Clculr l celerción totl y el rdio de curvtur de l tryectori de un proyectil que sle disprdo con un velocidd de 68 m/s, sbiendo que el ire oriin un descelerción de 5m/s en dirección horizontl (tomr l velocidd de slid horizontl y clculr l celerción un instnte después del dispro). SOLUCIÓN: Se el rdio de curvtur: = 68 c m/s t = -5 i m/s t = = -9.8 j = t + n = -5 i - 9.8 j m/s De: n n= / x / tenemos: = 3 / x / i i k x = 68 6684K 9.8 / x /= 6664 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 17
3 (68) = 6664 4.7 x 1 4 m 5. Demostrr que se cumple ls siuientes relciones pr el movimiento curvilíneo: n = x Donde: (Y) n / x / t = celerción tnencil n = celerción norml. SOLUCIÓN Notmos que t es l proyección de sobre, se el vector unitrio de. Lueo: t = t= t=... Tmbién: = t + n x = x( t + ) = x t + x n x = x n, pues x t = Tomndo módulos: Por: // t / x /= / x n/= n Sen 9 = n De donde: n = / x / 18 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
6. Un prtícul se mueve por l circunferenci de rdio r = 4 m conforme l ley S = 4.5t donde S se mide en metros y t1 en seundos. Hllr el módulo de l celerción del punto y el ánulo, entre l celerción y l velocidd de l velocidd en el Momento T, en que l mnitud es l velocidd es iul 6m/s. SOLUCIÓN El módulo de l velocidd de l prtícul: ds d = = (4.5 t3 ) = 13.5 t m/s Seún los dtos tenemos cundo t = T l velocidd de l prtícul es = 6m/s lueo: 6 = 13.5 T T = T = 9 4 = 3 S 6 13,5 L celerción Tnencil del Punto: t= Pr: d d t = T = /3 s t= 7 x 3 = 18 m/s (13.5t ) = 7 t m/s L celerción norml de l prtícul: n= Con 8 = 6m/s y Tenemos: = r = 4m n = 6 4 9ms / L celerción totl: = n t Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 19
= 18 9t 9 5 m / s El ánulo Entre l velocidd y l celerción de l prtícul se determin sí: t = n = rct 1 = 6 34 t 9 18 1 7. Un tren se mueve uniformemente celerdo por un curvtur cuyo rdio de curvtur es =5 m, psdos 3 minutos dquiere l velocidd = 54 km/h. Determinr l celerción del tren un vez prdos minutos después de su prtid de l estción que prte del reposo. SOLUCIÓN L velocidd: = 54 km/h = 54 36 15m / s L celerción tnencil: = + t t donde = Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
15 1 t = = = m/s t 18 Como el movimiento del tem es uniformente celerdo, entonces su celerción tnencil es constnte, pero l celerción norml del tren determin con l fórmul n= depende de l velocidd de movimiento, será diferente pr diferentes momentos de tiempo. Determinr l velocidd del tren l finl del seundo minuto después de su prtid de l estción. 1 = + tt = + x 1 = 1 m/s Con ello l celerción del tren en este momento será: n = 1 = 5 m=. m/s L celerción totl: = n + t =.17 m/s 3.11. Movimiento Circulr Este movimiento es un cso especil en l cul l tryectori es un círculo. Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 1
Como l velocidd es tnente l círculo, es perpendiculr l rdio R = C. Tmbién tenemos: S = R L velocidd en módulo es: ds Re = = (3.) d A l cntidd W = (3.1) Se denomin velocidd nulr y es iul l vrición del ánulo en l unidd de tiempo, se expres en rdines por seundo, rds -1 o simplemente s -1 lueo: = WR (3.) Lo podemos expresr como un cntidd vectoril y con dirección perpendiculr l plno del movimiento en el sentido vned de un tornillo de rosc derech irdo en el mismo sentido es que se mueve l prtícul y obtenemos l fiur. W = W u z Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
d W = = u z = RW = WrSen pero R = rsen Lueo W x r (3.3) 3.1.. Movimiento Circulr Uniforme: En este movimiento tenemos W = constnte, ose l velocidd nulr es constnte. En este cso el movimiento es periódico y l prtícul ps por cd punto del círculo intervlos iules de tiempo. Periodo (p), es el tiempo requerido pr relizr un vuelt complet o revolución. Frecuenci (f), es el número de revoluciones por unidd de tiempo. De ello decimos que si en el tiempo t, l prtícul reliz m, revolucione el período es: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 3
P = n t Y l frecuenci será el número de revoluciones en unidd de tiempo: Lueo: f = t n L frecuenci con el período se relcion si: Uniddes: f = p 1 Periodo de seundos (s) Frecuenci en (seundos) -1 o s -1, unidd denomind Hertz. Tmbién en lur de Hertz se us ls revoluciones por seundo (r.p.s.) o (r.p.m.) revoluciones por minuto. Los conceptos de periodo y frecuenci son plicbles todos los procesos periódicos que ocurre en form cíclico, esto es quellos procesos que se repiten después de completr un ciclo. Por ejemplo el movimiento de l tierr lrededor dl sol no es circulr l uniforme, pero es periódico. Es un movimiento uniforme cd vez que l tierr complet un órbit, el riodo es el tiempo recorrido pr completr un ciclo, y l frecuenci es el número de ciclos por seundo, correspondiendo un Hert un ciclo por seundo. De l relción: Tenemos: d W = d = t t º Wot Con ello: = + W (t t) Como condiciones iniciles usulmente ceptmos: = y t = 4 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Dndo: = Wt o W = (3.4) t Pr un revolución complet, t = p y = m resultdo: W = = n (3.5) 3.13. Movimiento Circulr uniformemente celerdo Cundo l velocidd nulr es un prtícul cmbi con el tiempo, l celerción nulr está definid por el vector: d W (3.6) Pero como el movimiento circulr es un plno, l dirección de W permnece lvrible y l relción tmbién se cumple pero ls mnitudes de ls cntiddes invlords, con ello: dw d q (.7) Pero en este movimiento l celerción es constnte y tenemos: W W dw = t = t t t O = W = W + (t t) Donde: W es el vlor de W pr el tiempo t con yud de W = d = Wo + (t-t) Tenemos: d = t W + (t-t) t De donde: = + (W) (t-t) + 1 (t-t) Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 5
Ls siuientes relciones son importntes pr el movimiento circulr, sbemos que: t= dv dw R dr Rd R Tmbién: d d r W x W x Y que: d r Debiendo hcer notr que el módulo de l celerción tnencil mide l rpidez con l cul cmbi el vlor de l velocidd instntáne en enerl pr el movimiento curvilíneo: d t = y el modulo de l celerción norml mide l rpidez con lo cmbi de dirección el vector pr el movimiento curvilíneo. n= R 3.14.- elocidd y Acelerción en Coordends Polres Existen muchos csos en los que el movimiento curvilíneo de cd prtícul se determin medinte ls coordends polres. r y Si es el punto p considermos dos vectores unitrios. e r y e e r = Cos i + Sen j e = - isen + j Cos 6 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
d e r d d e r = -Sen + Cosj = e r d d e d = -Cos i + Cos j = -( ( e i Sen j R ) d e d = - e r = Si tenemos: d r d ( r e r ) d e r r e r dr r d d d e r dr dr e r e e r (3.9) Con l simboloí: d =, r dr r = r e r e r (3.3) L celerción: d d ( r e r e r ) (3.31) d d e e dr d e r r dr e r d e r( e d ) e dr rd e r dr e r d e r r e d e dr rd e r dr e r d e r r e d e r rd e r e r r Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 7
Con yud de: d e d de d e r d e r d d e r d e = -r() + er + re + er + re + rer = -r() er + re + re + rer = (r-r ) er +r) e (3.3) 3.1.5. Problems Resueltos 8. Un volnte tiene en un momento ddo l velocidd nulr W = rd/s, y l rd celerción nulr 3 s. Hllr l velocidd, l celerción tnencil (rottiv), l celerción norml (centrípet) y l celerción totl del punto M del volnte, que se hll l distnci de.8 m l eje de rotción. SOLUCIÓN: L velocidd del punto M = = rw =.8 x = 1.6 x L celerción tnencil (rottiv) = 5 m/s t= r =.8 x (-3) = -.4 m/s 8 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
L celerción norml (centrípe) n= rw =.8( ) = 3. x = 31.5 m/s L celerción totl del punto: = t n (.4) (31.5) 31.6 m / s = 31.6 m/s t.4 t =. 8 31.5 n = 4.5 9. El stélite rtificil intelst ir lrededor de l tierr con un periodo de 4 hors Cuál es su frecuenci, velocidd nulr y tnencil y celerción centrípet, l distnci promedio del stélite l superficie de l tierr es 35.83 km. SOLUCION Tenemos en primer lur l distnci del stélite P l centro de l tierr O, que es el centro de iro es: r = OT + PT donde: OT, rdio terrestre PT, distnci del stélite l superficie de l tierr. r = 6.368 km + 35.83 k = 4, km El periodo T del movimiento es: T = 4 hors = 4 x 3,6 se = 86,4 se. Lueo: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 9
f = 1 T 1 86,4 se,116hz su velocidd nulr: W - f= 6.8 x.116 =.77 rd/se. L velocidd tnencil: t = rw t = 4, km x.77 rd/se = 3.673 km/se L celerción centrípet: n = r 3.673 km / s n = t = 4,km.3km/ s 3. ué velocidd tnencil tiene un person situd en el Ecudor? o un ltitud de 45? SOLUCIÓN: El periodo de revolución de l tierr lrededor de su eje es de 4 hr. Por tnto, l frecuenci del movimiento circulr es: f = 1 = 1 4x3, 6se L velocidd nulr es: =.116 Hz W = enf = x 3.1416 x.116 =. 77 rd/se Pr un person situd en el ecudor el rdio de iro es el rdio de l tierr. R = 6.368km Lueo l velocidd tnencil es un person situd en el Ecudor S: t = RW t= 6368 km x.77 rd/s 3 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
=.4695 km/s 1 =.4695 km/( hr ) 36 = 1,66.63 km/hr Pr un person situd l ltitud, el rdio de iro es el rdio de l tierr sino l distnci P. Lueo: Cos = OS R P R Lueo el rdio de iro es: OS = RCos Con ello tenemos: = WRCos Cos = 45 t =.77 rd/s x 6368 km x Cos45 =.469 km/s x.7711 =.3735 km/s = 1178.48 km/h Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 31
31. En l fiur se represent dos poles coxiles de rdio R1 =.1 m y R =.5 m y un tercer pole de rdio R =. m. El cuerpo P, desciende con celerción constnte 1 = 5m/s prtiendo del reposo. Clculr l velocidd nulr del disco de rdio R, en el instnte t, sbiendo que no hy deslizmiento entre ls poles. SOLUCION L celerción nulr de ls poles coxiles es: 1 = R 1 5.5 1 = 1 rd/s entonces: 1 = 1R1 = 1 x.1 = 1 m/s 1 = Lueo = 1 m/s y = = 5 rd/s R 1. Pero: dw = dw = 5 W = 5 t 3 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
3. Hllr el desplzmiento nulr del punto P de l piedr mostrd en l fiur que tiene un colección nulr constnte 3 rd/s y prte del reposo. Clculr tmbién l velocidd nulr después de 3 seundos? SOLUCION Siendo: = W.t. + 1 t Pr t =, W = = 3 rd/s = 1 (3)(3) 13.5 rd = 13.5 rd =.15 rev L velocidd nulr: W = W + + W = 3(3) = 9 rd/s 33. EL pero W está conectdo un pole por medio de un cble inextensible. El movimiento de l pole es controldo por el cble C, que tiene un celerción constnte de.3 m/s y un velocidd inicil de.4 m/s, mbs diriids hci l derech. Determinemos: ) El número de revoluciones ejecutds por l pole en s. b) L velocidd y el cmbio en l posición del pero W después de s c) L celerción del punto D sobre el borde de l pole interior en t = SOLUCION: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 33
Como el cble es inextensible, l velocidd del punto D es iul l velocidd del punto C, tmbién l componente tnencil es l celerción de D, e iul l celerción de C. c = D =.4 m/s c= TD =.3 m/s Tmbién: D = rw.4 m/s =.1 mw W = 4 rd/s td = r.3 m/s =.1 m = 3 rd/s Con ls ecuciones pr el movimiento uniformemente celerdo obtenemos pr t = s. W = W + t = 4 rd/s + (3rd/s ) (se.) W = 1 rd/s 1 1 = Wot + t = (4 rd/s) (s) + (3rd/s )(s) = 8 rd + 6 rd = 14 rd Número de revoluciones = (14 rd) (1 rev/ rd) =.3 rev Movimiento del pero W: W = rw = (.)(1 rd/s) = rd/s YB= r =(.)(14 rd) =.8 metros 34 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
Acelerción del punto D t = Dt = c =.3 m/s Como es t =, W = 4rd/s, l componente norml de l celerción es: DN = rw = (.1 m)(4rd/s ) DN = 1.6 m/s 34. L fiur muestr los tres discos entre si, de rdio de curvtur: R, R/, R/3 respectivmente Cundo el disco de myor rdio ir 4 vuelts, Cuánts vuelts irrá el disco de menor rdio? SOLUCION Los puntos periféricos de los discos tnente, tienen iul velocidd linel: A = B= C Lueo: A = WAR; B = WB R, C =WC 3 R Relcionndo: A y C A = C WAR = WC 3 R 3WAR = WCR 3( fa) R = fc R 3fA = fc Si: f = 4 vuelts Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 35
(4c) = fc fc = 1 vuelts 35. L fiur muestr dos poles concéntrics de rdios = cm y b = 1 cm, respectivmente. L pole móvil se encuentr sostenid medinte un cuerd cuyos extremos están desrrolldos ls poles fijs. Si ls poles con centro fijo irn con velocidd nulr constnte de 4 rd/se. con sentido horrio, Hllr l velocidd del bloque unido l pole móvil? SOLUCIÓN L velocidd de los puntos (1) y () en ls cuerds, es iul l velocidd linel de los puntos periféricos de ls poles respectivs: = WR Punto (1): Punto (): 1 = (4)(1) = 41 cm/s = (4)(1) = 8 cm/s Propieddes l pole móvil: 3 = 1 Lueo reemplzndo: 3 = 6 cm/s 36 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
36. Un prtícul reliz un M.C... prtir del reposo ( = ) con celerción nulr constnte de.5 rd/s. Si se sbe que el rdio de l tryectori es de metros y el cmbio de l velocidd en módulo es iul, l cmbio de velocidd de dirección y sentido en un instnte determindo. Determinr el tiempo en movimiento de l prtícul hst ese instnte? SOLUCIÓN Hbiendo notdo que l celerción centrípet se produce como un cmbio de l dirección de l velocidd linel en l unidd de tiempo y que l celerción tnencil se produce como en cmbio de l mnitud de l velocidd tnencil en l unidd de tiempo pr nuestro problem como l celerción centrípet, es iul l celerción linel en módulo. ) c - y t =.R Iulndo : = R De donde: = (.5)(4) = m/s (1) b) Cálculo de l celerción linel o tnencil: t = R t = (.5)() t =.5 m /s () c) Cálculo del intervlo de tiempo: f = p + tt 1 = + (.5).t Lueo: t = se. 37. Un móvil prte del reposo y comienz moverse con M.C.U.. con un celerción nulr constnte de rd/s. Sbiendo que en cierto intervlo de tiempo el móvil h corrido un ánulo centrl y seundos después h corrido un ánulo E donde se cumple: Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 37
4 = s E Hllr el ánulo E SOLUCIÓN: Hllremos t, l tiempo que trd el móvil en correr el ánulo centrl. relizndo el trmo inicil del movimiento: = 1 x t = t (1) () Anlizndo el trmo totl del movimiento: Lueo: ( + E) = 1 (t + ) + E = (t + ) () (3) De l condición: Lueo: E 5 = 4 E 9 4 (3) Reemplzndo (1) y () en (3): t = 4s = rd. E = rd. 38. Un prtícul se mueve sobre un tryectori cuy ecución es r = 3 m. So = t 3 rdines, determinr l velocidd y celerción de l prtícul cundo = 6. SOLUCIÓN: El tiempo pr el cul = 6 = / es: = t 3 rr 3 1.47 t 3 t 1. 15 Ls ecuciones de movimiento: r = 3 = 3t 3 r = 3.13 r = 9t r = 9.7 38 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.
.. r = 18t.. r = 18.7 = t 3 = 1.47. = 3t.. = 6t. = 3.91.. = 6.9 El vector velocidd pr t = 1.15 = ṙ e r r e = 9.7 e r + 9.67 e = (9.7) (9.67) 13.39m/ s El vector celerción:.. ( r r ) e ( r r ).. r e. ( 18.7 9.9) e r (19.6 57.3) e c 11.63e 76. 36e L mnitud de : ( 11.63) (76.36) 77.4m / s 3.16. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. L celerción de un prtícul que se mueve en líne rect está dd por: = 3t - t Hllr ls experiencis de l velocidd y el desplzmiento en función del tiempo pr t = 4s, v = m/s x = 1 m. Dos cuerpos son lnzdos verticlmente desde el mismo punto y en el mismo instnte, uno de ellos tiene un velocidd inicil de 3 m/s y el otro 45 m/s. Clculr el tiempo que los cuerpos están l mism ltur. Lic. Alfonso Mendoz Gmrr. 39
3. Desde un punto O es disprdo un proyectil que lle 1s. Al punto P situdo en l mism horizontl. Si no hubier disprdo con un ánulo doble que el nterior hubier lledo P en 18 s. Clculr l distnci OP. 4. Un vión vuel de modo horizontl velocidd v = 47 m/s. Un observdor que el rdio l cbo del tiempo t = 1 s. de hber psdo el vión sobre él. A qué ltur vuel el vión? L velocidd del sonido c = 33 m/s. 5. De tres tubos que se encuentrn en el suelo, slen en l mism velocidd son los chorros de u formndo respectivmente ánulos de 6, 45 y 3 rdos con l horizontl. Hllr l relción entre ls lturs máxims que llen los chorros de u que slen de los tubos y l relción entre ls distncis que el u ce sobre l tierr. 6. Un dño es lnzdo desde el punto A con un velocidd v =15 m/s, formndo un ánulo de 53 con l horizontl y se encrest en el punto B perpendiculrmente l plno inclindo. Clculr el tiempo en movimiento del ddo? = 1 m/s 7. Dos móviles A y B prten de dos puntos dimetrlmente opuestos de un pist circulr, desplzándose en el mismo sentido con velociddes nulres de r/ y r/3 rd/s. respectivmente. Después de cunto tiempo se encuentrn juntos? 8. Un móvil prte del reposo (W =) con M.C.U.. después de un tiempo t se observ que brre un ánulo centrl y 5 se. Después brre un ánulo donde se cumple que: 9 7 4 Lic. Alfonso Mendoz Gmrr.