Geodesi Físic y Geofísic I semestre, 014 Ing. José Frncisco Vlverde Clderón Emil: jose.vlverde.clderon@un.c Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Cpítulo El cmpo grvitcionl y sus nomlís Nomencltur: W = potencil de grvedd rel U = potencil de grvedd norml V = potencil grvitcionl Φ = potencil centrifugo g = celerción de l grvedd γ = celerción de l grvedd norml b = celerción grvitcionl z = celerción centrifug Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Se cumplen l relciones: W = g U = γ V = b Φ = z V es el potencil grvitcionl y es rmónico fuer de ls mss terrestres. Debido l rotción terrestre, existe un celerción centrifug. Se sume un rotción con un velocidd ngulr (ω) constnte. L celerción centrifug está dirigid hci el exterior, de form perpendiculr l eje de rotción. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Acelerción centrifug Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Se define el potencil centrifugo Φ como el potencil cuyo grdiente es l celerción centrifug. π ω = di( segundos) 1 π Además, se define l velocidd ngulr ω = 86164.10s (ω) de l siguiente mner: 5 rd ω = 7.9115 10 s Se define l celerción centrifug de l siguiente mner: z = ω p El prámetro p se como: p = x + y Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Por lo tnto, el potencil centrifugo es equivlente : Φ = 1 ω p Se define el potencil de grvedd de l siguiente mner: W = V + Φ Expresdo de otr form: dm 1 W = k + ω ( x + y ) l Volumen L celerción de l grvedd o grvedd g es el resultdo de l grvitción b y l celerción centrifug z. g = b + z Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Primer proximción: l Tierr representd por un esfer. Segund proximción: l Tierr representd por un elipsoide de revolución. Ningún elipsoide es igul l form rel de l Tierr. Pero el cmpo de grvedd que se puede socir es muy importnte es fácil de mnejr de form mtemátic. Ls diferencis entre el C.G del elipsoide y el C.G rel de l Tierr son tn pequeñs, que se pueden considerr lineles. Como consecuenci, es ms sencillo estudir l form de l Tierr y su cmpo de grvedd, refiriéndose un modelo de grvedd. Este modelo nos drá ls diferencis del mismo en relción con el Geoide Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Se sume entonces que l Tierr es un elipsoide de nivel, esto es, un elipsoide de revolución, cuy superficie es un superficie equipotencil del cmpo de grvedd socido l elipsoide. A este cmpo, socido l elipsoide, lo llmremos Cmpo de Grvedd Norml y l elipsoide l que se le soci este cmpo Elipsoide Norml Un ventj de este elipsoide norml es que le puedo socir un sistem de coordends elipsoídics. Al definir el elipsoide norml, lo que se logró fue encontrr un buen proximción l geoide, que es mtemáticmente simple y cuys diferencis con el geoide son muy pequeñs. Al cmpo de grvedd norml, le socimos un potencil de grvedd norml, que denotmos como U. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Además, l elipsoide norml se le soci un ms M y un rotción, con un velocidd ngulr ω. El elipsoide norml posee ms y rotción Geoide Elipsoide norml Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Aclrción: se sbe que el potencil depende de l distribución de mss en el interior de ls mss tryentes; en el cso del elipsoide norml, nos bst con suponer que l ms totl esm, sin importr si no se conoce con detlle como se comport l densidd dentro del elipsoide. Por tnto, este elipsoide cumple ls siguientes condiciones: Su ms coincide con l de l Tierr, por lo que el vlor GM se mntiene. L ms del elipsoide tiene un distribución homogéne (un densidd constnte, no import cul) y gir en el espcio con un velocidd ngulr igul l de l Tierr. El centro del elipsoide coincide con el centro de l Tierr. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Definimos el potencil de grvedd norml de l siguiente form: U = V + Φ elipsoide El potencil grvitcionl norml V elipsoide es generdo por l ms del elipsoide. El vector de grvedd norml es el grdiente del potencil de grvedd norml: γ = U Un crcterístic del elipsoide norml es que ls superficies equipotenciles son de form elipsoidl, concéntrics y prlels entre si. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El cmpo de grvedd norml Recordr que ls superficies equipotenciles del cmpo de grvedd rel NO son prlels. El vlor de U en cd punto depende de ls dimensiones del elipsoide que se tome como referenci. Entonces, se impone como condición que el potencil norml en l superficie del elipsoide se igul Wo, esto es el potencil de grvedd rel sobre l superficie del geoide. Superficie Potencil Grdiente Prof: José Fco Vlverde Clderón Cmpo de grvedd rel Cmpo de grvedd norml W = V Tierr + Φ U = V Elipsoide + Φ Geoide Elipsoide Norml W = Wo en el geoide U = Woen el elipsoide norml W = g U = γ Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Prof: José Fco Vlverde Clderón Superficies de nivel en el cmpo de grvedd rel
Cmpo de grvedd rel y norml Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
El elipsoide norml se puede definir con cutro prámetros: L form y el tmño del elipsoide (,b), (,f); Un velocidd ngulr ω; L ms M. Se puede definir un fórmul pr clculr el potencil de grvedd norml de l siguiente mner: KM 1 ε ω q 1 ω U = tn + sin β + ( u + ε )cos β ε u q 3 o (1) Ls únics constntes en l nterior fórmul son km (en lgunos libros GM),, b y ω. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Con q y q o () 1 u 1 ε u q = 1+ 3 tn 3 ε u ε q o 1 b 1 ε b = 1+ 3 tn 3 ε b ε ε = b (3) Elipsoide norml β = ltitud reducid Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
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Teorem de Stokes-Poincre Si un cuerpo de ms totl M rot con un velocidd ngulr (ω) constnte lrededor de un eje fijo y si S es un superficie de nivel de su cmpo de grvedd, encerrndo tod l ms M, entonces el potencil de grvedd en el espcio exterior de S es determindo de form únic por medio de los prámetros ms, velocidd ngulr y S. U = U ( M, ω, S ) Donde S qued definid por los prámetros geométricos del elipsoide. Hciendo que u=b, q=q o se tiene: 1 KM ε ω U = U = tn o + ε u 3 (4) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Fórmul de Somiglin L fórmul de Somiglin permite clculr el vlor de l grvedd norml en l superficie del elipsoide norml, pr un ltitud reducid β: γ = b sin + b cos γ β γ β sin β + b cos β En términos de l ltitud reducid β: (5) En términos de l ltitud geodésic φ: (6) γ = cos + b sin b γ ϕ γ ϕ cos ϕ + b sin ϕ Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Considerndo que: tn β b = tnφ (7) γ= grvedd norml en el ecudor γb=grvedd norml en el polo = semieje myor del elipsoide b =semieje menor del elipsoide β=ltitud reducid φ = ltitud geodésic L grvedd norml pr un ltitud dd, es un función de los vlores de l grvedd norml en el ecudor, el polo y l geometrí del elipsoide de referenci. Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Teorem de Clirut Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Teorem de Clirut γ γ q b o GM m e q = 1 m b 6 q0 GM m e q = 1 + 3 q0 0 1 b 1 ε b = qu = b = 1+ 3 tn 3 ε b ε 0 b b 1 ε q o = q u= b = 3 1+ 1 tn 1 ε ε b (8) (9) (10) (11) b γ γ ω b + b = 1 + γ γ e' q ' q 0 0 Form riguros de un proximción del teorem de Clirut (1) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Teorem de Clirut Considerndo l siguiente expresión: ( 1 sin ϕ ) r = f ( ) γ = γ 1 + f *sin ϕ Donde f es el chtmiento geométrico del elipsoide Si se hce ϕ = 90º, r = b, γ = γ b b = (1 f ) Despejndo f y f*: γ γ f b = (1 + *) f * b = γ γ f = b γ (13) (14) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Luego se tiene: Prof: José Fco Vlverde Clderón Teorem de Clirut 5 f + f * m (15) Cuy fórmul equivle l teorem de Clirut en su form originl. El teorem de Clirut es uno de los teorems ms notbles de l geodesi físic: El chtmiento geométrico f, puede clculrse por medio de l determinción de f* y m, ls cules son cntiddes netmente dinámics obtenids por medio de mediciones grvimétrics, es decir, el chtmiento de l Tierr se puede determinr prtir de mediciones grvimétrics. Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Teorem de Clirut Donde f es el chtmiento del elipsoide geométrico y f* es el chtmiento grvimétrico o chtmiento por grvedd. Considerndo m es igul : m Donde: ω = fuerz centrifug en el Ecudor γ = grvedd norml en el Ecudor ω γ γ (16) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Otrs expresiones: Potencil norml: GM 1 1 1 = + + U 1 e ' e '4 ω 0 b 3 5 3 Grvedd norml en el ecudor y el polo: (17) γ GM 3 3 = 1 m b 14 e ' m (18) γ b GM = 1+ m + 3 7 ' e m (19) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Teorem de Clirut: 5 b 9 + * = 1 + ' 35 ω f f e γ L rzón ω b/γγ se puede expresr como: ω γ b = m + 3 m (0) (1) Pr ms informción, ver de l págin 69 l 81 del libro Geodesi Físic de Hoffmn-Wellenhof y H. Moritz Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Grvedd norml un ltur h Se puede clculr l grvedd norml pr un punto con ltitud φ, que se encuentr un ltur h de l siguiente mner: 3 = 1 (1 + f + m f sin ) h + h h o γ γ φ Donde γ o se clcul con bse vlores, que vrín cd cierto periodo. Se puede clculr l γ o con bse l formul: γ = γ (1 + β sin φ β sin φ) o 1 () Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Pr el GRS-67, se tiene: γ = + φ φ o Pr el GRS-80, se tiene: γ = + φ φ o Grvedd norml un ltur h 9.780318*(1 0.005304sin 0.0000059sin ) (m/s ) (3) 9.78037*(1 0.005304sin 0.0000058sin ) (m/s ) Tmbién es vlido pr el GRS80: (4) (5) Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Sistem de referenci geodésico GRS80 A trvés de los ños, se hn doptdo diferentes sistems geodésicos, los cules hn sido definidos prtir de los cutro prámetros que definen el elipsoide norml. El ms ctul* es el GRS 80, definido por, J, KM y ω El coeficiente J se llm fctordeformdinámic Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014
Sistem de referenci geodésico WGS84 Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I semestre de 014