3 Funciones con valores vectoriales

Transcripción

1 GTP 3. Cálculo II Tryectoris: velocidd y longitud de rco 3 Funciones con vlores vectoriles 3. Tryectoris: velocidd y longitud de rco. Pr cd un de ls siguientes curvs determinr los vectores velocidd y celerción pr el vlor especificdo de t. ) r (t) =6ti +3t 2 j + t 3 k, en t =0 b) (t) = cos 2 t, 3t t 3,t, en t =0 2. Hllr los vectores velocidd y celerción y l ecución de l rect tngente pr cd un de ls siguientes curvs en el vlor ddo de t. ) r (t) =cost i +sen2t j, en t =0 b) r (t) = 2t i + e t j + e t k, en t =0 3. Probr que si es un tryectori con celerción nul entonces es un rect o un punto. 4. Hllr tryectoris (t) cuys imágenes sen ls curvs dds. Grficr. ) {(x, y) :y = e x } b) (x, y) :4x 2 + y 2 = ª c) Un rect en R 3 que ps por el origen y el punto d) (x, y) :9x 2 +6y 2 =4 ª 5. Probr ls siguientes regls pr tryectoris diferencibles en R 3 ) d b) d c) d [ (t) ρ (t)] = d [ (t) ρ (t)] = d ρ (t)+ (t) dρ ρ (t)+ (t) dρ { (t) [ρ (t) τ (t)]} = d [ρ (t) τ (t)]+ (t) h dρ τ (t) i + (t) ρ (t) dτ (t) 6. Se (t) un tryectori, v (t) l velocidd y (t) l celerción. Supongmos que F : R 3 R 3,que m>0 yque F [ (t)] = m (t). Probr que d [m (t) v (t)] = (t) F [ (t)] (Ts de cmbio del momento ngulr igul torque). Qué se puede concluir si F [ (t)] es prlelo (t)? 7. Clculr l longitud de rco de l curv dd en el intervlo propuesto. ) (t) =(sen2πt, cos 2πt, 2πt) en el intervlo [0, ] b) s (t) =ti + t (sen t) j + t (cos t) k en el intervlo [0,π] c) ti + tj t3/2 k en el intervlo [t 0,t ] d) s (t) = (cosh t, sinh t, t) en el intervlo [0,t] Existiendo progrms de cálculo simbólico y numérico, no está entre los intereses centrles de este curso l hbilidd pr el cálculo de integrles. Pero si no se tiene cceso ess fciliddes, culquier tbl de integrles le dirá que x2 + 2 dx = x x ln x + x C

2 GTP 3. Cálculo II Cmpos vectoriles 8. Se c (t), t b, un tryectori. Se s = ϕ (t) un nuev vrible definid por l función ϕ estrictmente creciente de clse C en [, b], con ϕ 0 libredeceros. Sedefine d :[ϕ(),ϕ(b)] R 3 por d = c ϕ. L tryectori d es un reprmetrizción de c. ) Ver que ls curvs imágenes de c y d son ls misms. b) Probr que c y d tienen l mism longitud. c) Si l función ϕ (t) se elige como s = ϕ (t) = t c 0 (τ) dτ, l curv d se dice prmetrizd por l longitud de rco. Ver que en ese cso l longitud de d es l longitud del intervlo de prmetrizción de l vrible s y que d ds d (s) =. 3.2 Cmpos Vectoriles. Un prtícul de ms m se mueve sobre un tryectori r (t) de uerdo con l ley de Newton,enuncmpodefuerz F = V en R 3, donde V es un función dd de energí potencil. ) Probr que l energí E = 2 m r 0 (t) 2 + V (r (t)) es constnte en el tiempo. (Ide: clculr de/). b) Probr que si l prtícul se mueve sobre un superficie equipotencil entonces su rpidez es constnte. 2. Suponer que ls isoterms en un región son esfers centrds en el origen. Probr que el cmpo vectoril de flujo de energí ctú sobre ryos con centro en el origen. 3. Mostrr que (t) = e 2t, ln t, /t,pr t 6= 0, es un líne de flujo pr el cmpo de velocidd F (x, y, z) = 2x, z, z Clculr el rotcionl, F, de los siguientes cmpos vectoriles. ) F (x, y, z) =xi + yj + zk b) F (x, y, z) =yzi + xzj + xyk c) F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 (3i +4j +5k) d) F (x, y, z) = yzi+xzj+xyk x 2 +y 2 +z 2 5. Clculr l divergenci F de cd uno de los cmpos del ejercicio Verificr que el cmpo es incompresible. V (x, y) = y x 2 + y 2 i x x 2 + y 2 j 7. Se F (x, y, z) =3x 2 yi + x 3 + y 3 j 2

3 GTP 4. Cálculo II Integrles de tryectori ) Verificr que rot F =0 b) Hllr un función f tl que F = f c) Es cierto que ) es condición necesri pr l existenci de l f de b)? 8. Probr ls siguientes identiddes. i) (f + g) = f + g ii) (cf) =c f iii) (fg)=f g + g f iv) div (F + G) =divf +divg v) rot (F + G) =rotf +rotg vi) div (ff) =f div F + F f vii) div (F G) =G rot F F rot G viii) div rot F =0 ix) rot (ff) =f rot F + f F x) (f g g f) =f 2 g g 2 f 9. Sen r (x, y, z) =(x, y, z) y r = p x 2 + y 2 + z 2 = krk. Probr ls siguientes identiddes. ) (/r) = r/r 3 si r 6= 0 b) 2 (/r) =0 si r 6= 0.( 2 = 2 / x / y / z 2 =, el "lplcino") c) r/r 3 =0 d) r =0 4 Integrles sobre tryectoris y superficies 4. Integrles de tryectori. Evlur ls siguientes integrles de tryectori R f (x, y, z) ds, donde ) f (x, y, z) =x + y + z y : t 7 (sen t, cos t, t),t [0, 2π] b) f (x, y, z) =cosz, y como en l prte ) c) f (x, y, z) =x cos z y : t 7 ti + t 2 j,t [0, ] d) f (x, y, z) =yz y : t 7 (t, 3t, 2t),t [, 3] 2. Reprmetrizciones. Supongmos que : I R 3 es un tryectori y que h : I I es un biyección de clse C.Si I =[, b] y I =[,b ], necesrimente será h () =,h(b) =b (cso crec.), o bien h () =b,h(b) = (cso decrec.). Si definimos ρ = h, ρ es un tryectori de l cul se dice que reprmetriz l curv.en el cso crec. decimos que ρ conserv l orientción y en el cso decrec. que l invierte. Nótese que kρ 0 (t)k = k 0 (h (t))k h 0 (t) ) Probr que en mbos csos R fds = R ρ fds. 3

4 GTP 4. Cálculo II Integrles de líne b) Sl R l longitud de l curv es, y k (s) es l función longitud de rco: k (s) = s k 0 (τ)k dτ, l invers h = k : [0, ] [,b ] d, con el procedimiento descripto, un reprmetrizción ρ llmd prmetrizción con l longitud de rco. Pruebe que kρ 0 (t)k = pr todo vlor de t yque,porlotnto, fds = f [ρ (t)]. ρ 0 s s b b b t b ρ ρ b b t L flech sobre l curv indic el sentido en que es recorrid por ρ 4.2 Integrles de líne. Se F (x, y, z) =xi + yj + zk. Evlur l integrl de F lo lrgo de cd un de ls tryectoris siguientes. ) (t) =(t, t, t);0 t b) (t) =(cost, sen t, 0) ; 0 t 2π c) (t) = (sen t, 0, cos t);0 t 2π d) (t) = t 2, 3t, 2t 3 ; t 2 2. Evlur ls siguientes integrles. ) R xdy ydx, (t) =(cost, sen t), 0 t 2π. b) R xdx + ydy, (t) = (cos πt, sen πt), 0 t 2. c) R yzdx + zxdy + xydz, donde es l poligonl (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ). d) R x2 dx xydy + dz,donde es l prábol z = x 2,y =0, desde (, 0, ) hst (, 0, ). 3. Considerr l fuerz F (x, y, z) =xi + yj + zk. Clculr el trbjo relizdo l mover un prtícul lo lrgo de l prábol y = x 2,z =0, desde x = hst x =2. 4. Se un tryectori suve ) Suponer que F es perpendiculr 0 (t) en (t). Probr que F ds =0. 4

5 GTP 4. Cálculo II Superficies prmetrizds b) Si F es prlelo 0 (t) en (t) (esto es, si F [ (t)] = λ (t) 0 (t) con λ (t) > 0), probr que F ds = kfk ds 5. Se un tryectori y T el vector tngente unitrio (T = 0 / k 0 k). Qué es R T ds? 6. Probr que si C es un curv cerrd y F un cmpo grdiente, entonces l integrl de F lo lrgo de C no depende de l prticulr tryectori con que se prmetrice l curv. Cuánto vle es integrl? 7. Evlur C 2xyz dx + x 2 zdy+ x 2 ydz, cundo C es un curv simple que conect (,, ) con (, 2, 4). 8. Suponer que f (x, y, z) =2xyze x2 i + ze x2 j + ye x2 k.si f (0, 0, 0) = 5, hllr f (,, 2). 9. Consideremos el cmpo grvitcionl (r =(x, y, z),r = krk) F (r) = r, r 6= 0. r3 Mostrr que el trbjo relizdo por l fuerz grvitcionl sobre un prtícul que se mueve desde r hst r 2 lo lrgo de culquier tryectori sólo depende de los rdios r y r Superficies prmetrizds. Hllr un expresión pr el plno tngente l superficie dd en el punto indicdo. ) x =2u, y = u 2 + v, z = v 2, en (0,, ) b) x = u 2 v 2, y = u + v, z = u 2 +4v, en 4, 2, 2 2. Hllr un expresión pr un vector unitrio norml ls siguientes superficies. ) x =3cosθsen φ, y =2senθsen φ, z =cosφ pr θ [0, 2π] y φ [0,π]. b) x =senv, y = u, z =cosv pr 0 v 2π y u Considerr l superficie en R 3 prmetrizd por Φ (r, θ) =(r cos θ, r sen θ, θ), 0 r, 0 θ 4π. ) Esbozr y describir l superficie. b) Hllr un expresión pr un norml (unitri) l superficie. c) Hllr un expresión pr el plno tngente l superficie en un punto genérico (x 0,y 0,z 0 ). 4. Dd un esfer de rdio 2 con centro en el origen hllr l ecución pr el plno que es tngente ell en el punto,, 2, considerndo l esfer como: 5

6 GTP 4. Cálculo II Integrles de funciones esclres ) Un superficie prmetrizd por Φ (θ, φ) = (2 cos θ sen φ, 2senθsen φ, 2cosφ); b) Un superficiedenivelde f (x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 ; c) L gráfic de g (x, y) = p 4 x 2 y 2. *5. Se Φ un superficie suve; esto es, Φ es de clse C y T u T v 6= 0 en (u 0,v 0 ). ) Usr el teorem de l función implícit pr mostrr que l imgen de Φ cerc de (u 0,v 0 ) es l gráfic de un función C de dos vribles, digmos z = f (x, y) (esto se cumplirá si l componente z de T u T v es distint de cero). b) Mostrr que el plno tngente en Φ (u 0,v 0 ) generdo por T u y T v coincide con el plno tngente l gráfic de z = f (x, y) en ese punto. 4.4 Are de un superficie. Hllr el áre de l esfer unitri S representd prmétricmente por x =cosθ sen φ, y =senθ sen φ, z =cosφ. 2. Se Φ (u, v) =(u v,u + v, uv) yse D el disco unitrio en el plno uv. Hllreláre de Φ (D). 3. Hllr el áre de l prte de l esfer unitri cortd por el cono z p x 2 + y Mostrr que si T (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), entonces pr los vectores T u y T v vle l fórmul s (x, y) 2 (y, z) 2 (x, z) 2 kt u T v k = + +. (u, v) (u, v) (u, v) 5. Hllr el áre de l porción de esfer unitri que qued fuer del cilindro x 2 + y 2 =/ Integrles de funciones esclres. Clculr R S xy ds cundo S es l superficie del tetredro con ldos z =0,y=0,x+z = y x = y 2. Se Φ : D R 2 R 3 un superficie prmetrizd y llmemos E = Φ 2 u, F = Φ u Φ v, G = Φ 2 v. ) Mostrr que kt u T v k = EG F 2 y deducir fórmuls pr el áre A (S) ypr integrles de esclres sobre S: R S fds b) En qué se convierte l fórmul si T u T v? c) Usr lo nterior pr clculr l superficie de un esfer de rdio R. 3. Clculr R S zds, donde S es el hemisferio superior de rdio, esto es, el conjunto de los (x, y, z) con z = p 2 x 2 y Evlur R S xyz ds, donde S es el triángulo con vérices (, 0, 0), (0, 2, 0) y (0,, ). 5. Evlur R S zds, donde S es l superficie z = x2 + y 2,x 2 + y 2. 6

7 GTP 5. Cálculo II Teorem de Green 6. Un superficie metálic S tiene l form de un hemisferio z = p R 2 x 2 y 2, 0 x 2 + y 2 R 2. L densidd de ms en (x, y, z) S está dd por m (x, y, z) =x 2 + y 2. Hllr l ms totl de S. 7. Se S l esfer de rdio R. ) Usr rgumentos de simetrí pr probr que x 2 ds = y 2 ds = S S S z 2 ds. b) Usr este hecho pr evlur con muy pocos cálculos R S x2 ds. c) Ayud esto en el ejercicio nterior? 8. Se define el promedio de l función f sobre l superficie S por f S = fds. A (S) S (El nümero f S es el que provoc que R S f (x, y, z) f S ds =0) ) Hllr el promedio de z 2 sobre l esfer unidd. b) Se define el centro de grvedd (x, y, z) de un superficie S tomndo como coordends R los vlores promedio de ls funciones coordends. Por ejemplo, x = A(S) S xds.clculr el centro de grvedd del triángulo de vértices (, 0, 0), (0,, 0) y (0, 0, ). 9. Hllr ls coordends del centro de grvedd del primer octnte de l esfer de rdio R 4.6 Integrles de funciones vectoriles. Supongmos que l tempertur en un punto de R 3 está dd por T (x, y, z) =3x 2 +3z 2. Clculr el flujodeclortrvésdelsuperficie x 2 + z 2 =2, 0 y 2. Considerr F = T. 2. Clculr el flujo de clor trvés de l esfer unidd S si T (x, y, z) =x. Puede interpretr físicmente su respuest? 3. Se S l superficie cerrd formd por el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 =,z 0 ysubse x 2 + y 2,z =0.Se E el cmpo eléctrico definido por E (x, y, z) =2xi +2yj +2zk. Clculr el flujo eléctrico trvés de S. 4. El cmpo de velocidd de unfluido está descripto por F = yj (medido en metros por segundo). Clculr cuántos metros cúbicos de fluido por segundo están cruzndo l superficie x 2 + z 2 = y, 0 y, en l dirección en que y crece. R 5. Evlur S ( F) ds, donde S es l superficie x2 + y 2 +3z 2 =,z 0 y F = yi xj + zx 3 y 2 k. Tomr l norml unitri n puntndo hci rrib. 6. Evlur R S ( F) ds, donde F = x 2 + y 4 i+3xyj+ 2xz + z 2 k y S es l superficie x 2 + y 2 + z 2 =6,z 0. Tomr l norml unitri n puntndo hci rrib. 7

8 GTP 5. Cálculo II Teorem de Stokes 5 Teorems integrles del Análisis Vectoril 5. Teorem de Green. Evlur R C ydx xdy, donde C es l fronter del cudrdo [, ] [, ] orientd positivmente. 2. Hllr el áre del disco de rdio R usndo el teorem de Green. 3. Verificr el teorem de Green pr el disco de centro (0, 0) yrdio R y ls funciones: ) P (x, y) =x + y, Q (x, y) =y b) P (x, y) =2y, Q (x, y) =x 4. Hllr el áre encerrd entre un rco de cicloide: x = (θ sen θ), y = ( cos θ) ( >0, 0 θ 2θ) y el eje x. 6 y x 5. Se D un región pr l que se cumple el teorem de Green y se f un función rmónic en D. Probr que f f dx dy =0. dy x D 6. Demostrr que ls siguientes forms diferenciles son excts y encontrr un función potencil. ) ydx+ xdy b) ye x dx +[e x +(y +)e y ] dy c) cosh x cos ydx senh x sen ydy d) cot y + x 2 dx x csc 2 ydy 7. Resolver los siguientes problems con vlores iniciles. ) (y ) dx +(x 3) dy =0, y(0) = 2/3 b) xdy+ y 2 dx =0, y() = ) Verificr el teorem de l divergenci pr F = xi + yj y el disco unitrio. b) Evlur l integrl de l componente norml de 2xyi y 2 j lrededor de l elipse x y2 b 2 =. 8

9 GTP 5. Cálculo II Teorem de Guss 5.2 Teorem de Stokes. Verificr el teorem de Stokes pr el hemisferio superior z = p x 2 y 2,z 0, yel cmpo vectoril rdil F (x, y, z) =xi + yj + zk Ley de Frdy Si E (t, x, y, z) y H (t, x, y, z) representn los cmpos eléctrico y mgnético en el tiempo t y S es un superficie l que se plic el teorem de Stokes, entonces E ds = H ds S t S 2. Se S un superficie con fronter S y supongmos que E es un cmpo eléctrico perpendiculr S. Mostrr que el flujo mgnético inducido trvés de S es constnte en el tiempo. 3. Se S l superficie cilíndric con tp formd por el cilindro S = (x, y, z) :x 2 + y 2 =, 0 z ª yltp S 2 = n o (x, y, z) :x 2 + y 2 +(z ) 2 =,z yse F (x, y, z) = zx + z 2 y + x i + z 3 yx + y j + z 4 x 2 k.clculr R S ( F) ds. 4. Se S el triángulo con vértices (, 0, 0), (0,, 0) y (0, 0, ). Verificr el teorem de Stokes pr F (x, y, z) =yzi + xzj + xyk en est superficie. 5.3 Teorem de Guss. Se S un superficie cerrd. Usr el teorem de Guss pr mostrr que si F es un cmpo vectoril C 2, entonces R S ( F) ds =0. 2. Se F = x 3 i + y 3 j + z 3 k. Evlur l integrl de superficie de F sobre l esfer unitri. 3. Evlur R Ω F ds, donde F = xi+yj+zk y Ω es el cubo unitrio (en el primer octnte). Relizr los cálculos directmente y verificr usndo el teorem de l divergenci. 4. Repetir el ejercicio 3. pr ) F = i + j + k b) F = x 2 i + y 2 j + z 2 k 5. Evlur R S F ds, donde F =3xy2 i +3x 2 yj + z 3 k y S es l esfer unitri. 6. Probr ls identiddes de Green Ω Ω f g n ds = (f g g f) n ds = f 2 g f g dv Ω Ω f 2 g g 2 f dv 9