UNIDAD 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 6. Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: < 0 a) y = + < b) y = 0 5 5 > 5 c) y = + < / a) b) 6 6 c) 6 6 8 6 Las tres son continuas.. Si dispusieras de una buena lupa, podrías realizar el siguiente eperimento: Observa un objeto pequeño (por ejemplo, el capuchón de un bolígrafo verde), poniendo la lupa a una distancia de 0 cm. El objeto se ve notablemente ampliado. Varía la distancia y observa lo que ocurre: Si pegas la lupa al objeto, éste se verá de su mismo tamaño. Si la separas poco a poco, verás cómo se va ampliando el tamaño del capuchón, de modo que, al llegar a una cierta distancia, se verá toda la lupa verde. Situando la lupa más allá de esa distancia, se verá el objeto grande e invertido. Si seguimos separándola, irá disminuyendo su tamaño Para una cierta lupa, la ecuación que relaciona el aumento, A, con la distancia, d, a la que se coloca el objeto es: A = d
d = distancia de la lupa al objeto (en dm) A = aumento (número por el que se multiplica el tamaño) El observador debe situarse de modo que la lupa esté a la mitad de la distancia entre el objeto y su ojo. AUMENTO (en n-º de veces) DISTANCIA (en dm) Calcula el tamaño aparente del objeto para los siguientes valores de d y observa cómo va aumentando al aproimarnos a para luego disminuir según nos alejamos de este valor: 0, 0,5,5,9,99,0 0 d 0, 0,5,5,9,99,0 0 A,05, 0 00 00 0,5 Página 7. Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f () = + se aproima a la recta de ecuación y =. Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f () para los siguientes valores de : 5 6 7 8 9 0
Observa que la gráfica de la curva y = f () se aproima a la de la recta cada vez más. Por ello, a dicha recta se le llama asíntota de la curva. Comprueba para valores muy grandes de que la diferencia entre curva y recta llega a ser muy pequeña. 50 00 000 y = f () y = DIFERENCIA Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función y = tiene por asíntota a la recta de ecuación y = +. 5 6 7 8 9 0 0 f (),75,8,8 5,86 6,88 7,89 8 50 00 000 y = f () 7,98 97,99 997,999 y = 8 98 998 DIFERENCIA 0,0 0,0 0,00 6 6 8 0 Para y = f () = 0 8 50 00 000 y = f () 5,08 0,0 00,00 y = + 5 0 00 DIFERENCIA 0,08 0,0 0,00 6 6 8 Página 9. Eplica por qué la función y = 5 es continua en todo Á. Porque es polinómica.. Eplica por qué la función y = 5 es continua en (, 5]. Porque (, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico.
. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: + a) y = b) y = c) y = d) y =, < si e) y = f) y = +, si = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). e) Salto en =. f ) Salto en =. Página. Calcula: a) b) + 5 c) log 0 0 0, a) b) c) Página. Calcula k para que y = + k sea continua en Á. 7 = f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 k = Página 5. Calcula los ites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del ite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados. a) f () = en, 0 y b) f () = en, 0 y ( ) c) f () = + en y d) f () = en 0 y + +
a) f () = ( + ) ( ) + f () = f () = + No eiste f () 0 + f () = 0 f () = f () = + No eiste f () b) f () = ( ) ( ) 0 f () = f () = f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) + f () = 0 f () = + f () = No eiste f () d) f () = ( + ) 0 f () = 0 + f () = f () = + No eiste f () 5
Página 6. Di el ite cuando + de las siguientes funciones dadas por sus gráficas: y = f () y = f () y = f () y = f () f () = f () = f () = + f () no eiste Página 7. Calcula el ite cuando + de las siguientes funciones: a) f () = + + 5 b) f () = 5 + 7 c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = a) b) + c) d) 0 e) 0 f ) 5. Como ( 00 ) = +, halla un valor de para el cual 00 sea mayor que 000 000. Por ejemplo, para = 000, f () = 800 000 000.. Como = 0, halla un valor de para el cual sea 0 0 menor que 0,000. Por ejemplo, para = 000, f () = 0,000000. Página 8. Calcula el ite cuando + y representa sus ramas: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 e) f () = f) f () = 5 g) f () = h) f () = + 6
a) 0 b) 0 c) 0 d) + e) f) 0 g) + h) Página 9. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = + + b) y = + c) y = + + + a) f () = + f () = + = es asíntota vertical b) f () = + + f () = = es asíntota vertical c) f () = + 0 0 + f () = = 0 es asíntota vertical + f () = f () = + = es asíntota vertical 7
Página. Halla las ramas infinitas, cuando +, de las siguientes funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = c) y = + d) y = + + a) f () = 0 y = 0 es asíntota horizontal. + 7 b) y = + y = es asíntota oblicua. + c) f () = y = es asíntota horizontal. d) grado de P grado de Q f () = + rama parabólica hacia arriba. Página. Halla los ites cuando y representa las ramas correspondientes: a) f () = + 7 b) f () = ( + )/ c) f () = /( + ) a) f () = 7 = + b) f () = = = 0 c) f () = = = + 8
Página. Halla las ramas infinitas cuando. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = c) y = d) y = + + + e) y = f) y = + g) y = + h) y = + + + a) f () = 0 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = y = es asíntota horizontal. d) y = + y = es asíntota oblicua. + e) grado P grado Q f () = + rama parabólica. f) f () = y = es asíntota horizontal. g) y = + + y = + es asíntota oblicua. + h) f () = ( ) = + 9
Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PARA PRACTICAR a) Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad. a) b) c) d) e) f) a) Sólo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. f ) No está definida en =. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = d) y = + e) y = f) y = 5 a) 0 y b) ( ) + + c) d) Continua e) 0 y 5 f ) y 0
Comprueba si las siguientes funciones son continuas en = 0 y en = : a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = 5 a) Á b) [, + ) c) (, 0] d) ( 5, ] 5 Calcula los siguientes ites: a) ( 5 ) b) ( ) 0 c) d) 0,5 e) 0 + f) log g) cos h) e 0 a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) h) e 6 Calcula el ite cuando de cada una de las siguientes funciones. Representa el resultado que obtengas. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () =
Dale a valores grandes y saca conclusiones. a) f () = + b) f () = + c) f () = d) f () = 7 Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior cuando y representa la información que obtengas. a) f () = b) f () = + c) f () = + d) f () = 8 Comprueba, dando valores grandes a, que las siguientes funciones tienden a 0 cuando. a) f () = b) f () = 0 00 7 c) f () = d) f () = 0 Representa gráficamente su posición sobre el eje OX o bajo el eje OX. a) f () = 0 b) f () = 0 c) f () = 0 d) f () = 0
9 Calcula los siguientes ites y representa la información que obtengas: a) (7 + ) b) c) ( + 7 ) d) (7 ) 0 5 0 Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior cuando y representa la información que obtengas. Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) (7 + ) = ; (7 + ) = + b) 0 = + ± 5 c) ( + 7) = ± d) (7 ) = + ± Página Calcula los siguientes ites y representa las ramas que obtengas: a) b) ( ) c) d) e) f) + g) h) + ( ) + 5 5 Calcula el ite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando. Resolución de los ejercicios y :
a) = 0; = 0 ( ) ( ) Y X b) = + ; = c) = 0; = 0 Y X d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + + Y X f) + 5 = ; + 5 = + g) = ; = + + Y X h) = ; = 5 5 Y X
Dada la función y =, halla: a) b) + c) d) Representa gráficamente los resultados obtenidos. a) + b) c) d) f () f () Éstas son, respectivamente, las gráficas de las funciones: f () = y f () = ( + ) + Cuál es el ite de cada una de estas funciones cuando? Observa la función cuando por la izquierda y por la derecha. + f () = + f () = + f () = + + f () = + f () = No eiste f () 5 Sobre la gráfica de la función f (), halla: a) f () b) f () + c) f () d) f () 0 5
e) f () f) f () + g) f () h) f () a) + b) c) d) 0 e) 0 f ) g) + h) 0 6 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la epresión analítica y di si son continuas o discontinuas en =. a) f () = si si > b) f () = + si < si > c) f () = si si = a) Continua b) Discontinua c) Discontinua 7 Dada la función f () = + si < 0, halla: + si 0 a) f () b) f () c) f () 0 Para que eista ite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los ites laterales. a) 5 b) c) 0 f () = 0 + f () = 0 f () = 6
8 Comprueba si la función f () = si < 0 es continua en = 0. si 0 Recuerda que para que f sea continua en = 0, debe verificarse que f () = f (0). 0 f () = f () = f () = = f (0) 0 0 + 0 Es continua en = 0. Página 9 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican: ( )/ si < a) f () = en = + si > b) f () = si < en = (/) si si c) f () = en = + si > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en =. + c) f () = f () =. No es continua en =. + PARA RESOLVER 0 Calcula los siguientes ites: a) b) 0 0 + c) h h d) h 0 h h 0 Saca factor común y simplifica cada fracción. h 7h h ( + ) a) = b) = 0 ( ) 0 c) h (h ) h (h 7) = 0 d) = 7 h 0 h h 0 h 7
Resuelve los siguientes ites: a) b) c) + d) e) + f) + + ( + ) ( ) a) = ( ) + + b) + = ( + ) ( + ) = = + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = ( + ) ( ) ( ) ( + ) e) = f ) ( ) ( + + + ) = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) Resuelve los siguientes ites: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) a) b) c) 0 d) + + 5 Calcula el ite cuando y cuando de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = a) f () = 0; f () = 0 b) f () = ; f () = + c) f () = + ; f () = d) f () = ; f () = 8
Calcula el ite de la función f () = en =, = 0 y =. + f () = f () = 0 0 f () = + f () = + 5 Calcula los ites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = + ; f () = + b) f () = ( ) f () = ; f () = + ; f () = ; f () = + 0 0 + + c) f () = ( ) ( ) ( + ) f () = = ; f () = + ; f () = + t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t 0 6 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas: a) f () = b) f () = + c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = + 9 ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 9
b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 7 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: a) f () = + b) f () = c) f () = d) f () = + + e) f () = f) f () = + 0
a) = + + + Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = + e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = 8 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a) y = ( ) 5 b) y = + 7 c) y = + d) y = + + e) y = f) y = +
9/ a) y = + + Asíntotas: = ; y = Y 6 8 X 5 b) Asíntotas: y = ; = 7 Y 6 6 X c) Asíntotas: y = 0; = ± Y 6 6 X d) Asíntotas: y = Y 6 6 X e) y = + ( + ) ( ) Asíntotas: y = ; =, = Y 6 6 X f) Asíntotas: = ; y = 6 Y X
9 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva: a) y = b) y = c) y = d) y = 9 e) y = f) y = + ( + ) ( + ) + 5 a) f () = + ; f () = + Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = 6 6 f) f () = + ; f () = + Asíntota vertical: = 5
Página 0 Prueba que la función f () = sólo tiene una asíntota vertical y otra horizontal. Al hallar f () verás que no es. f () = ; f () = ; f () = + ; f () = 0 0 + ± Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Calcula los siguientes ites y representa gráficamente los resultados que obtengas: a) b) 6 + + a) 6 ( ) ( + ) = = ( ) b) + ( ) ( ) = = + ( ) Calculamos los ites laterales: = + ; = No eiste + + 5 Calcula los siguientes ites y representa los resultados que obtengas: a) b) c) d) 0 + + + + 8 +
a) ( ) = = 0 + 0 ( + ) 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = + ; = 0 ( + ) 0 + ( + ) b) + = ( + ) = + + ( + ) Calculamos los ites laterales: + = ; = + + + + c) = ( ) ( + + + ) = d) 8 ( ) ( + ) = = + ( ) Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = ; = + + ( + ) Halla las asíntotas de las funciones: a) y = b) y = + c) y = + 5 + 5 d) y = e) y = 5 + 5 f) y = + + + ( ) a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) = 5, y = f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = + 5 5
Representa las siguientes funciones y eplica si son discontinuas en alguno de sus puntos: a) f () = b) f () = c) f () = si < 5 si si 0 + si > 0 si < si > a) Discontinua en =. Y 5 6 X b) Función continua. Y 8 6 6 8 X c) Discontinua en =. Y 5 X 5 a) Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior en = y = 5. b) Halla, en cada una de ellas, el ite cuando y cuando. a) f () = 7; 5 f () = 0; f () = ; f () = b) f () = ; 5 f () = 6; f () = + ; f () = c) f () = 7; 5 f () = 5; f () = + ; f () = + 6
6 Calcula los ites cuando + y cuando de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = 0,75 c) f () = + e d) f () = /e a) f () = + ; f () = 0 b) f () = 0; f () = + c) f () = + ; f () = d) f () = 0; f () = + 7 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones eponenciales: a) y = + b) y =,5 c) y = + e d) y = e a) f () = + ; f () = 0 Asíntota horizontal cuando : y = 0 b) f () = + ; f () = Asíntota horizontal cuando : y = c) f () = + ; f () = Asíntota horizontal cuando : y = d) f () = 0; f () = + Asíntota horizontal cuando : y = 0 8 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f () sea continua en todo Á. a) f () = si + k si > b) f () = c) f () = 6 (/) si < + k si ( + )/ si 0 k si = 0 7
a) f () = 5 = f () + f () = + k 5 = + k k = b) f () = 5 + f () = + k = f () 5 = + k k = / ( + ) c) f () = = k = 0 0 9 Estudia la continuidad de estas funciones: a) f () = b) f () = c) f () = si < / si si si < < si si 0 + si > 0 a) f () = f () = f () = Continua en = + Continua Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 Continua en = + f () = f () = f () = 0 Continua en = + y Continua Es continua en Á. c) 0 f () = 0 + f () = Discontinua en = 0 Si 0, es continua. 8
0 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en = : + si ( a) f () = b) f () = )/( ) si a si > a si = a) f () = = f () f () = a + ( ) ( + ) b) f () = = ( ) f () = a = a a = a = En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin eperiencia depende de los días de entrenamiento según la función M(t) = (t en días). 0t t + a) Cuántos montajes realiza el primer día? Y el décimo? b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrenamiento? a) M () = 6 montajes el primer día. M (0) =, montajes el décimo día. b) 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0 0t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t + Página 5 El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta,, así: 0,6 + 00 si 0 000 g () = 000/( + 50) si > 000 9
donde los ingresos y los gastos vienen epresados en euros. a) Representa g () y di si es función continua. b) Calcula el ite de g () cuando + y eplica su significado. a) 000 800 600 Es continua. 00 00 000 000 000 000 b) g () = 000. Como máimo gastan 000 al mes en alimentación. CUESTIONES TEÓRICAS Se puede calcular el ite de una función en un punto en el que la función no esté definida? Puede ser la función continua en ese punto? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0 y = como asíntotas verticales. 5 El denominador de una función f () se anula en = a. Eiste necesariamente una asíntota vertical en = a? Pon ejemplos. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = = 0 0 6 Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Sí. 7 Representa una función que cumpla estas condiciones: f () = +, f () =, f () = 0 Es discontinua en algún punto? 0
Sí, es discontinua al menos en =. Y X 8 Representa una función que verifique estas condiciones: f () = Y f () = 0 f () = + f () = + X 9 Si f () = 5, podemos afirmar que f es continua en =? No. Para que fuera continua debería ser, además, f () = 5. / si 0 50 Eiste algún valor de k para el cual la función f () = sea k si = 0 continua en = 0? Justifica tu respuesta. No, puesto que no eiste f (). 0 PARA PROFUNDIZAR 5 Calcula los siguientes ites: + a) b) + c) + d) +
+ a) = = = = + b) = = = 0 c) + = = = d) = = + = 5 Puesto que ( ) = + halla un valor de para el cual sea mayor que 5 000. Por ejemplo, para = 00, f () = 9 700. 5 Halla un valor de para el cual f () = 5 sea menor que 0,00. Por ejemplo, para = 000, f () = 0,000. 5 Halla los siguientes ites: a) ( ) b) ( ) c) d) 0,75 e a) b) + c) 0 d) + 55 Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su ite cuando : a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = + b) Asíntota vertical: = f () = +
PARA PENSAR UN POCO MÁS 56 Raquel quiere subir en bicicleta al mirador de la montaña y luego bajar, de modo que la velocidad media con la que realice el recorrido de ida y vuelta sea de 0 km/h. Ya ha subido y lo ha hecho a 0 km/h. Se pregunta a qué velocidad deberá bajar para conseguir su objetivo. a) Halla la velocidad media final para velocidades de bajada de 60, 80, 00 y 00 km/h. b) Halla la epresión de la velocidad media final, V, para una velocidad de bajada de km/h. c) Comprueba que la velocidad media deseada, 0 km/h, es el ite V. Qué significa esto? d) Vuelve sobre el enunciado razonando del siguiente modo: si la velocidad media en la subida es la mitad de la deseada es porque el tiempo empleado ha sido el doble, es decir, el tiempo que tardó en subir es tanto como tenía para subir y bajar. Se ha quedado sin tiempo. Ha de bajar a velocidad infinita! a) VELOCIDAD DE BAJADA 60 80 00 00 VELOCIDAD MEDIA FINAL 0, 6,6 b) Llamamos d = distancia que tiene que recorrer en la subida. Por tanto, entre la subida y la bajada recorre d. espacio Recordamos que: velocidad = tiempo El tiempo que tarda en total será el que tarda en subir (a 0 km/h) más el que tarda en bajar (a km/h): d 0 d + = d ( + ) = d + 0 0 ( 0 ) La velocidad media final será entonces: d d 0 0 V = = = = V () = t d [( + 0)/0] + 0 + 0 0 + 0 c) Por tanto: V () = 0 Significa que, por muy rápido que baje, su velocidad media total no superará los 0 km/h.