Problemas de Condcones de Contorno para Ecuacones Dferencales Ordnaras Segundo curso Grado en Físca
Índce Introduccón Métodos de dsparo Método de dsparo para resolver problemas de ODE con condcones de contorno Cálculo de autovalores medante métodos de dsparo Métodos de dferencas fntas Introduccón a las dferencas fntas Dferencas fntas: métodos teratvos. Dferencas fntas: solucón drecta Ecuacones en dervadas parcales por dferencas fntas
Introduccón ODEs: Problemas de valor ncal Se defnen como donde y puede ser un array. y (t) = f (t,y) con y(t 0 ) = y 0, (1) Dentro de unas condcones muy razonables[1] (e.g. f y sus dervadas acotadas) tene solucón únca. Ejemplo: y + y = 0 con y(0) = 0,y (0) = 1. La solucón analítca es y(t) = sen(t). Es de la forma 1 defnendo y1 y, y 2 y. Múltples métodos de resolucón numérca: e.g. Runge Kutta.
Introduccón ODEs: problemas de contorno Consderemos N > 1 ODEs acopladas, con n 1 condcones en un punto y n 2 = N n 1 condcones en el otro y (t) = f (t,y,y) con Ay(a) = α,by(b) = β. (2) donde y es un array de N elementos y A y B son matrces. En general, no se sabe s tene solucón. Ejemplos: y + y = 0 tene por solucón y = c 1 sen(t) + c 2 cos(t), con c 1,c 2 constantes a determnar. Exgendo y(0) = 0,y(π/2) = 1 la solucón únca es y = sen(t). Exgendo y(0) = 0,y(π) = 0 exsten múltples solucones de la forma y(t) = c sen(t). Exgendo y(0) = 0,y(π) = 1 no exste solucón.
Introduccón Ejemplos en Físca Estátca: una cuerda suspendda por sus extremos. d 2 y dx 2 = ρ ( ) dy 2 1 + con y(0) = 0,y(x B ) = y B. (3) T dx Electrostátca: potencal eléctrco (e.g. entre dos placas plano paralelas) d 2 φ dz 2 = ρ(z)/ε 0 con φ(0) = 0,φ(d) = V. (4)
Método de dsparo para resolver problemas de ODE con condcones de contorno Métodos de dsparo Consderemos, por sencllez, el sguente problema de CC y = f (t,y,y ) con y(a) = α,y(b) = β. (5) Consderemos el problema de CI y = f (t,y,y ) con y(a) = α,y (a) = s. (6) Los métodos de dsparos se basan en hallar el valor de s para el cual y(b) = β. Por tanto, se componen de un conjunto de ntegracones de ODE con CI, una busqueda de ceros de una funcón. Ejemplos: fchero EXPLORACION_DISPARO.m, DISPARO.m.
Método de dsparo para resolver problemas de ODE con condcones de contorno Cálculo de autovalores medante métodos de dsparo Métodos de dsparo: autovalores Consderemos el problema de una cuerda vbrante sujeta por sus dos extremos. La ecuacón para su desplazamento u(x, t) respecto al equlbro es 2 u(x,t) t 2 = T 2 u(x,t) µ(x) x 2. (7) Las CC son u(x = 0,t) = 0,u(x = L,t) = 0. Puede resolverse por separacón de varables u(x, t) = y(x)τ(t), obtenendo d 2 τ dt 2 + ω2 τ = 0 τ(t) = asen(ωt) + b cos(ωt) d 2 y dx 2 + µ(x)ω2 y = 0 T con y(x = 0) = 0,y(x = L) = 0
Método de dsparo para resolver problemas de ODE con condcones de contorno Cálculo de autovalores medante métodos de dsparo Métodos de dsparo: autovalores De la separacón de varables se obtene un conjunto de solucones. La solucón de un problema dado con certas condcones ncales será una suma (en general nfnta) de las solucones halladas medante la separacón de varables. El parámetro ω aparece al separar las ecuacones para y y τ, de forma que exstrá solucón sólo para certos valores de ω (autovalores). Váldo para problemas lneales y homogéneos.
Método de dsparo para resolver problemas de ODE con condcones de contorno Cálculo de autovalores medante métodos de dsparo Métodos de dsparo: autovalores Para hallar los autovalores (valores de ω para los que exste solucón) redefnmos el problema de la sguente forma dy 1 = y 2 (8) dx dy 2 dx dy 3 dx = µ(x) T y 3y 1 (9) = 0 (10) donde y 1 y, y 2 y y y 3 ω 2. Las condcones de contorno pasan a ser y 1 (x = 0) = 0, y 1 (x = L) = 0,y 3 (x = 0) = ω 2. Para ello fjamos el valor de y (0) y hallamos ω 2 medante dsparo (fchero DISPARO_AUTOVALOR.m).
Métodos de dferencas fntas Introduccón a las dferencas fntas Métodos de dferencas fntas Consderemos el sguente problema de ODE con CC y (x) 5y (x) + 10y(x) = 10x (11) donde y(0) = 0,y(1) = 100. (12) Aproxmacón de dferencas fntas sobre un conjunto fnto de puntos x = x, con = 1,2,...,N. y(x + j x ) ( = dy y(x ) + j x dx Entonces ) ( d + 1 2 (j x) 2 2 y (x=x ) dx 2 ) + θ( 3 x). (x=x ) y = y +1 y 1 2 x + θ( 2 x), (13) y = y +1 2y + y 1 2 + θ( 2 x). (14) x
Métodos de dferencas fntas Introduccón a las dferencas fntas Métodos de dferencas fntas El problema orgnal Se transforma en y (x) 5y (x) + 10y(x) = 10x (15) y +1 2y + y 1 2 x donde y(0) = 0,y(1) = 100. (16) 5 y +1 y 1 2 x + 10y = 10x (17) donde y 1 (0) = 0,y N = 100. (18) El sstema de ecuacones resultante (en y ) es una aproxmacón de dferencas fntas a la solucón del problema orgnal y(x) sobre un conjunto fnto de puntos x = x, con = 1,2,...,N.
Métodos de dferencas fntas Dferencas fntas: métodos teratvos. Métodos teratvos Tratamos ahora de resolver las ecuacones de dferencas fntas,.e. sobre las y. Los métodos teratvos consttuyen una forma de solucón alternatva a la solucón drecta. Re escrbamos la ecuacón para las y como [( 1 y = 2 10 2 1 5 ) ( x y +1 + 1 + 5 x )y 1 10 2xx ]. x 2 2 (19) El método de Jacob halla una solucón a través de teracones donde el paso j-ésmo, y (j) vene dado y (j) = 1 2 10 2 x [( 1 5 ) x y (j 1) 2 +1 + ( 1 + 5 x 2 ) y (j 1) 1 10 2 xx ] (20)
Métodos de dferencas fntas Dferencas fntas: métodos teratvos. Métodos teratvos El método de Gauss-Sedel utlza los valores de la teracon j-ésma en cuanto están dsponbles [( y (j) 1 = 1 5 ) ( x y (j 1) 2 +1 + 1 + 5 x 2 ) y (j) 1 10 2 xx ]. 2 10 2 x (21) El método de sobre-relajacón sucesva (SOR) añade a cada teracón una fraccón α de la dferenca entre las dos últmas teracones: ȳ (j) = y (j) + α [ y (j) ] y (j 1). (22) Dependendo de los valores de α puede obtenerse convergenca mejorada o nestabldad. El valor α = 0 reproduce el método Gauss-Sedel. Ejemplos: fcheros ODE_ITERATIVO.m.
Métodos de dferencas fntas Dferencas fntas: métodos teratvos. Dferencas fntas: solucón drecta de problemas lneales Las ecuacones de FD son un conjunto de ecuacones algebracas lneales. Las podemos resolver por los métodos habtuales para resolucón de sstemas lneales de ecuacones (fchero FDSD.m). En este caso, la matrz del sstema de ecuacones es TRIDIAGONAL (relacona cada nodo con los vecnos). Las ecuacones para N nodos son de la forma a 1, y 1 + a, y + a,+1 y +1 = d con = 1,...,N, (23) donde se ha supuesto que los nodos del contorno se dan para = 0 e = N + 1.
Métodos de dferencas fntas Dferencas fntas: solucón drecta Dferencas fntas: solucón drecta de problemas lneales La matrz del sstema de ecuacones a 1,1 a 1,2 0 0 0... a 2,1 a 2,2 a 2,3 0 0... A = 0 a 3,2 a 3,3 a 3,4 0..................... 0 0 0 a N 1,N 2 a N 1,N 1 a N 1,N 0 0 0 0 a N,N 1 a N,N (24) Para los nodos del contorno, hay que tener en cuenta a 1,1 y 1 + a 1,2 y 2 = a 0 y 0 (25) a N,N 1 y N 1 + a N,N y N = a N y N+1 (26) El sstema de ecuacones es de la forma A y = b.
Métodos de dferencas fntas Dferencas fntas: solucón drecta Dferencas fntas: solucón drecta de problemas NO lneales En el caso de problemas no lneales f (x,y(x),y (x),y (x)) = 0. (27) Puede elaborarse una aproxmacón de dferencas fntas sobre la malla x = x, con = 0,...,N + 1, obtenendo N ecuacones no lneales f (x,y, y +1 y 1 2 x, y +1 2y y 1 2 ) = 0. (28) x El sstema de ecuacones resultante puede resolverse por los métodos teratvos habtuales para resolucón de sstemas de ecuacones no lneales, a partr de una estmacón ncal de la solucón (e.g. métodos de Newton).
Ecuacones en dervadas parcales por dferencas fntas Ecuacones en dervadas parcales: dferencas fntas De nuevo la ecuacón de una cuerda vbrante 2 u(x,t) t 2 = T 2 u(x,t) µ(x) x 2. (29) con CC u(x a,t) = 0;u(x b,t) = 0 y CI para u(x,t = 0) = f (x), u t = g(x). Dscretzacón de FD en x = x y t j = j t u j+1 2u j + uj 1 2 t donde u j = u(x,t j ) y c 2 = T /µ. Despejando u j+1 u j+1 c 2 uj +1 2uj + uj 1 1 2 x ( = 2 t c2 2 (u j +1 + uj 1 ) + 2 1 2 t c2 x 2 x = 0. (30) ) u j uj 1. (31)
Ecuacones en dervadas parcales por dferencas fntas Condcones ncales Para la CI tendríamos u t = u1 u 1 = g(x ). (32) t=0 2 t Despejamos u 1 y lo ntroducmos en la expreson general ( ) u 1 = 2 t c2 2 2 (u+1 0 + u0 1 ) + 1 2 t c2 x 2 u 0 + t g(x ) (33) x Resolucón con Matlab del problema de la cuerda: fchero FDTD1D.m.
Ecuacones en dervadas parcales por dferencas fntas Bblografía J. Stoer, R. Bulrsch,Introducton to numercal analyss, Sprnger-Verlag, 1980. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterlng, Numercal Recpes, Cambrdge Unversty Press, 1990. Dsponble en http://www.nr.com/oldverswtcher.html. Ross L. Spencer, Mchael Ware, Computatonal Physcs 430: Partal Dfferental Equatons. Deparment of Physcs and Astronomy, Brgham Young Unversty. Dsponble en http://www.physcs.byu.edu/courses/ Computatonal/. R. Haberman, Elementary appled partal dfferental equatons, Prentce Hall, 1983.