Material iáctico ara el curso e Química Cuántica Anrés Ceillo Deartamento e Química, UAM-I Mayo e 998 Princiio e incertiumbre El estao cuántico e un sistema está escrito or la función e ona (x), y su móulo cuarao reresenta la ensia e robabilia, P(x). La istribución e momentos () es el móulo cuarao e la royección e la función e ona sobre una función roia el momento: Π( ) = ϕ ψ = ϕ ( x) ψ ( x) x, () en one ϕ ( x ) = B i x ex, B = ( π). () La incertiumbre en la meición e la roiea observable f uee efinirse como la esviación estánar e los valores e la misma. Esta incertiumbre se uee calcular or meio e la ecuación siguiente, f f f = f f, (3) en one los romeios se evalúan con la función e ona que reresenta al sistema, A ψ Aψ = ψ ( x) Aψ ( x) x. (4)
En la meición simultánea e os roieaes, f y f, el roucto e sus esviaciones estánar cumle con la esiguala, [ ] f f i f, f, (5) esto es, satisface una relación e incertiumbre. (La emostración e la esiguala anterior se resenta en el Aénice I.) [ x ], En articular, ara los oeraores e osición y e momento se tiene que = i, e aquí que el rinciio e incertiumbre ara estas roieaes sea la siguiente, x. (6) Funciones e ona gaussianas Para ejemlificar esta relación e incertiumbre, se evaluarán las roieaes escritas anteriormente ara una función e ona muy sencilla. Consiere a una función gaussiana, efinia en la recta real, f ( x) x = ex, (7) en one la constante es ositiva y está relacionaa con el ancho e la istribución. La función e ona normalizaa uee escribirse como x ψ ( x) = Af ( x) = A ex, (8) en one la constante A está aa or la conición e normalización, A = f ( x) x, (9) y ara la función gaussiana toma la forma A = [ ] π, (0)
en one se ha usao el valor e la integral e una gaussiana, la ensia e robabilia también es una istribución gaussiana, ex t t = π. Así, ψ ( x) P x = = e π x. () Para escribir las roieaes en el esacio el momento se requiere e la royección e la función e ona sobre las funciones roias el oeraor, ϕ ψ ix x ix = AB e f = AB ex x. () Esta integral se resuelve comletano un cuarao erfecto en el exonente, ϕ ψ π ( ) x i = AB ex ex = AB ex Por lo que la istribución e momentos toma la forma siguiente, Π x. (3) = = ϕ ψ ex, (4) π ( ) en one, or comaración con la ecuación, se uee observar que el ancho e esta istribución es ( ), esto es, el ancho e la istribución e momentos es inversamente roorcional al ancho e la ensia e robabilia e la osición. En la figura se muestra la reresentación gráfica e P y ara iferentes funciones gaussianas, =,,, 4, y uee observarse la relación inversa en el ancho e las istribuciones. P(x) se muestra con línea continua, mientras que la grafica e está con línea unteaa.
irecta, Las incertiumbres en la osición y el momento se obtienenor integración x = x x =, = = or lo que la relación e incertiumbre quea exresaa como, (5) x = = 0. 5. (6) - - - - - - - - Figura. Densiaes e robabilia en el esacio e coorenaas (P(x), en línea continua) y e momentos (, en línea unteaa) ara una funcion e ona gaussiana. Para gaussianas centraas fuera el origen, las incertiumbres y la istribución e momentos ermanecen inalteraas, a iferencia e los valores eseraos e otencias e la osición y e la ensia e robabilia P(x), los cuales resentan un eslazamienyo horizontal.
Otros tios e funciones Otro ejemlo sencillo consiste en tomar una función e ona que es constante en el intervalo [-,] y cero fuera e él. En este caso, la constante e normalización toma el valor siguiente, A = ( ) y la royección sobre uee escribirse como en one ϕ ψ, (7) ix k = AB sin ex x = AB, (8) k = k. Las gráficas e las istribuciones, P y, se muestran en la figura, en one se observa nuevamente la relación inversa entre los anchos e ambas istribuciones. - - - - - - - - Figura. Densiaes e robabilia en el esacio e coorenaas y e momentos ara una función e ona que es constante en el intervalo [-,], ara =,,, 4.
El mismo comortamiento se obtiene ara la función olinomial ψ ( x) A x n, = x < 0, x >, A = ( 4n + ) ( )! ( )! 4 + n n. (9) En la figura 3 se uee observar que al aumentar el valor e la otencia n, la ensia e robabilia aumenta en el origen. Desués e realizar las integrales necesarias, se obtienen los siguientes resultaos ara las incertiumbres: x = 4n + 3, = n 4 n + 4n. (0) - - Figura 3. Densia e robabilia ara la funciones olinomiales escritas or la ecuación (9), con n=0,,, 4 y =. Así, la relación e incertiumbre toma la forma x n 4n + = n n + > 4 3, () la cual es consistente con la ecuación 6. La figura 4 muestra la eenencia e la ecuación con n, y se uee observar que la función tiene asintóticamente a /. Otros ejemlos se muestran en la tabla y en toos ellos se uee notar que la esiguala e la ecuación 6 se satisface, aunque sólo ara las funciones gausianas se obtiene el valor mínimo en la relación e incertiumbre.
3 4 5 Figura 4.Relación e incertiumbre aa or la ecuación (). La rimera función que se muestra en la tabla es un caso articular e la ecuación 9. La comaración entre las istribuciones en el esacio e coorenaas y e momentos se muestra en la figura 5 y nuevamente se observa la relación inversa entre el ancho e una y otra. Tabla. Proieaes y relaciones e incertiumbre e algunas funciones e ona. ψ ( x ) A( x ) A cos π x [ ( ) ( + )] A f x a f x a A - 6 5 5 π e a e ikx ψ k cos( k) sin( k) 4A 4A π cos k 3 π k 4 k i π sin ka e k x 5 4 0. 598 π 6 0. 568 > 3 La función f(x) es una gaussiana e ancho, ec(7).
- - - - - - - - Figura 5. Distribución en el esacio e coorenaas y e momentos ara una función cuarática, efinia en el intervalo [-,], con =,,, 4. Aénice I. Demostración e la ecuación (5) Consiere al oeraor G A + iα B, en one α R, y los oeraores A, B son hermitianos. Así, G ψ G ψ 0, or tanto, [ ] [, ] ψ G G ψ = ψ A + αi A, B + α B ψ y comletano cuaraos, se tiene que B α + = α B + α i A B + A 0 [, ] i[ A, B ] i A B A B + 0 4 B, (I.). (I.)
Como el oeraor [ i A, B ] es hermitiano, entonces su valor eserao, i[ A B],, es real. Así, el valor e se elige e tal forma que el rimer término se anule y or tanto, [ ] A B i A, B. (I.3) 4 Como caso articular, consiere A f f y B f f or lo que la ecuación anterior toma la forma que se esea emostrar, [ ], entonces [ A B ] [ f f ], =,, f f i f, f. (I.4) Activiaes aicionales G G = A + αi A, B + α B.. Obtenga G y emuestre que [ ]. Demuestre que i [ A B ], es hermitiano. 3. Demuestre que A es real si  es hermitiano. Versión moificaa, mayo 999