. [04] [ET-A] Sea la función f() = e -. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica.. [04] [ET-B] Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de.000 litros. Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?. [04] [JUN-A] Sea la función f() = e -. Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. 4. [04] [JUN-B] Sea la función f() = +. a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el punto de la gráfica de f() más cercano al punto (4,0). 5. [0] [ET-A] Sea f() = (+)e -. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. 6. [0] [ET-B] a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. e / si < 0 k si = 0 b) Estudiar la continuidad de la función f() = en el intervalo - -cos(),, según los valores de k. si > 0 sen() 7. [0] [JUN-A] a) Estudiar el crecimiento de la función f() = + -. b) Probar que la ecuación + - = 0 tiene eactamente tres soluciones reales. 8. [0] [JUN-B] Determinar, de entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máima. 9. [0] [ET-A] Sea la función f() = + e. a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, etremos relativos, concavidad, conveidad y puntos de infleión. 0. [0] [ET-B] a) Determinar los etremos absolutos de la función f() = -4+4 en el intervalo [,4]. - si 0 b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por f() = ln () en el punto si < - =, donde ln denota el logaritmo neperiano.. [0] [JUN-A] Dada la función f() = ae, se pide: + a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en = 0 valga. b) Para a =, estudiar el crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. c) Para a =, hallar sus asíntotas.. [0] [JUN-B] Se considera la función f() =e + ln(), (0, ) donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f(). b) Demostrar que la ecuación e - = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,]. 7 de julio de 05 Página de 5
. [0] [ET-A] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (,) y determina en el primer cuadrante un triángulo con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área. 4. [0] [ET-B] Dada la función f() = ln, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, etremos relativos y puntos de infleión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. 5. [0] [JUN-A] a) Estudiar si la función f:[0,] dada por f() = si 0 - + 7 verifica la hipótesis del teorema - si < de Rolle. Enunciar dicho teorema. cos()-e - - b) Calcular lim. sen() 6. [0] [JUN-B] Sea f() = -+ - a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y sus asíntotas. 7. [00] [ET-A] Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos segmentos de longitud y 00-. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas. Para qué valor de dicha suma es mínima? 8. [00] [ET-B] Sea la función f() = 4-. a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos. 9. [00] [JUN-B] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 70 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 /cm y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. 0. [00] [JUN-B] Hallar el valor de a para que se verifique que lim + +a - +5 - = lim. sen () ln sen(). [009] [ET-A] Calcular el límite lim e -.. [009] [ET-A] Hallar los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función f() = es paralela a la recta de ecuación y = +.. [009] [JUN-B] Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. 4. [009] [JUN-B] Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = ln en su dominio de definición. 5. [008] [ET-A] Hallar, de entre todos los puntos de la parábola de ecuación y = -, los que se encuentran a distancia mínima 7 de julio de 05 Página de 5
del punto A -,-. 6. [008] [ET-A] Estudiar la continuidad de la función f() = -cos si 0 0 si = 0 7. [008] [ET-B] Sea f() = -+ln, con (0,+ ), a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f. b) Probar que eiste un punto c tal que f(c) = 0. e, e a --a 8. [008] [ET-B] Calcular los valores del número real a sabiendo que lim = 8. sen () 9. [008] [JUN-A] Calcular lim + 0. [008] [JUN-A] Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f() = +a en el punto = 0 sea perpendicular a la recta y+ = -.. [008] [JUN-B] Calcular las asíntotas de f() = (-) 4 +. [007] [ET-A] Sea f la función dada por f() = e -. a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas de f. b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f() = en el intervalo 0,.. [007] [ET-A] Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = - ++, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = +7. 4. [007] [ET-B] Calcular, si eiste, el valor de lim e -e - 5. [007] [JUN-A] Calcular lim ln(+) -. 6. [007] [JUN-B] Sea la función f() = +e -. a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Demostrar que eiste algún número real c tal que c+e -c = 4. 7. [006] [ET-A] a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() = e -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f() e. b) Prúebese que la ecuación = e tiene alguna solución en (-,]. 7 de julio de 05 Página de 5
ln cos() -+cos() 8. [006] [ET-A] Calcúlese lim 9. [006] [ET-B] Eisten máimo y mínimo absolutos de la función f() = cos()+ en el intervalo 0,? Justifíquese su eistencia y calcúlense. 40. [006] [ET-B] Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f() = en el punto = 0. + 4. [006] [JUN-A] Considérense las funciones f() = e y g() = -e -. Para cada recta r perpendicular al eje O, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. ln(cos) 4. [006] [JUN-A] Calcúlese el valor de lim 4. [006] [JUN-B] Sea f() = a +b +c+d. Determínese a, b, c y d para que la recta y+ = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto 0,-, y la recta -y- = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto,-. 44. [005] [ET-A] Calcúlense los valores de 0 para los cuales lim sen = -. cos ( ) - 45. [005] [ET-B] Calcúlese lim ln() sen(). 46. [005] [JUN-A] Calcúlese lim ln() + e 47. [005] [JUN-A] Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para > 0 se verifica: arctg()-arctg() < +. 48. [005] [JUN-B] Sea f() = e +ln(), (0,+ ). (a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (b) Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo, y esbócese la gráfica de f. 49. [004] [ET-A] Sea f la función dada por f() = - +,. a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. tg() 50. [004] [ET-A] Calcúlese el valor de lim / tg(6). 5. [004] [JUN-B] Calcúlese lim - sen. 7 de julio de 05 Página 4 de 5
5. [00] [ET-A] Calcular lim ln(+)-ln 5. [00] [ET-A] Hallar los puntos de la gráfica de f() = - + en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y =. 54. [00] [ET-B] Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f() = - en =. e --cos 55. [00] [JUN-A] Calcular lim sen 56. [00] [JUN-B] a) Halla a y b para que la función siguiente sea continua en = 0: f() = b) Hallar a y b para que f() sea derivable en = 0. ln(e+sen) si < 0 +a+b si 0. c) Calcular f' -. Soluciones 9. a) a.h. y = 0; crec: ; conv: -, -4- -4+,+ ; p.i: -4-, -4+ -,+ ; min: - c) = -; y = 0. a) crec: (0,+ ) c) - - b) -7-6 -5-4 - - - 4 0. a) m: (4,4); min: (,0) b) cont.; no deriv.. a) b) crec:. y = -+4; 4 4. dom: (0,+ ); asint: = 0; y = 0; ma: e; p.i.: e e - 4 5 5. a) si b) -5 6. a) crec: (-,0) (,+ ); ma: 0; min: ; conv: (,+ )<; asin: = ; y = - b) - - 45 - -4 7. 56'5 8. a) [-,]; crec: -, ; min: - ; ma: b) - - 9. 6; 7'5 0. -. ln. (-,-), (,). 00, 6'66 (diametro) 4. crec: (0,e) 5. - 4 -,- 6. 7. a) - cerc: (0,); concava: (0,+ ); a.h. = 0 4 8. 4 9. 4 0.. y =. a) Creciente: -,. Máimo:. Asíntotas: y = 0 b) Eiste una solución. 0, y,- 4. 4 5. 6. Creciente: 0,+. Convea:. Asíntotas: y =. Gráfica: - - 7. a) Creciente: -,. Máimo:, e. P. infleión:,. Asíntotas: y = 0 8. - 9. Máimo: 0, ; mínimo,0 40. y=0; =0 4. =0 4. - 4., -, 0, - 44. 45. 0 46. 0 48. (a) Creciente: (0,+ ); e as. vert: = 0 (b) - - 49. a) no b) Creciente: (0,0), (,-) 54. no 55. 56. a) b =, a b) b = ; a = e c) 0 -,0,+ ; ma: (0,); min: -,- 4,,- 4 c) - - - 50. 5. 0 5. 5. 7 de julio de 05 Página 5 de 5