CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 TRIMESTRE 0-O FECHA: DICIEMBRE 8 DE 00 HORARIO: :00-5:00 H (A) Primer parcial () Si se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio que tiene 5 m de altura con una velocidad inicial de 0 m/s, entonces la altura sobre el suelo t segundos después será h(t) = 5 + 0t 5t. Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 40 m arriba del suelo? () Una caja con base y tapa cuadradas de lado tiene una superficie total de 600 m. Epresar el volumen V de la caja como función de. () Dadas las funciones f() = +4, g() = & h() =, obtener: (g/h)(), (h f)() &(g h)(), así como sus respectivos dominios. (4) Dada la función +5 si < f() = si < si < 4 (a) Obtener la gráfica, el rango y las raíces de f (b) A partir de la gráfica de f hacer un bosquejo de la gráfica de la función g() = f( ). (B) Segundo parcial () Bosquejar la gráfica de una función f que cumpla las condiciones siguientes: Es continua en R {, 0, }; f( ) = 0; f( )= ; f(0) = ; lím f() = ; lím f() =+ ; + lím f() = ; lím f() = ; lím f() =; 0 + f() =; lím f() =. lím + () Para la función f() = + 8, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. () Determinar los valores de las constantes a, b, c que hacen continua en todo su dominio a la función + si<; c si =; f() = a + b si <5; + si 5. canek.azc.uam.m: / / 006.
EVALUACIÓN GLOBAL E00 (4) La posición instantánea (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta, está dada por s(t) = t 8t + 8, donde t se mide en segundos. (a) Calcular las velocidades promedio en cada uno de los siguientes intervalos: [,4], [.5,4], [4,4.5] y [4,5] (b) Utilizando la definición de derivada, calcular la velocidad instantánea de la partícula en t = 4 seg. (C) Tercer parcial () Dada la función definida por f() = 5 5, obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. () Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva y + y = en el punto P (, ). () A un depósito cilíndrico de 5 m de radio le está entrando agua a razón de 5 l por segundo. Calcular la rapidez a la que sube el nivel del agua. [Recordar que l es igual a dm.] (4) Una página ha de contener 0 cm de teto. Los márgenes superior e inferior deben ser de cm y los laterales de cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel.
EVALUACIÓN GLOBAL E00 Respuestas (A) Primer parcial () Si se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio que tiene 5 m de altura con una velocidad inicial de 0 m/s, entonces la altura sobre el suelo t segundos después será h(t) = 5 + 0t 5t. Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 40 m arriba del suelo? Hacemos 5 + 0t 5t 40 5t 0t +5 0. Como 5t 0t + 5 = 5(t 4t + ) = 5(t )(t ), entonces 5t 0t + 5 = 0 para t = y también para t =. Estos dos puntos dividen a la recta real en tres intervalos: (, ), (, ) y (, + ). Se quiere saber cuándo 5t 0t + 5 = 5(t )(t ) 0. Es decir, cuando (t )(t ) 0. Esto se puede saber considerando la tabla siguiente: Signo de Intervalos t t 5t 0t +5 t<(< ) + <t< + ( <) <t + + + Luego entonces, 5t 0t +5 0 t [, ]. () Una caja con base y tapa cuadradas de lado tiene una superficie total de 600 m. Epresar el volumen V de la caja como función de. Usamos la siguiente figura: y y Sabemos que el volumen de la caja es V = y
4 EVALUACIÓN GLOBAL E00 y que la superficie total es A = +4y. Como A = 600 m, tenemos que 600 00 +4y = 600 y = =. 4 Si sustituimos este valor en la epresión para el volumen, lo obtendremos epresado como función de únicamente, esto es ( ) 00 V = = (00 ). () Dadas las funciones f() = +4, g() = & h() =, obtener: (g/h)(), (h f)() &(g h)(), así como sus respectivos dominios. Tenemos: (g/h)() = g() h() = ; (h f)() =h[f()] = h( +4)= +4 = +; (g h)() =g[h()] = g( ) = ( ) = 4. Como D f =[ 4, + ), D g =(, ] & D h = R, tenemos: { D g = } D h g Dh { } D h h() =0. Como D g Dh =(, ] R =(, ] & h() =0 = ±, entonces D g =(, ] {± } =(, ) (, ) (, ] ; h D hf = { } { D f f() D h = [ 4, + ) } +4 R =[ 4, + ); D gh = { } { D h h() Dg = R (, ] }. Como 4 [, ], resulta que D gh =[, ]. (4) Dada la función +5 si < ; f() = si < ; si < 4, (a) obtener su gráfica, su rango y sus raíces. La gráfica de la función f() es:
EVALUACIÓN GLOBAL E00 5 f() 5 4 Rango: R f =[, ]. Raíces: +5=0 = 5 es raíz pues < 5. =0 = ± = es raíz pues <. = no es raíz pues (, ]. (b) A partir de la gráfica de f() hacer un bosquejo de la gráfica de la función g() = f( ). Tenemos que deslizar la gráfica de f() una unidad hacia la derecha, reflejarla con respecto al eje de las, y, por último, deslizarla hacia arriba dos unidades. De hecho, los puntos (, ) (que no están en la gráfica de f), ( 5 ), 0,(, ), (, 0) (que tampoco están en la gráfica de f), (0, ), (, 0), (, ), (, ) (no en la gráfica) y (4, ) se trasladarían sucesiva y respectivamente a los puntos (, ) (, ) (, ) (, ) ; ( 5 ), 0 ( ), 0 ( ), 0 ( ), ; (, ) (0, ) (0, ) (0, ) ; (, 0) (0, 0) (0, 0) (0, ) ; (0, ) (, ) (, ) (, ) ; (, 0) (, 0) (, 0) (, ) ; (, ) (, ) (, ) (, 5) ; (, ) (, ) (, ) (, ) ; (4, ) (5, ) (5, ) (5, ). Por lo que la gráfica solicitada de g() es:
6 EVALUACIÓN GLOBAL E00 g() 5 5 (B) Segundo parcial () Bosquejar la gráfica de una función f que cumpla las condiciones siguientes: Es continua en R {, 0, }; f( ) = 0; f( )= ; f(0) = ; lím f() = ; lím f() =+ ; + lím f() = ; lím f() = ; lím f() =; 0 + f() =; lím f() =. lím + Una gráfica de la función f() con esas condiciones es: f() () Para la función f() = + 8, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. Dominio: D f = { R 4 0 } = { R ( + )( ) 0 } = R {± }. Raíces:
EVALUACIÓN GLOBAL E00 7 Para hallar las raíces se resuelve + 8 = 0; como + 8 = ( + 4)( ), se ve que + 8=0 =& = 4, pero como / D f, la única raíz de f es = 4. Continuidades: La función por ser racional es continua en su dominio, es decir, (, ) (, ) (, + ). Calculamos lím f() = Pues lím ( +4)=> 0& lím lím ( + 4)( ) ( + )( ) = lím +4 + =. ( +)=0. Asíntotas: La discontinuidad en = es esencial, de hecho es infinita, y entonces la recta = es una asíntota vertical. Análogamente +4 lím f() =lím + = 6 4 =, por lo que la discontinuidad en = es removible, pues si se define f() =, f() resultaría continua en =. Y ahora: + 8 lím ± 4 ( + 8 ) = lím + ( ± 4 ) = lím 8 ± 4 = =. Entonces, la recta y = es asíntota horizontal La gráfica de la función f() es: f() 4 () Determinar los valores de las constantes a, b, c que hacen continua en todo su dominio a la función + si<; c si =; f() = a + b si <5; + si 5.
8 EVALUACIÓN GLOBAL E00 Para que f sea continua en = se tiene que cumplir lím lím f() =f() y de aquí que f() =6+=7=f() = c = lím Por lo que ya se sabe que c = 7 y además que a + b =7. + f() =a + b. Análogamente, para que f() sea continua en = 5, tiene que ocurrir que lím f() =5a + b = f(5) = lím f() 5 5 =5 +=7. + Luego se tienen que cumplir simultáneamente las dos ecuaciones a + b =7&5a + b = 7 por lo que, resolviendo tal sistema tenemos { a + b =7 a =0 a =0 b =7 0=7 0 =. 5a + b =7 Entonces los valores de las constantes son: a = 0, b = & c =7. (4) La posición instantánea (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta, está dada por s(t) = t 8t + 8, donde t se mide en segundos. (a) Calcular las velocidades promedio en cada uno de los siguientes intervalos: [,4], [.5,4], [4,4.5] & [4,5] Calculamos: s(4) s() 6 + 8 (9 4 + 8) [, 4] : v = = = ; 4 s(4) s(.5) [.5, 4] : v = = (.5 8.5 + 8) = 4.5 0.5 =.5 = 0.5 = 0.5; 0.5 0.5 s(4.5) s(4) [4, 4.5] : v = = 4.5 8 4.5+8 0.5 6 + 6 = 4.5 4 0.5 0.5 s(5) s(4) [4, 5] : v = = 5 8 5+8 5 40 + 6 = =. 5 4 (.5 8 + 8) 0.5 = = 0.5 0.5 =0.5; (b) Utilizando la definición de derivada, calcular la velocidad instantánea de la partícula en t = 4 segundos. Por definición: s(t) s(4) v(4) = lím t 4 t 4 t 8t +6 =lím t 4 t 4 =lím(t 4)=0. t 4 =lím t 4 t 8t +8 t 4 =lím t 4 (t 4) t 4 = =
EVALUACIÓN GLOBAL E00 9 (C) Tercer parcial () Dada la función definida por f() = 5 5, obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. Calculemos las raíces: 5 5 = ( 5)=0 =0, 5=0 =0& = 5 5 =0; = =0& ±.909944. Que son las raíces de f, y que concuerdan con el hecho de que f() es impar. Para determinar los intervalos de crecimiento se deriva f f () =5 4 5 =5 ( )=0 =0; =0 =0;( + )( )=0 =0& = ±. Estos tres puntos críticos, 0 & dividen a la recta en cuatro intervalos donde la derivada tiene los siguientes valores: Eligiendo arbitrariamente ± (, ) (, + ) se tiene que f (±) > 0 f() es creciente en (, ) y en (, + ). Análogamente, eligiendo ± (, 0) ( (0, ) se ve que f ± ) < 0 f() es decreciente en (, 0) y en (0, ). Como en =, la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Luego entonces, [,f( )] = [, ( ) 5 5( ) ]=(, +5)=(, ) es un máimo relativo. Además, por ser f() impar, el punto (, ) es un mínimo relativo. Siendo f() decreciente en (, 0) y en (0, ), en (0, 0) la función no tiene valor etremo. Concavidad: Para la concavidad se deriva nuevamente f () =60 0 =0( ) = 0 =0& = ± ±0.707067. Se determina el signo de la segunda derivada en los cuatro intervalos donde la segunda derivada no es cero. En (, ), eligiendo (, ) se tiene que f ( ) < 0, luego f() dirige su concavidad hacia abajo en (, ). ( ) Yen, + la dirige hacia arriba, pues f() es impar. ( En, 0 ), ( (, 0 ), f ) > 0, luego f() dirige su concavidad hacia arriba en ( ), 0. Y en cambio la dirige hacia abajo en ( 0, ), pues f() es impar.
0 EVALUACIÓN GLOBAL E00 Puntos de infleión: Los tres puntos [,f ( )] [ = (, ) 5 5 ( ) ] = [,f = ( ), 0.500 +.767767 =( 0.707067,.7469); [0,f(0)] = (0, 0) y también ( )] =(0.707067,.7469) son de infleión. Con toda la información obtenida, conociendo que f() yf () son impares y que f () es par, así como que las tres son continuas en todo R, la gráfica de la función f() queda de la siguiente manera f() 5 5 () Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva y + y = en el punto P (, ). Derivando implícitamente con respecto a se tiene que 6 y y +y y =0. Transponiendo términos y factorizando y queda y (y )=y 6. Por lo que la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto es En particular en el punto P es y = y 6 y. y (, ) = ()( ) 6() 4 = ( ) () 7 4 = 6 ;
por fin la ecuación de la recta tangente en P es y ( ) = 6 EVALUACIÓN GLOBAL E00 7 69 + ; ( ) y = 6 y = 6 +. () A un depósito cilíndrico de 5 m de radio le está entrando agua a razón de 5 l por segundo. Calcular la rapidez a la que sube el nivel del agua. [Recordar que l es igual a dm.] Recordar también que 5 m = 50 dm, luego el volumen del agua es V = πr h =50 πh h = 50 π V. Derivando con respecto al tiempo: dh(t) = dv dv, pero, como dt 50 π dt dt = 5 dm /s, entonces: dh(t) = dt 50 π 5 dm/s = 50 5 π dm/s = 50π dm/s, que es la rapidez a la que sube el agua. (4) Una página ha de contener 0 cm de teto. Los márgenes superior e inferior deben ser de cm y los laterales de cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel. Hagamos un croquis con el tamaño de la página y los datos cm cm cm cm ycm cm Se sabe que y = 0 cm. Se quiere minimizar el área de la página de papel, esto es: A =( + )(y + 4). Entonces, el área es una función de dos variables,, y. Pero como y =0 y = 0, sustituyendo este valor en la epresión para el área de la página, queda como función de la única variable, a saber: ( ) 0 A() =( +) +4 =0+4 + 60 +8=4 +60 +8. Para hallar los puntos críticos se deriva A () =4 60 =0 4=60 =5 = 5.
EVALUACIÓN GLOBAL E00 Por lo que = 5; y = 0 = 0 5 = 5=. 5 5 Como A () =(4 60 ) = 0 > 0, se trata, en efecto, de un mínimo.