14 CAPÍTULO 14 Integración múltiple Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides pétalos de una curva rosa, de integrandos que contienen En la sección 1.4 se vio que las coordenadas polares de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, ) del punto, de la manera siguiente. Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura 14.4. a) Figura 14.4 b) Solución a) La región R es un cuarto del círculo de radio. Esta región se describe en coordenadas polares como b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de radios 1 3. Esta región se describe en coordenadas polares como Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares Sector polar. Figura 14.5 como el mostrado en la figura 14.5.
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 15 Para definir una integral doble de una función continua en coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de las rectas En lugar de hacer una partición de R en rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una red o cuadrícula polar formada por raos o semirrectas radiales arcos circulares, como se muestra en la figura 14.. Los sectores polares R i que se encuentran completamente dentro de R forman una partición polar interna cua norma es la longitud de la diagonal más larga en los n sectores polares. Considerar un sector polar específico como se muestra en la figura 14.7. Se puede mostrar (ver ejercicio 75) que el área de es Área de. Figura 14. donde Esto implica que el volumen del sólido de altura sobre es aproximadamente se tiene La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos, r )r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano r, como se muestra en la figura 14.8. Los sectores polares corresponden a los rectángulos el área de es Por tanto, el lado derecho de la ecuación corresponde a la integral doble A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14. para escribir Esto sugiere el teorema siguiente, cua demostración se verá en la sección 14.8. Figura 14.7 Figura 14.8
1 CAPÍTULO 14 Integración múltiple TEOREMA 14.3 CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, ) (r cos, r ) que satisfacen las condiciones g 1 ( ) r g ( ),, donde ( ). Si g 1 g son continuas en [, ] f es continua en R, entonces Volumen de un sector paraboloide En la exploración de la página 997 se pidió resumir los diferentes métodos hasta ahora estudiados para calcular el volumen del sólido limitado o acotado por el paraboloide el plano x. Ahora se conoce un método más. Utilizarlo para encontrar el volumen del sólido. Si es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretarse como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ la región R. Cuando se usa la integral en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando. La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples regiones -simples, como se muestra en la figura 14.9. g 1 g = Límites o cotas fijas para : Límites o cotas variables para r: g 1 ( ) r g ( ) = r = r 1 h r Límites o cotas variables para : h 1 (r) h (r) Límites o cotas fijas para r: r 1 r r h 1 r = r Figura 14.9 Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos Evaluar la integral Solución Los límites o cotas polares son como se muestra en la figura 14.3. Además, Por tanto, se tiene Figura 14.3
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 17 En el ejemplo, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fórmula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen. Superficie: z = 1 x 4 z Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el hemisferio Hemisferio que forma la superficie superior. e inferiormente por la región circular R dada por x 4 R: x + 4 Figura 14.31 4 Región circular que forma la superficie inferior. como se muestra en la figura 14.31. Solución En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas que con altura En coordenadas polares, las cotas son Por consiguiente, el volumen V está dado por Para ver la ventaja de las coordenadas polares en el ejemplo 3, ha que tratar de evaluar la integral iterada rectangular correspondiente Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por computadora para evaluar se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3. Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble puede usarse para calcular el área de una región en el plano.
18 CAPÍTULO 14 Integración múltiple Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.3. Esta región es r-simple los límites son los siguientes. Figura 14.3 r 3 cos 3 Por tanto, el área de un pétalo es 1 3 A R da Así, el área total es 9 9 4 r Límites o cotas fijas para. Límites o cotas variables para r. 3 cos 3 3 cos 3 r dr d d cos 3 d 1 cos d 9 4 1 3 4. Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede repretarse mediante Si se obtiene lo cual concuerda con el teorema 1.13. Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar han sido de la forma en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede simplificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en el ejemplo siguiente. e inferior- Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral mente por el eje polar, entre r 3 Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue. Figura 14.33
SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 19 En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral. 1.. 13. 14. 15. 1. En los ejercicios 17 a, evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares. 17. 18. 19. x d dx. 4 x 1 x x x x x d dx 3. 4. 1.. 3. 4. 5.. 1 1 x 1 4 x cos x d dx x d dx En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para describir la región mostrada. 5.. En los ejercicios 7 8, combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante. 7. 8. En los ejercicios 9 a 3, utilizar coordenadas polares para escribir evaluar la integral doble 7. 8. 9. 3. 31. 3. Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones. En los ejercicios 9 a 1, evaluar la integral doble dibujar la región R. 9. r dr d 1. cos r dr d 33. primer octante 34. 35. 3. 37. Interior al hemisferio e interior al cilindro 11. 1. 38. Interior al hemisferio exterior al cilindro
A-48 Soluciones de los ejercicios impares
Soluciones de los ejercicios impares A-49