Capítulo 4 INTEGRACIÓN

pítulo 4 INTEGRAIÓN En el primer curso de álculo, se prendió el concepto de integrl indefinid y definid de funciones reles de vrible rel, y se dedujeron vris propieddes de ls misms: linelidd, monotoní, condiciones de existenci, etc. Nuestro objetivo de este cpítulo es extender ess ides l cmpo de los números complejos. De ls múltiples mners en que esto puede hcerse, elegimos l que prece ser más nturl prtir de lo que y conocemos: primero prenderemos integrr cierts especiles funciones complejs usndo integrles de funciones de vrible rel, pr luego prender integrr funciones complejs en generl, cundo se posible. En el nálisis que nos proponemos, los conceptos de curv continu y de contorno resultn relevntes, por lo que nuestr primer ocupción hor será formlizrlos.. urvs y contornos en el plno complejo ulquier función z de un intervlo rel [,b] en es un función complej de vrible rel (FVR). A un número t del intervlo, z le hrá corresponder un número complejo z(t) x(t)+iy(t), en donde x(t) e y(t) son números reles que en generl dependerán de t, como lo indic l notción utilizd. En los puntos de [,b] en que x(t) e y(t) son mbs derivbles, se define l derivd de z(t) como z (t) x (t)+iy (t) (en se exige l existenci de l derivd lterl derech, y en b l de l izquierd). Notr que z(t) puede verse como un función z : D donde D {(t,0) : t b}, y ls funciones de prte rel e imginri son, respectivmente, x(t) e y(t). Por lo tnto, z(t) es continu en t 0 si, y sólo si, x(t) e y(t) son tmbién continus (como funciones reles de un vrible rel) en t 0. Bjo cierts condiciones, l imgen de [,b] por z es un curv en el plno complejo, que puede imginrse como generd desde z() hst z(b) medid que t v creciendo de b. Esto motiv l siguiente definición: Definición 4.. Un curv continu es un función continu z cuyo dominio es lgún intervlo cerrdo [, b] y cuyo codominio es ; z() y z(b) se llmn, respectivmente, punto inicil y punto finl de l curv, y se dice que l curv v desde z() hst z(b). Un curv suve, o curv regulr, es un curv continu cuy derivd z es continu y no nul en [,b]. Un curv continu se llm suve trozos, o curv regulr trozos, o contorno, si hy un prtición finit t 0 < t <... < t n b del intervlo [,b] tl que l restricción de z cd subintervlo [t j,t j+ ] es un curv suve. Un contorno se dice cerrdo si z(b) z(). Hremos referenci los contornos indistintmente trvés del lugr geométrico que describen ( el contorno, con l considerción implícit del sentido de su recorrido) o trvés de l expresión que los define ( el contorno z(t), t b ). L expresión z(t), con t b, se denomin un prmetrizción de. Gráficmente hblndo, un curv suve es un trzdo continuo con vector tngente z (t) bien definido en cd punto, y que demás v girndo en form continu. Un contorno es un número finito de curvs suves conctends sucesivmente por los extremos. En los puntos de unión, puede hber vértices, es decir, puntos ngulres, en los que puede no estr definido z (t), pero son sólo un cntidd finit, y en ellos Re(z (t)) e Im(z (t) pueden presentr un discontinuidd con slto finito. Un contorno cerrdo tiene punto finl igul su punto inicil. 59

60 4. INTEGRAIÓN Notr que, siendoz continu y[,b] compcto en, un contorno es un subconjunto compcto de (teor. 3.37), y esto, en prticulr, quiere decir que todo contorno es un subconjunto cotdo y conexo de. omo dijimos, puede imginrse como trzdo desde el punto z() l z(b) medid que t crece de b. Muchs veces, interesrá obtener el mismo contorno, pero trzdo desde z(b) hst z(). Técnicmente, es un contorno distinto (ún cundo el lugr geométrico de puntos es el mismo), y se denomin contorno inverso de, denotdo por. Si z(t) con t b represent, entonces definimos medinte l prmetrizción dd por w(t) z( t) con b t. Ejemplo 4.2. onsideremos ls siguientes curvs: z (t) 2cost+2isent 2e it con 0 t π z 2 (t) 2cos(t )+2isen(t ) 2e i(t ) con t +π z 3 (t) 2cos(t/2)+2isen(t/2) 2e i(t/2) con 0 t 2π z 4 (t) 2cost+2isent 2e it con 0 t 2π z 5 (t) 2cost+2isent 2e it con π t π +2π 2 2 z 6 (t) 2cost+2isent 2e it con π t π +4π 2 2 z 7 (t) t+2it t(+2i) con 0 t z (t) corresponde l rco de circunferenci con centro en el origen y rdio 2, trzdo desde el complejo 2 hst el complejo 2 en sentido ntihorrio. z 2 (t) y z 3 (t) corresponden l mism curv que z (t). z 4 (t) corresponde l circunferenci complet con centro en el origen y rdio 2, trzd desde el complejo 2 hst sí mismo en sentido ntihorrio. z 5 (t) corresponde l circunferenci complet con centro en el origen y rdio 2, trzd desde el complejo2i hst sí mismo en sentido ntihorrio.z 6 (t) corresponde l mism circunferenci que z 5 (t), pero trzd dos veces, y por ello es un curv distint que z 5 (t). z 7 (t) corresponde l segmento desde 0 hst +2i. Observr que z (t), z 2 (t) y z 3 (t) corresponden l mism curv, mientrs que z 4 (t), z 5 (t) y z 6 (t), pesr de describir ls tres un mismo lugr geométrico, corresponden curvs distints entre sí. omo vemos, dos funciones distints z(t) ( t b) y w(t) (c t d) pueden representr un mismo contorno. Formlizremos es ide diciendo que z(t) y w(t) representn el mismo contorno, o que z(t) y w(t) son equivlentes, si existe un función continu biyectiv g del intervlo [,b] en el intervlo [c,d] tl que g() c, g(b) d y z w g. En el ejemplo nterior, pr ver que ls expresiones de los dos primeros incisos corresponden un mismo contorno, bst tomr g(t) t+. Qued como ejercicio mostrr que si es un contorno, entonces dmite un prmetrizción z(t), t b, con < b elegidos voluntd... Poligonles inscripts en contornos. Supongmos que es un contorno con prmetrizción dd por l función continu z(t), t b. onsideremos un prtición P del intervlo [,b], es decir, P {t 0,t,...,t n } con t 0, b t n y t k < t k+ pr todo k {0,,...,n }. Designemos l norm de l prtición medinte P máx{t k+ t k : k 0,,...,n }, y hgmos z k z(t k ) pr cd k 0,,...,n. Tenemos que cd z k es un punto de, por lo que los puntos z 0,z,...,z n determinn un poligonl P [z 0,z,...,z n ] desde el punto inicil hst el punto finl de que demás tiene todos sus vértices intermedios en. Se dice entonces que P es l poligonl inscript en inducid por P. Observr que si es un contorno cerrdo, l poligonl corresponde un polígono inscripto en el contorno. Un prmetrizción pr el segmento [z k,z k+ ] de P está dd por l expresión p k (t) z k + t t k t k+ t k (z k+ z k )

2. INTEGRAL DE FUNIONES OMPLEJAS DE VARIABLE REAL 6 con prámetro t tl que t k t t k+. De este modo, un prmetrizción pr P es dd por p(t), t b, con p(t) p k (t) pr t [t k,t k+ ], k 0,,...,n. omo es de esperrse, cunto más fin es un prtición (es decir, cunto más pequeñ es su norm), más ceñid es l poligonl P l contorno. Proposición 4.3. Se un contorno con prmetrizción z(t), t b, y se ε > 0. Existe δ > 0 tl que si P es un prtición con norm menor que δ, entonces P induce un poligonl P con prmetrizción p(t), t b, tl que pr todo t [, b], p(t) z(t) < ε. Demostrción. Y que z es continu y [,b] compcto, z es uniformemente continu en [,b] (prop. 3.44), por lo que δ > 0 : t,t [,b], t t < δ z(t) z(t ) < ε/2. Se P {t 0,t...,t n } un prtición de [,b] tl que P < δ, y se P l poligonl inducid por P, con prmetrizción p(t) según se enunció previmente. Tomemos t [, b]. Existe k {0,,...,n } tl que t k t t k+. Se tiene entonces que 0 t t k t k+ t k < δ, por lo que de donde 0 t t k t k+ t k z(t) z(t k ) < ε 2 p(t) z(t) z k + t t k (z k+ z k ) z(t) t k+ t k z(t k+ ) z(t k ) < ε 2 z(t k ) z(t) + t t k t k+ t k z(t k+ ) z(t k ) < ε 2 + ε 2 ε Supongmos que es demás subconjunto de lgún bierto D. be preguntrse si un poligonl inscript en es tmbién subconjunto de D. omo l intuición y nos podrí estr indicndo en bse l resultdo nterior, si l prtición es suficientemente fin, eso efectivmente ocurre. Proposición 4.4. Se un contorno en un conjunto bierto D. Existe δ > 0 tl que tod prtición del intervlo de vrición del prámetro de con norm menor que δ induce un poligonl inscript en que está contenid en D. Demostrción. Se z(t), t b, un prmetrizción pr. Siendo compcto, D c cerrdo y D c, existe ε > 0 tl que z,w D c, z w ε (prop. 2.30). Notr que, en consecuenci, z,b ε (z) D. Apelndo l prop. 4.3, se δ > 0 tl que culquier prtición P de [,b] con P < δ induce un poligonl con prmetrizción p(t), con t b, tl que z(t) p(t) < ε pr todo t [,b]. Se P culquier de tles prticiones, y P l poligonl inscript en que ést induce. Si w P, es w p(t) pr lgún t [,b]; como z(t) p(t) < ε, y z(t) es un punto de, es w B ε (z(t)) D. Siendo w rbitrrio en P, tenemos que P D. 2. Integrl de funciones complejs de vrible rel Se z(t), con t b, un FVR. Se define su integrl medinte: b z(t)dt b Re(z(t))dt+i b Im(z(t))dt siempre que ls dos integrles que precen l derech existn, en cuyo cso diremos que z(t) es integrble en el intervlo [,b]. En prticulr, si z(t) es continu (excepto en, lo sumo, un cntidd finit de puntos del intervlo donde hy discontinuiddes con slto finito), tmbién lo serán Re(z(t)) e Im(z(t)), y existirá l integrl.

62 4. INTEGRAIÓN Pr z(t) y w(t) ( t b) FVR integrbles, c rel entre y b, y k constnte complej, lguns propieddes básics de ls integrles, que se deducen prtir de l definición dd y de propieddes conocids pr integrles de funciones reles, son ls siguientes: () (3) (5) b b b (z(t)+w(t))dt b z(t)dt + b w(t)dt (2) z(t)dt z(t)dt (4) b b z(t)dt z(t) dt b b kz(t)dt k z(t)dt (6) Si z(t) es un curv suve, entonces l longitud de l mism es L c b b z(t)dt z(t)dt + z (t) dt b c z(t)dt Ls cutro primers quedn de ejercicio. Pr (5), si b z(t)dt 0 l severción es inmeditmente verdder; y si b z(t)dt 0, se b z(t)dt r 0e iθ 0 con r 0 > 0 y θ 0 R. Entonces, r 0 e iθ 0 b z(t)dt b e iθ 0 z(t)dt b Re ( e iθ 0 z(t) ) dt+i b Im ( e iθ 0 z(t) ) dt y siendo el último miembro igul l rel r 0, debe ser b Im( e iθ 0 z(t) ) dt 0. Luego, es decir, r 0 b Re ( e iθ 0 z(t) ) dt b Re ( e iθ 0 z(t) ) dt b e iθ 0 z(t) dt b z(t) dt b z(t)dt b z(t) dt. Pr (6), supongmos z(t) x(t) + iy(t). De l definición de derivd, será z (t) x (t) 2 +y (t) 2 que corresponde l longitud de un rco elementl de curv, según lo prendido en álculo pr curvs expresds prmétricmente. Integrndo, se tiene el resultdo. El Teorem Fundmentl del álculo pr funciones reles de vrible rel enunci que si f es función rel derivble en [,b] y f es integrble en ese intervlo, entonces b f (t)dt f(b) f(). Usndo ese resultdo, obtenemos l extensión del mismo ls FVR que tienen prtes rel e imginri integrbles. Proposición 4.5. Se z(t), con t b, un función complej de vrible rel tl que z es integrble en [,b]. Entonces b z (t)dt z(b) z(). Demostrción. Supongmos que z(t) x(t)+iy(t). Entonces, por definición de integrl y por nuestros comentrios previos, b z (t)dt b x (t)dt+i b y (t)dt x(b) x()+i(y(b) y()) z(b) z() 3. Integrl de funciones de vrible complej sobre contornos Se un contorno con prmetrizción z(t), t b, y un función de vrible complej definid y continu sobre cd punto de. Se define l integrl de lo lrgo de medinte: b dz f(z(t))z (t)dt L integrl de l derech es l integrl de un FVR y está bien definid puesf z es continu en [,b]; por ser z(t) un contorno, z (t) tmbién será continu slvo posiblemente en un cntidd finit de puntos (los puntos ngulres del contorno) en donde puede hber discontinuiddes con slto finito; y que el producto de funciones continus es un función continu, el integrndo es

3. INTEGRAL DE FUNIONES DE VARIABLE OMPLEJA SOBRE ONTORNOS 63 un función continu slvo en un número finito de puntos (en los que no hy sltos infinitos), por lo que l integrl existe. Se puede demostrr que el vlor de l integrl es independiente de l prmetrizción elegid pr (ejercicio). Veremos, continución, ejemplos de cálculo de integrles trvés de l definición, lgunos de los cules, su vez, ilustrn diverss situciones de interés que pueden presentrse. Ejemplo 4.6. lculemos dz y 2 dz cundo z, es el segmento recto desde 0 hst +i y 2 es el rco de l prábol Im(z) Re(z) 2 desde 0 hst +i. Pr l primer integrl, como no conocemos un expresión pr l curv, nuestro primer trbjo es encontrr un. Pr eso, viendo l segmento en cuestión como subconjunto de R 2, corresponde l rect y x con x vrindo entre 0 y. De llí que un posible form de representr prmétricmente l curv es tomndo x(t) t, y(t) t con 0 t. Es decir, z(t) t+it, por lo que z (t) +i. Entonces f(z(t)) z(t) t it t( i) y z (t) +i. Por lo tnto, dz t( i)(+i)dt ( i)(+i) 0 2 t2 ( ) 0 i 2 2 Pr l integrl sobre 2, considermos l prmetrizción del contorno dd por z(t) t+it 2 con 0 t. Por lo tnto, z (t) +2it, y entonces ( ) dz t( i)(+2it)dt ( i) tdt+2i t 2 dt 2 0 0 0 ( ( i) 2 t2 + 2i ) ( 0 3 t3 ( i) 0 2 + 2i ) 7 3 6 + 6 i En el ejemplo nterior, notr que dz 2 dz ún cundo el integrndo es el mismo y los dos contornos vn desde el mismo punto inicil hst el mismo punto finl. Qued clro entonces que, en generl, el vlor de l integrl depende tmbién de los vlores que tom el integrndo en los puntos intermedios del contorno. Sin embrgo, hy csos en los que el vlor de l integrl depende sólo de los puntos inicil y finl, como lo muestr el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.7. Vemos que si z y z 2 son complejos culesquier y es culquier curv suve desde z hst z 2, entonces dz z 2 z zdz 2 z2 2 2 z2 (Notr que, en prticulr, si l curv es cerrd, ls dos integrles vlen 0.) Supongmos que tiene prmetrizción z(t), t b, con z() z y z(b) z 2. Pr l primer integrl, el integrndo es, por lo que f(z(t)) pr todo t [,b]. Por corresponder z(t) un curv suve, tiene derivd z (t) cuys prtes rel e imginri son continus, y por lo tnto son mbs integrbles. Luego, por l proposición 4.5, result b dz z (t)dt z(b) z() z 2 z Pr l segund integrl, el integrndo es z, por lo quef(z(t)) z(t) pr todot [,b]. Entonces f(z(t))z (t) z(t)z (t), cuys prtes rel e imginri son mbs integrbles. Se z(t) x(t)+iy(t); por ser z(t) l prmetrizción de un curv suve, x(t) e y(t) son mbs derivbles. Tomndo F(t) 2 z(t)2 x(t)2 y(t) 2 +ix(t)y(t) 2

64 4. INTEGRAIÓN result F (t) x(t)x (t) y(t)y (t)+i(x (t)y(t)+x(t)y (t)) z(t)z (t) Luego, por l proposición 4.5, b zdz z(t)z (t)dt F(b) F() 2 z2 2 2 z2 El ejemplo nterior muestr que pr ls funciones y z, l integrl de culquier de ells sobre culquier curv suve cerrd vle 0. Esto no es cierto en generl, ún cundo el integrndo se un función nlític en cd punto del contorno de integrción. Ejemplo 4.8. Se z 0 culquier número complejo, y culquier circunferenci con centro z 0 recorrid un vez en sentido positivo. Entonces, dz z z 0 2πi. Pr verlo, llmemos r l rdio de. Un prmetrizción pr el contorno de integrción es z(t) z 0 + rcost + irsent, con 0 t 2π, teniéndose que z (t) rsent + ircost i(irsent+rcost) i(z(t) z 0 ). Luego, dz 2π 2π i(z(t) z 0 )dt i dt 2πi z(t) z 0 0 3.. L integrl complej y ls integrles de líne de funciones reles de dos vribles. Supongmos que u(x, y) + iv(x, y) y que tiene expresión prmétric z(t) x(t)+iy(t) con t b. Hciendo el producto f(z(t))z (t), y plicndo l definición de integrl, vemos que b ( dz u(x(t),y(t))x (t) v(x(t),y(t))y (t)+ ) iu(x(t),y(t))y (t)+iv(x(t),y(t))x (t) dt b (u(x(t),y(t))x (t) v(x(t),y(t))y (t))dt+ b i (u(x(t),y(t))y (t)+v(x(t),y(t))x (t))dt (u(x,y)dx v(x,y)dy)+i (v(x,y)dx+u(x,y)dy) en donde ls últims integrles son ls conocids integrles de líne de funciones reles de dos vribles reles. Un mner fácil de recordr est últim fórmul es expresr f como u+iv, dz como dx+idy, y desrrollr el producto. 3.2. L integrl como límite de sums. Un prtición finit t 0 < t <... < t n b del intervlo [,b] induce un prtición del contorno en rcos z 0 z, z z 2,...,z n z n en donde z k z(t k ). Si pr cd subintervlo de l prtición se elige η k cumpliendo t k η k t k+, se obtiene un punto ξ k z(η k ) de l porción del contorno entre z k y z k+, y llmndo z k z k+ z k pr 0 k n, podemos clculr n k0 f (ξ k) z k. Es fctible mostrr, prtir de l definición, que si l norm de l prtición es suficientemente pequeñ, est sum difiere en módulo del vlor de l integrl en cntiddes rbitrrimente pequeñs, independientemente de l elección de η k en el intervlo [t k,t k+ ]. Es decir, pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que tod prtición de [,b] con norm menor que δ produce n dz f (z(η k ))(z(t k+ ) z(t k )) < ε (A) k0 0

3. INTEGRAL DE FUNIONES DE VARIABLE OMPLEJA SOBRE ONTORNOS 65 pr culquier elección de cd η k en el intervlo [t k,t k+ ]. Pr verlo, bst recordr l propiedd nálog de ls integrles de líne: se u(x,y) un función rel de dos vribles, y se un contorno de su dominio, con prmetrizción ( x(t),y(t) ), t b. Supongmos que existe I u(x,y)dx. Entonces, pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr culquier prtición {t 0,...,t n } de [,b] y culquier selección {η 0,...,η n } con t k η k t k+, k 0,...,n, se tiene que n I u(x(η k ),y(η k ))(x(t k+ ) x(t k )) < ε k0 Usndo est propiedd y l expresión que relcion l integrl complej con ls integrles de líne de funciones reles de dos vribles, se obtiene l propiedd menciond en (A) (ejercicio). 3.3. Propieddes de l integrl. Desiguldd ML. Alguns propieddes que pueden deducirse directmente de l definición de integrl y de ls y deducids propieddes de integrles de FVR son ls siguientes, en donde y g(z) son funciones complejs, k es un constnte complej y es un contorno expresdo por z(t), con t b:. (+g(z))dz dz + g(z)dz 2. kdz k dz 3. dz dz 4. Si es l conctención de ls curvs suves,..., n, entonces n dz dz k k y, en consecuenci, l integrl de un función sobre un conctención de contornos es l sum de ls integrles de es función sobre los contornos individules. Pr ver l primer: (+g(z))dz b b (f +g)(z(t))z (t)dt f(z(t))z (t)dt+ b b (f(z(t))z (t)+g(z(t))z (t))dt g(z(t))z (t)dt dz + g(z)dz L segund es por el estilo. Pr l tercer, siendo z(t) x(t) + iy(t) (con t b) un prmetrizción de, un prmetrizción pr es w(t) x (t) + iy (t) con x (t) x( t), y (t) y( t) y b t. Podemos ver que w (t) z ( t) pues x (t) x ( t) e y (t) y ( t). Por lo tnto, considerndo el cmbio de vrible t u (y consecuentemente dt du), b b dz f(z(t))z (t)dt f(z( u))( z ( u))du b f(w(u))(w (u))du b f(w(u))(w (u))du dz Vemos l curt, pr el cso n 2 (el cso generl es nálogo). Si está dd por z (t) con t c, podemos obtener un prmetrizción z 2 (t) pr 2 con c t b. Definmos entonces, pr t b, { z (t) si t c z(t) z 2 (t) si t > c

66 4. INTEGRAIÓN Dich expresión es un prmetrizción pr, siendo { z z (t) (t) si t < c z 2(t) si t > c y entonces dz b c f(z(t))z (t)dt f(z (t))z (t)dt+ c b c f(z(t))z (t)dt+ b c f(z(t))z (t)dt f(z 2 (t))z 2(t)dt dz + dz 2 Un importntísim cot pr el módulo de un integrl es l que sle del siguiente resultdo: Proposición 4.9. Se un contorno de longitud L, y un función continu definid en un dominio que contiene l curv. Se M un rel tl que pr todo z es M, entonces dz ML Demostrción. Se z(t), t b, un prmetrizción pr. b dz b b f(z(t))z (t)dt f(z(t)) z (t) dt M z (t) dt ML en donde hemos usdo propieddes de integrles de FVR y demostrds. L desiguldd dd en l proposición nterior se conoce, por rzones obvis, como desiguldd ML, y será usd menudo en el resto del curso. L existenci del rel M está grntizd, pues siendo un subconjunto compcto de y f un función continu vlores reles, debe hber un punto z sobre en el que lcnz un máximo (corolrio 3.39). 3.4. Primitivs. El Teorem Fundmentl del álculo. En el ejemplo 4.7 se muestr que pr ls funciones y z, ls integrles sobre culquier curv suve dependen sólo del punto inicil y del punto finl de l curv. omo l integrl de un función sobre un contorno es l sum de ls integrles de es función sobre ls curvs suves que componen ese contorno, se sigue que dz z 2 z zdz 2 z2 2 2 z2 culquier se el contorno con punto inicil z y punto finl z 2. Esto motiv l siguiente definición. Definición 4.0. Se D un dominio, y f un función complej continu en D. Sen z y z 2 dos puntos de D. Decimos que l integrl de es independiente del cmino desde z hst z 2 si pr culquier pr de contornos y 2 en D que vn de z z 2, es dz 2 dz, y ese único vlor que tienen ls integrles sobre todos los contornos que vn de z hst z 2 se simboliz por z 2 z dz. Decimos que l integrl de es independiente del cmino en D si l integrl es independiente del cmino entre dos puntos culesquier de D. Definición 4.. Se D un dominio, y f un función definid en él. Un primitiv pr f en D es un función F definid en D tl que pr todo z D, es F (z). Observr que, siendo D bierto, un primitiv de f en D es entonces un función nlític en D. Result nturl preguntrse cuándo un función definid en lgún dominio posee un primitiv. El Teorem Fundmentl del álculo pr funciones de vrible complej, que vemos continución, estblece un condición suficiente.

4. INTEGRAIÓN SOBRE ONTORNOS ERRADOS 67 Teorem 4.2. (Teorem Fundmentl del álculo). Se D un dominio, y un función continu en D tl que sus integrles sen independientes del cmino en D. Se z 0 un punto de D, y hgmos F(z) z z 0 f(ζ)dζ. Entonces, F(z) es nlític en D, y F (z). F(w) F(z) Demostrción. Mostrremos que pr culquier z D, lím w z existe y vle w z, con lo que tendremos el resultdo. Se entonces z un punto culquier de D, y ε > 0. Por ser z un punto interior D, existe δ > 0 tl que el círculo con centro z y rdio δ está contenido en D. omo por hipótesis es f continu en z, hy un δ 2 > 0 tl que pr todo w con w z < δ 2, es f(w) < ε/2. Hgmos δ mín{δ,δ 2 } y tomemos w que cumpl 0 < w z < δ. Se un contorno de z 0 z en D, el segmento recto desde z hst w y 2 l conctención de con. Notr que 2 es un cmino de z 0 w contenido en D. Entonces, por l hipótesis de que l integrl es independiente del cmino, w F(w) f(ζ)dζ f(ζ)dζ f(ζ)dζ + f(ζ)dζ F(z)+ f(ζ)dζ z 0 2 por lo que F(w) F(z) w z w z f(ζ)dζ. Además, el ejemplo 4.7 muestr que dζ w z, por lo que F(w) F(z) w z f(ζ)dζ w z w z w z ( ) f(ζ)dζ (w z) w z w z f(ζ)dζ dζ w z f(ζ)dζ dζ w z (f(ζ) )dζ ε w z < ε w z 2 pues cd punto sobre está distnci menor que δ de z. 4. Integrción sobre contornos cerrdos Nos proponemos hor investigr ls propieddes de l integrción cundo el contorno es cerrdo, es decir, con prmetrizción dd por l expresión z(t) con t b y z(b) z(). Decimos que es un contorno cerrdo simple (tmbién llmdo curv de Jordn) si demás de ser cerrdo se cumple que, pr todos t,t [,b),t t z(t) z(t ). En términos gráficos, un contorno cerrdo simple no se intersec sí mismo, slvo por el hecho de que su punto finl coincide con su punto inicil. El Teorem de ls curvs de Jordn estblece que todo contorno cerrdo simple es l fronter de dos dominios disjuntos, uno de ellos cotdo (el interior de, denotdo por int()) y el otro no cotdo. L unión de estos dos dominios con el contorno es el plno completo. Un dominio D se dice simplemente conexo si pr culquier contorno cerrdo simple contenido en D se verific que int() D. Intuitivmente, un dominio es simplemente conexo si no posee gujeros. Por ejemplo, el interior de un disco es un dominio simplemente conexo, mientrs que el conjunto {z : < z < 2} es un dominio, pero no es simplemente conexo. Hy dos mners de dr un vuelt complet sobre un contorno cerrdo simple. En un de ells, un person que vij sobre l curv tiene l interior del contorno siempre hci su izquierd; llmremos positiv o ntihorri est mner de recorrer l curv, y negtiv u horri l mner opuest. Pr clculr un integrl sobre un contorno cerrdo simple, es preciso tener presente en cuál de ls dos orientciones estmos recorriendo l curv, pr hcer

68 4. INTEGRAIÓN l prmetrizción correspondiente. Si no se hce un especificción explícit, convendremos en considerr que el contorno debe considerrse positivmente orientdo. Deben hber sido numerosos los ejemplos que desrrolló uchy pr drse cuent, llá por 84, de que l integrl de un función nlític en un dominio simplemente conexo sobre un contorno cerrdo simple de ese dominio d 0. uchy pudo demostrr eso hciendo l suposición de que l derivd del integrndo es tmbién continu en el dominio. Ese es el contenido del Teorem de uchy. Hci fines del siglo XIX, Gourst, que nció después de muerto uchy, se dio cuent de que l suposición de l continuidd er innecesri, y logró demostrr el teorem pr contornos cerrdos no necesrimente simples, y sin l suposición (tuvo que trnspirr mucho más, como es de imginrse). Este último teorem se conoce como Teorem de uchy- Gourst. Nos encminmos l demostrción de mbos. 4.. El teorem de uchy. L demostrción es relmente simple, si se tienen l vist el Teorem de Green en el plno y ls ecuciones de uchy-riemnn. Ests últims son viejs conocids nuestrs, de modo que sólo recordremos el enuncido del Teorem de Green: Se un contorno cerrdo y simple, y R l región determind por l unión de con sus puntos interiores; sen P(x, y) y Q(x, y) dos funciones reles de dos vribles reles continus con derivds prciles de primer orden continus en R. Entonces, (Pdx+Qdy) (Q x P y )dxdy cundo se recorre en sentido positivo. on ésto, vemos el enuncido forml del Teorem de uchy, y su demostrción. Teorem 4.3. (uchy). Se un contorno cerrdo simple en un dominio simplemente conexod, yf un función nlític end que demás tiene derivdf continu en ese dominio. Entonces, dz 0 Demostrción. Supongmos primero que está positivmente orientdo. Hgmos R int() D. Por hipótesis, u(x,y) + iv(x,y) es nlític en R, con lo cul, de l proposición 3.28, u y v son continus en R. Además, como f (z) u x (x,y) + iv x (x,y) v y (x,y) iu y (x,y), tmbién por hipótesis y proposición 3.28, tenemos que u x,u y,v x,v y son tods funciones continus en R. Estmos, pues, bjo ls hipótesis del Teorem de Green en relción u, v y. Luego: dz (udx vdy)+i (udy+vdx) R R ( v x u y )dxdy+i (u x v y )dxdy 0 R por ser nulos los dos integrndos del penúltimo miembro, grcis que f es nlític en R y stisfce, por lo tnto, ls ecuciones de uchy-riemnn. Ahor, si está orientd en sentido negtivo, lo está en sentido positivo, por lo que, por lo obtenido rrib, es dz 0. Y y que dz dz, se tiene el resultdo tmbién pr el cso de contornos orientdos en sentido horrio. 4.2. El teorem de uchy Gourst. Pr demostrr el teorem de uchy sin l hipótesis de continuidd de f, comenzremos mostrndo que se cumple pr el cso en que el contorno es un triángulo (no degenerdo). El resultdo se extenderá entonces polígonos simples, luego polígonos rbitrrios, y finlmente se obtendrá el resultdo pr contornos en generl. Lem 4.4. (Gourst). Se 0 un triángulo simple en un dominio simplemente conexo D, y f un función nlític en D. Entonces, 0 dz 0

4. INTEGRAIÓN SOBRE ONTORNOS ERRADOS 69 Demostrción. Llmemos A, B y los vértices del triángulo, l cul supondremos positivmente orientdo. Llmemos A, B y los respectivos puntos medios de los ldos. Designemos por T 0 l región formd por 0 con su interior, y digmos que su perímetro vle L. Notr que, siendo D simplemente conexo, es T 0 D, por lo que f es nlític en todo punto de T 0. Llmemos,, 2 3 y, 4 respectivmente, los triángulos AA, A BB, B y A B (todos con orientción positiv), y T, T 2, T 3 y T 4, ls regiones constituids por cd subtriángulo junto con su interior. d subtriángulo tiene perímetro L/2. Result ser que dz dz + dz + dz + dz 0 2 3 4 pues se compensn vris integrles sobre ldos recorridos primero en un sentido y luego en el inverso. Por lo tnto, de cuerdo l propiedd tringulr, dz dz 0 + dz + dz + dz 2 De los cutro términos de l derech, elijmos uno que se myor o igul que los otros tres, y llmemos l correspondiente triángulo, y T l triángulo con su relleno. Tendremos que dz 4 dz 0 Hgmos sobre el mismo proceso que hicimos sobre 0 : tomemos los puntos medios de sus ldos (generándose cutro triángulos 2, 2, 2 2 3 y 2, 4 cd uno con perímetro L/(2 2 )), y llmemos T2, T2 2, T2 3 y T2 4 cd subtriángulo con su respectivo interior; escojmos quel en el cul el módulo de l integrl de f es myor o igul que sobre los otros tres, llmándolo 2, y T 2 ese triángulo relleno. ontinundo de est mner, generremos un sucesión de contornos tringulres { n } n 0 y de triángulos rellenos {T n } n 0 con ls siguientes propieddes, válids pr todo n: n es l fronter de T n, y tiene perímetro L/(2 n ). T n T n+. n dz 4 n+ dz Viendo que ) dz 4 dz (4 0 4 dz... 2 llegmos que, pr todo n, es dz 4n dz 0 n 3 4

70 4. INTEGRAIÓN L sucesión{t n } n 0 es un sucesión de conjuntos compctos no vcíos decreciente, con diámetro tendiendo 0. Luego, por corolrio 2.27, n 0 T n const de un único punto, digmos z 0, que pertenece todo T n, en prticulr T 0, el triángulo originl, y por tnto f es derivble en z 0. Es decir, existe f f(z 0 ) (z 0 ) lím z z0 Se ε > 0. Tomemos δ > 0 tl que 0 < < δ f(z 0 ) f (z 0 ) < ε L 2 Elijmos tmbién un nturl N tl que L < δ. Y que z 2 N 0 T N y que el diámetro de culquier triángulo no excede su perímetro (p. 2, ej. 8), se tiene que pr culquier z N ( T N ) es dim T N L < δ. Entonces, si z 2 N N y z z 0, es 0 < < δ, por lo que f(z 0 ) ( )f (z 0 ) < ε L ε 2 L2 N y si z N y z z 0, f(z 0 ) ( )f (z 0 ) 0 ε z z L2 N 0. En resumen, pr culquier z N, es f(z 0 ) ( )f (z 0 ) ε. L2 N Teniendo en cuent que N (f(z 0 )+( )f (z 0 ))dz 0 (según ejemplo 4.7 y plicción de propieddes de integrción), se tiene que dz ( f(z 0 ) ( )f (z 0 ))dz + (f(z 0 )+( )f (z 0 ))dz N N N ε L L2 N 2 ε N 4 N Entonces, dz ε 4N 0 4 ε N Ddo que ε se eligió rbitrrimente, es 0 dz 0, de donde se sigue el Lem de Gourst si 0 tiene orientción positiv. De l propiedd de que invertir el sentido de recorrido del contorno produce cmbio de signo l vlor de l integrl, qued estblecido el resultdo en generl. Proposición 4.5. Si f es un función nlític en un dominio simplemente conexo y P es un polígono simple en dicho dominio, entonces dz 0 P Demostrción. Por inducción en el número de ldos del polígono. El cso bse de inducción es el Lem 4.4. Pr proceder con el pso inductivo, ceptremos sin demostrción el hecho geométrico de que todo polígono simple de l menos cutro ldos posee un digonl íntegrmente contenid en su interior. Entonces, sip es un polígono den+ ldos, con vérticesz 0,z,...,z n,z 0, existenj,k con 0 j < k n tles que el segmento [z j,z k ] es interior P. Llmemos P l polígono cuyos vértices son z 0,...,z i,z j,...,z n,z 0 y P 2 quel cuyos vértices son z i,z i+,...,z j,z i, mbos recorridos en el mismo sentido que P. Por hipótesis y por elección de z i y z j, f es nlític sobre y dentro de mbos polígonos, que tienen menos ldos que P. Luego, por hipótesis inductiv, P dz 0 P 2 dz. Se tiene demás que los ldos de P y de P 2 son los de P, excepto l digonl z i z j que es recorrid en un sentido en P y en sentido inverso en P 2. Por lo tnto, dz dz + dz 0 P P P 2 según querímos demostrr.

4. INTEGRAIÓN SOBRE ONTORNOS ERRADOS 7 Por un rgumento inductivo en el número de ldos, es fctible demostrr que culquier polígono es un unión finit de polígonos simples y de segmentos que se recorren dos veces en direcciones opuests (ejercicio). Entonces, l integrl de un función sobre un polígono es l sum de ls integrles sobre los polígonos simples que lo componen, más ls integrles sobre los ldos que se recorren dos veces en direcciones opuests, cuyos vlores se compensn por tener signos opuestos. Por ello, tenemos el siguiente resultdo: orolrio 4.6. Si f es un función nlític en un dominio simplemente conexo y P es un polígono (no necesrimente simple) en dicho dominio, entonces dz 0 P Vemos hor el enuncido generl y l demostrción del teorem de uchy Gourst. Teorem 4.7. Si es un contorno cerrdo en un dominio simplemente conexo D y f es un función nlític en D, entonces dz 0. Demostrción. Supongmos que tiene expresión z(t), t b, y se L su longitud. Denotemos I dz. Mostrremos que ε > 0, I < ε. Se entonces ε culquier número rel positivo. Por ser D bierto, pr todo z existe δ z > 0 tl que B 2δz (z) D. L fmili de entornos {B δz (z)} z es cubrimiento por biertos pr el compcto, por lo que hy un subfmili finit {B δk (z k )} n k que es cubrimiento pr (δ k > 0,z k ). Hgmos n n D B δk (z k ) K {z : z z k δ k } k Result que D es bierto, K es un compcto (por ser cerrdo y cotdo) y D K D. Se ρ > 0 tl que culquier prtición de [,b] con norm menor que ρ induce un polígono P inscripto en contenido en D (prop. 4.4) y, por lo tnto, en K. Ddo que K es un subconjunto compcto de D, f es uniformemente continu en K (prop. 3.44), por lo que existe ε 2 > 0 tl que si z y w están en K distnci menor que ε 2, f(w) < ε. orrespondiente ese ε 2L 2, se ρ 2 > 0 tl que t,t [,b], t t < ρ 2 z(t) z(t ) < ε 2 (prop. 3.44, teniendo en cuent que z es continu en [,b]). Tmbién, recordndo que un integrl se define como límite de sums, se ρ 3 > 0 tl que culquier prtición {t 0,...,t n } de [,b] con norm menor que ρ 3 produce n I (z(t k+ ) z(t k ))f (z(η k )) < ε 2 k0 pr culquier elección de η k [t k,t k+ ]. En prticulr, tomndo η k t k, tendremos que n I (z(t k+ ) z(t k ))f (z(t k )) < ε 2 k0 Ahor, elijmos un prtición {t 0,...,t n } de [,b] con norm ρ menor que mín{ρ,ρ 2,ρ 3 }, y denominemos P l polígono inscripto en correspondiente est prtición; se z (t), t b un expresión pr P, y llmemos L su longitud. Designemos S k l segmento de P que v de z(t k ) hst z(t k+ ). Observemos que: L (l longitud de P) es menor o igul que L (l longitud de ). I n k0 (z(t k+) z(t k ))f (z(t k )) < ε pues ρ < ρ 2 3. P es un polígono cerrdo (puesz () z (t 0 ) z(t 0 ) z(t n ) z (t n ) z (b)) inscripto en y contenido en K, pues ρ < ρ. Si t y t se eligen en [,b] de modo que t t ρ, siendo ρ < ρ 2 y P K, entonces z(t) z(t ) < ε 2 ; en prticulr, z(t k+ ) z(t k ) < ε 2. Luego, pr culquier z S k, se tiene que z z(t k ) z(t k+ ) z(t k ) < ε 2 y entonces z S k, f(z(t k )) < ε. 2L k

72 4. INTEGRAIÓN Por lo tnto, siendo dz 0 (cor. 4.6), tenemos que P I I n dz P I n dz k0 S k I (f(z(t k ))+ f(z(t k )))dz k0 S k n I n f(z(t k ))dz ( f(z(t k )))dz k0 S k k0 S k n I n f(z(t k ))(z(t k+ ) z(t k )) ( f(z(t k )))dz k0 k0 S k n I f(z(t k ))(z(t k+ ) z(t k )) + n ( f(z(t k )))dz k0 k0 S k < ε n 2 + ( f(z(t k )))dz ε n S k 2 + ε 2L z(t k+) z(t k ) ε 2 + ε 2L L ε k0 k0 completndo sí l demostrción. Observción 4.8. Si es un contorno cerrdo simple tl que l función es nlític en cd punto de int(), entonces dz 0. En efecto, pr cd z se ε z > 0 tl que f es derivble en cd punto de B εz (z), y hgmos D int() z B ε z (z), que result un dominio simplemente conexo en el que f es nlític. Por lo tnto, siendo D, es dz 0. 4.3. onsecuencis del teorem de uchy. 4.3.. Principio de deformción de contornos. Supongmos que y 2 son dos contornos cerrdos simples tles que int( 2 ). Supongmos tmbién que es un función nlític en todos los puntos que están sobre 2 y en int( 2 ) int( ) (esto incluye los puntos que están sobre ). Entonces, dz 2 dz, cundo mbs curvs son recorrids según l mism orientción. Pr verlo, hgmos de cuent que y 2 están positivmente orientdos. Elijmos A sobre 2 y B sobre de modo que el segmento AB no interseque ni 2 en otros puntos. Ahor, elijmos sobre y E sobre 2 de modo que el segmento E no interseque ni ni 2 en otros puntos, ni l segmento AB. Se 3 el segmento de A B, l porción de que v de B (en el sentido positivo de ), l porción de que v de B (en el sentido positivo de ), 4 el segmento de E, 2 l porción de 2 desde A hst E (en el sentido positivo de 2 ), y 2 l porción de 2 desde E hst A (en el sentido positivo de 2 ). Llmemos Γ l conctención de 3 con con 4 con 2; simismo, designemos por Γ 2 l conctención de 2 con 4 con con 3. (ver fig. ). Notemos que dz dz + dz dz dz + dz 2 Tnto Γ como Γ 2 son contornos cerrdos simples sobre y dentro de los cules es nlític, sí que Γ dz 0 Γ 2 dz, de donde Γ dz + Γ 2 dz 0. Por lo tnto, dz dz + dz + dz + 3 4 2 dz dz dz dz 0 4 3 2 2 2

4. INTEGRAIÓN SOBRE ONTORNOS ERRADOS 73 y, en consecuenci, dz + Figur. dz 2 dz + 2 dz y se sigue el resultdo. Podemos decir todví más: supongmos que 2 puede deformrse continumente hst trnsformrse en sin psr por ningun singulridd de ; entonces, dz 2 dz. Este resultdo es un poquito más generl que el nterior, y que no se necesit que esté íntegrmente contenid en int( 2 ). Pr verlo, bst elegir un contorno cerrdo 0 contenido en int( 2 ) int( ), que punto punto esté suficientemente cerc de l fronter de es intersección, como pr que se nlític en (int( 2 ) int( )) int( 0 ) (ver fig. 2). Figur 2. Entonces, 0 será un curv cerrd contenid en int( 2 ) y l función no tendrá singulriddes entre mbs curvs, por lo que es plicble el resultdo nterior, es decir 2 dz 0 dz. Y nálogmente es dz 0 dz, de donde se tiene lo que se querí. 4.3.2. Independenci de ls tryectoris. Se nlític en un dominio simplemente conexo D. Entonces, l integrl de es independiente del cmino en D. En efecto, si y 2 son contornos que vn mbos desde z hst z 2 en D, podemos llmr l conctención de con 2, resultndo un contorno cerrdo en un dominio simplemente conexo en el que es nlític. Luego, por el Teorem de uchy, es dz 0, es decir,

74 4. INTEGRAIÓN dz + 2 dz 0, de donde, por propieddes de l integrción, es dz 2 dz. Recordndo el Teorem Fundmentl del álculo pr funciones complejs (teor. 4.2), obtenemos fácilmente el siguiente resultdo. orolrio 4.9. ulquier función nlític en un dominio simplemente conexo dmite un primitiv en ese dominio. 5. Ls fórmuls integrles de uchy. onsecuencis Ahor vmos ver muy útiles fórmuls, debids quién más sino uchy, pr evlur integrles sobre contornos cerrdos simples de funciones que tienen cierto tipo de singulriddes en el interior del contorno. Teorem 4.20. (Fórmul integrl de uchy) Se un función nlític en un dominio simplemente conexo D, y un contorno cerrdo simple en D. Entonces, pr todo complejo z 0 en el interior de, es dz 2πif(z 0 ) cundo se recorre en sentido positivo. Demostrción. Sez 0 un complejo en int(). Veremos que, pr todoε > 0, se cumple que z z 0 dz 2πif(z 0 ) < ε, con lo cul tendremos el resultdo. Observemos que el integrndo es un función nlític sobre y en su interior excepto en z 0. Se ε > 0. Elijmos δ > 0 tl que B δ (z 0 ) int(). Ahor, por ser nlític f en z 0, existe δ 2 > 0 tl que, pr todo z D, 0 < < δ 2 f(z 0 ) f (z 0 ) < ε 2πδ Tomemos hor culquier rel positivo r tl que r < mín{δ,δ 2 }, y designemos por r l circunferenci con centro en z 0 y rdio r recorrid en sentido positivo. Por ser r menor que δ y que δ 2, tenemos que r int() D, y que, pr todo z r, se cumple que f(z 0) z z 0 f (z 0 ) < ε 2πδ. Además, por el principio de deformción de contornos, es z z 0 dz r z z 0 dz. Por otro ldo, del ejemplo 4.8, surge que f(z 0 ) r z z 0 dz 2πif(z 0 ), y, del ejemplo 4.7 y propieddes de integrción, se tiene que r f (z 0 )dz 0. Juntndo todo esto, tenemos que dz 2πif(z 0 ) dz 2πif(z 0 ) r f(z 0 ) dz dz r r f(z 0 ) dz r f(z 0 ) dz f (z 0 )dz r ( r ) f(z0 ) f (z 0 ) dz r ε 2πr < ε 2πδ pues r/δ <.

5. LAS FÓRMULAS INTEGRALES DE AUHY. ONSEUENIAS 75 orolrio 4.2. Sen y 2 dos contornos cerrdos simples tles que int( 2 ). Se D int( 2 ) ( int( )). Supongmos que es un función nlític en todos los puntos de, 2 y D. Entonces, pr todo z 0 D, se tiene que 2πif(z 0 ) dz 2 cundo mbs curvs son recorrids en sentido positivo. dz Demostrción. Se z 0 D. Tomemos B,, A,E 2 tles que los segmentos AB y E queden entre y 2, no se toquen entre sí y no psen por z 0 (ver fig. 3). Figur 3. Llmemos Γ l conctención sucesiv de AB, l porción de desde B hst en sentido negtivo, E y l porción de 2 desde E hst A en sentido positivo. Similrmente, se Γ 2 l conctención sucesiv de BA, l porción de 2 desde A hst E en sentido positivo, E y l porción de desde hst B en sentido negtivo. Γ es un contorno cerrdo simple sobre y dentro del cul f es nlític, y z 0 es un punto interior él, por lo que, por fórmul de uchy, es (6) 2πif(z 0 ) dz Γ Por otro ldo, como z 0 no está en el interior del contorno cerrdo simple Γ 2, l función z z 0 es nlític sobre y dentro de Γ 2, por lo que, por el Teorem de uchy-gourst, es 0 dz Γ 2 Sumndo miembro miembro con l ecución (6), se tiene que 2πif(z 0 ) dz + Γ Descomponiendo ls integrles de cuerdo ls curvs que formn Γ y Γ 2, result 2πif(z 0 ) dz + 2 pues ls integrles sobre los segmentos se compensn. dz dz Γ 2 dz 2 dz Hy un equivlente de l fórmul integrl de uchy pr el cso en que el integrndo es de l form /( ) n+ (con n 0), que vemos continución. Pr n entero no negtivo, designremos por f (n) l derivd n-ésim de f, entendiendo que f (0) es l propi f.

76 4. INTEGRAIÓN Teorem 4.22. (Fórmul generlizd de uchy) Se un función nlític en un dominio simplemente conexo D, un contorno cerrdo simple en D, y n un entero no negtivo. Entonces, pr culquier z 0 int(), f (n) (z 0 ) existe y vle f (n) (z 0 ) n! 2πi cundo se recorre en sentido positivo. ( ) n+dz Demostrción. Desrrollremos quí el cso n, que en ciert mner contiene el espíritu de l demostrción generl (que es lgo tedios, y puede encontrrse en el péndice l finl de este cpítulo). Verificremos entonces que, bjo ls hipótesis estblecids, se cumple que f (z 0 ) 2πi (z z 0 dz cundo z ) 2 0 es culquier punto de int(). Por el principio de deformción r (z z 0 dz en donde ) 2 r es culquier círculo de contornos, esto equivle ver que f (z 0 ) 2πi con centro en z 0 y rdio r > 0 contenido en el interior de. Por definición, f f(w) f(z (z 0 ) lím 0 ) w z0 w z 0. Pr culquier w en el interior de r, por l 2πi dz, en prticulr f(z r z w 0) 2πi r z z 0 dz. El fórmul de uchy tenemos que f(w) cociente incrementl result entonces: f(w) f(z 0 ) w z 0 2πi(w z 0 ) r ( z w ) dz 2πi r Pr culquier w z 0, tenemos que (z w)(z z 0 ) (7) f(w) f(z 0 ) w z 0 2πi r (z z 0 ) 2 + ( ) 2dz + 2πi r (z w)( ) dz w z 0 (z z 0, por lo que ) 2 (z w) (w z 0 ) ( ) 2 (z w) dz omo el primer término del último miembro es un constnte respecto de w, tenemos que lím w z 0 2πi ( ) 2dz 2πi ( ) 2dz r Pr el segundo término, consideremos l funcióng(w) r (z z 0 dz definid en el entorno ) 2 (z w) de rdior/2 lrededor dez 0. Por l continuidd de sobre r, existem > 0 tl que pr todo z r, es < M. Además, pr cd z r, es r, de modo que 2 r 2. Y pr cd w B r/2 (z 0 ) y cd z r, es z w > r/2. Esto signific que, pr cd z y cd w B r/2, es (z z 0 ) 2 (z w) 2M 2M, es decir, l función g es de módulo cotdo r 2 r r 3 en B r/2 (z 0 ). Por ello, y ddo que lím z z0 (w z 0 ) 0, se tiene, por proposición 3.6, que (w z lím 0 ) w z0 r (z z 0 dz 0. ) 2 (z w) Por lo tnto, tomndo en (7) el límite del cociente incrementl cundow tiende z 0, tenemos l fórmul que querímos demostrr. orolrio 4.23. Se f un función nlític en un dominio D. Entonces, pr todo n 0, f (n) (z) es un función nlític en D. Demostrción. Se n 0, y se z 0 D. Tomemos r > 0 tl que el círculo r {z : r} esté contenido en D. Entonces f es nlític sobre y dentro de r, de modo que, por el teorem nterior, f (n+) existe en cd punto del interior de r. De llí que f (n) es nlític en z 0. omo z 0 er un punto rbitrrio de D, se sigue que f (n) es nlític en D. Ejemplo 4.24. Usndo el teorem de uchy o ls fórmuls integrles de uchy, verifiquemos que si n es culquier entero, z 0 es culquier complejo fijo y r es culquier circunferenci con centro en z 0 y rdio r > 0 en sentido positivo, entonces { 0 si n ( ) n dz r 2πi si n r

5. LAS FÓRMULAS INTEGRALES DE AUHY. ONSEUENIAS 77 En el ejemplo 4.8, y hemos chequedo por prmetrizción el cso n, pero vemos cómo el uso de ls fórmuls simplific l tre. Si n, bst tomr (nlític en todo el plno complejo) y plicr l fórmul del teorem 4.20. Si n 0, el integrndo es un función enter, por lo que l integrl vle 0. Si n 2, hgmos m n, teniendo que m y que (z z 0 ) n (z z 0. Entonces, ) m+ tomndo, es f (m) 0, por lo que l integrl tmbién vle 0. En bse los resultdos recientemente deducidos, obtendremos un sucesión de interesntes propieddes de ls funciones complejs. 5.. Derivds de ls componentes de un función nlític. A prtir del importntísimo hecho de que un función que es nlític en un dominio D tiene derivds de todos los órdenes en D, y son tods funciones nlítics en el mismo (corolrio 4.23), deduciremos l continuidd de ls derivds prciles de culquier orden de ls prtes rel e imginri de f en D. Teorem 4.25. Si u(x,y)+iv(x,y) es nlític en D, entonces tods ls derivds prciles de u y v existen y son funciones continus en D. Demostrción. Primero vemos, por inducción mtemátic, que, pr todo n 0 y pr todos k,r {0,,...,n} con r +k n, es i k f (n) (z) n u(x,y) +i n v(x,y). x r y k x r y k Si n 0, debe ser k r 0, sí que 0 u u y x 0 y 0 0 v v. Además, f (0) (z), x 0 y 0 sí que i 0 f (0) (z) u+iv 0 u +i 0 v, y l proposición se cumple. x 0 y 0 x 0 y 0 Sen > 0, y supongmos l proposición válid prn. Tomemosk yr con0 k n, 0 r n, r +k n. Al menos uno de los dos, supongmos que k, debe ser positivo. Entonces 0 k n y (k )+r n. Luego, i k f (n) (z) i k( f (n ) (z) ) ( i i k f (n ) (z) ) ( n u i x r y +i n v k x r y ( ) k n v i x r y i n u n u k x r y k x r y +i n v k x r y k cumpliéndose entonces l proposición. Ahor demostremos el teorem. onsideremos l derivd n-ésim de u respecto de x r veces y de y k veces (con, obvimente, r+k n). Por l proposición de más rrib, n u es l prte x r y k rel de i k f (n) (z). Siendo f nlític, por el orolrio 4.23 tenemos que f (n) existe y es continu en D, y entonces podemos decir lo mismo de i k f (n) (z). De llí que n u(x,y) existe y es continu x r y k en D. Lo mismo vle pr n v(x,y). Es decir, ls derivds prciles de culquier orden de u y x r y k de v existen y son funciones continus en D. 5.2. Trnsformción de contornos por medio de funciones nlítics. Supongmos que u(x,y)+iv(x,y) es un función de D en (donde u y v son funciones vlores reles), y que z(t) x(t)+iy(t) ( t b) es un FVR cuy imgen está contenid en D. Se tiene entonces que l composición (f z)(t) f(z(t)) u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t)) es tmbién un FVR cuys prtes rel e imginri son, respectivmente, u z y v z. Si f es continu en D y z(t) es un curv continu, f z es un curv continu (teor. 3.32). Más ún, si f es nlític en D con f (z) 0 en D, y z(t) es un curv suve, f z es tmbién un curv suve. En efecto, hgmos w(t) f(z(t)). Siendo f nlític, es continu en D, y, por lo dicho nteriormente, w(t) es un curv continu. Pr ver que es suve, notemos que ls derivds de sus prtes rel e imginri son, por el Teorem de l Derivción de Funciones ompuests, u (x(t),y(t)) u x (x,y)x (t)+u y (x,y)y (t) u x (x,y)x (t) v x (x,y)y (t) )

78 4. INTEGRAIÓN v (x(t),y(t)) v x (x,y)x (t)+v y (x,y)y (t) v x (x,y)x (t)+u x (x,y)y (t) donde hemos usdo ls ecuciones de uchy-riemnn. Siendo u x y v x continus por nliticidd de f, sí como x e y por ser z(t) un curv suve, se tiene que u y v son funciones continus de t, por lo que w (t) existe y es continu en todo punto de [,b]. Pr terminr de ver que es un curv suve, flt ver que es w (t) 0 en (,b): w (t) u (t)+iv (t) u x (x,y)x (t) v x (x,y)y (t)+i(v x (x,y)x (t)+u x (x,y)y (t)) u x (x,y)x (t) v x (x,y)y (t)+iv x (x,y)x (t)+iu x (x,y)y (t) (u x (x,y)+iv x (x,y))(x (t)+iy (t)) f (z)z (t) es decir, w (t) f (z)z (t) (lo cul, de pso, justific l regl de l cden pr este cso) y y que z (t) 0 (pues z(t) es curv suve) y f (z) 0 por hipótesis sumid, es w (t) 0 en (,b). Luego, w(t) es un curv suve. 5.3. Integrción por medio de un primitiv. Entre ls consecuencis del Teorem de uchy-gourst, enuncimos l independenci de ls tryectoris en l integrción de funciones nlítics en dominios simplemente conexos, y el hecho de que, en tles dominios, un función nlític posee primitiv. Podemos hor enuncir un resultdo más generl, que justific un método conveniente pr clculr integrles en determindos csos. Proposición 4.26. Se F(z) un función nlític en un dominio D, y se un contorno contenido en D que v desde el punto z l punto z 2. Entonces F (z)dz F(z 2 ) F(z ). Demostrción. Supongmos que tiene un prmetrizción dd por z(t) con t b. Debe ser z() z y z(b) z 2. Hgmos G(t) F(z(t)). Por l regl de l cden, es G (t) F (z(t))z (t), por lo que, por proposición 4.5, b b F (z)dz F (z(t))z (t)dt G (t)dt G(b) G() F(z(b)) F(z()) F(z 2 ) F(z ) con lo que se tiene el resultdo. L proposición nterior dice, en definitiv, que si uno debe clculr dz y puede encontrr un primitiv de f que se nlític sobre, entonces l integrl se puede resolver por el método de l primitiv, es decir, por diferenci entre el vlor de l primitiv en los puntos finl e inicil del contorno. omo sbemos que l derivd de un función nlític en un dominio es tmbién nlític en ese dominio, concluimos que si no es nlític en lgún punto de, es inútil buscrle un primitiv que se nlític en cd punto de, de modo que, en ese cso, no podremos resolver l integrl por el método de l primitiv. Ejemplo 4.27. Obtener z2 dz siendo el segmento desde +i hst +3i. Un primitiv pr z es F(z) z 3 /3, que es nlític en todo el plno complejo. Luego, l integrl vle ( +3i) 3 /3 (+i) 3 /3 28 3 20 3 i. Más generlmente, podemos ver que siempre es z2 dz z2/3 3 z/3, 3 siendo z 2 y z, respectivmente, los puntos finl e inicil de. Ejemplo 4.28. Obtener z dz si es el rco de circunferenci con centro en el origen que v desde hst i en sentido horrio. Uno tiene gns de considerr, como primitiv, l rm principl de logz, es decir, F (z) ln z + i Argz con π < Argz π, hbid cuent de que su derivd es precismente /z. Pero enseguid notmos que est elección no stisfce ls hipótesis de l proposición, pues es primitiv es nlític en todo el plno complejo slvo en el semieje rel no positivo, y l curv

5. LAS FÓRMULAS INTEGRALES DE AUHY. ONSEUENIAS 79 ps por. Tmpoco nos servirí usr, como primitiv, l función F 2 (z) ln z +i rgz con 0 rgz < 2π, que no es nlític en el semieje rel no negtivo, siendo que ps por. Sin embrgo, podemos considerr l siguiente primitiv: F(z) ln z +i rgz con π/4 < rgz 9π/4. Es nlític en todo el plno complejo, excepto en l semirrect que comienz en el origen y tiene dirección 45 (que no toc ), y su derivd es /z, lo que puede verse por plicción de ls ecuciones de uchy-riemnn en form polr. Siendo z 2 i, se tiene que rgz 2 π/2 + 2kπ, y, de todos esos ángulos, el que stisfce estr entre π/4 y 9π/4 es π/2, luego F(z 2 ) ln i +iπ/2 iπ/2. Análogmente, pr evlur F(z ) corresponde tomr rgz 2π y entonces F(z ) ln + i2π 2πi. Entonces, z dz i π i2π 3πi/2, 2 hecho que puede confirmrse resolviendo l integrl por definición. Si hubiérmos resuelto tomndo como primitiv l función F o l F 2 que especificmos más rrib, en culquier de los dos csos correspondí tomr rgz 2 π/2 y rgz 0, por lo que l integrl vldrí, según nuestros cálculos, ln i +iπ/2 (ln +i0) iπ/2, resultdo erróneo unque sbemos por qué. 5.4. Teorem de Morer. Este resultdo es un recíproco del Teorem de uchy. Teorem 4.29. Si es continu en un dominio D y si dz 0 pr todo contorno cerrdo contenido en D, entonces es nlític en D. Demostrción. Primero mostremos que, bjo ls hipótesis del teorem, l integrl de es independiente del cmino en D. Sen z y z 2 dos puntos de D, y y 2 dos contornos en D que vn de z z 2. Entonces l conctención de y 2 es un contorno cerrdo en D, por lo que dz + 2 dz 0, y eso signific, por propieddes de l integrción, que dz 2 dz, es decir, l integrl es independiente del cmino. Ahor, se z 0 culquier punto de D, y definmos en D l función F(z) z z 0 f(ζ)dζ. F(z) es nlític en D, y F (z) (Teor. 4.2). Siendo l derivd de un función nlític en D, es nlític en D (or. 4.23). 5.5. Desiguldd de uchy. Veremos hor un cot pr l n-ésim derivd de un función en un punto, cundo sbemos que l función es nlític en lgún círculo que contiene ese punto. Proposición 4.30. Se nlític sobre y dentro de un círculo de centro z 0 y rdio r. Se M un cot superior pr sobre. Entonces, pr todo entero no negtivo n, f (n) (z 0 ) Mn! r n Demostrción. Pr todo z sobre, es z z 0 r, y entonces z z 0 n+ r n+. Luego, pr todo z, es M n+ M n+ r n+ De llí, f (n) (z 0 ) n! 2πi por lo que f (n) (z 0 ) Mn!/r n. ( ) n+dz n! 2π ( ) n+dz n! 2π M r n+2πr 5.6. Teorem de Liouville. Este sorprendente teorem enunci que si un función no constnte es nlític en todo el plno complejo, entonces su módulo tom vlores rbitrrimente grndes (comprr con l función rel f(x) cosx). Teorem 4.3. Se nlític en todo el plno complejo. Si es un función cotd en, entonces es un función constnte.