FEyN - U - Sguno utimst 03 Álg I Páti - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto nil V, notmos po l omplmnto spto V.. Do l onjunto =,, 3}, tmin uáls ls siguints imions son vs i) ii) } iii), } iv), 3} v) }. Do l onjunto =,, 3},, }}, tmin uáls ls siguints imions son vs: i) 3 ii) 3} iii) 3} iv) 3}} v), } vi), } vii), }} viii), }, 3} ix) x) xi) xii) 3. Dtmin si n uno los siguints sos i) =,, 3}, = 5, 4, 3,, } ii) =,, 3}, =,, 3}, 3} iii) = x R / < x < 3}, = x R / x < 3} iv) = }, = 4. i) Dsii los siguints suonjuntos R po ompnsión mint un sol uión: 3,, 5}, (, ] [7, + ) ii) Dsii los siguints suonjuntos R po ompnsión mint un sol uión: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) (*) viii)
Álg I Páti Págin 5. Si un onjunto tin n lmntos uántos suonjuntos n lmntos pos? 6. Dos los onjuntos =, 3, 5, 7, 8, } y =, 3 5, 7, 8, }, hll,, y, y sus inls. 7. Do l onjunto nil V = n N / n s múltiplo 5}, tmin l omplmnto l suonjunto V inio po = n V / n 3}, y su inl. 8. uántos númos ntuls hy mnos o iguls qu 000 qu no son ni múltiplos 3 ni múltiplos 5? 9. Dos los suonjuntos =,, 7, 3}, =, 3}, 0} y =,,, 3}, 3} l onjunto nil V =, 3},, 7, 0,,, 3}, 3}, hll i) ( ) ii) ( ) ( ) iii) 0. Dos suonjuntos,, un onjunto nil V, sii ( ) n téminos intsions y omplmntos, y ( ) n téminos unions y omplmntos.. Dos suonjuntos initos,, un onjunto nil V, lul #( ) n téminos los inls,, y sus intsions.. Sn, y onjuntos. Rpsnt n un igm Vnn i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) 3. Enont ómuls qu sin ls pts ys los siguints igms Vnn, utilizno únimnt intsions, unions y omplmntos. i) ii) iii) 4. i) Un ompñí tin 40 mplos los uls 60 otuvion un umnto y un snso, 40 otuvion solo un umnto y 5 otuvion solo un snso. uántos mplos no otuvion ni umnto ni snso? ii) En l listo insipions un gupo 50 stuints, igun 83 insipions n nálisis y 67 n Álg. más s s qu 45 los stuints s noton n ms mtis. uántos los stuints no stán insiptos n ningún uso? iii) En un instituto iioms on hy 0 lumnos, ls lss inglés tinn 63 insiptos, ls lmán 30 y ls nés 50. S s qu 7 lumnos stuin los ts iioms, 30 solo stuin inglés, 3 solo stuin lmán y 5 solo stuin nés. uántos lumnos stuin xtmnt os iioms? uántos inglés y lmán po no nés? uántos no stuin ninguno sos iioms? 5. Dtmin uáls ls siguints imions son vs ulsqui sn los suonjuntos, y un onjunto nil V y uáls no. P ls qu sn vs, un mostión, p ls ots un ontjmplo. i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) ( ) iii) ( ) iv) = = FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 3 6. Sn, y suonjuntos un onjunto nil V. Po qu i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) = ( ) ( ) iii) ( ) = iv) ( ) = ( ) v) = vi) vii) ( ) = ( ) ( ) viii) = ( ) = 7. Si s qui po mint un tl v un nunio omo n los jiios ntios qu involu n onjuntos,..., n, uánts ils v tn l tl v? 8. Un miso nví sñls ints unis un pto tvés un l onuto. S ispon iltos qu jn ps uns sñls sí y ots no, pnino sus unis. ilto uno stos iltos tin un llv qu l ionl invit l spto unis qu l ilto j ps. ilto ilto invtio Los iltos pun onts n si o n pllo p om nuvos iltos. onxión si onxión pll S onsi ho n l onjunto tos ls unis y s intii ilto on l suonjunto omo po qulls unis qu ést j ps. Osv qu on l intiiión ién stli, s tinn ls siguints osponnis: Filto invtio omplmnto, onxión si Intsión, onxión pll Unión i) Disñ iuitos p l onstuión los siguints iltos pti los iltos, y () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ii) Disñ iuitos p l onstuión los siguints iltos pti los iltos,,, D () ( D ( ) ) () ( (D ) (D ) ) ( ( D) ) () ( ) (D ) FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 4 iii) Risñ l siguint iuito onstuyno oto quivlnt po qu utili únimnt os iltos. qué onjunto ospon l ilto sultnt? iv) Son los siguints iuitos quivlnts? En so imtivo sii l inti onjuntos qu sult y mostl. 9. Sn p, q poposiions. omp ls tls v p = q, q = p, p q, (p q) (uno p po p = q s pu n su lug q = p s i qu s un mostión po ontípoo, mints qu uno s pu n su lug qu p q s lso (llv un ontiión), s i qu s un mostión po l suo). 0. Dii si son vs o lss i) () n N, n 5 () n N, n 5 () n N, n 5 n 8 () n N, n 5 n 8 () n N, m N, m > n () n N, m N, m > n ii) Ng ls poposiions ntios y, n so, vii qu l poposiión ng tin l vlo v opusto l l oiginl. iii) En uno los siguints sos, i si ls os poposiions tinn l mismo vlo v. uno no s st l so, é un ontjmplo. () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, y, p(x, y) y y, x, p(x, y) () x, p(x) y x, p(x). Hll l onjunto P() pts n los sos i) = } ii) =, } iii) =,, }} iv) =,, } v) =,, }} vi) =. Sn y onjuntos. Po qu P() P(). 3. Si s un onjunto on n lmntos, uántos lmntos tin l onjunto P()? FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 5 4. i) Sn =,, 3}, =, 3, 5, 7}. Hll,, ( ) ( ). ii) Sn, y onjuntos. Po qu () ( ) = ( ) ( ) () ( ) = ( ) ( ) () ( ) = ( ) ( ) () ( ) = ( ) ( ) 5. Si s un onjunto on n lmntos y s un onjunto on m lmntos, uántos lmntos tin? uánts lions n hy? Y n? 6. Sn,..., k onjuntos, on k N. S in l onjunto k omo l onjunto k-upls ons on pim lmnto n, sguno lmnto n, t. Es i: k = (,..., k ) :,..., k k }. Si,..., k son toos onjuntos initos, uál s l inl k? 7. Si hy 3 uts istints p i unos is Rosio, 4 uts istints p i Rosio Snt F, y p i Snt F Ronquist uántos oms istints hy p i unos is Ronquist psno po ls os ius intmis? 8. S =,,,,,, g, h}. P uno los siguints gáios sii po xtnsión l lión n qu psnt y tmin si s lxiv, siméti, ntisiméti o tnsitiv. i) ii) g g h h iii) g iv) g h h 9. S =,, 3, 4, 5, 6}. Gi l lión R = (, ), (, 3), (3, ), (3, 3), (6, 4), (4, 6), (4, 4), (6, 6)} omo stá hho n l jiio ntio. 30. S =,,,,, } y s R l lión n psnt po l gáio Hll l mínim nti ps qu s n gg R mn qu l nuv lión otni s FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 6 i) lxiv, ii) siméti, iii) tnsitiv, iv) lxiv y siméti, v) siméti y tnsitiv, vi) lxiv y tnsitiv vii) un lión quivlni. 3. En uno los siguints sos tmin si l lión R n s lxiv, siméti, ntisiméti, tnsitiv, quivlni o on. i) =,, 3, 4, 5}, R = (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} ii) =,, 3, 4, 5, 6}, R = (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} iii) =,, 3, 4, 5}, R = (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (, ), (, 3), (, 5), (, 5)} iv) = N, R = (, ) N N / + s p} v) = Z, R = (, ) Z Z / } vi) = N, R ini po R s múltiplo vii) = P(R), R ini po X R Y X,, 3} Y,, 3} 3. S un onjunto. Dsii tos ls lions n qu son l vz i) simétis y ntisimétis ii) quivlni y on Pu un lión n no s ni siméti ni ntisiméti? 33. S =,,,,, }. D l lión quivlni n : R = (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} hll l ls, l ls, l ls, l ls, y l ptiión soi R. 34. S =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Hll y gi l lión quivlni n soi l ptiión, 3},, 6, 7}, 4, 8, 9, 0}, 5} }. uánts lss quivlni istints tin? Hll un psntnt p ls. 35. S n l onjunto Z númos ntos l lión quivlni po l pi: os númos stán lionos si y solo si tinn l mism pi (son mos ps o mos imps). uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. 36. S n l onjunto Z númos ntos l sigunt lión: os númos stán lionos si tminn n l mismo ígito. Vii qu s un lión quivlni. uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. 37. S n l onjunto toos los suonjuntos initos N l lión quivlni po l inl: os suonjuntos stán lionos si y solo si tinn l mismo inl. uánts lss quivlni istints tin? Hll l psntnt más simpl posil p ls. 38. i) Hll tos ls ptiions los onjuntos = }, =, }, =,, 3}. uánts lions quivlni hy so los onjuntos, y? ii) Si (n) not l nti ptiions qu tin un onjunto n lmntos, xps (4) n unión (), () y (3). (n) s llm l n-ésimo númo ll, po Ei Tmpl ll, 883 960, mtmátio y uto ini iión soés. 39. Dtmin si R s un unión n n los sos i) =,, 3, 4, 5}, =,,, }, R = (, ), (, ), (3, ), (4, ), (5, ), (3, )} ii) =,, 3, 4, 5}, =,,, }, R = (, ), (, ), (3, ), (4, )} iii) = R, = N, R = (, ) R N / = 3} iv) = Z, = Z, R = (, ) Z Z / + s ivisil po 5} FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 7 40. Sn =,, 3, 4, 5} y =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }. S F l onjunto tos ls unions :. i) uántos lmntos tin l onjunto F? ii) uántos lmntos tin F : 0 / Im()}? iii) uántos lmntos tin F : 0 Im()}? iv) Y F : (), 4, 6}}? 4. Dtmin si ls siguints unions son inytivs, soytivs o iytivs. P ls qu sn iytivs hll l invs y p ls qu no sn soytivs hll l imgn. i) : R R, (x) = x 5 ii) : R R, (x) = x 3 5 iii) : R R, (x, y) = x + y iv) : R R 3, (x) = (x, x, x 7) n v) : N N, (n) = si n s p n + si n s imp n si n s p vi) : N N, (n) = n si n s imp vii) : Z Z Z, (, ) = 3 si > 0 viii) : Z N, () = si 0 4. Sn =,, 3, 4, 5, 6, 7} y = 8, 9, 0,,, 3, 4}. i) uánts unions iytivs : hy? ii) Y uánts unions iytivs : N hy tls qu (,, 3}) =, 3, 4}? 43. D uánts oms s pun pmut los númos,, 3, 4, 5 y 6? Po jmplo, tos ls pmutions,, 3 son,, 3;, 3, ;,, 3;, 3, ; 3,, ; 3,,. 44. Sn =,, 3, 4, 5, 6, 7} y =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. i) uánts unions inytivs : hy? ii) Y uánts lls son tls qu () s p? iii) Y tls qu tnto () omo () son ps? 45. uánts unions iytivs :,, 3, 4, 5, 6, 7},, 3, 4, 5, 6, 7} tls qu (,, 3}) 3, 4, 5, 6, 7} hy? 46. i) Ds ls unions : N N, (n) = n si n s ivisil po 6 3n + n los otos sos lul ( g)(3, 4), ( g)(, 5) y ( g)(3, ). ii) Ds ls unions y g : N N N, g(n, m) = n(m+), : R R, (x) = x si x 7 x si x > 7 y g : R N, g(n) = n, sii los onjuntos n N : ( g)(n) = } y n N : ( g)(n) = 5}. FEyN - U - Sguno utimst 03
Álg I Páti Págin 8 47. Hll g n los sos i) : R R, (x) = x 8 y g : R R, g(x) = x + 3 ii) : R R, (x) = x + 3 y g : R R, g(x) = x 8 n si n s ivisil po 4 iii) : N N, (n) = y g : N N, g(n) = 4n n + si n no s ivisil po 4 iv) : R R R, (x) = (x + 5, 3x) y g : N R, g(n) = n 48. Hll os unions : N N y g : N N tls qu g = i N y g i N, on i N : N N not l unión inti l onjunto N. 49. Sn, y onjuntos y : y g : unions. Most qu ls siguints imions son its: i) si g s inytiv, ntons g s inytiv. ii) si g s soytiv, ntons s soytiv iii) si y g son inytivs, ntons g s inytiv iv) si y g son soytivs, ntons g s soytiv v) si y g son iytivs, ntons g s iytiv 50. S l onjunto tos ls xpsions l om 7 6 5 4 3 0 n ls qu i s o in 0 o in. Los lmntos s llmn yts. un ls is un yt s un it ( yt tin 8 its). Los its s intiin po su posiión nto l yt y stán numos n on snnt 7 0 (l it l h s l númo 0 y l l izqui, l 7). S onsin ls siguints unions n : i) R (po ight): splz it un lug hi l h, pon un 0 n l it 7 y st l it 0. ii) L (po lt): splz it un lug hi l izqui, pon un 0 n l it 0 y st l it 7. iii) (po n) tú un y lógio ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0, = ) iv) O (po o) tú un o lógio ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = ) v) X (po xo) tú un o lógio xlusivo ( ) it it on un yt o (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = 0) Ejmplo: R(0000) = 0000, L(0000) = 00000, y si = 0000, (0000) = 000000, O (0000) = 00 y X (0000) = 0000. lul R L, L R, y o,, O, O, X X. Solmnt un sts unions s iytiv; sui uál y nont su invs. FEyN - U - Sguno utimst 03